Matemática A

Inclusão para a vida
UNIDADE 1
ARITMÉTICA BÁSICA
Matemática A
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0
ou 5.
Exemplos: 235, 4670, 87210.
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é
múltiplo de a e b.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se for simultaneamente
divisível por 2 e 3.
Exemplos: 24, 288, 8460.
Exemplo: Múltiplos de 3
M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}
Divisibilidade por 7
Processo prático: Veja o número 4137
Observações:
 O zero é múltiplo de todos os números.
 Todo número é múltiplo de si mesmo.
 Os números da forma 2k, k  N, são números
múltiplos de 2 e esses são chamados números pares.
 Os números da forma 2k + 1, k  N, são números
ímpares.
1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu
valor.
4137  7  2 x 7 = 14
DIVISOR DE UM NÚMERO
Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e
b são divisores c.
3º Passo: procede-se assim até se obter um número
múltiplo de 7.
2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que
restou após a separação do último algarismo.
413 – 14 = 399
399  9  2 x 9 = 18
Exemplo: Divisores de 12
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
39 – 18 = 21
Observações:
 O menor divisor de um número é 1.
 O maior divisor de um número é ele próprio.
2–2=0
Quantidade de divisores de um número
Para determinar a quantidade de divisores de um número
procede-se assim:
Decompõem-se em fatores primos o número
dado;
b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a
cada um desses expoentes adiciona-se uma
unidade.
c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.
21  1  2 x 1 = 2
Logo 4137 é múltiplo de 7
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos
forem divisíveis por 8 ou forem três zeros.
Exemplos: 15320, 67000.
a)
Exemplo: Determinar o número de divisores de 90
90 = 21 . 32 . 51
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus
algarismos for um número divisível por 9.
Exemplos: 8316, 35289.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se o último algarismo for
zero.
Exemplos: 5480, 1200, 345160.
(1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12
Logo, 90 possui 12 divisores
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se for par.
Exemplos: 28, 402, 5128.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma dos valores
absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplos: 18, 243, 3126.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos
forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em
00.
Exemplos: 5716, 8700, 198200.
Pré-Vestibular da UFSC
NÚMEROS PRIMOS
Um número p, p  0 e p  1, é denominado número primo
se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....
Observação: Um número é denominado composto se não
for primo.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C)
de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal
que p seja o menor número divisível pelos números em
questão.
Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.
Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...}
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24
1
Matemática A
Inclusão para a Vida
Processo 2:
6–8
3–4
3–2
3–1
1–1
encontrar de novo no ponto de partida, levando em
consideração ambas as velocidades constantes?
2
2
2
3
8. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e
Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24
MÁXIMO DIVISOR COMUM
Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou
mais números o maior dos seus divisores comuns.
Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42
Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42}
Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
Processo 2: 36 = 22.32
e 42 = 2.3.7
Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3
Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.
Exercícios de Sala 
1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites
artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o
desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos
rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia
03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em
uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro.
Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9
dias para darem uma volta completa em torno da Terra,
então o número de dias para o próximo alinhamento é:
2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20,
respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240
c) 100
e) 230
b) 120
d) 340
3. O número de divisores naturais de 72 é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.
Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais
de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada
faixa medirá na frente:
a) 12 m
c) 24 m
e) 36 m
b) 18 m
d) 30 m
Tarefa Complementar
9. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a
cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a
cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro
alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos?
a) 240 horas
c) 32 horas
e) 320 horas
b) 120 horas
d) 360 horas
10. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e
90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim
tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua
medirá:
a) 10 cm
c) 8 cm
e) 4 cm
b) 6 cm
d) 12 cm
11. Sejam os números
A = 23.32. 5
B = 22 . 3 . 52
Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem
respectivamente:
a) 180 e 60
d) 1800 e 60
b) 180 e 600
e) n.d.a.
c) 1800 e 600
12. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x
indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número
é divisível por 4, então o valor máximo que x pode
assumir é:
a) 0
c) 4
e) 8
b) 2
d) 6
13. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo?
Tarefa Mínima 
a) 121
b) 401
c) 362
d) 201
e) n.d.a.
4. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48.
14. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um
Determine:
a) M.M.C entre A e B
b) M.D.C entre B e C
c) M.M.C entre A, B e C
d) M.D.C entre A, B e C
5. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36,
respectivamente. O valor de x. y é:
a) 240
c) 120
e) 230
b) 720
d) 340
6. Determine o número de divisores naturais dos números
a) 80
b) 120
7. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16
segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois
ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se
2
mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m.
Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja
vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a
largura das peças e o maior comprimento possível, de
modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos
ele deverá obter?
15. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É
verdade que o número p2 – 1 é divisível por:
a) 3
c) 5
e) 7
b) 4
d) 6
16. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente.
O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale:
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
17. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de
zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito
é:
a) 6
c) 15
e) 24
b) 12
d) 18
18. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais
três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m,
42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos
pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos
com as três vigas é:
a) 18
c) 210
e) 20
b) 21
d) 180
UNIDADE 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto
N* ( naturais sem o zero )
N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
 a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N
Conjunto dos Números Inteiros
Os números inteiros surgiram com a necessidade de
calcular a diferença entre dois números naturais, em que o
primeiro fosse menor que o segundo.
Matemática A
c) decimais exatos ( 0,2 =
d) dízimas periódicas ( 0,333... =
Geratrizes de uma dízima periódica
Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se
chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de
uma dízima periódica, procedemos assim:
a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário
cujo numerador é o algarismo que representa a parte
periódica e o denominador é um número formado por
tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
7
9
3 1
b) 0,333....=

9 3
43
c) 0,434343... =
99
a) 0777...=
b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário
cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica
seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o
denominador é um número formado de tantos noves
quantos são os algarismos do período, seguido de tantos
zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.
Exemplos:
37  3 34 17


90
90 45
b) 0,32515151... =
a
, com a  Z, b  Z* }
b
Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de
fração é um número racional.
São exemplos de números racionais:
a) Naturais
b) Inteiros
Pré-Vestibular da UFSC
)
As quatro operações são definidas nos racionais.
Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto
quando o numerador for zero também).
Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros
Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... }
Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... }
Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0}
Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }
Q={x|x
1
3
a) 0,3777... =
Conjunto dos Números Racionais
Os números Racionais surgiram com a necessidade de
dividir dois números inteiros, onde o resultado era um
número não inteiro.
)
10
Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
 a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z
2
3251  32 3219 1073


9900
9900 3300
Conjunto dos Números Irracionais
Apesar de que entre dois números racionais existir sempre
um outro racional, isso não significa que os racionais
preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo.
Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1.
Calcular o valor da hipotenusa.
x
1
1
Aplicando o teorema de Pitágoras temos:
x2 = 12 + 12
x=
2
Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é
natural, inteiro, nem racional, surge então os números
irracionais.
3
Matemática A
Inclusão para a Vida
Os números irracionais são aqueles que não podem ser
colocados em forma de fração, como por exemplo:
a)  = 3,14...
b) e = 2, 71...
c) toda raiz não exata
Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]
Conjunto dos Números Reais
Os números reais surgem da união dos números racionais
com os irracionais.
Exemplo:
QUADRO DE RESUMO
Q

| x | = k, com k > 0, então: x = k ou x =  k
Representação Gráfica.
Veja outros exemplos:

1) {x  R| x > 2} = ]2, [
I
Z
N
Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos
reais. Porém, é necessário saber que existem números que
não são reais, estes são chamados de complexos e serão
estudados mais detalhadamente adiante.
2) {x  R| x  1} = ] -, 1]
3) {x  R| 3  x < 4} = [3, 4[
PROPRIEDADES EM 





Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a
Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c)
Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a
Simétrico: a + (– a) = 0
1
Inverso: a .
= 1, a  0
a
INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE
UM NÚMERO REAL
INTERVALOS NUMÉRICOS
Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .
Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos
a seguir:
 {x  R| p  x  q} = [p, q]
 {x  R| p < x < q} = ]p, q[
 {x  R| p  x < q} = [p, q[
 {x  R| p < x  q} = ]p, q]
 {x  R| x  q} = [q, [
 {x  R| x > q} = ]q, [
 {x  R| x  q} = ] -, q]
 {x  R| x < q} = ] -, q[
Os números reais p e q são denominados, respectivamente,
extremo inferior e extremo superior do intervalo.
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
Módulo ou valor absoluto de um número real x é a
distância da origem ao ponto que representa o número x.
Indicamos o módulo de x por | x |.
Definição
 x, se x  0
x 
- x, se x  0
Exemplos:
a) como 3 > 0, então | 3 | = 3
b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3
Propriedades
 |x|0
 | x |2 = x2
x | x |

 |x – y| = |y – x|
 |x . y| = | x |. | y |
2

x
x

y
y
Equação Modular
Observações
 O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}
 O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }
 O intervalo (  , +  ) representa o conjunto dos
números reais (R)
 (x, y) = ]x, y[
Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:
Equação Modular é a equação que possui a incógnita x
em módulo.
Notação de conjunto. Exemplo: {x  R| 2 < x  3}
Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6
x+2=6
ou
x + 2= - 6
4
Tipos de equações modulares:
Exemplo 1: | x | = 3
x = 3 ou x = -3
S = {-3, 3}
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
x=4
S = {-8, 4}
ou
Matemática A
x=-8

| x | = k, com k = 0, então: x = 0

| x | = k, com k < 0, então: não há solução
c)
d)
e)
f)
{x  N| 2 < x  7}
{x  Z| - 1  x < 3}
{x| x = 2k, k  N}
{x| x = 2k + 1, k  N}
5. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717...
são respectivamente:
a)
Exemplo 1: | x | = - 3
S=
23 23
e
100 99
1 1
d) e
3 10
Exemplo 2: |x + 2| = -10
S=
b)
20 43
e
99 99
e)
2 1
e
10 5
c)
23 43
e
99 198
6. (ACAFE) O valor da expressão , a.b  c
2
c 1
Inequação Modular
Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x |  k,
| x | > k, | x |  k denominam-se inequações modulares.
a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:
Tipos de inequações modulares:
a) |x| = 10
c) |x – 2| = -3
b) |x + 1| = 7
d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é:

| x | < k, com k > 0, então:  k < x < k
Exemplos:

|x|<3  –3<x<3
| x | < 10  – 10 < x < 10
| x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k
Exemplos:
| x | > 3  x < – 3 ou x > 3
| x | > 10  x < –10 ou x > 10
Exercícios de Sala 
quando
7. Resolva em  as seguintes equações:
8. A solução da inequação (2 x  1)  5
2
a)
b)
c)
d)
e)
{x  | – 2  x  3}
{x  | – 1  x  6}
{x  | x  3}
{x  | x  7}
{x  | – 3  x  2}
Tarefa Complementar 
9. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333...
e
1. Calcule o valor das expressões abaixo:
c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a:
a)  3  1  2  1 
 4 8  5 3 
10. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o
b)  2  3  : 1  4 
5  3

irracional y, pode-se dizer que:
a) x.y é racional.
b) y.y é irracional.
c) x + y racional.
2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações:
d) x - y + 2 é irracional.
e) x + 2y é irracional.
I - x2 + 4 = 0
II - x2 – 4 = 0
III - 0,3x = 0,1
11.
Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que:
a) II são números irracionais.
b) III é um número irracional.
c) I e II são números reais.
d) I e III são números não reais.
e) II e III são números racionais.
3. Resolva em  as seguintes equações:
a) | x | = 3
d) |x + 2| = –3
b) |2x – 1| = 7
e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0
c) |x2 –5x | = 6
Tarefa Mínima

4. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir:
a) {x  N| x é divisor de 12}
b) {x  N| x é múltiplo de 3}
Pré-Vestibular da UFSC
(FUVEST) Na figura estão representados
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a
posição do número xy?
a) à esquerda de 0
b) entre zero e x
c) entre x e y
d) entre y e 1
e) à direita de 1
12. Determine a soma dos números associados às
proposições corretas:
01. É possível encontrar dois números naturais, ambos
divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro
deixe resto 39.
02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b
sendo um número ímpar, então a é par.
04. O número
75 2
é real.
5
Matemática A
Inclusão para a Vida
08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos
tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos
outros dois.
16. o número 247 é um número primo.
13. A expressão|2x – 1| para x <
a) 2x – 1
b) 1 – 2x
c) 2x + 1
1
é equivalente a:
2
d) 1 + 2x
e) – 1
14. Assinale a alternativa correta:
2
a) Se x é um número real, então x  |x |
b) Se x é um número real, então existe x, tal que
|x| < 0
c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais,
então |a + b| = |a| + |b|
d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos,
então |a + b| > |a| + |b|
e) | x | = x, para todo x real.
15. (UFGO) Os zeros da função f(x) =
a) 7 e 8
b) 7 e 8
c) 7 e 8
d) 7 e 8
2x  1
 3 são:
5
e) n.d.a.
PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA
IGUALDADE
Se: a = b então para m  a + m = b + m
Se: a = b então para m  0  a . m = b . m
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Inequações são expressões abertas que exprimem uma
desigualdade entre as quantidades dadas.
Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita
na forma:
ax + b > 0
ax + b < 0
ax + b  0
ax + b  0
Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio
aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja:
Se: a > b então para m  a + m > b + m
Se: a > b então para m > 0  a . m > b . m
Se: a > b então para m < 0  a . m < b . m
Exercícios de Sala 
1. Resolva em R as seguintes equações e inequações:
a) ax + b = 0, com a  0
16. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida
no conjunto solução da inequação
a)
b)
c)
d)
e)
(1  x)  1?
b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7)
2
{x  R  - 5  x  - 1}
{x  R  - 4  x  0}
{x  R  - 3  x  0}
{x  R  - 2  x  0}
Todos os conjuntos anteriores
17. (ITA-SP) Os valores de x  R para os quais a função
real dada por f(x) =
5 || 2 x  1 | 6 | está definida,
formam o conjunto:
a) [0, 1]
b) [-5, 6]
c) [-5,0]  [1, )
d) (-, 0]  [1, 6]
e) [-5, 0]  [1, 6]
UNIDADE 3
EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES
DEFINIÇÃO
Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau
quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a
diferente de zero.
RESOLUÇÃO
Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.
Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O
número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação
Duas equações que têm o mesmo conjunto solução
são chamadas equivalentes.
c) x  1  2 x  3  10
3
4
d) 502x = 500x
e) 0.x = 0
f) 0.x = 5
g)
x 1

2
3x
8
2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da
equação 5x + 2m = 20
3. Resolva em R, o seguinte sistema:
x  3 y  1

2 x  3 y  2
Tarefa Mínima
4. Resolver em R as equações:
6x – 6 = 2(2x + 1)
2(x + 1) = 5x + 3
(x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3
2(x – 2) = 2x – 4
3(x – 2) = 3x
f) x  1  x  1
2
3 4
a)
b)
c)
d)
e)
5. A solução da equação
x

3
a) x = – 2
b) x = – 3
6
c) x = 3
d) x = 2
x 1
 x é:
2
e) x = 1
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
6. (FGV–SP) A raiz da equação
Matemática A
x 1

2x  1
3
a)
b)
c)
d)
e)
 1 é:
4
Um número maior que 5.
Um número menor que – 11.
Um número natural.
Um número irracional.
Um número real.
17. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de
bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si
metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro
menino também tirou para si metade dos bombons que
encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule
quantos bombons havia inicialmente na caixa.
7. Determine a solução de cada sistema abaixo:
a) 2 x  y  3
x  y  3
x y 5
b) 

x  y  1
c) 3x  y  1

2 x  2 y  1
8. Resolva em R as inequações:
a) 3(x + 1) > 2(x – 2)
c)
1

3
b)
x  10
4

vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas
equipes estão na razão de 23 para 21?
x
2

1
4
3x
2

Tarefa Complementar
2x  3y  21
9. O valor de x + y em 
é:
7x  4y  1
10. Obtenha o maior de três números inteiros e
consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.
11. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do
intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x +
3  2 e 2x - 1  17; é:
18. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em
um de seus vagões um certo número de passageiros. Na
primeira parada não subiu ninguém e desceram desse
vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número
de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda
parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse
vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de
homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros
no vagão no início da viagem?
UNIDADE 4
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode
ser reduzida a forma:
ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a  0.
RESOLUÇÃO
1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b
for igual a zero procede-se assim:
ax2 + c = 0
ax2 =  c
12. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de
automóveis, para veículos idênticos, são:
 Agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60
por quilômetro rodado.
 Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70
por quilômetro rodado.
Seja x o número de quilômetros percorridos durante um
dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que
seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência
AGENOR do que na agência TEÓFILO.
13. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal
8
que 5 m + 24 > 5500 e  m + 700 > 42 – m, é:
5
14. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$
1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de
123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.
O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número
mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que
recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:
x2 =

x=

S = 

c
a

c
a
c
c
 ,  
a
a
2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c
for igual a zero procede-se assim:
ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 ou ax + b = 0
S = {0,

b
}
a
3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c  0
aplica-se a fórmula de Bháskara
15. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38
anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do
filho. A idade do pai será:
16. (UFSC) Na partida final de um campeonato de
basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma
diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe
Pré-Vestibular da UFSC
x=
b Δ
onde:  = b2 – 4ac
2a
Nessa fórmula,  = b2 – 4ac é o discriminante da
equação, o que determina o número de soluções
reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações:
7
Matemática A






Inclusão para a Vida
> 0. Existem duas raízes reais e distintas
= 0. Existem duas raízes reais e iguais
< 0. Não há raiz real
RELAÇÕES DE GIRARD
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se:
x1 + x2 = 
b
x1 . x2 =
a
c
a
Exercícios de Sala 
1. Resolva, em reais, as equações:
a) 2x2 – 32 = 0
c) 2x2 – 5x – 3 = 0
b) x2 – 12x = 0
2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.
Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e
iguais?
a) 0 e 4
d) 1 e 3
b) 0 e 2
e) 1 e 4
c) 0 e 1
Tarefa Complementar 
2
1
 1
9. Resolver em R a equação 2 
x 1 x 1
10. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é:
a)
3
b) 2
c) 3
d) 1
e)
2
11. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,
determine a soma dos números associados às proposições
verdadeiras:
01. x1 e x2 são iguais
02. x1 + x2 = 3
3
04. x1 . x2 = 
2
1
1

08.
= –2
x1 x 2
16. x12 + x22 = 12
9
32. x12.x2 + x1.x22 = 
2
12. A solução da equação x – 3 =
x  3 é:
3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0,
determine:
a) x1 + x2
c)
1
x1

13. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais
b) x1 . x2
1
x2
que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
c) 6
14. Determine a soma dos números associados às
Tarefa Mínima 
proposições corretas:
4. Resolva em R, as equações:
01. Se a soma de um número qualquer com o seu
inverso é 5, então a soma dos quadrados desse
número com o seu inverso é 23.
x2 – 5x + 6 = 0
– x2 + 6x – 8 = 0
3x2 – 7x + 2 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
2x2 – x + 1 = 0
4x2 – 100 = 0
x2 – 5x = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,
9
então o valor de x12.x2 + x1.x22 = 
2
04. Se x e y são números reais positivos, tais que
x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2
5. Os números 2 e 4 são raízes da equação:
2
a) x – 6x + 8 = 0
b) x2 + x – 6 = 0
c) x2 – 6x – 6 = 0
2
d) x – 5x + 6 = 0
e) x2 + 6x – 1 = 0
6. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação
2
2x – 2x + 1 = 0?
a) 0
c) 2
b) 1
d) 3
e) 4
7. A soma e o produto das raízes da equação
2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente:
a) 3 e 4,5
d) 4,5 e 5
b) 2 e 4
e) n.d.a.
c) – 3 e 2
08. Se x é solução da equação
x2 – 3 +
x  3 = 2, então, o valor de x4 = 16
2
1
1
16. O valor de 8 3  16 2 é 5
15. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,
raízes dessa equação, pode-se afirmar:
01. x1  x2
02. o produto das raízes dessa equação é 0,5
04. a soma das raízes dessa equação é 3
08. a soma dos inversos das raízes é 6
16. a equação não possui raízes reais
16. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é:
a) 3
b) 4
c) 8
d) 9
e) 1
8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0.
17. Assinale a soma dos números associados às
Obtenha 1  1
x1 x 2
proposições corretas:
8
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
3
01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2
2
02. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2
04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão
compreendidas entre 1 e 3
08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3
16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais
18. Determine o valor de x que satisfaz as equações:
a) x  1  3  x
b)
3
2x  x 1  2
Matemática A
Valor de uma Função
Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor
que a variável y assume quando a variável x é substituída
por um valor que lhe é atribuído.
Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor
de x corresponde um único valor de y.
Assim se x = 3, então y = 9.
Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9
Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de
f(3)
Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3
f(3) = 3 + 2
f(3) = 5
UNIDADE 5
ESTUDO DAS FUNÇÕES
Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o
valor de f(-1).
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de
A em B, essa relação será chamada de função quando todo
e qualquer elemento de A estiver associado a um único
elemento em B.
Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos
fazer x = -1
f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6
f(-1) = 1 + 5 + 6
f(-1) = 12
Formalmente:
f é função de A em B  (x  A,  y  B | (x, y)  f)
Exemplo 3: Dada a função f(x  1) = x2. Determine f(5).
Numa função podemos definir alguns elementos.




Conjunto de Partida: A
Domínio: Valores de x para os quais existe y.
Contra Domínio: B
Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.
Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6
f(6  1) = 62
f(5) = 36
Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).
Exercícios de Sala 
1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma
dos números associados às proposições corretas:
Observações:
 A imagem está sempre contida no Contra
Domínio (Im  C.D)
 Podemos reconhecer através do gráfico de uma
relação, se essa relação é ou não função. Para
isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada
paralela interceptar o gráfico em apenas um
ponto, teremos uma função.
 O domínio de uma função é o intervalo
representado pela projeção do gráfico no eixo das
abscissas. E a imagem é o intervalo representado
pela projeção do gráfico no eixo y.
01. O domínio da função f é {x  R | - 3  x  3}
02. A imagem da função f é {y  R | - 2  y  3}
04. para x = 3, tem-se y = 3
08. para x = 0, tem-se y = 2
16. para x = - 3, tem-se y = 0
32. A função é decrescente em todo seu domínio
2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada
função:
a) y = 2x + 1
c)
Domínio = [a, b]
y=
3x  2
7
2x  7
 x3
y=
2x  2
b) y =
d)
Imagem = [c, d]
Pré-Vestibular da UFSC
9
Matemática A
2x -1, se x  0

3. Seja f ( x)  5, se 0  x  5
 2
 x  5x  6, se x 
Inclusão para a Vida
16. A função é crescente em todo seu domínio
.
5
Calcule o valor de: f (3)  f ( )
f (6)
Tarefa Mïnima 
6. Determine o domínio das seguintes funções:
2
a) y =
b) y = x  3
3x  9
c) y =
x6
x2
d) y =
3
x5
4. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não
7. (UFSC) Considere as funções f: R  R e g: R  R
3
dadas por f(x) = x2  x + 2 e g(x) =  6x + . Calcule
5
1
5
f( ) +
g(1).
2
4
b)
8. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e
representa uma função f: R  R ?
a)
c)
B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define
uma função de A em B.
a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)}
b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)}
c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)}
d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)}
e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)}
Tarefa Complementar 
9. (UFC) O domínio da função real y = x  2 é:
x7
d)
e)
a) {x  R| x > 7}
b) {x  R| x  2}
c) {x  R| 2  x < 7}
d) {x  R| x  2 ou x > 7}
10. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine:
a) f(3)
b) f(5)
c) os valores de x, tal que f(x) = 0
11. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está
relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu
pé pela fórmula S =
5. Assinale a soma dos números associados às proposições
corretas:
5 p  28
. Qual é o comprimento do
4
pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41?
a) 41 cm
b) 35,2 cm
c) 30,8 cm
d) 29,5 cm
e) 27,2 cm
12. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago
após um desconto de 3% sobre o valor x de uma
mercadoria é:
a) f(x) = x – 3
d) f(x) = - 3x
b) f(x) = 0,97x
e) f(x) = 1,03x
c) f(x) = 1,3x
01. O domínio da função f é {x  R | - 2  x  2}
02. A imagem da função f é {y  R | - 1  y  2}
04. para x = -2 , tem-se y = -1
08. para x = 2, tem-se y = 2
10
13. ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = (a).f(b),
quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é
igual a:
a) 3.f(x)
d) [f(x)]3
b) 3 + f(x)
e) f(3) + f(x)
c) f(x3)
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
14. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da
energia elétrica consumida é a soma das seguintes
parcelas:
1ª . Parcela fixa de R$ 10,00;
2ª . Parcela variável que depende do número de
quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa
R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor
pagou R$ 31,00, então ele consumiu:
a) 100,33 kWh
b) mais de 110 kWh
c) menos de 65 kWh
d) entre 65 e 80 kWh
e) entre 80 e 110 kWh
15. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros
Matemática A
Interceptos:
 Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer
x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem
coordenadas (0,b).
 Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer
y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem
coordenadas (  b ,0). O ponto que o gráfico corta o
a
eixo x é chamado raiz ou zero da função.
RESUMO GRÁFICO
f(x) = ax + b, a > 0
f(x) = ax + b, a < 0
marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT
(unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro
rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o
taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros
corridos foi:
16. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5,
g(x) = x2 + 2x  1 e h(x) = 7  x, o valor em módulo da
expressão:
 1

4 h    g  4 
2
  

f ( 1)
Função crescente
Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função
f(x) = – 3x + 1.
17. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1)
= 43 e f(x + 1) = 2 f(x)  15. Determine o valor de f(0).
18. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2.
Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:
UNIDADE 6
Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o
gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o
eixo y em (0,1).
Para determinar o ponto que o gráfico corta o
eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.
– 3x + 1 = 0
x=
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
1
3
Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
coordenadas (
Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x  R,
associa o elemento ax + b.
Forma: f(x) = ax + b
Função decrescente
1
, 0)
3
com a  0.
a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.
Gráfico
O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e
decrescente se a for negativo.
D=
C.D. = 
Im = 
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função f de R em R é constante se, a cada x  R,
associa sempre o mesmo elemento k  R.
D(f) = R e Im (f) = k
Forma: f(x) = k
Gráfico:
Exemplo: y = f(x) = 2
Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo
é necessário definir apenas dois pontos para obter o
gráfico.
Pré-Vestibular da UFSC
11
Matemática A
Inclusão para a Vida
7. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o
eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1,
3), então f(x) é:
a) f(x) = x  3
d) f(x) = 2x  1
b) f(x) = x  4
e) f(x) = 3x  6
c) f(x) = 2x  5
D=
C.D. = 
Exercícios de Sala
Im = {2}
8. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de

com t  .
1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.
Tarefa Complementar
Determine a soma dos números associados às
proposições corretas :
f(x) = 2x + k, deve-se ter
a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2
10. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a  2b é
igual a:
a) 12 b) 10
c) 9 d) 7
e) n.d.a.
11. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em
2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) =
(2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter:
2
3
b) k 
2
3
c) k 
2
3
d) k  
2
3

9. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função
01. a reta que representa a função f intercepta o eixo
das ordenadas em (0,- 6)
02. f(x) é uma função decrescente
04. a raiz da função f(x) é 3
08. f(-1) + f(4) = 0
16. a imagem da função são os reais
32. A área do triângulo formado pela reta que
representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18
unidades de área.
a) k 
f (t )  f ( )
t 
e) k  
2
3
3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se
relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os
eixos do sistema um triângulo cuja área é:
a) 1/2 b) 1/4
c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16
12. O gráfico da função f(x) está representado pela figura
abaixo:
que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).
Tarefa Mínima 
4. Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) f(x) = – x + 3
b) f(x) = 2x + 1
5. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa
pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m +
n vale em módulo:
Pode-se afirmar que f(4) é igual a:
13. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro
gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de
perfume, varia com a quantidade de perfume produzida
(x). Assim, podemos afirmar:
6. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação
gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:
a) Quando a empresa não produz, não gasta.
b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 76,00.
c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta
R$ 54,00.
d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá
5 litros de perfume.
e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa
gasta menos do que para fabricar o quinto litro.
14. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5
como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é:
12
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
Matemática A
15. O valor de uma máquina decresce linearmente com o
tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale
R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu
valor, em reais, daqui a três anos será:
a)
480
b) 360
c) 380 d) 400
e) 416
16. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura
baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do
ponto R é
 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.
 O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
a) A = x2 – 3x
b) A = - 3x2 + 9x
c) A = 3x2 – 9x
d) A = - 2x2 + 6x
e) A = 2x2 – 6x
Coordenadas do vértice
O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde
17. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade,
deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo
apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função
do tempo.
b
x 
e
v
2a
yv = 

4a
Distância (em km )
Imagem da função quadrática

}
4a

 Se a < 0, então Im = {y  R| y  
}
4a
 Se a > 0, então Im = {y  R| y  
Resumo gráfico

>0

=0
Temp o (em horas)
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu
primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido
exatamente:
a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km
Estudo do vértice da parábola
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida
em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo
chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo
com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.
Pré-Vestibular da UFSC
13
Matemática A

Inclusão para a Vida
<0
Estudo do vértice da parábola
A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida
em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo
chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo
com a parábola recebe o nome de vértice da parábola
18. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real
positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros
positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0),
(b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 1
x
 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.
 O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.
Coordenadas do vértice
O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde
b
x 
e
v
2a
yv = 

4a
Imagem da função quadrática

}
4a

 Se a < 0, então Im = {y  R| y  
}
4a
 Se a > 0, então Im = {y  R| y  
Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0)
e (3b, f(3b))
UNIDADE 7
Resumo gráfico
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

>0

=0
Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada
x  R associa o elemento ax2 + bx + c, com a  0
Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a  0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R
é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada
pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim,
quando:
a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima
a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo
nterceptos
 O ponto que o gráfico corta o eixo y possui
coordenadas (0,c)
 Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x,
deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º
grau ax2 + bx + c = 0, onde:
x
b Δ
, onde   b 2  4ac
2a
Se  > 0  Duas Raízes Reais
Se  = 0  Uma Raiz Real
Se  < 0  Não possui Raízes Reais
14
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida

<0
Matemática A
7. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de
domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:
a) [0, 3]
c) ]-, 4]
b) [-5, 4]
d) [-3, 1]
e) [-5, 3]
8. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x)
Exercícios de Sala

1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de
 é correto afirmar:
01. 2 e 4 são os zeros da função f
02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1)
04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos
números reais.
08. A imagem da função é: { y  R| y   1}
16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da
parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.
2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu
conjunto imagem.
a) f:  ,
f(x) = x2 – 2x
b) f:  ,
= x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o vértice da parábola que representa f localizase:
a) no primeiro quadrante.
b) no segundo quadrante.
c) no terceiro quadrante.
d) sobre o eixo das coordenadas.
e) sobre o eixo das abscissas.
Tarefa Complementar 
9. (UFSC) Seja f: R  R, definida por: f(x) = - x 2 ,
termine a soma dos números associados às afirmativas
verdadeiras:
01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.
02. f(x) é crescente em R.
04. As raízes de f(x) são reais e iguais.
08. f(x) é decrescente em [0, + )
16. Im(f) = { y  R  y  0}
32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.
10. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função
f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:
2
f(x) = – x + 4
c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x
3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de  .
Determine o valor de m para que o gráfico de f(x):
a) tenha duas intersecções com o eixo
b) tenha uma intersecção com o eixo x
c) não intercepte o eixo x
Tarefa Mínima 
4. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do
vértice e a imagem de cada função.
a) f:   , f(x) = x2 – 2x – 3
b) f:   , f(x) = (x + 2)(x – 4)
c) f:   , f(x) = – x2 + 2x – 1
d) f:   , f(x) = x2 – 3x
5. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale
as verdadeiras:
01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de
coordenadas (0,12).
02. As raízes de f são 2 e 6.
04. O domínio de f é o conjunto dos números reais.
08. O gráfico não intercepta o eixo x.
16. A imagem da função é { y  R| y   4 }
32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4)
64. A função é crescente em todo seu domínio.
6. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em
a) a < 0, b = 0, c = 0
b) a > 0, b = 0, c < 0
c) a > 0, b < 0, c = 0
d) a < 0, b < 0, c > 0
e) a > 0, b > 0, c > 0
11. Considere a função definida em x dada por
f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de
f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?
12. (UFPA) As coordenadas do vértice da função
y = x2 – 2x + 1 são:
a) (-1, 4)
c) (-1, 1)
b) (1, 2)
d) (0, 1)
e) (1, 0)
13. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o
gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o
eixo x é:
a) {  7}
c) {  2 }
b) { 0 }
d) {  2 7 }
14. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o
ponto V(1, 4). O valor de k + m em módulo é:
R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da
parábola e seus zeros, é:
Pré-Vestibular da UFSC
15
Matemática A
Inclusão para a Vida
15. (UFSC) Dada a função f: R  R definida por f(x) =
ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.
Determine o valor de a - 2b + 3c.
16. A equação do eixo de simetria da parábola de
equação y = 2x2 - 10 + 7, é:
a) 2x - 10 + 7 = 0
d) y = 3,5
b) y = 5x + 7
e) x = 1,8
c) x = 2,5
17. O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3
S = {x  R | x  -1 ou x  3} ou
S = ]-, -1]  [3, +[
b) resolver a inequação x2 – 7x + 10  0
intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem
concavidade voltada para baixo. O valor de m é:
a) – 3
b) – 4
c) – 2
d) 2
e) – 1
S = { x  R | 2  x  5}
S = [2, 5]
18. (UFSC) Marque no cartão a única proposição
correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma
parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0
S = { x  R | 1 < x < 4}
S = [1, 4]
01. y = -2x + 2
02. y = x + 2
04. y = 2x + 1
08. y = 2x + 2
16. y = -2x – 2
Inequações Tipo Produto
Inequação Produto é qualquer inequação da forma:
a) f(x).g(x)  0
b) f(x).g(x) > 0
c) f(x).g(x)  0
d) f(x).g(x) < 0
UNIDADE 8
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO
INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE
Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário
o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a
regra da multiplicação.
Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0
INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
Inequação do 2º grau é toda inequação da forma:
ax 2  bx  c  0
 2
ax  bx  c  0
 2
ax  bx  c  0
ax 2  bx  c  0

com a  0
Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão
a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação
de sinais em função da variável. Posteriormente,
selecionam-se os valores da variável que tornam a
sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjuntosolução.
Exemplos:
a) resolver a inequação x2 – 2x – 3  0
16
S = { x  R | x < 1 ou 2 < x < 3}
Inequações Tipo Quociente
Inequação quociente é qualquer inequação da forma:
a)
f(x)
g(x)
0
b)
f(x)
g(x)
>0
c)
f(x)
g(x)
0
d)
f(x)
g(x)
<0
Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se
faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e,
em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É
necessário lembrar que o denominador de uma fração não
pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar
g(x)  0.
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
Matemática A
Exemplo: Resolver a inequação x  4 x  3
2
x2
7. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) x  5 x  6
0
x  16
0
2
2
b) x  5 x  6
2
x  16
2
c)
x
x

0
x 1 x 1
2
<1
x 1
d)
8. (ESAG) O domínio da função y =
S = { x  R | 1  x < 2 ou x  3}
1. Resolver em  as seguintes inequações:
a) x2 – 8x + 12 > 0
b) x2 – 8x + 12  0
c) x2 – 9x + 8  0
Tarefa Complementar 
9. Resolver em  as seguintes inequações:
a) x2 – 6x + 9 > 0
b) x2 – 6x + 9  0
2. O domínio da função definida por
x 2  3x  10
x6
1  2 x nos reais é:
x2  1
d) (-, -1)  [1/2, 1)
e) { }
a) (-, -1 )
b) (-1, ½]
c) (-, ½]
Exercícios de Sala 
f(x) =
0
c) x2 – 6x + 9 < 0
d) x2 – 6x + 9  0
é:
10. Resolver em  as seguintes inequações:
a) D = {x  R| x  2 ou x  5}  {6}.
b) D = {x  R| x  - 2 ou x  5}  {6}.
c) D = {x  R| x  - 2 ou x  5}
d) D = {x  R| x  - 2 ou x  7}  {6}.
e) n.d.a.
a) x2 – 4x + 5 > 0
b) x2 – 4x + 5  0
c) x2 – 4x + 5 < 0
d) x2 – 4x + 5  0
11. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4  – x2 + bx + c tem
como solução o conjunto {x  | 0  x  3}, então b e c
valem respectivamente:
a) 1 e – 1
d) 0 e 1
b) – 1 e 0
e) 0 e 4
c) 0 e – 1
3. Determine o conjunto solução das seguintes
inequações:
a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0
x  7 x  10  0
x4
2
b)
12. (UNIP) O conjunto verdade do sistema
4. Resolver em  as seguintes inequações:
x2 – 6x + 8 > 0
x2 – 6x + 8  0
– x2 + 9 > 0
x2  4
x2 > 6x
x2  1
5.
(Osec-SP)
é:
a) ]1, 2]
b) ]1, 4]
c) [2, 4[
d) [1, 8[
2
Tarefa Mínima 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
x  9x  8  0

2 x  4  0
e) [4, 8[
13. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é:
a) { – 2
O
domínio
da
função
f(x) =  x2  2x  3 , com valores reais, é um dos conjuntos
seguintes. Assinale-o.
a) {x  R  -1  x  3 }
d) { x  R  x  3}
b) { x  R  -1 < x < 3 }
e) n.d.a.
c) { }
6. Resolva, em R, as seguintes inequações:
a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0
b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4)  0
c) (x – 3) (x2 – 16) < 0
d) x3  x
e) x3 – 3x2 + 4x – 12  0
Pré-Vestibular da UFSC
2;2 2}
b) [– 2
2;2 2]
c) (– 2
2;2 2)
d) (– ; 2
2)
e) (– ; 2
2]
14. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) =
100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste
caso podemos afirmar que o lucro é:
a)
positivo para x entre 3 e 8
b)
positivo para qualquer que seja x
c)
positivo para x maior do que 8
d)
máximo para x igual a 8
e)
máximo para x igual a 3
15. (FATEC) A solução real da inequação produto
(x2 – 4).(x2 – 4x)  0 é:
a) S = { x  R| - 2  x  0 ou 2  x  4}
b) S = { x  R| 0  x  4}
17
Matemática A
Inclusão para a Vida
c) S = { x  R| x  - 2 ou x  4}
d) S = { x  R| x  - 2 ou 0  x  2 ou x  4}
e) S = { }
16. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x
a) { x  R  x > 15 e x < - 3}
b) { x  R  x < 15 e x  - 3}
c) { x  R  x > 0}
d) {x  R  - 3 < x < 15}
e) { x  R  - 15 < x < 15}
x3
5
f: A  B
Condição de Existência:
é:
17. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a
inequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são:
a) x < 2 ou x > 4
d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4
b) x < 2 ou 4 < x < 5
e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4
c) 4 < x < 2 ou x > 4
18. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que:
d) – 2< x < –1
e) x < –1 ou x > 1
a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) – 1< x < 0
g: B  C
UNIDADE 9
PARIDADE DE FUNÇÕES
FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA
gof: A  C
Im(f) = D(g)
Alguns tipos de funções compostas são:
a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))
d) g(g(x))
Exercício resolvido:
Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x
de modo que f(g(x)) = 0
Resolução: Primeiramente vamos determinar
f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero.
f(x) = x2 - 5x + 6
f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6
Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2.
Igualando a zero temos:
x2 - 3x + 2 = 0
Onde x1 = 1 e x2 = 2
FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E
BIJETORA
Função injetora: Uma função f: A  B é injetora se e
somente se elementos distintos de A têm imagens distintas
em B. Em Símbolos:
f é injetora   x1, x2  A, x1  x2  f(x1)  f(x2)
Função Par
Uma função é par quando para valores simétricos de x
temos imagens iguais, ou seja:
f(x) = f(x),  x  D(f)
Uma consequência da definição é: Uma função f
é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação
ao eixo y.
Função sobrejetora: Uma função f de A em B é
sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos
elementos de A, ou seja: CD = Im
FUNÇÃO ÍMPAR
Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x
as imagens forem simétricas, ou seja:
f(x) =  f(x),  x  D(f)
Como consequência da definição os gráficos das funções
ímpares são simétricos em relação à origem do sistema
cartesiano.
Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo
tempo injetora e sobrejetora.
FUNÇÃO COMPOSTA
Dadas as funções f: A  B e g: B  C, denomina-se
função composta de g com f a função gof: definida de
A  C tal que gof(x) = g(f(x))
DICA: De R  R, a função do 1º Grau é bijetora, e a
função do 2º Grau é simples.
FUNÇÃO INVERSA
Seja f uma função f de A em B. A função f 1 de B em A é
a inversa de f, se e somente se:
fof -1(x) = x, x  A e f -1o f (x) = x, x  B.
Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f)
18
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
Matemática A
IMPORTANTE: f é inversível  f é bijetora
Para encontrar a inversa de uma função, o processo
prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y.
Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são
simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
(f(x) = x)
3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e
g definidas para todo x real, determine o valor numérico da
função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).
4. Determine a função inversa de cada função a seguir:
a) y = 2x – 3
c) y = 2 x  1 , x  4
x4
b) y = x  2
4
5. (UFSC) Seja a função f(x) =
 2x
, com x  2,
x2
determine f -1(2).
Tarefa Complementar 
6. (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por:
Exercício Resolvido:
Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a
sua inversa.
Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela
admite inversa. Basta trocarmos x por y e
teremos:
f(x) = 2x + 4
x = 2y + 4
x - 4 = 2y
 f -1(x) =
x4
2
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo
das ordenadas em (0,3).
02. f é uma função crescente.
04. -1 e +1 são os zeros da função g.
08. Im(g) = { y  R  y  -1 }.
16. A função inversa da f é definida por
f -1(x) = -x + 3.
32. O valor de g(f(1)) é 3.
64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).
7. Dadas as funções: f(x) =
5 x
e g(x) = x2 - 1, o
valor de gof(4) é:
Exercícios de Sala 
1. Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2.
Determine:
a) f(g(x))
b) g(f(x))
f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números
associados à(s) proposições verdadeiras.
c) f(g(3))
d) g(f(-2))
8. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) =
2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é:
9. (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x
2. (UFSC) Considere as funções f, g: R  R tais que
g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).
 2 e f(g(x)) = 2x  3. Então g(f(x)) é definida por:
a) 2x  1
c) 2x  3
e) 2x  5
b) 2x  2
d) 2x  4
3. Se x  3, determine a inversa da função
10. (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) =
Tarefa Mínima 
a) f
1. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:
c) f
a) f(g(x))
b) g(f(x))
c) f(f(x))
d) g(g(x))
e) nenhuma das anteriores
2x 1
f ( x) 
x 3
e) f(g(3))
f) g(f(1))
g) f(f(f(2)))
2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da
função h(x) =  fog x é:
Pré-Vestibular da UFSC
( x) =
x+3
2x - 1
(x) =
1 - 2x
3-x
-1
-1
b) f
-1
d) f
(x) =
-1
(x) =
2x + 1
x-3
3x + 1
2-x
11. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas
2. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) =
a) {x  R  x  -5 ou x  0}
c) {x  R  x  -5}
e) n.d.a.
2x  1
é:
x3
b) {x  R  x  0}
d) { }
de:
a) f: [ – 3; 5]  [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7
b) g: [2, 5]  [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4
c) h: [3, 6]  [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8
12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x +
2, então o valor de g(2) é:
a) - 2
c) 0
b) 2
d) 6
e) 14
19
Matemática A
13. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro
grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine
a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.
14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.
Inclusão para a Vida
Exercícios de Sala 
7
1. (UFSC) Dado o sistema  x
2 x y
2

5
Calcule f(f(a))
15. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim
definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1.
Determine a função f(x).
UNIDADE 10
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser
reduzida a forma ax = b, com 0 < a  1.
Para resolver tais equações é necessário transformar a
equação dada em:
 Igualdade de potência de mesma base.
af(x) = ag(x)  f(x) =g(x)
 Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x)  a = b
sendo a e b  1 e a e b  R*+.
Função Exponencial f(x) = ax

(a > 1)  função crescente
 25
4
, o valor de  y  é:
 x
2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 3.2x + 2 = 32, é:
Tarefa Mínima 
1. Resolva, em R, as equações a seguir:
1
16
d) 25.3x = 15x é:
a) 2 x = 128
EXPONENCIAL
y
1
b) 2x =
c) 3x  1 + 3x + 1 = 90
e) 22x  2x + 1 + 1 = 0
2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação
3.9x  26.3x  9 = 0, é:
x
3. Dadas f(x) =  1  e as proposições:
 2
I - f(x) é crescente
II - f(x) é decrescente
III - f(3) = 8
IV- ( 0,1 )  f(x)
podemos afirmar que:
a) todas as proposições são verdadeiras.
b) somente II é falsa.
c) todas são falsas.
d) II e III são falsas.
e) somente III e IV são verdadeiras.
4. Resolva, em R, as inequações a seguir:
a) 22x  1 > 2x + 1
b) (0,1)5x  1 < (0,1)2x + 8
c)  7  x 1  7  3
   
4
4
d) 0,5|x – 2| < 0,57
2

(0 < a < 1)  função decrescente
5. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y =
, é:
1
x
 1
   243
 3
a) ( , 5 [
c) ( , 5 [
b) ] 5, + )
d) ] 5, +  )
e) n.d.a.
Tarefa Complementar 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL
Para resolvermos uma inequação exponencial devemos
respeitar as seguintes propriedades:
 Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação
de desigualdade se mantém.
af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)
6. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos:
a) x1 = 0 e x2 = 1
b) x1 = 1 e x2 = 4
7. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que
2 x  2 x2 , então
2
 Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 <
< 1), a relação de desigualdade se inverte.
af(x) > ag(x)  f(x) < g(x)
20
c) x1 = 0 e x2 = 2
d) x1 = x2 = 3
 x
x
x
x2
é igual a:
8. A maior raiz da equação 4|3x  1| = 16
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
9. (ITA-SP) A soma
9
x
1
2

4
1 x
3
das
Matemática A
raízes
da
equação
Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém,
dois deles se destacam:
 1 é:
10. A soma das raízes da equação
 2
 
 3
2x
1
132 x 1 é:
3x 1
11. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x
números reais e 0 < a  1, assinale as verdadeiras:
01. A curva representativa do gráfico de f está toda
acima do eixo x.
02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).
04. A função é crescente se 0 < a < 1
08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.
12.
Determine
f ( x)  (1,4)
x 2 5
o
domínio
da
função
abaixo:
13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.
01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x  R, intercepta o
eixo das abscissas no ponto (1,0)
02. A solução da equação 2x.3x =
intervalo [0, 1]
3
36 pertence ao
04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im =
 2 x é crescente
a
Sistemas de Logaritmos Decimais:
É o sistema de base 10, também chamado sistema de
logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry
Briggs, matemático inglês (1561-1630)).
Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua
representação.
Sistemas de Logaritmos Neperianos
É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de
sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se
a J. Neper (1550-1617).
5

7
08. A função f(x) =
2) log5 625 = x  625 = 5x  54 = 5x  x = 4
R*
b
16.  1    1   a  b
2 2
Condição de Existência
Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab
= x se tenha :
logaritmando positivo
b > 0

Resumindo 
base positiva
a > 0 e a  1
base diferente de 1

Consequências da Definição
Observe os exemplos:
1) log2 1 = x  1 = 2x  20 = 2x  x = 0
2) log3 1 = x  1 = 3x  30 = 3x  x = 0
3) log6 1 = x  1 = 6x  60 = 6x  x = 0
loga 1 = 0
4) log2 2 = x  2 = 2x  21 = 2x  x = 1
5) log5 5 = x  5 = 5x  51 = 5x  x = 1
14. Determine o valor de x no sistema abaixo:
x  y

x  y
y
5
loga a = 1
x
3
(x  1 e y  1)
15. Resolver, em reais, as equações abaixo:
a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x
UNIDADE 11
6) log2 23 = x  23 = 2x  x = 3
7) log5 52 = x  52 = 5x  x = 2
loga am = m
8) 2 log2 4  x  2 2  x  x  4
9) 3log3 9  x  32  x  x  9
LOGARITMOS
DEFINIÇÃO
Dado um número a, positivo e diferente de um, e um
número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao
real x tal que ax = b.
(a > 0 e a  1 e b > 0)
loga b = x  ax = b
Em loga b = x temos que:
a = base do logaritmo
b = logaritmando ou antilogaritmo
x = logaritmo
Observe que a base muda de membro e carrega x como
expoente.
Exemplos:
1) log6 36 = x  36 = 6x 
62 = 6 x  x = 2
Pré-Vestibular da UFSC
logab
a
b
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Logaritmo do Produto
O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos
fatores.
loga (b . c) = loga b + loga c
Exemplos:
a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2
b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3
Logaritmo do Quociente
O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo
menos o logaritmo do divisor.
21
Matemática A
Inclusão para a Vida
3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o
b
loga
 loga b  loga c
c
valor dos logaritmos abaixo:
a) log 12
c) log 1,5
Exemplos:
a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2
b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3
4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual
Logaritmo da Potência
O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente
pelo logaritmo da base da potência.
Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5
b) log3 4-5 = -5 log3 4
log10
log b n a  log b a n 
3
2
1
3
= log10 2 
1
3
1
. log b a
n
log10 2
5. (FEI-SP) A função f(x) = log (50  5x  x2) é definida
b) 10 < x < 5
d) x < 5
e) n.d.a.
6. (PUC-SP) Se lg 2 2 512  x , então x vale:
7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47,
então log
a) 0,12
b) 0,22
Exercício Resolvido:
Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o
valor de log 18.
Resolução:
e) 1,107
Tarefa Complementar 
1
Exemplo:
será o valor de log 28?
a) 1,146
b) 1,447
c) 1,690
d) 2,107
para:
a) x > 10
c) 5 < x < 10
loga xm = m . loga x
Caso Particular
b)log 54
d) log 5 512
2
log 18 = log(2.3 )
log 18 = log 2 + log 32
log 18 = log 2 + 2log 3
log 18 = 0,30 + 2.0,47
log 18 = 1,24
Exercícios de Sala 
6 2
é igual a:
5
c) 0,32
d) 0,42
e) 0,52
8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com  R, para os quais
a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros)
reais e distintas são:
a) 2 < m < 4
b) m< 3
c) m  3
d) 1  m  3
e) 1 < m < 3
9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = a 3 , então log E
1. Com base na definição, calcule o valor dos seguintes
b c
3
logaritmos:
é igual a:
a) log21024
b) log 0,000001
10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d,
Então E é igual a:
c) log2 0,25
d) log4
13
11. (UFSC) Se 3lg x  y  lg125 , então o valor de x
128
lgx  lgy  lg14
2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o
+yé
valor de:
a) log 6
b) log 8
12. Se x =
c) log 5
d)log 18
3
360 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477,
determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.
13. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Então o log
x. y  é igual a:
Tarefa Mínima 
1. Determine o valor dos logaritmos abaixo:
a) a + b/2
a) log2 512
b)log0,250,25
14. Determine o domínio das seguintes funções:
c) log7 1
d)log0,25 128
a) y = logx – 1 (3 – x)
13
2. Determine o valor das expressões abaixo
a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 lg a a , onde 0 < a  1, é:
b) lg 2 8  lg9
22
1
3
 16.lg 625 5 é:
b) 2a + b
c )a + b
d)a+2b
e) a-b/2
b) y = log(5 – x) (x2 – 4)
15. Se x é a solução da equação
x
xx
x ...
 7 , calcule o valor
da expressão 2x7 + log7x – 1
7
Pré-Vestibular da UFSC
Inclusão para a vida
Matemática A
UNIDADE 12
LOGARITMOS
MUDANÇA DE BASE
Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos
ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser
de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então
um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de
bases diferentes para bases iguais. Este processo é
denominado mudança de base.
loga b =
l g c b
l g c a
Como consequência, e com as condições de existência
obedecidas, temos:
1
1) log B A 
log AB
1
2 log A k B  log AB
k
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita
aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando
(antilogaritmo).
Existem dois métodos básicos para resolver
equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se
necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem
logaritmos com base negativa e um, e não existem
logaritmos com logaritmando negativo.
1º Método: loga X = loga Y  X = Y
2º Método: loga X = M  X = aM
Função Logarítmica f(x) = loga x
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

a>1
loga x2 > loga x1  x2 > x1
 0<a<1
loga x2 > loga x1  x2 < x1
Exercícios de Sala 
1. Resolver as equações abaixo:
a) logx (3x2 - x) = 2
b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x  1)
c) log2 (x + 2) + log2 (x  2) = 5
2. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) verdadeira(s).
01. O valor do log 0, 25 32 é igual a –
5
.
2
a
02. Se a, b e c são números reais positivos e x =
b
então log x = 3log a – 2log b –
 (a > 1)  função crescente
1
2
3
,
c
log c.
2
04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c
diferentes de um, então tem-se log b 
a
log b
c
.
log a
c
08. O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56 é x =
3.
16.
 (0 < a < 1)  função decrescente
2
3
2,3
>
2
3
1,7
Tarefa Mínima 
1. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é:
a)
a+ b
a
b) a+ b
c)
a
b
d)
b
a
e)
a+ b
2
2. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. log4 3 é:
a) ½
b) 3
Pré-Vestibular da UFSC
c) 4
d) 2/3
e) 2
23
Matemática A
Inclusão para a Vida
a > 1, temos f crescente e g decrescente e para
0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.
3. Resolver, em R as equações:
a) log5 (1 – 4x) = 2
b) log[x(x – 1)] = log 2
c) log x  6 log x  9  0
d) log(log(x + 1)) = 0
e) log2 (x - 8)  log2 (x + 6) = 3
f) log5 (x  3) + log5 (x  3) = 2
16. log 360 = 3  log 2 + 2  log 3 + log 5.
2
3
32. Se log N =  3,412 então log
3
12. Resolva a equação
N =  6,824.
lg10 x  lg100 x  2 . (divida o
resultado obtido por 4).
4.
(UFSC)
A
solução
log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:
da
equação:
5. Resolver, em reais, as seguintes inequações:
a) log2 (x + 2) > log2 8
b) log1/2 (x  3)  log1/2 4
13. Assinale a soma dos números associados às
proposições corretas:
01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9.
02. A soma das raízes da equação.
1 + 2logx 2 . log4 (10  x) = 2 é 10.
log x
4
log x
Tarefa Complementar 
04. A maior raiz da equação 9 . x 3 = x3 é 9.
08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2.
6. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a 
16. Se logax = n e logay = 6n, então lg a 3 x 2 y é
igual a 7n.
32. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao
intervalo [0, 1].
1, determine a soma dos números associados às
afirmativas verdadeiras.
01. O domínio da função f é R.
02. A função f é crescente em seu domínio quando
a  (1, + )
04. Se a = 1/2 então f(2) = 1
08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27
16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).
7. (ACAFE) Se log3 K = M, então log9 K2 é:
a) 2M2
c) M + 2
e) M
b) M2
d) 2M
8. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga 5 xy 3 é
igual a:
9. (UFSC) Determine a soma dos números associados às
proposições verdadeiras:
01. O valor do log0,25 32 é igual a 
5
.
2
02. Se a, b e c são números reais positivos e
a
3
então log x = 3 log a  2log b  1/2 log c.
2
b c
04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c
x=
diferentes de um, então tem-se loga b =
14. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e
Exponenciais, é correto afirmar que:
01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4
02. Se x = loge 3, então ex + e-x = 10
3
04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então
|log10a| < |log10b|
08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real
de t
15. (ITA - SP) O conjunto dos números reais que
verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3  3 log2 é
dado por:
a) { x  R| x > 3 }
b) { x  R| 1  x  3 }
c) { x  R| 0 < x  1/2 }
d) { x  R| 1/2 < x < 1 }
e) n.d.a.
log b
c
log a
c
08. O valor de x que satisfaz à equação 4 x  2x = 56 é
x=3
2  3
1 7
16.  2    2 
 3
 3
10. (UFSC) O valor de x compatível para a equação
log(x2  1) - log(x  1) = 2 é:
11. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos
números associados à(s) proposição(ões) correta(s).
01. O conjunto solução da inequação
log (x2 9)  log (3  x) é S = (, 4]  [3, +).
02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex.
x2
04. A equação e  e
não possui solução inteira.
08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para
x
24
Pré-Vestibular da UFSC