IV - Equações de Saint

Capítulo IV - Equações de Saint-Venant
IV - Equações de Saint-Venant
O escoamento da água sobre o solo é um processo distribuído, porque o caudal,
velocidade e altura da lâmina de água variam no tempo e no espaço. O cálculo destas
variáveis pode ser efectuado através das equações de Saint-Venant. Estas são equações
diferenciais às derivadas parciais, que permitem o cálculo do caudal e da altura da lâmina de
água como funções do tempo e do espaço.
A dedução das equações de Saint-Venant baseia-se nos seguintes pressupostos:
- O escoamento é unidimensional, a profundidade e a velocidade variam só na
direcção longitudinal do canal. Isto implica que a velocidade é constante e a
superfície da água é horizontal numa secção perpendicular ao eixo longitudinal
do canal;
- O escoamento varia gradualmente ao longo do canal, podendo-se desprezar
as acelerações verticais e considerar a distribuição de pressões segundo a
vertical hidrostática;
- O eixo longitudinal do canal é aproximadamente uma linha recta;
- O declive do fundo é pequeno e o fundo não é móvel, ou seja os efeitos do
destacamento e deposição não influenciam o escoamento;
- Os coeficientes de rugosidade para o regime permanente e uniforme são
aplicáveis, sendo válidas as equações de Manning ou Chézy para os
quantificar.
- O fluido é incompressível e com densidade constante.
IV.1. Equação da continuidade
Considerando um volume de controlo elementar, com um comprimento fixo dx,
conforme esquematizado nas figuras IV.1.1, IV.1.2 e IV.1.3.
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Linha
de en
ergia
y
h
S0
1
z
Nível de referência
Figura IV.1.1 - Volume de controlo (Perfil longitudinal)
q
q
q
q
q
q
q
q
Figura IV.1.2 - Volume de controlo (Planta)
B
dw
y
w
z
Figura IV.1.3 - Volume de controlo (Perfil transversal)
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h
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O caudal que entra no volume de controlo é a soma do caudal Q que entra pela secção
de montante com o caudal de percurso q que entra lateralmente. O caudal q é dado em
m3/s/m assim o caudal total de percurso é dado por:
q ⋅ dx
(IV.1.1)
então a entrada de massa para o volume de controlo é dada por:
∫∫ ρ ⋅ V ⋅ dA = − ρ ⋅ (Q + q ⋅ dx )
(IV.1.2)
entrada
O sinal negativo aparece porque os caudais de entrada são considerados negativos no
teorema de transporte de Reynolds. A massa que sai do volume é dada por:

∂Q

∫∫ ρ ⋅ V ⋅ dA = ρ ⋅  Q + ∂x ⋅ dx 
(IV.1.3)
∂Q
∂x
(IV.1.4)
saida
em que:
representa a variação do caudal no volume de controlo ao longo da distância. O volume
do elemento é dado por:
A⋅ dx
(IV.1.5)
sendo A a área média da secção transversal. Assim a variação da massa armazenada
no volume de controlo é dada por:
d
∂( ρ ⋅ A ⋅ dx )
⋅ ∫∫∫ ρ ⋅ d∀ =
dt
∂t
(IV.1.6)
A saída de massa do volume de controlo é calculada por:
∂( ρ ⋅ A ⋅ dx )
∂Q


− ρ ⋅ (Q + q ⋅ dx ) + ρ ⋅  Q +
⋅ dx  = 0
∂t
∂x


(IV.1.7)
Ou seja a soma da massa que sai com a variação no interior volume de controlo é igual
á massa que entra.
Assumindo que a densidade do fluido ρ
é constante, a equação IV.1.7 pode ser
dividida por ρ ⋅ dx , de onde se obtém a equação da conservação da massa:
∂Q ∂A
+
=q
∂x ∂t
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(IV.1.8)
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IV.2. Equação da conservação da quantidade de movimento
A segunda equação de Newton:
F=
∂P
∂t
F
força;
P
quantidade de movimento;
t
tempo.
(IV.2.1)
em que:
pode ser escrita na forma do teorema de transporte de Reynolds:
d
∑ F = dt ⋅ ∫∫∫V ⋅ ρ ⋅ d∀ + ∫∫V ⋅ ρ ⋅ V ⋅ dA
(IV.2.2)
A equação anterior mostra que o somatório das forças aplicadas na massa de fluido
contida no interior do volume de controlo é igual á variação da quantidade de movimento no
interior do volume de controlo mais a quantidade de movimento que sai do referido volume.
As forças que actuam sobre o fluido contido no volume de controlo são:
Fg
força gravitica;
Ff
força de atrito com o fundo e laterais do volume de controlo;
Fe força de contracção ou expansão causada por variações bruscas da
geometria do canal;
Fw força do vento na superfície do fluido;
Fp diferença de pressão.
A componente da força gravitica que actua sobre o fluido no interior do volume de
controlo segundo a direcção do escoamento é determinada como o produto do peso
volúmico pelo volume do fluido pelo seno do ângulo que o fundo faz com a horizontal. Para
inclinações pequenas, o seno é aproximadamente igual à tangente:
Fg = ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dx ⋅ sin θ ≈ ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S 0 ⋅ dx
(IV.2.3)
A força de atrito causada pelo esforço transverso ao longo do fundo e lados do volume
de controlo é dada por:
− τ0 ⋅ P ⋅ dx
sendo:
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(IV.2.4)
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τ0
tensão tangencial ou de arrastamento;
P
perímetro molhado;
dx comprimento do volume de controlo.
A tensão tangencial ou de arrastamento τ0 é calculada por:
τ0 = γ ⋅ R ⋅ S f
(IV.2.5)
sendo:
γ
peso volúmico do fluido;
R
raio hidráulico;
Sf
declive da linha de energia.
como o peso volúmico é dado por:
γ = ρ⋅ g
(IV.2.6)
e o raio hidráulico define-se como:
R=
A
P
(IV.2.7)
substituindo na equação IV.2.5, a tensão tangencial define-se como:
τ0 = ρ ⋅ g ⋅
A
⋅S f
P
(IV.2.8)
assim a força resultante devido ao atrito é calculada por:
Ff = − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S f ⋅ dx
(IV.2.9)
Expansões ou contracções bruscas do canal provocam perdas de energia devido a
remoinhos. Essas perdas são proporcionais à variação da energia cinética ao longo do
comprimento do canal:
Ec =
V2
Q2
=
2 ⋅ g 2 ⋅ g ⋅ A2
(IV.2.10)
As forças que causam essa perda de carga são calculadas por:
Fe = − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ Se ⋅ dx
(IV.2.11)
sendo Se a perda de carga devida à expansão ou contracção. Se é calculado pela
seguinte expressão:
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Q
∂ 
K
A
Se = e ⋅  
2⋅g
∂x
2
(IV.2.12)
em que:
Ke factor de expansão ou contracção, negativo para expansões e positivo
para contracções;
O efeito do vento é causado pela fricção entre o ar e a superfície livre do volume de
controlo e é dado por:
Fw = τw ⋅ B ⋅ dx
(IV.2.13)
sendo:
τw
tensão tangencial entre o ar e a superfície livre do volume de
controlo;
B
largura superficial da secção transversal.
A tensão tangencial numa fronteira de um fluido pode ser escrita como:
τw =
− ρ ⋅ C f ⋅ Vr ⋅ Vr
2
(IV.2.14)
sendo:
Vr
velocidade relativa entre o fluido e o ar;
Cf
coeficiente da tensão tangencial entre o fluido e o ar;
Como a velocidade média do escoamento é dada por:
U =
Q
A
(IV.2.15)
e designando a velocidade do vento por Vw , a velocidade relativa entre o ao e o fluido
é calculada por:
Vr =
Q
− Vw ⋅ cos (ϖ)
A
ϖ
é o ângulo formado entre a direcção do vento e a direcção do
(IV.2.16)
em que:
escoamento;
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Assim a força resultante da acção do vento sobre o fluido contido no volume de
controlo é dada por:
Fw =
− ρ ⋅ C f ⋅ Vr ⋅ Vr
2
⋅ B ⋅ dx
(IV.2.17)
chamando:
Wf =
C f ⋅ Vr ⋅ Vr
(IV.2.18)
2
resulta:
Fw = −W f ⋅ ρ ⋅ B ⋅ dx
(IV.2.19)
A resultante devido à diferença de pressões hidrostáticas entre a secção de montante a
e secção de jusante do volume de controlo e à contracção ou expansão do canal, é
determinada por:
Fp = F pm − Fpj + F pl
(IV.2.20)
sendo:
Fpm
resultante da pressão hidrostática actuante na secção de montante;
Fpj
resultante da pressão hidrostática actuante na secção de jusante;
Fpl
resultante da pressão hidrostática segundo a direcção do
escoamento nas laterais do volume de controlo;
De acordo com a figura IV.1.3, um elemento de altura dw a uma altura w medida a
partir do fundo do canal e a uma profundidade y-w, está sujeito a uma pressão hidrostática:
ρ ⋅ g ⋅ ( y − w)
(IV.2.21)
e consequentemente uma força hidrostática dada por:
ρ ⋅ g ⋅ ( y − w) ⋅ b ⋅ dw
(IV.2.22)
Assim, a força hidrostática actuante na secção de montante do volume de controlo é
dada por:
y
Fpm = ∫ ρ ⋅ g ⋅ ( y − w) ⋅ b ⋅ dw
(IV.2.23)
0
Consequentemente a resultante das pressões hidrostáticas actuantes na secção de
jusante do volume de controlo é dada por:
Fpj = Fpm +
∂Fpm
∂x
⋅ dx
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(IV.2.24)
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Aplicando a regra de Leibnitz para a primitivação de um integral, vem:
∂F pm
∂y
∂b
= ∫ ρ ⋅ g ⋅ ⋅ b ⋅ dw + ∫ ρ ⋅ g ⋅ ( y − w) ⋅ ⋅ dw
∂x
∂x
∂x
0
0
y
y
∂F pm
∂y
∂b
= ρ ⋅ g ⋅ + ∫ ρ ⋅ g ⋅ ( y − w) ⋅ ⋅ dw
∂x
∂x 0
∂x
(IV.2.25)
y
(IV.2.26)
Como a área da secção transversal do escoamento é dada por:
y
A = ∫ b ⋅ dw
(IV.2.27)
0
A força resultante da pressão hidrostática actuante nas laterais do volume de controlo
está relacionada com a variação da largura do canal:
∂b
∂x
(IV.2.28)
ao longo do comprimento do volume de controlo dx, e é dada por:
y

∂b
Fpl = ∫ ρ ⋅ g ⋅ ( y − w) ⋅ ⋅ dw ⋅ dx
∂x
 0

(IV.2.29)
Substituindo a equação IV.2.24 na equação IV.2.20, obtem-se:
∂Fpm


Fp = Fpm −  F pm +
⋅ dx  + Fpl
∂x


Fp = −
∂F pm
∂x
⋅ dx + Fpb
(IV.2.30)
(IV.2.31)
Substituindo IV.2.26 e IV.2.29 em IV.2.31, vem:
Fp = − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅
∂y
⋅ dx
∂x
(IV.2.32)
O somatório das forças actuantes no fluido contido no volume de controlo, é dada por:
∑ F = ρ⋅ g ⋅ A⋅ S
0
⋅ dx − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S f ⋅ dx − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S e ⋅ dx
− W f ⋅ B ⋅ ρ ⋅ dx − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅
∂y
⋅ dx
∂x
(IV.2.33)
Os dois termos do lado direito da equação IV.2.33, 2ª lei de Newton escrita na forma
do teorema de transporte de Reynolds, representam a variação e a saída da quantidade de
movimento no volume de controlo respectivamente.
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A entrada de massa no volume de controlo é dada por:
− ρ ⋅ (Q + q ⋅ dx )
(IV.2.34)
A quantidade de movimento associada é:
[− ρ ⋅ (Q + q ⋅ dx )] ⋅ V ⋅ β
(2.2.35)
sendo β um factor de correcção da quantidade de movimento ou coeficiente de
Boussinesq que toma em consideração a distribuição de velocidades na secção transversal:
β=
1
⋅ ∫∫ v 2 ⋅ dA
V ⋅A
(IV.2.36)
2
Segundo Chow 1959 e Henderson 1966, os valores de β variam entre 1.01 para
canais prismáticos e 1.33 para canais naturais com margens de inundação.
Assim pode-se escrever:
∫∫V ⋅ ρ ⋅ V ⋅ dA = − ρ ⋅ (β ⋅ V ⋅ Q + β ⋅ v
x
⋅ q ⋅ dx )
(IV.2.37)
entrada
E a quantidade de movimento que sai do volume de controlo é dada por:

∫∫ V ⋅ ρ ⋅ V ⋅ dA = ρ ⋅  β ⋅ V ⋅ Q +
saida
∂ (β ⋅ V ⋅ Q )

⋅ dx 
∂x

(IV.2.38)
O balanço da quantidade de movimento é:
∫∫ V ⋅ ρ ⋅ V ⋅ dA =
sup .
∂( β ⋅ V ⋅ Q )


= − ρ ⋅ [β ⋅ V ⋅ Q + β ⋅ vx ⋅ q ⋅ dx] + ρ ⋅  β ⋅ V ⋅ Q +
⋅ dx
∂x


(IV.2.39)
simplificando:

∫∫V ⋅ ρ ⋅ V ⋅ dA = − ρ ⋅  β ⋅ v
x
⋅q−
∂ (β ⋅ V ⋅ Q ) 
 ⋅ dx
∂x
(IV.2.40)
Como o volume do elemento é:
A⋅ dx
(IV.2.41)
então a sua quantidade de movimento é:
ρ ⋅ A ⋅ dx ⋅ V ⇔ ρ ⋅ Q ⋅ dx
(IV.2.42)
Assim a variação da quantidade de movimento armazenada no volume de controlo em
ordem ao tempo é:
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d
∂Q
⋅ ∫∫∫V ⋅ ρ ⋅ d∀ = ρ ⋅
⋅ dx
dt
∂t
(IV.2.43)
Substituindo as forças actuantes no fluido contido no volume de controlo e os termos da
quantidade de movimento na equação IV.2.2, obtém-se:
ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S0 ⋅ dx − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S f ⋅ dx − ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ S e ⋅ dx − W f ⋅ B ⋅ ρ ⋅ dx
− ρ⋅ g ⋅ A ⋅
∂y
∂ (β ⋅ V ⋅ Q )
∂Q

⋅ dx = − ρ ⋅  β ⋅ vx −
⋅ dx + ρ ⋅
⋅ dt

∂x
∂x
∂t


(IV.2.44)
Dividindo toda a equação por:
ρ ⋅ dx
e substituindo V por:
Q
A
obtém-se a equação da quantidade de movimento na sua forma conservativa:
2
∂ β ⋅ Q A 
∂Q
 + g ⋅ A ⋅  ∂y − S + S + S  − β ⋅ q ⋅ v + W ⋅ β = 0
+ 
0
f
e
x
f
∂t
∂x
 ∂x

(2.2.45)
Admitindo que o caudal de percurso entra no canal numa direcção perpendicular à
direcção do escoamento:
vx = 0
(2.2.46)
desprezando o efeito do vento:
Wf = 0
(2.2.47)
e dividindo por A, obtém-se:
1 ∂Q 1 ∂  Q 2 
∂y
⋅
+ ⋅ ⋅   + g ⋅ − g ⋅ (S 0 − S f ) = 0
A ∂t A ∂x  A 
∂x
(2.2.48)
Resumindo as equações de Saint-Venant são duas equações diferenciais às derivadas
parciais, uma é a equação da continuidade (IV.1.18) e outra a equação da quantidade de
movimento (IV.2.48).
Os termos da equação IV.2.48 têm os seguintes significados:
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1 ∂Q
⋅
A ∂t
representa a aceleração local, que descreve a
variação da quantidade de movimento devida a variação
da velocidade em ordem ao tempo;
1 ∂  Q2 
⋅ ⋅ 
A ∂x  A 
representa a aceleração convectiva e descreve a
variação da quantidade de movimento devida a uma
mudança de velocidade do escoamento ao longo do
canal;
g⋅
∂y
∂x
representa a diferença das resultantes das pressões
hidrostáticas actuantes na fronteira do volume de
controlo e é proporcional à variação da profundidade
do escoamento ao longo do canal;
g ⋅ S0
representa a acção da gravidade e é proporcional ao
declive do fundo do canal;
g ⋅S f
representa a acção do atrito com o fundo e as margens
do canal;
Os termos da aceleração local e convectiva representam os efeitos da acção de forças
inerciais no escoamento.
Quando o caudal ou a altura da lâmina de água muda num ponto num escoamento
lento, os efeitos dessa perturbação propagam-se para montante. Esses efeitos são
considerados no modelo distribuído
pelos termos da aceleração local, convectiva ou
diferença de pressão.
Utilizando um modelo sintético é impossível simular esses efeitos, pois estes modelos
não possuem meios de simular este tipo de perturbações.
Existem vários modelos distribuídos que têm como base as equações de Saint-Venant,
como por exemplo o Full Equations Model, Franz, 1997 ou o FLDWAV, Fread, 1998.
Empregando a equação da continuidade e considerando todos os termos da equação
da quantidade de movimento, obtém-se o modelo de ONDA DINÂMICA.
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Se se desprezar os termos inerciais da equação de quantidade de movimento obtém-se
o modelo de INERCIA NULA.
Não considerando os termos inerciais nem os termos da diferença de pressão na
equação da quantidade de movimento obtém-se o modelo de ONDA CINEMATICA.
Este modelo é aplicável quando a lâmina de água tem espessura reduzida, as forças
mais importantes aplicadas ao fluido são a gravidade e o atrito e a velocidade do escoamento
não varia consideravelmente, sendo a aceleração reduzida.
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