Matemática II

Matemática II
Capítulo 14
Noções de Geometria no espaço
é (são) verdadeira(s) apenas:
a) III.
b) I e III.
c) II e III.
d) III e IV.
e) I, II e IV.
4. (ESPM/2012) Na figura plana abaixo, ABCD é um quadrado de
área 10 cm2. Os segmentos CE e CF medem 4 cm cada. Essa
figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com
que os pontos E e F coincidam com um ponto P do espaço.
1. (EsPCEx-Aman/2013) Considere as seguintes afirmações:
A
B
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano a, então todas as
retas de a são perpendiculares ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB
sobre um plano a é a metade da medida do segmento AB,
então a reta AB faz com a um ângulo de 60°;
D
III.Dados dois planos paralelos a e b, se um terceiro γ plano
intercepta a e b, as interseções entre esses planos serão
retas reversas;
E
4 cm
4 cm
IV.Se a e b são dois planos secantes, todas as retas de a também
interceptam b.
C
F
A distância desse ponto P ao ponto A é igual a:
a) 6 cm
d) 5 2 cm
b) 5 cm
e) 6 2 cm
Estão corretas as afirmações:
a) apenas I e II.
d) I, II e IV.
b) apenas II e III.
e) II, III e IV.
c) I, II e III.
c) 4 2 cm
2. (EsPCEx-Aman/2013) O sólido geométrico abaixo é formado
pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto,
com uma face em comum. Na figura estão indicados os
vértices, tanto do bloco quanto do prisma.
Capítulo 15
K
Geometria do espaço
J
H
L
D
I
G
C
E
B
F
A
Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos
dessa figura: as retas LB e GE , as retas AG e HI e as retas
AD e GK . As posições relativas desses pares de retas são,
respectivamente:
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes, reversas; paralelas.
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
3. (ITA/2013) Das afirmações:
I. duas retas coplanares são concorrentes;
II. duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos
paralelos, cada um contendo uma das retas;
IV.os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso
definem um paralelogramo.
ensino médio
1. (Cesgranrio/1992) No cubo da figura,
o ângulo entre AD e AF vale:
a)15°
b)30°
c)45°
d)60°
e)90°
H
G
E
F
D
C
B
A
2. (Fuvest/1990) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um
cubo. Um plano a, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo
em duas partes iguais. A intersecção do plano α com o cubo
é um:
a)triângulo.
b)quadrado.
c)retângulo.
d)pentágono.
e)hexágono.
3. (Unesp/1994) Considere o cubo da
figura ao lado. Das alternativas a
seguir, aquela correspondente a
pares de vértices que determinam A
três retas, duas a duas reversas, é:
a) (A,D); (C,G); (E,H).
b) (A,E); (H,G); (B,F).
E
c) (A,H); (C,F); (F,H).
d) (A,E); (B,C); (D,H).
e) (A,D); (C,G); (E,F).
D
C
B
H
G
F
2o ano
4. (UEL/1994) O sólido representado na figura a seguir é
x
formado por um cubo de aresta de medida
que se apoia
2
sobre um cubo de aresta de medida x.
x
2
H
I
J
G
M
3. (CFT-CE/2004) Observe as afirmações.
I. O espaço é o conjunto de todos os pontos;
II. Dois pontos distintos determinam uma reta;
III.Três pontos não pertencentes a uma mesma reta definem
um plano.
É correto concluir que:
a) somente I é verdadeira.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III são verdadeiras.
d) todas são falsas.
e) todas as afirmações são verdadeiras.
L
E
4. (UFRGS/2000) A figura a seguir representa um cubo de
centro O.
F
C
D
x
A
B
A intersecção do plano EGC com o plano ABC é:
a)vazia.
b) a reta AC .
c) o segmento de reta AC .
d) o ponto C.
e) o triângulo AGC.
H
G
Considere as afirmações abaixo.
I. O ponto O pertence ao plano E
BDE;
II. O ponto O pertence ao plano
ACG;
III.Qualquer plano contendo
D
os pontos O e E também
contém C.
A
Quais estão corretas?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II.
Capítulo 16
F
O
C
B
d) Apenas I e III.
e) Apenas II e III.
Capítulo 17
Paralelismo
Perpendicularidade
1. (UEL/2007) Sobre os conhecimentos de geometria
tridimensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são
concorrentes;
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano;
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano;
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único
plano α que contém r e é paralelo a s.
1. (UEL/2000) Considere três planos que sejam dois a dois
perpendiculares entre si e esferas com 10 cm de raio.
Quantas dessas esferas poderão tangenciar simultaneamente
os três planos?
a)Uma.
d)Oito.
b)Duas.
e)Infinitas.
c)Quatro.
2. (Fatec/1999) Seja A um ponto pertencente à reta r, contida
no plano a.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
d) I, II e III
b) I e IV
e) II, III e IV
c) III e IV
2. (UEG/2005) Observe e classifique as afirmações abaixo como
sendo verdadeiras ou falsas.
I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos, então
as interseções são retas paralelas;
II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é
paralela a qualquer reta do outro;
III.Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos
são paralelos;
IV.Se dois planos são paralelos, uma reta de um deles pode
ser reversa a uma reta do outro.
Marque a alternativa correta.
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.
ensino médio
É verdade que:
a)existe uma única reta que é perpendicular à reta r no
ponto A.
b)existe uma única reta, não contida no plano a, que é
paralela à reta r.
c)existem infinitos planos distintos entre si, paralelos ao
plano a, que contêm a reta r.
d) existem infinitos planos distintos entre si, perpendiculares
ao plano a e que contêm a reta r.
e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas no plano
a e que são paralelas à reta r.
3. (UEL/1998) Na figura a seguir, tem-se uma esfera de raio
5 cm e os planos paralelos a e β. O plano a contém o centro
O da esfera e dista 10 cm de β. Uma reta t, tangente à esfera,
intercepta a em A e β em B. Se o segmento AB mede 18 cm e
o plano determinado pelos pontos A, B e O é perpendicular a
a e a β, então a medida do segmento OA, em centímetros, é:
2o ano
a)9
b)8,5
c)8
d)7,5
e)7
t
β
B
O
A
α
4. (Fatec/1998) Na figura a seguir, tem-se: o plano a definido
pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b,
perpendicular a a em A, com A ∈ c; o ponto B, intersecção de
c e d. Se X é um ponto de b, X ∉ a, então a reta s, definida
por X e B,
b
d
A
c
2. (UEPG/2010) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces
pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares,
julgue as proposições abaixo:
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4.
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10.
04) O menor valor possível para n é 1.
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é
3600°, então n = 6.
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8.
3. Se F é o número de faces, V o número de vértices e A o
número de arestas de um paralelepípedo retângulo, então
a soma F + V + A é igual a:
a)20
c)24
b)22
d)26
4. Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos
triédricos e cinco ângulos tetraédricos. Então o número de
faces deste poliedro é:
a)12
d)9
b)11
e)8
c)10
B
Capítulo 18
α
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano α.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
Prisma
1. (UEPB/2014) Uma cisterna de formato cúbico cuja área lateral
mede 200 m2 tem por volume, aproximadamente:
3
a) 250 2 m
3
b) 25 2 m
Saiba Mais
Poliedros quaisquer e poliedros
regulares
1. (UEM/2011) O fulereno é uma molécula de carbono
descoberta em 1985, e sua utilização tem sido proposta
em muitas áreas, como medicina, bioquímica e física,
devido à sua grande estabilidade. O modelo tridimensional
da molécula do fulereno C60 é um poliedro convexo de
faces regulares, que possui 12 faces pentagonais, 20 faces
hexagonais e três arestas se encontrando em cada vértices,
formando ângulos triédricos.
Em cada vértice, está situado um átomo de carbono.
Baseando-se nessas informações, assinale o que for correto.
01) O poliedro que representa a molécula possui 120 arestas.
02) Se A é o número de arestas do poliedro e V o número
de vértices do poliedro que representa a molécula, então
3A = 2V.
04) A soma dos ângulos internos de todas as faces é
58 π rad.
08) O fulereno C60 apresenta carbonos com hibridização sp2.
16) O poliedro que representa a molécula possui 60 vértices.
ensino médio
3
c) 2500 2 m
3
d) 352 2 m
3
e) 125 2 m
2. (UFRGS/2014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo,
encontra-se representado um sólido sombreado com as
alturas indicadas no desenho.
7
7
3
3
O volume do sólido sombreado é?
a) 300 Unidades de volume.
b) 350 Unidades de volume.
c) 500 Unidades de volume.
d) 600 Unidades de volume.
e) 700 Unidades de volume.
2o ano
3. (Uneb/2014) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma
superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas camadas
principais: a epiderme, externa, e a derme, interna.
BREWER. 2013, p. 72.
De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela
pele humana é equivalente a de um cubo cuja diagonal, em
m, é igual a:
1
a) 3
b)
3
3
3
2
d) 1
c)
e)
3
4. (FGV/2014) Uma piscina vazia, com formato de
paralelepípedo reto retângulo, tem comprimento de 10 m,
largura igual a 5 m e altura de 2 m. Ela é preenchida com
água a uma vazão de 5000 litros por hora.
Após três horas e meia do início do preenchimento, a altura
da água na piscina atingiu:
a) 25 cm
b) 27,5 cm
c) 30 cm
d) 32,5 cm
e) 35 cm
ensino médio
2o ano