Matemática - Meta Vestibulares

Matemática: Geometria Plana
Vestibulares 2015-2011 - UNICAMP
1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x  2y  4. Para cada número real t
tal que 0  t  4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de
abscissa x  t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0  t  4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,
e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x)  k x, definida para todo
número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem
somente um ponto em comum com a reta r.
2. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um
setor circular de raio R e ângulo central θ.
a) Para θ  60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R  4r.
1
3. (Unicamp 2014) Considere um hexágono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados
com comprimento de 1cm e um lado com comprimento de x cm.
a) Encontre o valor de x.
b) Mostre que a medida do ângulo α é inferior a 150°.
4. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:
AB  20, BC  15 e AC  10.
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD  3 e traça-se o segmento DE paralelo ao
lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do
triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.
5. (Unicamp 2012) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo.
a) Por norma, em cômodos residenciais com área superior a 6 m², deve-se instalar uma
tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de parede, incluindo a largura da
2
porta. Determine o número mínimo de tomadas do cômodo representado ao lado e o
espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo
perímetro do cômodo.
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto
do cômodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como
está indicado na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando
a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mínimo de fio necessário para
conectar o interruptor à lâmpada.
6. (Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os
dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras a
seguir.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
7. (Unicamp 2010) O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um
brinquedo muito comum no Brasil. A figura a seguir mostra as dimensões de um papagaio
simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas
varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os
vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco
de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.
3
Gabarito:
Resposta da questão 1:
t

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P   t, 2   . Além disso, para todo 0  t  4,

2
o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que
A(t) 
1 
t
t
 t   2      (t  4).
2

2
4
O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes
são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2, 1).
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta y  
x
k
 2 com a função g(x)  , sendo
2
x
x  0, satisfazem a equação

x
k
 2   x 2  4x  2k  0.
2
x
Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a
zero, ou seja, Δ  (4)2  4  1 2k  0, o que implica em k  2.
Resposta da questão 2:
a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC  R, OB  OC  r e
BAO  30. Logo, segue que AO  AC  OC  R  r. Portanto, do triângulo ABO, vem
senBAO 
OB
AO
 sen30 

r
Rr
r
1

R 3
4
Em consequência, a razão pedida é igual a
2
πr 2
2
r 
 6   .
R
3
2 60
πR 
360
b) Se R  4r, então, do triângulo ABO, obtemos
sen
θ
r
θ 1

 sen  .
2 R r
2 3
Por conseguinte, vem
cos θ  1  2 sen2
 1
 1 2   
3
7
 .
9
θ
2
2
Resposta da questão 3:
a) Considere a figura.
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos ABC, ACD, ADE e AEF, vem
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AC  AB  BC  12  12  2,
AD  AC  CD  2  12  3,
AE  AD  DE  3  12  4
e
2
2
2
AF  AE  EF  x 2  4  12
 x  5 cm.
b) É imediato que BAC  45.
Do triângulo ACD, temos
5
tgCAD 
CD
AC
 CAD  arctg
1
2
 45.
Do triângulo ADE, vem
tgD AE 
DE
AD
 D AE  arctg
1
3
 30.
Do triângulo AEF, segue
tgE AF 
EF
AE
 E AF  arctg
1
4
 30.
Portanto, tem-se
α  BAC  CAD  DAE  EAF
 45  45  30  30
 150.
Resposta da questão 4:
a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:
H 15

 5.
h
3
b) H é a altura relativa ao lado AC.
Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:
p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2
6
A
45  45
  45
  45

.
 20  . 
 15  . 
 10 
2  2
2
2



A
45 5 15 25
 

2 2 2 2
A
32.5.5.3.5.52
4
A
3.5.5. 15
4
=
AC.H 75 15

2
4
10.H 75 15

2
4
H
15 15
4
Resposta da questão 5:
a) Perímetro do quarto = 10,8 m = 2,5 m + 0,8 m.
3 tomadas espaçadas a cada
10,8
 3,6m.
3
b) Na figura tem-se x2 = 1,22 + 0,52.
x = 1,69.
x = 1,3 m.
Logo, o comprimento do fio será:
1,3 m + (2,7 – 1) = 3 m.
Resposta da questão 6:
a) No semicírculo
x 2  5 2  6 2  x  11 (maior que 3)
Logo o retalho semicircular poderá ser usado para a obtenção da tira.
b) no triângulo.
7
6  x 10

 x  2,25 (menor que 2,5)
6
16
Logo o retalho triangular não poderá ser usado para a obtenção da tira.
Resposta da questão 7:
a) Na figura 1
sen30o = x/50  x = 25
ABC é equilátero logo y =
50 3
 25 3
2
A = A( ABC ) = A( DBC )
A=
50 .25 50 .25 3

 625 .(1  3 )cm 2
2
2
b) Na figura 2
x = comprimento da vareta BD
R raio do arco
R2 = 252 + 252  R = 25 2
Logo BD = 25 2
x=
2 .R 2 .25 2 25 2


4
4
2
8