Domínio 1: Lógica e teoria dos conjuntos

1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
1.a semana (Manual: páginas 10 a 30)
1.ª aula
Sumário
Atividade de diagnóstico
Sugestões metodológicas
– Início da aula com a atividade de diagnóstico (páginas 10 e 11).
Em alternativa pode propor-se aos alunos a resolução prévia desta atividade como trabalho de casa.
– Correção dos exercícios realizados.
– Resolução da ficha de revisão 1 do Máximo do Professor.
Esta aula permite aos alunos recordar/recuperar capacidades de cálculo algébrico que serão utilizadas no
estudo do domínio.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 10 e 11 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Ficha de revisão 1
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
1.a semana (Manual: páginas 10 a 30)
2.ª aula
Sumário
Proposição. Valor lógico de uma proposição. Proposições equivalentes. Negação
Descritores
1.1. Designar por «proposição» toda a expressão suscetível de ser «verdadeira» ou «falsa», designar estes
atributos por «valores lógicos» e por «princípio do terceiro excluído» o facto de apenas se
considerarem como proposições as expressões a que se atribua um daqueles dois valores lógicos.
1.2. Saber que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa e designar esta propriedade
por «princípio de não contradição».
1.3. Saber, dadas proposições p e q, que «p é equivalente a q» é uma proposição, designada por
«equivalência entre p e q», que é verdadeira se e somente se p e q tiverem o mesmo valor lógico e
representá-la também por « p  q ».
1.4. Saber, dada uma proposição p, que «não p» é uma proposição, designada por «negação de p», que é
verdadeira se p for falsa e é falsa se p for verdadeira e representá-la também por «~ p».
1.5. Justificar, dada uma proposição p, que
negação».

p   p , designando esta propriedade por «lei da dupla
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com a atividade inicial ou outra situação idêntica utilizando, por exemplo, a disjunção.
– Refletir sobre a palavra suscetível da definição de proposição e utilizando o princípio de não contradição
concluir que a afirmação como “Amanhã vou ao cinema.” é uma proposição.
– Definir “proposições equivalentes”.
– Resolver as questões 1, 2, 3 e 4 das páginas 14 e 15.
– Introduzir a operação lógica negação e resolver a questão 5 da página 17.
– Terminar a aula com a aplicação didática da Escola Virtual.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 12 a 18 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Miniteste 1 e questão-aula 1
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Operações sobre proposições: negação e lei da dupla
negação
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
1.a semana (Manual: páginas 10 a 30)
3.ª aula
Sumário
Conjunção. Disjunção. Princípio do terceiro excluído
Descritores
1.6. Saber, dadas proposições p e q, que « p e q » é uma proposição, designada por «conjunção de p e q »,
que é verdadeira se e somente se p e q forem simultaneamente verdadeiras, e representá-la também por
« p  q ».
1.7. Saber, dadas as proposições p e q, que «p ou q» é uma proposição, designada por «disjunção de p e q»,
que é falsa se e somente se p e q forem simultaneamente falsas, representá-la também por « p  q » e
justificar que p  q é uma proposição verdadeira, designando esta propriedade por «princípio do
terceiro excluído».
Sugestões metodológicas
– Iniciar a aula com exemplos em contexto real onde se utiliza a conjunção.
– Construir a tabela de verdade da conjunção.
– Chamar a atenção que a palavra «e» em linguagem natural nem sempre corresponde à conjunção. Por
exemplo, as soluções da equação x2  1 são 1 e –1. Neste contexto, a palavra «e» não pode ser escrita
como  , pois tem sentido aditivo e não de conjunção.
– Resolver as questões 6 e 7 da página 19.
– Introduzir a disjunção e a respetiva tabela de verdade.
– Referir que a disjunção já foi utilizada em várias situações, como a lei do anulamento do produto e na
utilização da fórmula resolvente das equações do 2.º grau.
– Resolver as questões 8, 9, 10 e 11 das páginas 15.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 1 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 18 a 25 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
1.a semana (Manual: páginas 10 a 30)
4.ª aula
Sumário
Implicação. Equivalência. Convenções
Descritores
1.8. Saber, dadas as proposições p e q, que «p implica q» é uma proposição, designada por «implicação
entre p e q», que é falsa se e somente se p for verdadeira e q for falsa, representá-la também por
« p  q », designar p por «antecedente» e q por «consequente» da implicação e reconhecer, dada uma
proposição r, que se p  q e q  r , então p  r .
1.9. Saber que, por convenção, em qualquer sequência de operações lógicas, a menos de utilização de
parênteses, se respeitam as seguintes prioridades: negação; conjunção e disjunção; implicação e
equivalência.
Sugestões metodológicas
– Utilizando um exemplo introduzir a implicação e construir a tabela de verdade.
– Resolver as questões 12, 13 e 14 da página 23.
– Introduzir equivalência como operação lógica.
– Resolver as questões 15 e 16 da página 24.
– Apresentar as convenções.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 2 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 22 a 24 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 2 e questão-aula 2
Caderno de Apoio: exercício 1 da página 4 (descritor 116) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
1.a semana (Manual: páginas 10 a 30)
5.ª e 6.ª aulas
Sumário
Propriedades das operações lógicas.
Descritores
1.10. #Provar, dadas as proposições p e q, que a proposição
 p  q
é equivalente à proposição p 
q.
1.11. #Provar, dadas as proposições p e q, que a proposição p  q é verdadeira se e somente se p  q e
q  p forem ambas proposições verdadeiras e designar esta propriedade por «princípio da dupla
implicação».
1.12. #Provar, dada uma proposição p e representando por V (respetivamente F) uma qualquer proposição
verdadeira (respetivamente falsa), que p  V  p , p  V  V , p  F  p e p  F  F
1.13. #Provar, dadas as proposições p e q, que
 p  q  p 
designar estas equivalências por «primeiras leis de De Morgan».
q e que
 p  q 
p q e
1.14. #Provar, dadas as proposições p, q e r, que  p  q   r  p   q  r  , p  q  q  p e que
 p  q   r   p  r    q  r  , bem como as que se obtêm permutando em todas as ocorrências os
símbolos «  » e «  », e designá-las respetivamente por «associatividade», «comutatividade» e
«distributividade».
1.15. #Provar, dadas duas proposições p e q, que a proposição p  q é equivalente à proposição
q  p e designar esta última implicação por «implicação contrarrecíproca da implicação p  q ».
Sugestões metodológicas
– Em alternativa à apresentação do manual, as propriedades das operações lógicas podem ser apresentadas
numa lista (ver página 33 correspondente à síntese do subdomínio).
– Utilizando tabelas de verdade demonstrar algumas propriedades (ter em atenção que o programa sugere
apenas que se procedam a algumas provas).
– Provar pelo menos uma das propriedades por argumentação (páginas 27 ou 28).
– Resolver as questões 17, 18, 19, 20, 21, 22 e 23 das páginas 26 a 30.
– Como trabalho de casa concluir a resolução das questões que não foram resolvidas nas aulas.
Nota: As propriedades das operações devem ser memorizadas. Por exemplo, o aluno deve memorizar que
 p  q   p q .
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 25 a 30 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Miniteste 3 e questão-aula 3
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicações didáticas da Escola Virtual: Primeiras leis de De Morgan; propriedades da conjunção e
da disjunção; implicação contrarrecíproca da implicação e princípio da dupla implicação
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
2.a semana (Páginas 31 a 49)
7.ª aula
Sumário
Simplificação de expressões envolvendo operações com proposições.
Descritor
1.16. +Simplificar expressões envolvendo operações com proposições, substituindo-as por proposições
equivalentes envolvendo menos símbolos, e determinar o respetivo valor lógico sempre que
possível.
Sugestões metodológicas
– A resolução destas questões ajuda a memorizar as propriedades das operações lógicas. Ter em atenção a
questão 16.2, onde é necessário substituir p por p  F para aplicar a propriedade distributiva da
disjunção relativa à conjunção, pois esta substituição pode não ocorrer aos alunos.
– Estas questões estão apresentadas por grau de dificuldade crescente, pois nem todos os alunos serão
capazes de resolver as questões mais complexas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Página 31 parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 3 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 4 e questão-aula 4
Caderno de Apoio: exercício 1 da página 4 (descritor 1.16) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
▪
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
2.a semana (Páginas 31 a 49)
8.ª aula
Sumário
Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.
Descritor
3.1. +Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.
Sugestões metodológicas
– Resolver problemas das atividades complementares que ainda não tenham sido resolvidas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 32 a 37 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 2, 3 e 4 da página 4 (descritor 1.16) e correspondentes resoluções no
Máximo do Professor
9.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e avaliação
Descritor
3.1. +Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões da avaliação 1 em trabalho individual ou de grupo.
– Para trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 1.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 38 a 39 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 6 das páginas 11 e 12 (descritor 3.1) e correspondentes resoluções
no Máximo do Professor
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
2.a semana (Páginas 31 a 49)
10.ª aula
Sumário
Condições. Quantificador universal. Quantificador existencial. Classificação de condições
Descritores
2.1. Designar por «expressão proposicional» ou por «condição» uma expressão p  x  envolvendo uma
variável x tal que, substituindo x por um objeto a , se obtém uma proposição p  a  .
2.2. Saber, dada uma condição p  x  , que «qualquer que seja x , p  x  » é uma proposição que é verdadeira
quando e apenas quando se obtém uma proposição verdadeira sempre que se substitui x em p  x  por
um objeto arbitrário, representá-la por « x , p  x  », e designar o símbolo «  » por «quantificador
universal».
2.3. Identificar uma condição p  x  como «universal» se x , p  x  for uma proposição verdadeira e
reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma condição universal é uma condição
universal.
2.4. Saber, dada uma condição p  x  , que «existe x tal que p  x  » é uma proposição que é verdadeira se e
somente se, para pelo menos um objeto a , p  a  for verdadeira, representá-la por « x : p  x  » e
designar o símbolo «  » por «quantificador existencial».
2.5. Identificar uma condição p  x  como «possível» se x : p  x  for uma proposição verdadeira, como
«impossível» se não for possível e reconhecer que a disjunção de qualquer condição com uma
condição possível é uma condição possível e a conjunção de qualquer condição com uma condição
impossível é uma condição impossível.
Sugestões metodológicas
– Distinguir proposição de condição.
– Definir condição. Resolver a questão 1 da página 40.
– Introduzir o quantificador universal. Resolver a questão 2 da página 41.
– Classificar condição. Resolver as questões da página 44.
– Utilizar a aplicação da Escola Virtual para classificar condições e aplicar propriedades da conjunção e
disjunção de condições.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 40 a 44 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Miniteste 5 e questão-aula 5
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 6 da página 6 (descritores 2.3 e 2.5) e correspondentes resoluções
no Máximo do Professor
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Condições universais, possíveis e impossíveis: propriedades
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
2.a semana (Páginas 31 a 49)
11.ª aula
Sumário
Segundas leis de De Morgan
Descritores
2.6. Saber, dada uma condição p  x  , que a negação da proposição x , p  x  é equivalente à proposição
x : p  x  , que a negação da proposição x : p  x  é equivalente à proposição x , p  x  ,
designar estas propriedades por «segundas leis de De Morgan», reconhecendo-as informalmente em
exemplos, e justificar que a negação de uma condição universal é uma condição impossível e viceversa.
Sugestões metodológicas
– Utilizar a aplicação da Escola Virtual para introduzir as segundas leis de De Morgan.
– Resolver a questão 5 da página 45 e 6 da página 46.
– Para trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 4 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 45 e 46 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 4 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Miniteste 6 e questão-aula 6
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Segundas leis de De Morgan
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
2.a semana (Páginas 31 a 49)
12.ª aula
Sumário
Negação de uma condição
Descritores
2.7. Representar, dada uma condição p  x  e um conjunto U , a proposição, x, x  U  p  x  por
« x  U , p  x  », e, no caso de ser verdadeira, designar p  x  por «condição universal em U ».
2.8. Representar, dada uma condição p  x  e um conjunto U , a proposição x : x  U  p  x  por
«  x  U : p  x  », no caso de ser verdadeira designar p  x  por «condição possível em U » e, no caso
contrário, por «condição impossível em U ».
2.9. +Reconhecer, dada uma condição p  x  e um conjunto U , que a negação da proposição
x  U , p  x  é equivalente à proposição x  U : p  x  , que a negação da proposição
x  U : p  x  é equivalente à proposição x  U , p  x  e designar um elemento a  U tal que
p  a  como um «contraexemplo» para a proposição x  U , p  x  .
2.10. Representar, dada uma condição p  x  , por « x : p  x  » um conjunto A tal que x, x  A  p  x  ,
designando a igualdade A  x : p  x  por «definição em compreensão do conjunto pela condição
p  x  ».
Sugestões metodológicas
– Utilizando exemplos verificar que a negação de uma condição universal é uma condição impossível e que
a negação de uma condição impossível é uma condição universal.
– Resolver a questão 7 da página 46.
– Referir a negação de uma implicação.
– Resolver as questões 8 e 9 da página 47, a questão 10 da página 48 e a questão 11 da página 49.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 46 a 49 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 5 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 e 2 da página 8 (descritores 2.7 e 2.8); exercícios 1 a 6 das páginas
8 e 9 (descritor 2.9) e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
3.a semana (Páginas 50 a 67)
13.ª e 14.ª aulas
Sumário
Conjuntos e condições
Descritores
2.11. Saber, dados os conjuntos A e B, que A=B se e somente se x, x  A  x  B .
2.12. Designar, dado um objeto a e um conjunto A, por «elemento de A» quando a  A , dados objetos
a1 ,..., ak  k   , representar por « a1 ,..., ak  » o conjunto A cujos elementos são exatamente
a1 ,..., ak e designar a igualdade A  a1 ,..., ak  por «definição em extensão do conjunto A de
elementos a1 ,..., ak ».
2.13. Identificar, dada uma condição p  x  e um conjunto U, o conjunto x : x U  p  x  como
«conjunto definido por p  x  em U» (ou «conjunto-solução de p  x  em U») e representá-lo também
por « A  B x : x  A  x  B ».
2.14. Identificar, dados os conjuntos A e B, o «conjunto-união (ou reunião) de A e B» e o «conjunto-interseção de A e B» respetivamente como A  B  x : x  A  x  B e A  B  x : x  A  x  B .
2.15. Identificar, dados os conjuntos A e B, como estando «contido em B» (« A  B ») quando
x, x  A x  B , e, nesse caso, designar A por «subconjunto de B » ou por «uma parte de B».
2.16. Designar, dados os conjuntos A e B, por «diferença entre A e B» o conjunto  x  A: x  B e
representá-lo por A\B ou simplesmente por B quando B  A e esta notação não for ambígua,
designando-o, então, por «complementar de B em A».
Sugestões metodológicas
– Recordar as definições de conjuntos em extensão e em compreensão.
– Definir conjunto-solução de uma condição.
– Definir igualdade de conjuntos e condições equivalentes.
– Resolver a questão 12 da página 51.
– Recordar as operações com conjuntos introduzindo quantificadores.
– Introduzir a operação diferença de conjuntos.
– Resolver as questões 13, 14 e 15 da página 53.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 50 a 53 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Miniteste 7 e questão-aula 7
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
3.a semana (Páginas 50 a 67)
15.ª aula
Sumário
Implicação entre condições
Descritores
2.17. Justificar, dadas as condições p  x  e q  x  , que a proposição x , p  x   q  x  é equivalente à
proposição x ,  p  x   q  x     q  x   p  x   e designar uma demonstração da segunda
proposição por «demonstração por dupla implicação» da primeira.
2.18. Reconhecer, dados os conjuntos A e B, que A  B se e somente se e A  B e B  A , e designar esta
propriedade por «princípio da dupla inclusão».
2.19. +Reconhecer, dadas as condições p  x  e q  x  , que a negação da proposição x , p  x   q  x  é
equivalente à proposição x : p  x   q  x  , isto é, que essa proposição é falsa se e somente se
existir a tal que p  a  é verdadeira e q  b  é falsa.
2.20. Justificar, dadas as condições p  x  e q  x  , que a proposição x , p  x   q  x  é equivalente à
proposição x , q  x   p  x  , designar a segunda proposição por «contrarrecíproco» da primeira
e uma demonstração da segunda proposição por «demonstração por contrarrecíproco» da primeira.
Sugestões metodológicas
– Identificar condição necessária e condição suficiente.
– Definir dupla implicação.
– Demonstrar o princípio da dupla implicação,
– Utilizar a aplicação da Escola Virtual para introduzir a demonstração por contrarrecíproco.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução da ficha para praticar 6 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 54 e 55 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha para praticar 6 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 6 das páginas 10 e 11 (descritores 2.19 e 2.20) e correspondentes
resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
▪ Recursos Digitais do Professor
Aplicação didática da Escola Virtual: Demostração por contrarrecíproco
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
3.a semana (Páginas 50 a 67)
16.ª aula
Sumário
Resolução de problemas envolvendo operações sobre conjuntos.
Descritor
3.2. +Resolver problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.
Sugestões metodológicas
– Resolver os problemas das atividades complementares que ainda não tenham sido resolvidos.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 58 a 59 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Caderno de Apoio: exercícios 1 a 5 das páginas 12 e 13 (descritor 3.2) e correspondentes resoluções
no Máximo do Professor
17.ª aula
Sumário
Atividades de consolidação e avaliação.
Descritor
3.2. +Resolver problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos
Sugestões metodológicas
– Resolver as questões das páginas 62 e 63 como trabalho individual ou de grupo.
– Para trabalho de casa sugerir a resolução da ficha de teste 2 do Caderno de Fichas.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 62 e 63 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Caderno de Fichas
Ficha de teste 2 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor (parte 2)
1
Planificação semanal
Lógica e teoria dos conjuntos
3.a semana (Páginas 50 a 67)
18.ª aula
Sumário
Avaliação global
Descritores
3.1. +Resolver problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.
3.2. +Resolver problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos
Sugestões metodológicas
– Resolução, em grupo, da ficha de avaliação global como preparação para a avaliação do domínio da
Lógica e teoria dos conjuntos.
– Como trabalho de casa sugerir a resolução das questões que não tenham sido resolvidas na aula.
Recursos didáticos
▪ Manual
Páginas 64 a 67 da parte 1 e correspondentes resoluções no Máximo do Professor
▪ Máximo do Professor
Ficha de preparação para o teste de avaliação e teste de avaliação 1
4.a semana
19.ª a 24.ª aula
Sumário
Resolução de problemas e avaliação