2. FLEXÃO EM VIGAS DE SEÇÃO SIMÉTRICA

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2. FLEXÃO EM VIGAS DE SEÇÃO SIMÉTRICA
É bastante comum na engenharia encontrar elementos estruturais submetidos à
flexão. Nesse contexto, um dos casos mais analisados é o caso da flexão de vigas sob
ação de forças cortantes e momentos fletores. Na segunda parte do curso, será abordado
o cálculo de deformações e tensões ao longo da seção transversal em barras sob flexão
simétrica.
Antes de dar início ao estudo da flexão, convém definir a convenção de sinal
para os esforços solicitantes internos: a cortante é positiva quando tende a girar o
elemento no sentido horário; e o momento fletor é positivo quando provoca tração (ou
alongamento) nas fibras inferiores (e compressão nas fibras superiores).
2.1. Deformação normal por flexão
Inicialmente, vamos limitar nossa análise ao seguinte caso: a seção possui - pelo
menos - um plano de simetria, e esse plano coincide com o plano de atuação do
momento fletor.
Analisando a forma deformada de um elemento sob flexão (ver figura 2.1),
podemos partir das seguintes hipóteses cinemáticas para flexão: linhas longitudinais
(inicialmente paralelas entre si e com mesmo comprimento) ficam curvas e sofrem uma
mudança não uniforme de comprimento, mas continuam paralelas entre si; seções
inicialmente planas e ortogonais ao eixo indeformado sofrem rotação mas permanecem
planas e ortogonais ao eixo deformado; e os prolongamentos das linhas transversais no
plano xy encontram-se no centro de curvatura C (ver figura 2.2). Em termos da
1
Mecânica dos Sólidos, podemos dizer que há somente deformação normal (εx ≠ 0), não
ocorrendo distorção (γxy = 0). Neste curso, não vamos nos preocupar com as demais
deformações normais (εy e εz).
Figura 2.1. Cinemática da flexão.
Figura 2.2. Análise das deformações por flexão. Os símbolos ρ, θ, y e c denotam,
respectivamente, a distância do centro de curvatura C à origem O, o ângulo de rotação
relativa entre as extremidades, a distância a partir da origem O ao longo da altura, e a
maior distância da origem O até uma das bordas (inferior ou superior).
É possível notar, nas figuras 2.1 e 2.2, que o comprimento final das fibras
longitudinais varia linearmente ao longo da altura (y), e que as fibras superiores sofrem
encurtamento e as inferiores são alongadas (já que a parte de cima é comprimida e a
parte de baixo é tracionada pelo momento positivo). Assim, podemos concluir que
2
existem algumas fibras específicas que passam pela origem O (y = 0) cujo comprimento
não varia. Dessa forma, analisando a figura 2.2 e chamando de L0 o comprimento inicial
(uniforme) das fibras longitudinais, a deformação normal das fibras longitudinais
varia linearmente de acordo com a seguinte expressão:
x    y  
LF  L0    y    
y


L0


(2.1)
onde a razão 1/ρ é chamada de curvatura da seção. De acordo com (2.1), a deformação
normal máxima ocorre em y = c:
 max    c   

c
   y   max y

c
(2.2)
A intersecção do plano de simetria com o plano y = 0 (altura das fibras
longitudinais cujo comprimento não varia) é chamada de linha neutra. A determinação
de sua posição (isto é, a determinação da origem O) é feita a partir da análise das
tensões do próximo item.
2.2. Fórmula da tensão
Se o material está sob regime elástico-linear, aplicamos a lei de Hooke uniaxial à
expressão (2.2):
  E    y  
Emax

y  max y
c
c
(2.3)
ou seja, assim como a deformação, a tensão normal longitudinal também varia
linearmente ao longo da altura e não varia ao longo da largura. Na linha neutra
temos y = 0 e, portanto, σ = 0. Para determinar a posição dessa linha, empregamos a
relação entre esforço solicitante normal e tensão normal:
3
N   dA 
A
max
c
 ydA 
A
max
Sz
c
(2.4)
onde Sz é o chamado momento estático ou momento de primeira ordem em relação
ao eixo z (ver figura 2.2). Para o caso de flexão pura, temos apenas momento fletor na
seção. Assim, o esforço normal é nulo e, portanto:
N
max
c
 ydA  0   ydA  0
A
(2.5)
A
Por definição, a última integral é zero se, e somente se, a origem do eixo y coincidir
com o centroide da seção. Em outras palavras, para elementos sob flexão pura em
regime elástico, a linha neutra coincide com o centroide da seção. O cálculo do
centroide de uma seção qualquer é feito a partir das seguintes definições:
 ydA  Ay
(2.6)
A
 zdA  Az
(2.7)
A
onde y e z são as coordenadas do centroide da seção em relação a um sistema de eixos
paralelos a y e z com origem arbitrária.
Para calcular o valor máximo da tensão normal longitudinal em função do
momento fletor interno na seção, utilizamos a relação entre tensão e momento:
M   ydA 
A
max
c
 y dA 
2
A
max
Mc
Iz  max 
c
Iz
(2.8)
onde Iz é o chamado momento de inércia ou momento de segunda ordem em torno
do eixo z (ver figura 2.2). A expressão (2.8) é chamada de fórmula da tensão. Para
seções transversais retangulares e circulares, os momentos de inércia são,
respectivamente:
4
bh 3
I z  ret  
12
(2.9)
c4
Iz  circ  
4
(2.10)
onde b e h são, nesta ordem, as dimensões do retângulo ao longo de z e y; e c é o raio do
círculo.
Para seções compostas por uma combinação de áreas com centroide e momento
de inércia conhecidos, a determinação do centroide é realizada com as seguintes
expressões:
  A i yi 
y i
 Ai
(2.11)
i
  Ai zi 
z i
 Ai
(2.12)
i
onde A i , y i e z i são, respectivamente, a área e as coordenadas do centroide (em
relação a um sistema qualquer de eixos) das áreas que compõem a seção composta. Para
cálculo do momento de inércia de uma seção composta, empregamos o teorema dos
eixos paralelos:
 
2
Iz    Iz  Ai  di  

i

i
(2.13)
 i é o momento de inércia de cada seção em relação ao respectivo centroide; A
onde I z
i
é a área de cada seção; e di é a distância (ao longo da altura) entre o centroide de cada
área e o centroide de toda a seção.
5
2.3. Determinação das tensões tangenciais
Antes de mostrar como calcular as tensões cisalhantes (tangenciais) na seção,
vamos definir as relações entre carregamento distribuído externo (w), esforço cortante
(V) e momento fletor interno (M). Para elementos sob flexão simples, temos apenas
cortante e momento fletor. Analisando um elemento da viga da figura 2.3, o equilíbrio
de forças na vertical e de momentos fletores no plano resulta em (fazendo Δx tender a
zero ou x  dx ):
dV
 w
dx
(2.14)
dM
V
dx
(2.15)
Figura 2.3. Equilíbrio para um elemento sob flexão simples.
A determinação das tensões tangenciais é feita aqui com auxílio da figura 2.4.
Fazendo equilíbrio de forças na direção longitudinal (x):
H    D  C  dA 

M D  MC
 ydA
Iz

(2.16)
6
onde ΔH é a força cortante ao longo da direção longitudinal aplicada na face inferior do
elemento CDD’C’;  é a área compreendida entre y = y1 e y = c; σC e σD são,
respectivamente, as tensões normais atuantes nas faces CC’ e DD’; e MC e MD são,
respectivamente, os momentos fletores internos nas faces CC’ e DD’. Com a expressão
(2.15), o incremento de momento resulta em (ver expressão 2.4):
M D  M C  M  Vx  H 
VSz
x
Iz
(2.17)
No limite x  dx , determinamos a tensão cisalhante (tangencial):

dH VSz

bdx bI z
(2.18)
onde b é a largura (ou espessura) da seção. Convém lembrar que a expressão (2.18) é
válida para seções cuja largura é bem menor do que a altura.
Figura 2.4. Análise do equilíbrio de um trecho de uma seção sob flexão simples.
Para seções retangulares, o momento estático Sz para o trecho compreendido
entre a borda superior e o plano y (ver figura 2.5) resulta em:

b
1

Sz   ydA  yA    c  y    b  c  y    c 2  y 2
2
2

y

(2.19)
isto é, para a seção retangular da figura 2.5, o momento estático Sz e, portanto, a
tensão cisalhante (2.18) variam de forma quadrática ao longo da altura, são nulos
7
nas bordas superior e inferior (y = c e y = -c), e atingem os seus valores máximos no
centro (y = 0):
 Sz max 
max 
bc 2
2
V  Sz max
bIz
(2.20)

3V
2A
(2.21)
Figura 2.5. Seção retangular (cálculo do momento estático Sz).
Para cálculo do momento estático em seções compostas, a seguinte expressão
pode ser usada:
 
Sz    Ai yi 


(2.22)
i
onde y i é a distância (ao longo da altura) do centroide de cada área ao centroide da
seção composta.
8
LISTA 2 - FLEXÃO
2.1. Determinar a altura da viga se a tensão normal admissível é 1750 lb/in². Lembrar
que 1 ft = 12 in.
Ex. 2.1.
2.2. Para a seção mais solicitada da viga, determinar a distribuição da tensão normal ao
longo da altura, determinando seus valores máximo, mínimo e no ponto a. Lembrar que
1 kip = 1000 lb, 1 ft = 12 in.
Ex. 2.2.
2.3. Para a seção n-n, determinar a distribuição da tensão normal ao longo da altura,
determinando seus valores máximo, mínimo e no ponto a.
9
Ex. 2.3.
2.4. Determinar a máxima tensão normal na viga. Lembrar que 1 kip = 1000 lb.
Ex. 2.4.
2.5. A chapa de aço (E = 200 GPa) é fletida por dois momentos fletores até que se torne
um círculo completo. Se a tensão normal admissível é de 420 MPa, determinar a
espessura (t) máxima da chapa, e os momentos aplicados correspondentes.
10
Ex. 2.5.
2.6. Se P = 8 kN, determinar as tensões normais nos pontos A e B.
Ex. 2.6.
2.7. Resolver o problema 2.1 considerando, apenas, a tensão cisalhante admissível de
130 lb/in².
2.8. Para o problema 2.2, determinar a distribuição da tensão cisalhante ao longo da
altura, indicando os valores máximo, mínimo e nos pontos de descontinuidade.
11
2.9. Para o problema 2.4, determinar a distribuição da tensão cisalhante ao longo da
altura, indicando os valores máximo, mínimo e nos pontos de descontinuidade.
2.10. Determinar a distribuição da tensão cisalhante ao longo da altura, indicando os
valores máximo, mínimo e nos pontos de descontinuidade. Dimensões (à esquerda) em
mm.
Ex. 2.10.
12
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