Termodinâmica 1

Termodinâmica 1 - FMT 159
Noturno, segundo semestre de 2009
Exercícios em classe
23/10/2009
1. Uma máquina térmica, com rendimento η = 0, 40 produz 200 J de trabalho em cada ciclo.
(a) Calcule o calor absorvido da fonte quente e o calor cedido para a fonte fria, a cada ciclo.
Solução:
Sabemos que
W
η=
,
Q1
então, o calor absorvido da fonte quente é
W
200
Q1 =
=
,
η
0, 4
Q1 = 500 J,
e o calor cedido para a fonte fria é
Q2 = Q1 − W,
Q2 = 300 J.
(b) Se cada ciclo dura 1/4 de segundo, qual a potência dessa máquina?
Solução:
P =
∆W
200 J
=
,
∆t
0, 25 s
P = 800 W.
2. Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica na qual seu volume aumenta 50%; em seguida
sofre uma contração isobárica até voltar ao volume inicial e em seguida é aquecida a volume constante até
a temperatura inicial, completando o ciclo.
(a) Desenhe esse ciclo em um diagrama PV.
p
A
p0
T0
p
B
C
T
V0
1,5V 0
V
(b) Calcule a pressão após a expansão isotérmica e a temperatura após a compressão isobárica. Expresse
os resultados em função da pressão inicial p0 e do volume inicial V0 .
Solução:
1
p=
nRT0
2 nRT0
=
,
1, 5V0
3 V0
p = 23 p0 .
E a temperatura é obtida através de
2 p0 V0
2
p0 V0 = nRT =⇒ T =
,
3
3 nR
ou
T = 23 T0 .
(c) Em que etapas do ciclo o gás realiza trabalho? Em que etapas trabalho é realizado sobre ele?
Solução:
No processo AB, o gás realiza trabalho, a saber
µ ¶
Z 1,5V0
Z 1,5V0
1
3
WAB =
pdV = nRT0
dV = nRT0 ln
,
V
2
V0
V0
µ ¶
3
WAB = nRT0 ln
.
2
No processo BC, trabalho é realizado sobre o gás, a saber
µ
¶
Z V0
2
3
1
2
p0 dV = p0 V0 − V0 = − p0 V0 ,
WBC =
3
2
3
1,5V0 3
ou
1
WBC = − nRT0 .
3
No processo CA, não há variação no volume do gás então WCA = 0.
(d) Em que etapas do ciclo o gás recebe calor? Em que etapas cede calor?
Solução:
No processo AB, ∆UAB = 0 =⇒ QAB = WAB > 0. Portanto, o gás recebe calor,
µ ¶
3
QAB = nRT0 ln
,
2
No processo BC, o gás cede calor,
¶
µ
2
T0 − T0 ,
QBC = nCp
3
1
QBC = − nCp T0 .
3
No processo CA, o gás recebe calor. Nesse processo WCA = 0, então
µ
¶
2
QCA = ∆UCA = nCV T0 − T0 ,
3
1
QCA = ∆UCA = nCV T0 .
3
(e) Calcule o rendimento desse ciclo.
Solução:
Vimos no item anterior que o calor recebido no ciclo é
µ ¶
3
1
Q1 = QAB + QCA = nRT0 ln
+ nCV T0 ,
2
3
e o trabalho líquido produzido no ciclo é
µ ¶
3
1
W = WAB + WBC = nRT0 ln
− nRT0 .
2
3
Portanto o rendimento desse ciclo é
³ ´
3
1
W
2 − 3 nRT0
´
³
η=
=
.
Q1
nRT0 ln 32 + 13 nCV T0
nRT0 ln
2
Essa expressão para η pode ser re-escrita em uma forma mais conveniente ou elegante(ou seja, em
função de γ ). O desenvolvimento que segue é, no entanto, pura álgebra, podendo ser omitido (os valores
numéricos poderiam perfeitamente ser substituídos diretamente na expressão acima).
³ ´
η=
η=
3
2
³ ´
´
Cp
CV
− 1 ln
³
Cp
CV
3
2
3
2
3
2
ln
3
2
+
−
+ 13 CV
³
3
2
Cp
CV
+
1
3
1
3(γ−1)
3
2
+
1
3
−1
1
3
− 13 (γ − 1)
³ ´
(γ − 1) ln
³ ´
1
3
³ ´
´
³ ´
(γ − 1) ln
ln
−
− 1 ln
³ ´
η=
− 13 (Cp − CV )
³ ´
(Cp − CV ) ln
³
η=
3
2
(Cp − CV ) ln
,
´
,
,
,
como γ = 5/3 =⇒ γ − 1 = 2/3,
³ ´
η=
ln
ln
3
2
−
1
3
3
2
+
1
2
³ ´
∼ 0, 08
(f) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas
T2
extremas (o rendimento de um ciclo de Carnot é dado por ηC = 1 − ).
T1
Solução:
ηC = 1 −
2T0 /3
T0
1
∼ 0, 33.
3
Note que o resultado do item anterior está de acordo com o teorema de Carnot, a saber: "Nenhuma máquina
térmica que opere entre uma dada fonte quente e uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de
uma máquina de Carnot".
ηC =
3. Mostre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: suponha que isso fosse possível e complete
o ciclo com uma isoterma; mostre que a segunda lei da termodinâmica seria violada se esse ciclo existisse.
Solução:
p
A
Q=0
B
T
Q=0
Q=0
C
V
Note que no processo isotérmico AB temos ∆UAB = 0, então o calor é absorvido, tal que
QAB = WAB > 0.
3
Além disso, nos outros dois processos BC e CA, ambos adiabáticos, temos que
QBC = QCA = 0.
Portanto, tal ciclo constituiria uma máquina térmica miraculosa, onde o único efeito seria absorver uma
quantidade de calor QAB > 0 de uma fonte quente e realizar uma certa quantidade de trabalho (correspondente à área dentro do ciclo) também > 0, violando a segunda lei da termodinâmica (enunciado de
Kelvin).
4