Técnicas de Integração

Técnicas de
Integração
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Capítulo 7
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
∫
b
ƒ Na definição de integral definida a f ( x) dx ,
trabalhamos com uma função f definida em
um intervalo limitado [a, b] e supomos que f
não tem uma descontinuidade infinita (veja
a Seção 5.2).
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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
7.8
Integrais Impróprias
Nessa seção aprenderemos como resolver integrais
definidas nas quais o intervalo é infinito e a função
tem uma descontinuidade também infinita.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
ƒ Nesta seção estendemos o conceito de
integral definida para o caso em que o
intervalo é infinito e também para o caso
onde f tem uma descontinuidade infinita em
[a, b].
ƒ Em ambos os casos, a integral é chamada
integral imprópria. Uma das aplicações mais
importantes dessa ideia, distribuições de
probabilidades, será estudada na Seção 8.5.
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TIPO 1—INTERVALOS INFINITOS
ƒ Considere a região infinita S que está sob a
curva y = 1/x2, acima do eixo x e à direita
da reta x = 1.
ƒ Você poderia pensar que, como S tem
extensão infinita, sua área deve ser infinita.
• Mas vamos olhar mais de perto.
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INTERVALOS INFINITOS
ƒ A área da parte de S que está à esquerda
da reta x = t (sombreado na Figura) é:
A(t ) = ∫
t
1
t
1
1⎤
1
dx = − ⎥ = 1 −
2
x
x ⎦1
t
• Observe que
A(t) < 1 não
importando
quão grande
seja t.
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INTERVALOS INFINITOS
ƒ Também observamos que:
⎛ 1⎞
lim A(t ) = lim ⎜1 − ⎟ = 1
t →∞
t →∞
⎝ t⎠
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INTERVALOS INFINITOS
ƒ A área da região sombreada se aproxima
de 1 quando t → ∞.
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INTERVALOS INFINITOS
ƒ Assim, dizemos que a área da região infinita
S é igual a 1 e escrevemos:
∫
∞
1
t 1
1
dx = lim ∫ 2 dx = 1
2
t →∞ 1 x
x
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INTERVALOS INFINITOS
ƒ Usando esse exemplo como um guia,
definimos a integral de ƒ (não
necessariamente uma função positiva)
sobre um intervalo infinito como o limite das
integrais sobre os intervalos finitos.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
Definição 1 a
t
ƒ Se ∫a f ( x) dx existe para cada número t ≥ a,
então:
∫
∞
a
t
f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx
t →∞
a
desde que o limite exista (como um número
finito).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
Definição 1 b
b
ƒ Se ∫t f ( x) dx existe para cada número t ≤ a,
então:
∫
b
−∞
b
f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx
t →∞ t
desde que o limite exista (como um número
finito).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
∞
Definição 1 b
ƒ As integrais impróprias ∫ f ( x) dx e
a
são chamadas:
∫
b
−∞
f ( x) dx
• Convergentes se os limites correspondentes existem.
• Divergentes se os limites não existem.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
∞
Definição 1 c
a
ƒ Se ambas ∫a f ( x) dx e ∫−∞ f ( x) dx
convergentes, então definimos:
∫
∞
−∞
f ( x) dx = ∫
a
−∞
são
∞
f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
a
• Aqui, qualquer número real a pode ser usado (veja o
Exercício 74).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
ƒ Qualquer uma das integrais impróprias na
Definição 1 pode ser interpretada como
uma área, desde que f seja uma função
positiva.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
ƒ Por exemplo, no caso (a), f(x) ≥ 0
∞
e a integral ∫a f ( x) dx é convergente.
• Então definimos a área da região
S = {(x, y) | x ≥ a, 0 ≤ y ≤ f(x)} na figura como:
∞
A( S ) = ∫ f ( x) dx
a
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
∞
ƒ Isso é apropriado porque ∫ f ( x) dx é o
a
limite quando t → ∞ da área sob o gráfico
de f de a a t.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 1
ƒ Determine se a integral
∫
∞
1
(1/ x) dx é
convergente ou divergente.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 1
ƒ De acordo com a parte (a) da Definição 1,
temos:
t
t 1
∞1
⎤
dx
dx
x
=
=
lim
lim
ln
∫1 x t →∞ ∫1 x t →∞ ⎦1
= lim(ln t − ln1)
t →∞
= lim ln t = ∞
t →∞
• O limite não existe como um número finito e, assim, a
integral imprópria é divergente.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
ƒ Vamos comparar o resultado do Exemplo 1 com o
exemplo dado no início desta seção:
∫
∞
1
1
dx converge
2
x
∫
∞
1
1
dx ddiverge
x
• Geometricamente, isso quer dizer que, embora as
curvas y = 1/x2 e y = 1/x sejam muito semelhantes
para x > 0 a região sob y = 1/x2 à direita de x = 1 tem
uma área finita, enquanto a correspondente região sob
y = 1/x tem uma área infinita.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1
ƒ Observe que 1/x2 e 1/x aproximam-se de 0
quando x → ∞, mas 1/x2 aproxima-se de 0
mais rápido que 1/x.
• Os valores de 1/x não diminuem rápido o suficiente
para que sua integral tenha um valor finito.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2
0
x
ƒ Calcule
∫
−∞
xe dx
• Usando a parte (b) da Definição 1, temos:
∫
0
−∞
0
xe dx = lim ∫ xe dx
x
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t →−∞ t
x
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2
• Integramos por partes com u = x,
dv = ex dx de modo que du = dx, v = ex:
∫
0
t
0
xe dx = xe ⎤⎦ − ∫ e dx
t
t
x
x
0
= −te − 1 + e
t
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x
t
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2
ƒ Sabemos que et → 0 quando t → -∞, e pela
Regra de L’Hôspital temos:
t
lim te = lim − t
t →−∞
t →−∞ e
1
= lim − t
t →−∞ −e
t
= lim (−e )
t
t →−∞
=0
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 2
ƒ Portanto
∫
0
−∞
xe dx = lim (−te − 1 + e )
x
t
t →−∞
= −0 − 1 + 0
= −1
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t
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3
∞
ƒ Calcule
1
dx
2
∫−∞ 1 + x
• É conveniente escolher a = 0 na Definição 1 (c):
∞
0
∞
1
1
1
∫−∞ 1 + x 2 dx = ∫−∞ 1 + x 2 dx + ∫0 1 + x 2 dx
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3
ƒ Precisamos calcular as integrais no lado
direito separadamente:
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3
ƒ Como ambas as integrais são
convergentes, a integral dada é
convergente e
1
π π
dx
=
+
=
π
∫−∞ 1 + x 2
2 2
∞
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 3
ƒ Como 1/(1 + x2) > 0, a integral imprópria
dada pode ser interpretada como a área da
região infinita sob a curva y = 1/(1 + x2) e
acima do eixo x (veja a Figura).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4
∞
ƒ Para quais valores de p a integral ∫
1
é convergente?
1
dx
p
x
• Sabemos do Exemplo 1 que se p = 1, a integral é
divergente.
• Vamos então supor que p ≠ 1.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4
ƒ Então,
∫
∞
1
t
1
−p
dx = lim ∫ x dx
p
t →∞ 1
x
x =t
⎤
x
= lim
⎥
t →∞ − p + 1
⎦ x =1
− p +1
1 ⎡ 1
⎤
= lim
− 1⎥
−
p
1
⎢
t →∞ 1 − p t
⎣
⎦
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4
ƒ Se p > 1, então p – 1 > 0.
ƒ Assim, quando t → ∞, t
• Portanto,
∫
∞
1
p-1
→ ∞ e 1/t p-1 → 0.
1
1
dx =
se p > 1
p
x
p −1
• E, nesse caso, a integral converge.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Exemplo 4
ƒ Mas se p <1, então p – 1 < 0.
1
ƒ E assim,
t
p −1
=t
1− p
→ ∞ quando t → ∞ .
• E a integral diverge.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 1 Definição 2
ƒ Resumimos o resultado do Exemplo 4 para
referência futura:
ƒ
∫
∞
1
1
dx é:
p
x
• Convergente se p > 1
• Divergente se p ≤ 1
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TIPO 2—INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS
ƒ Suponha que ƒ seja uma função positiva
contínua definida no intervalo finito [a, b),
mas com a assíntota vertical em b.
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INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS
ƒ Seja S a região ilimitada sob o gráfico de f e
acima do eixo x entre a e b.
• Para as integrais do Tipo 1, a região se estende
indefinidamente em uma direção horizontal.
• Aqui a região é infinita em uma direção vertical.
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INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS
ƒ A área da parte de S entre a e t (a região
sombreada na Figura é:
t
A(t ) = ∫ f ( x) dx
a
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INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS
ƒ Se acontecer de A(t) se aproximar um
número definido A quando t → b , então
dizemos que a área da região S é A e
escrevemos:
∫
b
a
t
f ( x) dx = lim− ∫ f ( x) dx
t →b
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a
INTEGRANDOS DISCONTÍNUOS
ƒ Usamos essa equação para definir uma
integral imprópria do Tipo 2 mesmo quando
f não é uma função positiva, não importando
o tipo de descontinuidade que f tenha em b.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Definição 3 a
ƒ Se f é contínua em [a, b) e descontínua
em b, então:
∫
b
a
t
f ( x) dx = lim− ∫ f ( x) dx
t →b
a
se esse limite existir (como um número
finito).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Definição 3 b
ƒ Se f é contínua em (a, b] e descontínua em
a, então:
∫
b
a
b
f ( x) dx = lim+ ∫ f ( x) dx
t →a
t
se esse limite existir (como um número).
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Definição 3 b
ƒ As partes (b) e (c) da Definição 3 são
mostradas nas figuras seguintes para o
caso onde f(x) ≥ 0 e f tem uma assíntota
vertical em a e c, respectivamente.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ A integral imprópria
∫
b
a
Definição 3 b
f ( x) dx é chamada:
• Convergente se o limite correspondente existir.
• Divergente se o limite não existir.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Definição 3 c
ƒ Se f tiver uma descontinuidade
em
c,
onde
b
c
a < c < b, e ambos∫a f ( x) dx e ∫c f ( x) dx forem
convergentes, então definimos:
∫
b
a
c
b
a
c
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ Calcule
∫
5
2
Exemplo 5
1
dx
x−2
• Observamos primeiro que essa integral é imprópria,
porque f ( x) = 1/ x − 2 tem uma assíntota vertical x = 2.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 5
• Como a descontinuidade infinita ocorre no extremo
esquerdo de [2, 5], usamos a parte (b) da Definição 3:
∫
5
2
5
dx
dx
= lim+ ∫
x − 2 t →2 t x − 2
= lim+ 2 x − 2 ⎤⎦
t →2
5
t
= lim+ 2( 3 − t − 2)
t →2
=2 3
• Então, a integral imprópria dada é convergente.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 5
• Como o integrando é positivo, podemos interpretar o valor
da integral como a área da região sombreada na Figura.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ Determine se
diverge.
∫
π 2
0
Exemplo 6
sec x dx converge ou
• Observe que a integral fornecida é imprópria, porque:
lim − sec x = ∞
x → (π / 2)
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 5
• Usando a parte (a) da Definição 3 e a Fórmula 14 da
Tabela de Integrais, temos:
• Isso porque sec t → ∞ e tg t → ∞ quando t → (π/2)-.
• Então, a integral imprópria dada é divergente.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ Calcule
∫
3
0
dx
x −1
Exemplo 7
se for possível.
• Observe que a reta x = 1 é uma assíntota vertical do
integrando.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 7
• Como esta ocorre no meio do intervalo [0, 3], devemos
usar a parte (c) da Definição 3 com c = 1:
∫
3
0
1 dx
3 dx
dx
=∫
+∫
x −1 0 x −1 1 x −1
onde
∫
1
0
t
t dx
dx
= lim− ∫
= lim− x − 1 ⎤⎥
⎦0
x − 1 t →1 0 x − 1 t →1
= lim(ln
t − 1 − ln −1)
−
t →1
= lim− ln(1 − t ) = −∞
t →1
• Porque 1 – t → 0+ quando t → 1-.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ Então,
Exemplo 7
1
∫ dx /( x − 1) é divergente.
0
ƒ Isso implica que
∫
3
0
dx /( x − 1) é divergente.
• Não precisamos calcular
∫
3
1
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dx /( x − 1).
ATENÇÃO
ƒ Se não tivéssemos observado a assíntota
x = 1 no Exemplo 7 e em vez disso tivéssemos
confundido essa integral com uma integral
ordinária, então poderíamos ter feito
erroneamente o seguinte cálculo:
3
3 dx
∫0 x − 1 = ln x − 1 ⎦⎤ 0
= ln 2 − ln1
= ln 2
• Isto é errado, porque a integral é imprópria e deve ser
calculada em termos de limite.
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ATENÇÃO
ƒ De agora em diante, quando você se
b
deparar com o símbolo ∫a f ( x) dx , deverá
decidir, olhando a função f no intervalo [a,
b], se ela é uma integral definida ordinária
ou uma integral imprópria.
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
ƒ Calcule
Exemplo 8
1
∫ ln x dx
0
• Sabemos que função f(x) = ln x em uma assíntota
vertical em 0 porque lim+ ln x = −∞ .
x →0
• Assim, a integral dada é imprópria e temos:
1
1
∫ ln x dx = lim ∫ ln x dx
0
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t → 0+
t
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 8
ƒ Agora, usamos a integral por partes com
u = ln x, dv = dx, du = dx/x e v = x:
∫ ln x dx = x ln x ] − ∫ dx
1
1
1
t
t
t
= 1ln1 − t ln t − (1 − t )
= −t ln t − 1 + t
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 8
ƒ Para calcular o limite do primeiro termo
usamos a Regra de L’Hôspital:
ln t
lim+ t ln t = lim+
t →0
t → 0 1/ t
1/ t
= lim+
2
t → 0 −1/ t
= lim(
−t )
+
t →0
=0
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 8
• Portanto,
∫
1
0
ln x dx = lim(
−
t
ln
t
−
1
+
t
)
+
t →0
= −0 − 1 + 0
= −1
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INTEGRAIS IMPRÓPRIAS DO TIPO 2
Exemplo 8
ƒ A Figura mostra a interpretação geométrica
desse resultado.
• A área da região
sombreada acima de
y = ln x e abaixo do
eixo x é 1.
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UM TESTE DE COMPARAÇÃO PARA INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
ƒ Algumas vezes é impossível encontrar o
valor exato de uma integral imprópria, mas
ainda assim é importante saber se ela é
convergente ou divergente.
• Nesses casos, o teorema seguinte é útil.
• Apesar de afirmarmos isso para as integrais do Tipo
1, um teorema análogo é verdadeiro para as integrais
do Tipo 2.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ Suponha que f e g sejam funções contínuas
com f(x) ≥ g(x) ≥ 0 for x ≥ a.
∫
∞
∫
∞
a. Se f ( x) dx é convergente, então
a
convergente.
b. Se g ( x) dx é divergente, então
a
divergente.
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∫
∫
∞
a
∞
a
g ( x) dx é
f ( x) dx é
TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ Omitiremos a demonstração do Teorema
da Comparação, mas a Figura o faz
parecer plausível.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ Se a área sob a curva superior y = f (x) for
finita, então a área sob a curva inferior
y = g(x) também é finita.
ƒ E se a área sob
y = g(x) for infinita,
então a área sob
y = f(x) também é
infinita.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ Observe que a recíproca não é
necessariamente verdadeira:
• Se
∫
∞
∫
∞
a
∞
g ( x) dx é convergente,∫ f ( x) dx pode ser ou
a
não convergente.
• Se
a
f ( x) dx é divergente,
não divergente.
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∫
∞
a
g ( x) dx
pode ser ou
TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ Mostre que
∫
∞
0
e
− x2
Exemplo 9
dx é convergente.
• Não podemos calcular a integral diretamente.
2
• Porque a primitiva de e-x não é uma função elementar
(como explicado na Seção 7.5).
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
Exemplo 9
ƒ Escrevemos:
∫
∞
0
e
− x2
1
dx = ∫ e
− x2
0
∞
dx + ∫ e
1
− x2
dx
• Observamos que a primeira integral do lado direito é
apenas uma integral definida ordinária.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
Exemplo 9
ƒ Na segunda integral usamos o fato de que
para, x ≥ 1, temos x2 ≥ x.
ƒ Assim,
–x2
≤ -x e, portanto,
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2
-x
e
≤ e-x.
TEOREMA DE COMPARAÇÃO
Exemplo 9
ƒ A integral de e-x é calculada facilmente:
∫
∞
1
t
e dx = lim ∫ e dx
−x
−x
t →∞ 1
−1
−t
= lim(e − e )
t →∞
=e
−1
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
e-x
Exemplo 9
2
-x
e
ƒ Então, tomando f(x) =
e g(x) =
no Teorema da Comparação, vemos que
∞
− x2
∫ e dx é convergente.
1
• Segue que
∫
∞
0
e
− x2
dx é convergente.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
∞
ƒ No Exemplo 9 mostramos que ∫0 e dx
é convergente sem calcular seu valor.
− x2
• No Exercício 70 indicamos como mostrar que seu valor
é aproximadamente 0,8862.
• Na teoria de probabilidade é importante saber o valor
exato dessa integral imprópria.
• usando os métodos do cálculo em diversas variáveis
pode ser mostrado que o valor exato é π / 2.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ A Tabela 1 ilustra a definição de integral
imprópria revelando como os valores
t
(gerados por computador) de∫0 e− x dx se
aproximam de π / 2 quando t se torna
grande.
2
• De fato, esses valores
convergem bem depressa,
porque e-x2 → 0 muito
rapidamente quando x → ∞.
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
Exemplo 10
1 + e− x
ƒ A integral ∫
dx é divergente pelo
1
x
1 + e− x 1
Teorema da Comparação porque
> .
x
x
∞
ƒ
∫
∞
1
(1/ x) dx é divergente pelo Exemplo 1 [ou
por (2) com p = 1].
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TEOREMA DE COMPARAÇÃO
ƒ A Tabela 2 ilustra a divergência da integral
do Exemplo 10.
• Parece que os valores
não se aproximam de
nenhum número fixado.
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