3 - conjunto dos números racionais

Prof. Luiz Carlos Moreira Santos
3 - CONJUNTO DOS
NÚMEROS RACIONAIS
Introdução
É o conjunto de todos os números que estão ou podem ser colocados em forma de fração.
Fração
Quando dividimos um todo em partes iguais e queremos representar matematicamente uma ou
algumas dessas partes, empregamos um par ordenado de números naturais, diferentes de zero.
Lê-se: meio ou um meio
Representa-se:
1
2
Lê-se: três quartos
Representa-se
3
4
Então:
1
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Denomina-se fração todo par ordenado de números naturais, com o segundo diferente de zero,
onde:
• o primeiro número indica quantas partes foram tomadas do todo (numerador);
• o segundo número indica em quantas partes iguais o todo foi dividido (denominador).
Tipos de Frações
Observe as figuras.
a)
A figura nos mostra a fração
3
, na qual o numerador é menor que o denominador.
4
Essa fração é denominada fração própria ou ordinária.
b)
A figura nos mostra a fração
5
, na qual o numerador é maior que o denominador.
3
Esta fração é denominada fração imprópria
c)
2
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As figuras nos mostram frações cujo numerador é múltiplo do denominador.
Estas frações são denominadas frações aparentes.
Elas são consideradas numerais de números naturais.
Assim: é numeral do número natural 1.
é numeral do número natural 2.
d) Quando o denominador da fração é 10 ou potência de 10 (100, 1000, 10000, ...), a fração é
denominada fração decimal.
1
(soma de um número inteiro com um número fracionário)
2
1
é denominada número misto e é representada pela forma abreviada 3 (Lê-se: Três inteiros e um
2
e) Número Misto - a expressão 3+
meio).
Então:
• Todo número misto pode ser escrito em forma de fração imprópria por meio da seguinte regra
prática:
• Toda fração imprópria pode ser escrita em forma de número misto por meio da seguinte regra
prática:
3
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Frações Equivalentes
Observe:
Duas ou mais frações que representam a mesma parte do todo são equivalentes.
Obs.: Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero,
obtemos uma fração equivalente à fração dada.
4
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Simplificação de Frações
Simplificar uma fração é obter outra fração equivalente à fração dada, cujos termos sejam
números primos entre si.
1º Processo
Dividindo-se, sucessivamente, os termos da fração por um fator comum.
2º Processo
Dividindo-se os termos da fração pelo seu m.d.c.
m.d.c. (48, 72) = 24
Redução de Frações a um Mesmo Denominador
Para reduzir duas ou mais fração ao menor denominador comum, procede da seguinte maneira:
1º) Calculamos o m.m.c. dos denominadores das frações dadas: esse m.m.c. será o denominador
comum.
2º) Divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o
resultado obtido pelo respectivo numerador.
Exemplo:
5
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Comparação de Frações
Comparar frações significa estabelecer uma relação de igualdade ou desigualdade entre essas
frações.
Vamos analisar dois casos distintos.
1º Caso
As frações têm o mesmo denominador.
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem maior numerador.
2º Caso
As frações têm denominadores diferentes.
Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos reduzi-las ao menor denominador
comum para, em seguida, compará-las.
Exemplo:
6
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Operações Fundamentais em Q
I - Adição e subtração de frações
1º Caso: As frações têm o mesmo denominador.
Quando as frações têm o mesmo denominador, mantém-se o denominador comum e somam-se
ou subtraem-se os numeradores.
Exemplos:
1º)
2º Caso: As frações têm denominadores diferentes.
Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar, reduzi-las ao
menor denominador comum para, em seguida, efetuar a adição ou a subtração.
Exemplos:
II – Multiplicação de Frações
O produto de duas frações é uma fração onde:
7
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• O numerador é o produto dos numeradores;
• O denominador é o produto dos denominadores.
Observação:
a) Para facilitar a multiplicação de frações, devemos, sempre que possível, simplificá-las antes
da operação.
b) Fração de Fração
Seja calcular
3
1
de
5
2
3
1
de .
5
2
é uma expressão que pode ser representada por
3 1
x .
5 2
Portanto, na prática, substituímos a preposição de pela operação multiplicação.
Logo:
3
1 3 1 3
de =
x =
5
2 5 2 10
:
III - DIVISÃO DE FRAÇÕES
a) Números inversos ou recíprocos
Seja determinar o número que multiplicado por
Verifica-se que o número procurado é
3
, pois
2
8
2
é igual a 1.
3
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Os números
2 3
e
são chamados inversos ou recíprocos.
3 2
De um modo geral, para qualquer número racional a, com a ≠ 0, existe outro racional
1
,
a
chamado inverso multiplicativo ou recíproco de a, tal que:
Na prática, obtemos o inverso de um número racional, diferente de zero, trocando o numerador com o
denominador.
É evidente que não existe o inverso do número zero.
b) Divisão
Para se dividir uma fração por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
Exemplos:
Observação:
Todo quociente de dois números naturais, com o divisor diferente de zero, pode ser escrito
em forma fracionária.
2º)
Deste modo, toda fração representa um quociente do numerador pelo denominador.
Exemplos:
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IV - Potenciação de Números Racionais
Se a ∈ Q e n ∈ IN ⇒ an ∈ Q
Pela definição de potência, já estudada para os números naturais, temos:
Para se elevar uma fração a uma dada potência, deve-se elevar o numerador e o denominador a
essa potência.
Também para os números racionais, tem-se que
a) A potência de expoente 1 é igual à própria base.
b) A potência de expoente 0 é igual a 1.
EXERCÍCIOS
RESOLVIDOS
01)Resolva a expressão:
10
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02) Retira-se de um tonel 1/4 do volume que ele continha; em seguida retiram-se 21 litros e o tonel
fica então cheio até os 2/5. Qual é a sua capacidade?
Resposta: 60 litros.
03) Uma avenida tem 400 m de extensão. Quantos metros terá percorrido uma pessoa após andar
3/4 desta distância?
Resposta: A pessoa percorreu 300 metros.
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04) Da quantia que recebo mensalmente, aplico 2/5 em caderneta de poupança, o que corresponde a
uma aplicação de R$ 1 000,00. Qual é a quantia que recebo, mensalmente?
Resposta: Recebo, mensalmente, R$ 2 500,00.
05) De uma peça de tecido, o comerciante vendeu 1/4 para um freguês A e, a seguir, mais 1/3 para
um freguês B. Desse modo, o comerciante já vendeu 14 metros desta peça. Qual é o
comprimento da peça?
Resposta: O comprimento da peça é de 24 m.
06) Uma torneira enche um tanque em 2 horas e outra torneira, em 3 horas. Em quanto tempo as
duas torneiras encheriam o mesmo tanque?
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07) Dois operários fizeram um trabalho em 27 dias. Um deles trabalhando sozinho, poderia fazê-lo
em 108 dias. O outro em quantos dias o faria?
Resposta: 36 dias.
EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
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01) Vários lápis foram distribuídos entre 3 pessoas de modo que a primeira recebeu 2/3 dos
mesmos: a segunda recebeu 1/5 do resto e a terceira ficou com 24 lápis. Quantos lápis foram
repartidos?
Resposta: 90
02) Uma torneira enche um tanque em 5h e outra o esvazia em 8h. Abrindo as duas torneiras, em
quanto tempo o tanque ficará cheio?
Resposta: 13h 20min
03) Uma torneira com vazão de 50l/min gasta 27 min para encher um determinado tanque. Quanto
tempo será necessário para encher o mesmo tanque, utilizando-se três torneiras que têm vazão
de 45l/min cada uma?
Resposta: 10 min
04) A diferença entre os 4/5 e os 2/3 do preço de um automóvel é R$ 4.800,00. Qual o preço do
automóvel?
Resposta: R$ 36.000,00
05) Qual a fração equivalente a 0,75 cuja soma dos termos é igual a 84?
Resposta: 36/48
06) Um tanque está cheio de água até sua terça parte. Adicionando-se 35 litros de água ele fica
cheio até os seus 4/5. Qual a capacidade do tanque?
Resposta: 75 litros.
07) Um automóvel percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. Numa segunda etapa roda 3/8 do
que resta do percurso. Após essa segunda etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer. Qual o
comprimento em quilômetros da estrada toda?
Resposta: 748 km.
08) Eu tenho 2/3 da idade de meu irmão e juntos temos 30 anos. Quais são as nossas idades?
Resposta: 12 e 18 anos.
09) Os 3/4 dos 2/6 de minha mesada são R$ 80,00. Qual a minha mesada?
Resposta: R$ 320,00
10) De sua verba mensal para envio de correspondência, uma firma gastou, no mês passado, 4/15
com telegramas, 11/24 com cartas e 4/11 do restante com fax. A despesa com fax foi de R$
68,00. Calcule, a verba total gasta por essa firma com correspondência, nesse mês.
Resposta: R$ 680,00
11) Numa corrida, 2/9 dos ciclistas que dela participavam desistem durante a 1ª volta. Dos que
começaram a 2ª volta, 1/7 desiste antes do término da corrida, que se encerra com 18 ciclistas.
Qual o número de ciclistas que iniciaram a corrida?
Resposta: 27
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Números Decimais
Fração Decimal
É a fração cujo denominador é uma potência de 10.
Número Decimal
As frações decimais podem ser escritas na forma:
O número de algarismos da parte decimal é igual ao número de zeros do denominador da fração
decimal correspondente.
Exemplos:
Propriedades dos números decimais
a) Um número não se altera quando acrescentamos ou retiramos zeros à direita de sua parte
decimal.
Exemplo: 5,7 = 5,70 = 5,700 = 5,7000
b) Para multiplicarmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a
direita uma, duas, três, etc., casas decimais.
Exemplo:0,851 × 10 = 8,51
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4,931 × 100 = 493,1
7,2 × 1000 = 7200
c) Para dividirmos um número decimal por 10, 100, 1000, etc., a vírgula se desloca para a
esquerda, uma, duas, três, etc., casas decimais.
Exemplo:73,2 : 10 = 7,32
8,3 : 100 = 0,083
43,8 : 1000 = 0,0438
Operações com Números Decimais
I – Adição
Colocamos uns sobre os outros, vírgula debaixo de vírgula.
Exemplo: 3 + 0,487 + 2,9
3,000
+ 0,487
2,900
6,387
II – Subtração
Procede-se como na adição, colocando minuendo sobre subtraendo e vírgula sob vírgula. Se o
minuendo tiver menos casas decimais que o subtraendo, é preciso acrescentar zeros de forma a
igualar as casas decimais.
Exemplo: 5,08 – 3,4852
5,0800
- 3,4852
1,5948
III – Multiplicação
Multiplica-se como se os números fossem inteiros, dando ao resultado um número de casas
decimais igual à soma dos números de casas decimais dos fatores.
Exemplo: 5,32 × 3,8
5,32
× 3,8
4256
1596
20,216
IV – Divisão
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Iguala-se o número de casas decimais no dividendo e no divisor; eliminam-se as vírgulas e
efetuamos a divisão. Obtido o quociente inteiro, acrescenta-se um zero no resto e coloca-se uma
vírgula no quociente à direita. Continua-se a divisão, colocando-se sempre um zero à direita de cada
novo resto.
Exemplo: 72,2379 : 5,873 → 72,2379 : 5,8730
A seguir, efetua-se a divisão como se fossem números inteiros.
Dízima Periódica
É número decimal que tem “infinitas” casas decimais, o algarismo ou número que repete é
chamado de período.
Ex.:
−
1
= 0,333... = 0, 3
3
Indica-se por:
0,333.... = 0,(3) = 0,3 =
3 1
= (Dízima Periódica Simples- DPS)
9 3
Observação: Numa DPS a fração geratriz possui numerador igual ao período e denominador formado por
tantos 9 quantos forem os algarismos do período.
−
0,1727272... = 0,1(72) = 0,1 72 =
172 − 1 171 19
=
(Dízima Periódica Composta- DPC)
=
990
990 110
Observação: Numa DPC a fração geratriz possui numerador formado pela diferença entre o
número formado, depois da vírgula, até o período e o ante-período. No denominador escrevemos
um número formado por tantos 9 ( noves) quantos forem os algarismos do período acompanhados
de tantos 0 (zeros)quantos forem os algarismos do ante- período.
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0,333... ∈ Q/ e 0,1727272... ∈ Q/
A fração equivalente a uma dízima periódica
denomina-se fração geratriz.
Potenciação de Números Decimais
Pela definição de potência, temos:
(0,6)3 = 0,6 × 0,6 × 0,6 = 0,216
(1,4)2 = 1,4 × 1,4 = 1,96
Valem as convenções:
1ª) (2,5)1 = 2,5
2ª) (3,2)0 = 1
EXERCÍCIOS
RESOLVIDOS
01) Determine o valor de:
1,333... + 2,3222...
02) Coloque em ordem decrescente a, b e c se:
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então: 2 > 0,5 > 0,2 ⇒ c > b > a
EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
01) Converter em números decimais exatos ou periódicos, as seguintes frações:
02) Escrever as geratrizes das seguintes dízimas pe-riódicas:
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03) Calcular o valor das expressões:
a) (30,333...)9 + (20,222...)18
Respostas:
a) 43
b) 80,666... - 90,5
b) 1
c) 4/3
04) Efetuar as seguintes adições:
a) 12,1 + 0,0039 + 1,98
b) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39
c) 0,003 + 101,6 + 0,5
Respostas:
a) 14,0839
b) 462,791
c) 102,103
05) Efetuar as seguintes subtrações:
a) 6,03 – 2,9456
b) 1 – 0,34781
c) 142,2 – 0,9988765
Respostas:
a) 3,0844
b) 0,65219
c) 141,2011235
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06) Calcular o valor das expressões:
07)Efetuar as seguintes multiplicações:
08) Calcular o valor das potências:
TESTES
1) 0,72 : 12 é igual a
a) 6
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b) 0,6
c) 0,06
d) 0,006
2) Se x = 2 : 0,002, o valor de x é
a) 10 000
b) 1 000
c) 100
d) 10
3) 7,4 × 0,2 e 7,4 : 0,2 valem, respectivamente,
a) 14,8 e 37
b) 14,8 e 3,7
c) 1,48 e 3,7
d) 1,48 e 37
4) O valor da expressão (0,8)2 : 4 é
a) 0,16
b) 0,016
c) 0,0016
d) 1,6
5) O valor da expressão (0,012 + 1,5) : 16,8 é
a) 0,06
b) 0,15
c) 0,09
d) 0,14
6) A expressão
a) 1
b) 10
c) 100
d) 0,1
7) O valor da expressão
a) 20
b) 10
c) 2
d) 1
vale
é
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8) Sejam as afirmações:
São verdadeiras:
a) I e II
b) I e III
c) II e IV
d) III e IV
9) O valor de x +y na forma irredutível do número
x
=
y
1
1
1−
1−
1
−
1 − 1,2 3
a)
b)
c)
d)
10) Se
7
30
37
67
p
5,666...
é fração irredutível equivalente a
, o valor de p +q é igual a:
q
2,333...
a)
b)
c)
d)
24
25
27
28
11) Considere x,y e z números naturais.Na divisão de x por y,obtém-se quociente z e resto
8.Sabe-se que a representação decimal de
x
é a dízima periódica 7,363636... Então, o valor de
y
x+y+z é
a) 190.
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b) 193.
c) 191.
d) 192.
12) Um determinado trabalho é feito por João em 9 dias, por José em 12 e por Pedro em 18. O
número de dias que os três juntos gastariam para executar esse trabalho é
a) 4
b) 6
c) 7
d) 8
13) O valor de N −2 para a expressão N = 2 −1 + 2
−
1
2
é igual a
a) 4(3 − 2 2 )
b)
1
(2 + 2 )
2
c) 5
d) 3
1
14) Dados os números reais x = 0,333..., y =
igual a
a)
b)
c)
d)
− 27
, z = 0,25, o valor da expressão yx + z 2
8
-1
0
1
2
GABARITO
1) C
2) B
3) D
4) A
5) C
6) B
7) A
8) B
9) D
10) A
11) C
12) A
13) A
14) A
24
é
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