Medidas de Dispersão

UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
MEDIDAS
DESCRITIVAS
Departamento de Estatística
Tarciana Liberal
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As
medidas de posição apresentadas fornecem a
informação dos dados apenas a nível pontual, sem
ilustrar outros aspectos referentes à forma como os
dados estão distribuídos na amostra.
As
medidas de dispersão são utilizadas para avaliar
o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores
em torno da média.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Exemplo: Notas de três turmas de Cálculo das Probabilidades - UFPB
Observações importantes
i)
As três turmas possuem a mesma média.
ii)
As notas estão distribuídas sob diferentes formas.
iii)
A média resume o conjunto de dados apenas posição central.
iv)
A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados.
Solução: Apresentar junto da média uma medida que
sumarize a variabilidade do conjunto de dados.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude Total: Uma forma simples de medir a
dispersão em um conjunto de observações é
através da amplitude total:
AT =
Verifica-se que a amplitude como medida de
dispersão é limitada. Essa medida só depende
dos valores extremos, ou seja, não é afetada pela
dispersão dos valores internos
EXEMPLO: Calcule as amplitudes das notas das turmas.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
A variância é definida como a média aritmética do
quadrado dos desvios, definidos por Xi − X . Dessa
forma,
Para dados não agrupados:
Na prática não conhecemos toda a população.Logo,
utilizamos a variância amostral,dada por:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
b) Para dados agrupados:
σ2 =
2
(
)
X
−
µ
⋅ fi
∑ i
N
Na prática não conhecemos toda a população. Logo, utilizamos a
variância amostral,dada por:
ou
∑ X i ⋅ fi
2
S2 =
X ⋅f)
(
∑
−
i
2
i
n
n −1
Obs: Xi é o ponto médio das classes.
EXEMPLO: Obtenha a variância das notas da turma de Cálculo das
probabilidades:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Desvio Padrão: O desvio padrão mede o desvio de cada
uma das observações Xi em relação à média, e é definido
da seguinte forma:
(Desvio Padrão Populacional)
2
σ= σ
S=
S
2
(Desvio Padrão Amostral)
Esta definição vale tanto para dados agrupados como para dados não
agrupados.
Importante: O desvio padrão é uma medida de variabilidade expressa
na mesma unidade de medida da variável.
EXEMPLO: Obtenha o desvio padrão das notas das turmas.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Coeficiente de Variação: É uma medida relativa de
dispersão, útil para comparar a variabilidade de observações
com diferentes unidades de medida. É definida por:
σ
CV = 
µ

 × 100 (populacional)

S 
CV =   × 100 (Amostral)
 x 
É adimensional e freqüentemente expresso em percentagem.
Exemplo:
VALORES
MÉDIA
D.P.
C.V.
1-2-3
2
1
0,5
100 - 200 - 300
200
100
0,5
101 - 102 - 103
102
1
0,01
EXEMPLO: Obtenha o desvio padrão das notas das turmas.
a)
Exemplo: Na tabela abaixo encontra-se a estrutura do
produto interno bruto do Brasil, em bilhões de reais,
segundo as atividades econômicas.
Em qual dos setores ocorre a maior variabilidade?
PERÍODO
AGROPECUÁRIA
INDÚSTRIA
SERVIÇOS
2002
6,6
27,1
66,3
2003
7,4
27,8
64,8
2004
6,9
30,1
63
2005
5,7
29,3
65
2006
5,5
28,8
65,8
2007
5,6
27,8
66,6
EXEMPLO: O Diretor de uma empresa deseja analisar os salários de
seus funcionários. Os salários dos funcionários do sexo
feminino estão apresentados a seguir:
SALÁRIO
455
700 710 730 880 2005
No
Funcionários
1
4
3
5
2
1
Sabe-se que os salários médios dos homens é de 850,00 com
variância de 250000,00, salário mediano de 620,00 e salário mais
freqüente de 710,00.
a) Encontre os salários médio, mediano e modal das mulheres. Qual
dessas medidas é mais adequada para representar este conjunto de
dados? Porque?
b) Encontre a variância e o coeficiente de variação dos salários das
mulheres. Interprete os resultados.
c) Qual classe (homens ou mulheres) ganha melhor? Justifique baseado
em todas as medidas calculadas.
d) O diretor resolveu conceder um abono de 80,00 para todos os
funcionários devido às horas extras trabalhadas. Haverá alterações nos
salários médios de homens e mulheres? Para quanto? E as variâncias
serão alteradas? Para quanto? (utilize as propriedades da esperança e
variância)
EXEMPLO: Uma fábrica classifica operários de acordo com
os graus obtidos em testes de aptidão. Os dados estão
abaixo:
NOTAS
No de Operários
0 |--- 2
6
2 |--- 4
10
4 |----6
23
6 |--- 8
11
8 |--- 10
8
a) Calcule o grau médio obtido pelos operários;
b) O operário que tirar nota acima de receberá um prêmio. Um
operário para receber esta menção deverá ter tirado quanto?
c) Com base nos dados da tabela calcule a nota acima da qual se
situam 50% dos operários.