Cálculo de forças eletromecânicas pelos métodos do trabalho

Cálculo de forças eletromecânicas pelos métodos do
trabalho virtual e tensor de Maxwell
Antônio Flavio Licarião Nogueira
Universidade do Estado de Santa Catarina
[email protected]
1. Introdução
onde somente são considerados movimentos
O cálculo de forças a partir da análise numérica
em uma dimensão. No caso particular de um
de campos eletromagnéticos é considerado um
deslocamento na direção x, a força pode ser
dos problemas mais difíceis da computação
aproximada por
eletromagnética.
A literatura especializada
reconhece a importância do assunto para a
W ' 2 − W '1
x12
F=
(2.1)
ciência e engenharia, e um número expressivo
onde W’1 é a co-energia armazenada na
de pesquisas sobre a estimativa de forças tem
posição 1 e W’2 a co-energia armazenada na
sido publicado nos últimos anos. Entre os
posição 2. As duas posições são separadas por
métodos mais populares para o cálculo de
uma
forças e torques estão o método do trabalho
deslocamento posicional; F é a estimativa para
virtual e o método do tensor de Maxwell. Esses
a força na posição intermediária {(x1+x2)/2}.
métodos podem ser aplicados nos cálculos de
Quando são considerados os movimentos de
força ou torque de, praticamente, qualquer
rotação, como no caso de máquinas elétricas e
dispositivo [1]. Quando se avalia a força gerada
acionadores
por um dispositivo, o interesse pode ser em
correspondente para avaliar o torque é
determinar a forma como essa força se distribui
em uma dada superfície ou no cálculo da força
resultante que age na interface ferro-ar. O
presente guia de estudo trata do segundo caso.
T=
distância
conhecida
x12
rotativos,
a
como
equação
(W '2 −W '1 ) ,
(2.2)
θ12
onde W’1 e W’2 representam as co-energias
armazenadas em duas posições consecutivas,
θ12 é o deslocamento angular (θ1−θ2) e T é a
2. Método do trabalho virtual
estimativa
O método é baseado na relação entre força e
energia
estabelecida
pelo
princípio
de
conservação de energia. A força que age na
a
variação
da
co-energia
magnética armazenada no dispositivo quando
saturação magnética não é atingida, o mesmo é
dito magneticamente linear e, nesse caso,
energia e co-energia magnética armazenadas
são
numericamente
iguais.
A
presente
discussão baseia-se em um caso muito simples
torque
na
posição
A força e o torque também podem ser
expressas por
F=
δW '
δx
(2.3)
δW '
.
δθ
(2.4)
e
sua parte móvel é ligeiramente deslocada.
Quando o dispositivo opera de forma que a
o
intermediária {(θ1+θ2)/2}.
parte móvel de um dispositivo pode ser avaliada
determinando
para
T=
As expressões para a força e o torque
apresentadas nas equações (2.1)-(2.4) são
facilmente identificadas como aproximações
para a derivada de uma função que representa
a
variação
da
co-energia
magnética
armazenada em relação a um deslocamento. Se
envolvida por uma camada de ar, mesmo que
o dispositivo é magneticamente linear, as
muito pequena. Sendo assim, a superfície de
equações (2.1) e (2.2), por exemplo, podem ser
integração deve ser definida nessa camada de
expressas em termos das energias magnéticas
ar onde a permeabilidade magnética relativa µr
armazenadas W1 e W2 correspondentes às
é unitária em toda a superfície. O dispositivo
posições 1 e 2, respectivamente.
escolhido para ilustrar a aplicação do método é
um motor de corrente contínua com ímãs
3. Método do tensor de Maxwell
permanentes montados na laminação do rotor,
O método foi desenvolvido por J.C. Maxwell e
como ilustrado na Fig. 1. Para avaliar o torque
se tornou muito popular nos últimos anos,
por esse método é necessário primeiramente
seguindo o avanço dos sistemas informáticos
definir um contorno de integração na camada de
para o cálculo numérico de campos. O método é
ar que envolve tanto a laminação do rotor
eficiente em termos computacionais, pois requer
quanto os ímãs.
somente uma solução de campo para avaliar a
força ou torque associado a uma determinada
posição do corpo. Maxwell mostrou que para
avaliar a força que age em uma ou mais partes
móveis, basta desenhar uma superfície fechada
que
envolve
essa
parte
e
determinar
a
densidade do fluxo, em módulo e direção, em
todos os pontos dessa superfície. A distribuição
da força na superfície – calculada a partir da
distribuição dos campos B ou H -, passa então a
ser expressa por sua densidade e a força
resultante pode ser obtida por um processo de
integração.
Ao contrário dos métodos baseados no conceito
de energia magnética armazenada, o princípio e
Figura 1: vista bidimensional de um motor
Na ilustração da Fig. 2 são mostrados dois
contornos que podem ser utilizados para o
cálculo do torque.
o equacionamento do método não são afetados
por fenômenos como saturação, histerese,
correntes parasitas ou outras não linearidades
ou perdas. Isso acontece porque para aplicar o
método
não
é
necessário
conhecer
a
distribuição de campo por inteiro, em todas as
partes do dispositivo, somente na superfície
escolhida.
O
tamanho
e
a
forma
dessa
superfície podem ser escolhidos de forma
Figura 2: contornos de integração
arbitrária, desde que a superfície envolva
Teoricamente, o valor do torque calculado
somente as partes de interesse e nada mais. Na
utilizando o contorno circular da Fig. 2(a) ou o
prática, o que se deseja é calcular a força em
contorno irregular da Fig. 2(b) deve ser o
uma parte que é móvel em relação ao restante
mesmo. Na prática, surgem discrepâncias – em
do dispositivo. Portanto, essa parte deve ser
maior ou menor grau - entre os valores do
torque
calculados
utilizando
diferentes
contornos porque os erros numéricos das
distribuições dos campos B ou H em cada
contorno são diferentes.
se
aplicar
o
método
é
necessário
determinar a densidade da força (ou pressão
magnética) em vários pontos de uma superfície
que envolve a estrutura e, em seguida, somar
essas pressões através de uma integral de
superfície para calcular a força resultante.
Quando um corpo rígido se encontra imerso em
um campo magnético, a pressão magnética (no
inglês,
“stress”)
é
transmitida
dados por
F=
∫C µ 0 (H .n )H −

v r r
µ0
r
H 2 n dC
2

e
r r r
T = r × F,
3.1. Formulação matemática
Para
móvel de interesse, a força total e o torque são
através
da
camada de ar que envolve esse corpo. Da
mesma forma que o elástico tracionado da Fig.
3 é o meio que transmite força entre os corpos 1
e 2, o campo magnético é um meio que
transmite força entre corpos magnetizados na
ausência de contato físico.
(3.3)
(3.4)
onde n é o vetor unitário normal ao contorno e r
é uma função vetorial cuja origem coincide com
o ponto em torno do qual o torque atua.
4. Problema de teste
O problema de teste escolhido para ilustrar os
cálculos
de força por
diferentes
métodos
consiste de um acionador magnético com
núcleo em forma de C que atrai uma armadura
móvel com geometria retangular. Na ilustração
da Fig. 4 pode-se ver a seção transversal do
acionador com as dimensões em milímetros [2].
Nesse acionador, núcleo e armadura possuem
profundidades de 40 mm e as extremidades da
bobina têm um formato semicircular. O material
utilizado no núcleo e armadura é o aço 1010 e
sua característica de magnetização é mostrada
no Apêndice. A bobina possui 600 voltas e a
corrente terminal é 5,0 A.
Figura 3: transmissão de força através de um elástico
O vetor densidade de força, f, pode ser descrito
de várias maneiras, empregando o campo H ou
o campo B. Em termos do campo H, as
componentes normal e tangencial desse vetor
são:
fn =
(
1
µ0 H n 2 − H t 2
2
)
ft = µ0 H n H t .
(3.1)
(3.2)
Figura 4: seção transversal do acionador
5. Resultados numéricos
onde µ0 é a permeabilidade do vácuo.
5.1. Cálculos analíticos
Na análise em duas dimensões a superfície de
O cálculo analítico é bastante simples e nos traz
integração se reduz a um simples contorno.
uma idéia da intensidade da força que se
Para uma dada distribuição do campo H e um
espera obter nos cálculos subsequentes, feitos
contorno C envolvendo o corpo rígido ou parte
a partir das soluções de campo. Além disso, o
cálculo manual ilustra quais dimensões do
dispositivo são relevantes no cálculo de forças.
Para se calcular o valor médio do campo
magnético no entreferro, pode-se aplicar a lei
circuital de Ampère e o contorno amperiano
indicado na Fig. 5. Na ilustração, Hn, Hx e Ha
denotam a intensidade do campo no núcleo,
Fig. 6: vista da face frontal do núcleo
entreferro e armadura, respectivamente.
Para calcular a força, é importante observar que
nesse
pequeno
entreferro
a
componente
tangencial do campo H pode ser considerada
nula. Ou seja, nessa região, tem-se Hn=Hx e
Ht=0. As componentes da densidade de força,
calculadas pelas equações (3.1) e (3.2), são
fn =
(5.3)
ft = 0
Figura 5: percurso de integração
(5.4)
A seção transversal Sx de cada entreferro é
Aplicando-se a lei circuital de Ampère, tem-se
H n l n + H x x + H a la + H x x ≅ ni
1
µ 0 (H x )2 .
2
10mmx40mm e a força em cada entreferro pode
ser calculada através da componente normal da
(5.1)
densidade de força. Nesse caso, tem-se
onde ln, x e la representam o comprimento
médio de circulação do campo no núcleo,
entreferro
e
armadura.
Supondo
que
a
Fx =
1
µ 0 (H x )2 S x = 22,61N .
2
(5.5)
intensidade de campo H é desprezível no
A força que atrai a face frontal do entreferro
núcleo e armadura, x=5,0 mm e ni=3000 A-
inferior tem o mesmo valor e a estimativa para a
espiras, pode-se estimar o valor médio de H em
força total que atua sobre o núcleo é 45,24
cada um dos entreferros por
newtons, direcionada para a direita. Pelo
Hx =
ni
= 300kA / m.
2x
(5.2)
A ilustração da Fig. 6 mostra a face frontal do
princípio da ação e reação, a força que atrai a
armadura é, então, 45,24 newtons, direcionada
para a esquerda.
entreferro superior e uma linha pontilhada
perpendicular a essa face. Admitindo que todo o
fluxo magnético atravessa esse entreferro, o
campo H é predominantemente horizontal e
forma um ângulo nulo com o vetor unitário
normal n.
5.2. Modelo numérico
Nas simulações numéricas foi utilizado o
módulo
magnetostático
para
análise
de
problemas com simetria translacional da suíte
de programas de elementos finitos FEMM [3].
As principais informações sobre o modelo
numérico aparecem na Quadro I.
quando a armadura está se afastando do
Quadro I – Informações sobre o modelo numérico
núcleo. Indica, pois, que a força atrai a parte
Variável primária da
que está se movendo. Quando comparado ao
Vetor potencial magnético
análise numérica
valor
Malha
16925 elementos triangulares
de 1ª ordem
Condições de contorno
Truncamento de fronteiras
Fontes
±3000
ampere-espiras
calculado
analiticamente
de
45,25
newtons, observa-se que a estimativa da força
pelo cálculo manual é subestimada, e o erro é
nas
de aproximadamente 17%.
regiões da bobina
Material magnético
Aço 1010
5.4. Cálculos pelo tensor de Maxwell
O traçado das linhas equipotenciais para a
solução que representa o entreferro de 5,0 mm
é mostrado na Fig. 7. Na ilustração, também
5.3. Cálculos pelo trabalho virtual
aparece o contorno retangular que envolve a
Uma sequência de soluções estáticas foi usada
armadura e que foi usado para os cálculos de
para simular o deslocamento da armadura
força pelo método do tensor de Maxwell.
móvel. Com um entreferro inicial de 4,0 mm de
comprimento, foi empregado um deslocamento
posicional δx=0,5 mm de forma que uma
sequência de cinco soluções representa o
comportamento
do
acionador
quando
o
comprimento do entreferro varia entre 4,0 e 6,0
milímetros.
Os
valores
da
co-energia
magnética
armazenada no sistema para cinco valores do
comprimento do entreferro x são apresentados
na Tabela I.
Tabela I – Variação da co-energia com o entreferro
x (mm)
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
W’ (J)
0,7556
0,7187
0,6886
0,6635
0,6425
Para se obter uma estimativa para a força no
ponto intermediário do intervalo [4,0 6,0], podese aplicar a seguinte fórmula para diferenciação
numérica em pontos múltiplos
Fx
[0,7556 − 8 * 0,7187 + 8 * 0,6635 − 0,6425] (5.6)
=
12 * 5 x10 − 4
Figura 7: equipotenciais e contorno de integração
A integral da densidade de força ao longo do
contorno retangular da Fig. 7 resultou em de
54,75 N na direção –x, exatamente o mesmo
valor produzido pelo método do trabalho virtual.
A vista ampliada da região do entreferro que
aparece na Fig. 8 é usada para ilustrar a
importância dos campos dispersos na produção
O cálculo leva a uma estimativa Fx= −54,75 N e
o sinal negativo indica que a força tende a
reduzir com o aumento que ocorre na variável x
de força. Na ilustração, são indicados os valores
em newtons das forças em alguns trechos do
percurso de integração. Vale observar que, para
essa condição de operação, a força produzida
pelo espraiamento que ocorre próximo às
extremidades da armadura é de 5,20 N, ou seja,
9,5% da força total. Isso ajuda a explicar porque
a estimativa da força pelo cálculo analítico é
subestimada. Vale lembrar que aquele cálculo
despreza por completo os campos dispersos.
Figura 8: força produzida por campos dispersos
Apêndice
Característica de magnetização do aço 1010
Referências
[1] A.F.L. Nogueira e D.C.B. Pereira Jr., in Anais do
7º Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Belo
Horizonte,
2006.
Disponível
em
http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/noguei
ra/materiais/Momag.079.pdf
[2]
Magnetostatics
Case
Studies
(Infolytica
Corporation, 2009)
Disponível em
http://www.infolytica.com/en/markets/appspec/cstudie
s/C-core%20actuator_2Dcs.pdf
[3] D. Meeker, FEMM 4.0 Magnetics and
Electrostatics Reference Manual, 2008.
Disponível em http://foster-miller.net/wiki/HomePage