CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor
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Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico. Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental 1 Limites Laterais 2 Teorema do Valor Intermediário 3 Teorema do Confronto 4 Limite Trigonométrico Fundamental Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Considere a função de Heaviside, denida por 1 se t ≥ 0 H(t) = 0 se t < 0 é possível calcular limt→0 H(t)? Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Figura: Gráco de Função de Heaviside Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x à direita de um número real a, signica dizer que estamos nos aproximando de a por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x → a+ . Analogamente, se considerarmos pontos x à esquerda de um número real a, signica que estamos nos aproximando de a por números menores que ele, e isso será denotado por x → a− . Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x à direita de um número real a, signica dizer que estamos nos aproximando de a por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x → a+ . Analogamente, se considerarmos pontos x à esquerda de um número real a, signica que estamos nos aproximando de a por números menores que ele, e isso será denotado por x → a− . No caso da função H(t), notamos que lim+ H(t) = 1 e lim− H(t) = 0. Formalizando essa ideia: x→0 x→0 Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Denição Dizemos que L é o limite à direita da função f (x) quando x → a+ e escrevemos lim+ f (x) = L x→a se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < x − a < δ então |f (x) − L| < ε. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Denição Dizemos que L é o limite à esquerda da função f (x) quando x → a− e escrevemos lim− f (x) = L x→a se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < a − x < δ então |f (x) − L| < ε. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t → 0, dizemos que lim H(t) não existe e esse fato é enunciando no t→0 nosso próximo teorema, que relaciona a denição de limite com as denições de limite à esquerda e à direita: Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t → 0, dizemos que lim H(t) não existe e esse fato é enunciando no t→0 nosso próximo teorema, que relaciona a denição de limite com as denições de limite à esquerda e à direita: Teorema lim f (x) = L x→a se, e somente se lim f (x) = L = lim− f (x) x→a+ x→a Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Calcule o valor de lim |x|, se existir. x→0 Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Calcule o valor de lim |x|, se existir. x→0 Exemplo |x| não existe. x→0 x Vamos vericar que o limite lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Teorema (do Valor Intermediário) Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) 6= f (b). Então existe um número c em (a, b) tal que f (c) = N . Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Figura: Ilustração geométrica do Teorema do Valor Intermediário Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Observação É importante que a função f do TVI seja contínua. O Teorema do Valor Intermediário não é verdadeiro em geral para funções descontínuas. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Observação É importante que a função f do TVI seja contínua. O Teorema do Valor Intermediário não é verdadeiro em geral para funções descontínuas. Teorema (de Bolzano ou do Anulamento) Se f for contínua e f (a) e f (b) assumirem assumirem sinais contrários, então existirá c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Mostre que existe uma raiz da equação 4x 3 − 6x 2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2. Exemplo Mostre que a equação x 3 − 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma solução real. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Teorema (do Confronto) Se f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto que contenha a (exceto possivelmente a) e lim f (x) = lim h(x) = L, x→a então x→a lim g (x) = L. x→a Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Seja f uma função denida em R tal que para todo x 6= 1, temos: −x 2 + 3x ≤ f (x) ≤ Calcule lim f (x) e justique. x→1 x2 − 1 . x −1 Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Seja f uma função denida em R tal que para todo x 6= 1, temos: −x 2 + 3x ≤ f (x) ≤ Calcule lim f (x) e justique. x→1 Exemplo 1 Mostre que lim x .sen = 0. x→0 x 2 x2 − 1 . x −1 Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Suponha f uma função contínua e suponha que para todo x , |f (x)| < x 2 . (a) Calcule, caso exista, lim f (x). x→0 (b) f é contínua em 0? Por quê? Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que lim f (x) = 0 e x→p |g (x)| ≤ M para todo x em A, em que M > 0 é um número real xo. Prove que: lim f (x)g (x) = 0. x→p Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo Calcule lim x.sen x→0 π x . Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do Confronto demonstra-se que sen x =1 x→0 x lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do Confronto demonstra-se que sen x =1 x→0 x lim A demonstração usando a regra do L'Hospital é mais simples que vou deixar para depois da aula de derivadas. Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo sen (5x) . x→0 x Calcule lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo sen (5x) . x→0 x Calcule lim Exemplo 1 − cos x . x→0 x2 Calcule lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo sen (6x) . x→0 5x Calcule lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo sen (6x) . x→0 5x Calcule lim Exemplo tg x . x→0 x Calcule lim Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Exemplo sen x . x→π x − π Calcule lim Na próxima aula... Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Derivadas Na próxima aula... Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Derivadas Denição de Derivada; Na próxima aula... Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Derivadas Denição de Derivada; Derivada das funções elementares; Na próxima aula... Limites Laterais Teorema do Valor Intermediário Teorema do Confronto Limite Trigonométrico Fundamental Derivadas Denição de Derivada; Derivada das funções elementares; Derivabilidade e Continuidade.
