Capítulo 5 - Vetores - Alex Nogueira Brasil

Geometria Analítica e Álgebra Linear
85
5. Vetores
Vetores no Plano e no Espaço
Existem dois tipos de grandeza: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que
ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma
unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são
exemplos de grandezas escalares.
Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu
módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas
vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu
módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade,
aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Relembramos que o sistema dos números reais pode ser visualizado como uma reta L,
que colocamos geralmente em posição horizontal. Escolhe-se um ponto O, chamado de
origem; o correspondente ao número 0. Um ponto A é escolhido à direita de O, fixando
desta maneira o comprimento de AO como sendo 1 e especificando uma direção
positiva. Assim, os números reais positivos ficam à direita de O; os negativos ficam à
Fig. 5.1
esquerda de O.
O valor absoluto x do número real x é definido por
 x se x  0
x 
 x se x  0
Assim,
3  3 ,  2  2 , 0  0 ,  2 3  2 3 ,  1,82  1,82 .
O número real x que corresponde ao ponto P é chamado de coordenada de P, e o ponto
P cuja coordenada é x é representado por P (x) . A reta L é chamada de um eixo
coordenado. Se P está à direita de O, então sua coordenada é o comprimento do
seguimento OP. Se Q está à esquerda de O, então sua coordenada é o negativo do
comprimento do seguimento OQ. A distância entre os pontos P e Q, com coordenadas a
e b respectivamente é b  a .
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Vetores
Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (um
segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado
positivo) no plano ou no espaço. A ponta da seta do seguimento orientado é chamada
ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou
origem do segmento orientado. A direção e o sentido do seguimento orientado identifica
a direção e o sentido do vetor. O comprimento do seguimento orientado representa a
magnitude do vetor.
Dois ou mais seguimentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são
paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na
figura (5.2) todos os seguimentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo
comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por
AB
ou
BA
onde A é a origem e B é a extremidade do seguimento. O vetor também costuma ser

indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha, tal como v .
B
A
Fig. 5.2

Quando escrevemos v  AB figura (5.3), estamos afirmando que o vetor v é
determinado pelo seguimento orientado AB. Porém qualquer outro seguimento de
mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o

mesmo vetor v . Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem

de um segmento orientado que é representante do vetor v . Esta é a razão de o vetor
também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem
em qualquer ponto P do espaço.

origem
A
v
B
extremidade
v  AB
Fig. 5.3

O módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção e o sentido de



qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de v por v ou v .
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Casos Particulares de Vetores




u

a) Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se por u // v ,

se os seus representantes
tiverem a mesma direção. Na
v






figura w
(5.4), tem-se u // v // w , onde u e v têm o mesmo



sentido, enquanto u e v , têm sentido contrário de w .



Fig. 5.4

b) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u  v , se tiverem iguais o módulo, a
direção e o sentido.
c) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é

indicado por 0 ou AA (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste
vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a
qualquer vetor.


d) A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto - v , de


mesmo módulo e mesma direção de v , porém, de sentido


v
-v


contrário (figura 5.5). Se v  AB , o vetor BA é o oposto de



AB , isto é, BA   AB .
Fig. 5.5





e) Um vetor u é unitário se u  1 . A cada vetor v , v  0 , é
possível associar dois vetores unitários de mesma direção de

v




v : u e - u (figura 5.6). Nesta figura, tem-se v  3 e


u



u   u  1 . O vetor u que tem o mesmo sentido de v é



chamado versor de v . Na verdade o vetor u não é versor só
-u

de v , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo
Fig. 5.6

sentido de v e medidos com a mesma unidade.




f) Dois vetores u e v (figura 5.7) são ortogonais, e

indica-se por u  v , se algum representante de u

formar ângulo reto com algum representante de v .
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
v
Fig. 5.7 (a)
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
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

v
A figura 5.7 (a) apresenta dois representantes de u e v
com origem no ponto A, formando ângulo reto.
Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor.
Fig. 5.7 (b)
g) Dois ou mais vetores são coplanares se
existir algum plano onde estes vetores
estão representados. É importante

v


u
observar que
dois
vetores

u
e

v quaisquer são sempre coplanares, pois
basta considerar um ponto P no espaço e,
com origem nele, traçar os dois


representantes de u e v pertencendo ao
plano  (figura 5.8) que passa por aquele
ponto.
Fig. 5.8
Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar
A soma, V + W, de dois vetores V e W é determinada da seguinte forma:
-
tome um segmento orientado que representa V;
tome um segmento orientado que representa W, com origem na extremidade de
V;
o vetor V + W é representado pelo segmento orientado que vai da origem de V
até a extremidade de W.
Fig. 5.9 V  W  W  V
Fig. 5.10
V  (W  U )  (V  W )  U
Da figura 5.9, deduzimos que a soma de vetores é comutativa, ou seja,
V + W = W + V;
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para quaisquer vetores V e W. Observamos também que a soma V + W está na diagonal
do paralelogramo determinado por V e W, quando estão representados com a mesma
origem. Da figura 5.10, deduzimos que a soma de vetores é associativa, ou seja,
V + (W + U) = (V + W) + U,
para quaisquer vetores V, W e U.
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade é chamado vetor nulo
e denotado por . Segue então, que
V+
=
+ V = V,
para todo vetor V.
Para qualquer vetor V, o simétrico de V, denotado por - V, é o vetor que tem mesmo
comprimento, mesma direção e sentido contrário ao de V. Segue então, que
V + (- V) =
.
Definimos a diferença W menos V, por
W - V = W + (- V).
Segue desta definição, que
W + (V - W) = (V - W) + W = V + (- W + W) = V +
= V.
Assim, a diferença V - W é um vetor que somado a W dá V, portanto ele vai da
extremidade de W até a extremidade de V, desde que V e W estejam representados por
segmentos orientados com a mesma origem.
Fig. 5.11 - A diferença V – W
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A multiplicação de um vetor V por um escalar , V , é determinada pelo vetor que
possui as seguintes características:

(a) é o vetor nulo, se   0 ou V  0 ,
(b) caso contrário,
(i) tem comprimento | | vezes o comprimento de V;
(ii) a direção é a mesma de V (neste caso, dizemos que eles são paralelos);
(iii) tem o mesmo sentido de V, se > 0 e
tem o sentido contrário ao de V, se < 0.
Se W =
V, dizemos que W é um múltiplo escalar
de V. É fácil ver que dois vetores não nulos são
paralelos (ou colineares) se, e somente se, um é
um múltiplo escalar do outro.
Fig. 5.12 - Multiplicação de vetor por escalar
Ângulo de Dois Vetores


v

O ângulo entre os vetores não nulos u e v é o ângulo 
formado por duas semi-retas de mesma origem O (figura 5.13),
onde 0     (  em radianos) ou 0     180  .

O

u
Fig. 5.13




Se u // v e u e v têm o mesmo sentido,
então   0 .




Se u // v e u e v têm sentidos contrários,
então    .
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O Tratamento Algébrico: Vetores no Plano

De modo geral, dados dois vetores quaisquer



v 1 e v 2 não paralelos, para cada vetor v

v

a2 v 2

representado no mesmo de v 1 e v 2 , existe
uma só dupla de números reais a1 e a 2 tal que




v  a1 v 1  a 2 v 2
v2
(1)
Fig. 5.14



a1 v 1
v1

A figura 5.14 ilustra esta situação, onde v 1 e v 2 são vetores não-paralelos quaisquer e



v é um vetor arbitrário do plano determinado por v 1 e v 2 .



Quando o vetor v é expresso como em (1), diz-se que v é combinação linear de v 1 e



v 2 . O conjunto B  { v 1 , v 2 } é chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto de
dois vetores não-paralelos constitui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando
a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada
uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores
dessa base, de modo único.
Os números a1 e a 2 da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas de

v na base B ( a1 é a primeira componente e a 2 a segunda componente).


O vetor v da igualdade (1) pode ser representado também por v  (a1 , a 2 ) B ou

v B  (a1 , a 2 ) .
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonornais.


Uma base { e 1 , e 2 } é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto




é, se e 1  e 2 e | e 1 |  | e 2 |  1 .
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é
particularmente importante. Trata-se da base que determina
o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy . Os vetores
ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j,
ambos com origem em O e extremidades em (1,0) e (0,1),
y
 
respectivamente, (figura 5.15), sendo a base C  { i , j} chamada
canônica. Portanto, i = (1,0) e j = (0,1).
Fig. 5.15
Daqui por diante, trataremos apenas da base canônica.
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
Dado um vetor v qualquer do plano (figura 5.16), existe uma só dupla de números x e y
tal que

v  xi 
yj
(2)
y

Os números x e y são as componentes de v na base canônica.

A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda

componente é a ordenada de v .
Fig. 5.16

O vetor v em (2) será também representado por

v  ( x, y )
(3)
dispensando-se a referência à base canônica C. A igualdade (3) sugere a definição:
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.

O par (x, y) é chamado expressão analítica de v . Para exemplificar, veja a seguir
alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas:
3i  5 j  (3,5)
 4i  (4,0)

0  (0,0)
3 j  (0,3)
Obs.:
A escolha proposital da base {i, j} deve-se
exclusivamente à simplificação. A cada ponto P ( x, y ) do


plano xOy corresponde o vetor
v  OP  xi  yj
(figura 5.17). Quer dizer, as coordenadas do ponto

extremo P são as próprias componentes do vetor OP na
base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos eixos os
vetores i e j como se vê nessa figura.
Fig. 5.17
As operações com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas
retangulares. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.
De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de
pontos ou um conjunto de vetores.
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Igualdade de Vetores


Dois vetores u  ( x1 , y1 ) e v  ( x 2 , y 2 ) são iguais se, e somente se, x1  x 2 e y1  y 2 ,


escrevendo-se u  v .
Ex.:


O vetor u  ( x  1,4) é igual ao vetor v  (5,2 y  6) se x  1  5 e 2 y  6  4 , ou seja,




x  4 e y  5 . Assim, se u  v , então x  4 , y  5 e u  v  (5,4) .
Operações com Vetores


Sejam os vetores u  ( x1 , y1 ) e v  ( x 2 , y 2 ) e   R. Define-se:


1) u  v  ( x1  x 2 , y1  y 2 )

2)  u  ( x1 , y1 )
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para
multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por
este número.
As figuras 5.18(a) e 5.18(b) ilustram as definições das operações dadas acima.
Fig. 5.18(a)
Fig. 5.18(b)
Considerando estes mesmos vetores, tem-se ainda:


 u  (1) u  ( x1 , y1 )




u  v  u  ( v )  ( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1  x 2 , y1  y 2 )
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Ex.:



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


Dados os vetores u  (2,3) e v  (1,4) , determinar 3 u  2 v e 3 u  2 v .
Sol.:




3 u  2 v  3(2,3)  2(1,4)  (6,9)  (2,8)  (6  2,9  8)  (4,1)
3 u  2 v  3(2,3)  2(1,4)  (6,9)  (2,8)  (6  2,9  8)  (8,17)
Vetor Definido por Dois Pontos

Consideremos o vetor AB de origem no ponto A( x1 , y1 ) e extremidade em B( x 2 , y 2 )
(figura 5.19).


De acordo com o que foi visto em (3), os vetores OA e OB


têm expressões analíticas: OA  ( x1 , y1 ) e OB  ( x 2 , y 2 ) .
Por outro lado, do triângulo OAB , da figura, vem



OA AB  OB
donde
Fig. 5.19




AB  OB  OA ou AB  ( x 2 , y 2 )  ( x1 , y1 )

AB  ( x 2  x1 , y 2  y1 )

isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da
extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve

AB  B  A .
É importante lembrar que um vetor tem infinitos
representantes que são os seguimentos orientados
de mesmo comprimento, direção e sentido. E,

dentre os infinitos representantes do vetor AB , o
que “melhor o caracteriza” é aquele que tem
origem em
O (0,0) e extremidade em
P  ( x 2  x1 , y 2  y1 ) (figura 5.20).


O vetor v  OP é também chamado vetor posição

ou representante natural de AB .
Fig. 5.20
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Ponto Médio
Seja o segmento de extremos A  ( x1 , y1 ) e B  ( x 2 , y 2 )
(figura 5.21). Sendo M ( x, y ) o ponto médio de AB,
podemos expressar de forma vetorial como


AM  MB ou
( x  x1 , y  y1 )  ( x 2  x, y 2  y )
e daí
x  x1  x 2  x e y  y1  y 2  y
Resolvendo em relação a x e y, temos
2 x  x1  x 2
Fig. 5.21
2 y  y1  y 2
e
ou
x
x1  x 2
2
y
e
y1  y 2
.
2
 x  x 2 y1  y 2 
,
M 1

2 
 2
Portanto:
Paralelismo de dois Vetores

u  ( x1 , y1 )
Vimos que, se dois vetores

e

v  ( x2 , y2 )
são paralelos, existe um

número real  tal que u   v , ou seja,
( x1 , y1 )   ( x 2 , y 2 )
ou
( x1 , y1 )  (  x 2 ,  y 2 )
pela condição de igualdade resulta em
x1    x 2
e
y1    y 2
x1
y
 1   
x2 y2
donde
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos
quando suas componentes forem proporcionais.
Ex.:


Os vetores u  (2,3) e v  (4,6) são paralelos pois:
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2 3

4 6
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Vetores no espaço
Vimos em Vetores no Plano que a base canônica {i, j} no plano determina o sistema
cartesiano ortogonal xOy e que a um ponto P ( x, y ) qualquer desse plano corresponde
o vetor

OP  xi  yj , isto é, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as

componentes do vetor OP na base canônica (figura 5.17).
No espaço, de forma análoga, consideramos a base canônica
{i, j , k} como aquela que irá determinar o sistema cartesiano
ortogonal Oxyz (figura 5.22), onde estes três vetores unitários
e dois a dois ortogonais estão representados com origem no
ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da
base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou
eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i, o eixo
Oy ou eixo dos y (das ordenadas) corresponde ao vetor
j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde
ao vetor k. As setas nesta figura indicam o sentido
positivo de cada eixo, chamado também de eixo
coordenado.
Fig. 5.22
Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espaço. Para
isto, escolhemos um ponto como origem O e como eixos coordenados, três retas
orientadas, passando pela origem, perpendiculares entre si. Estes serão os eixos x, y e z.
O eixo z é o eixo vertical. Os eixos x e y são horizontais e satisfazem a seguinte
propriedade. Suponha que giramos o eixo x pelo menor ângulo até o eixo y. Se os dedos
da mão direita acompanham o eixo x durante a rotação, então o eixo z aponta no sentido
do polegar. Cada par de eixos determina um plano chamado de plano coordenado.
Portanto os três planos coordenados são: xy, yz e xz.
A cada ponto P no espaço associamos um terno de números (x, y, z), chamado de
coordenadas do ponto P como se segue:




passe três planos por P paralelos aos planos
coordenados;
a interseção do plano paralelo ao plano xy,
passando por P, com o eixo z determina a
coordenada z;
a interseção do plano paralelo ao plano xz,
passando por P, com o eixo y determina a
coordenada y;
a interseção do plano paralelo ao plano yz,
passando por P, com o eixo x determina a
coordenada x.
Fig. 5.23
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Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto P como segue.



Fig. 5.24
Trace um reta paralela ao eixo z, passando
por P;
A interseção da reta paralela ao eixo z,
passando por P, com o plano xy é o ponto
P’. As coordenadas de P’, (x,y), no
sistema de coordenadas xy são as duas
primeiras coordenadas de P.
A terceira coordenada é igual ao
comprimento do segmento PP’ com o
sinal negativo, se P estiver abaixo do
plano xy.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas
também nas operações de vetores no espaço. Seja V um vetor no espaço. Como no caso
bi-dimensional, definimos as componentes de V como sendo as coordenadas (v1, v2, v3)
do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem. Escrevemos
simplesmente
V  (v1 , v 2 , v3 )
Fig. 5.25 - As componentes de um vetor no espaço
ou
V  ( x, y , z )
Fig. 5.26 - As coordenadas de P são iguais as

componentes de
OP

Assim, as coordenadas de um ponto P são iguais as componentes do vetor OP que vai
da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo,

0  (0,0,0) . Assim como fizemos para vetores no plano, para vetores no espaço a soma
de vetores e a multiplicação de vetor por escalar podem ser realizadas em termos das
componentes.

Se V = (x1, x2, x3) e W = (y1, y2, y3), então a adição de V com W é dada por
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V  W  ( x1  y1 , x 2  y 2 , x3  y 3 )

Se V = (x, y, z) e
é um escalar, então a multiplicação de V por
é dada por
 V  ( x, y, z )
Ex.:
Se V = (1, - 2, 3), W = (2, 4, - 1), então
V + W = (1 + 2, - 2 + 4, 3 + (- 1)) = (3, 2, 2),
3V = (3 . 1, 3 (- 2), 3 . 3) = (3, - 6, 9).
Quando um vetor V está representado por um segmento orientado com ponto inicial fora
da origem (figura 5.27), digamos em P = (x1, y1, z1), e ponto final em Q = (x2, y2, z2),
então as componentes do vetor V são dadas por



V  PQ  OQ  OP  ( x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 )
Portanto, as componentes de V são obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto Q
(extremidade) das do ponto P (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
Ex.:
As componentes do vetor V com ponto inicial
P = (5/2, 1, 2) e ponto final Q = (0, 5/2, 5/2) são dadas
por

V  PQ  (0 - 5/2, 5/2 - 1, 5/2 - 2) = (- 5/2, 3/2, 1/2).

Fig. 5.27 -
Obs.:

V  OQ  OP
Um vetor é “livre”, ele não tem posição fixa, ao contrário do ponto e do segmento
orientado. Por exemplo, o vetor V = (- 5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava com a
origem no ponto P = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um segmento
orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
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Considere a matriz 2  1
 x
X   ,
 y
onde x e y são números reais. Associamos a X o segmento de reta orientado com ponto
inicial na origem O(0,0) e ponto final em P(x,y). O segmento de reta orientado de O a P
é representado por OP ; O é chamado sua origem (ou início) e P sua extremidade.
Um segmento de reta orientado tem uma direção, que é o ângulo que ele faz com o eixo
positivo dos x, indicado pela flecha sobre o eixo. A grandeza de um segmento de reta
orientado é seu comprimento.
Ex.:
2
X   .
3
Seja
Podemos associar a X o segmento orientado com origem O (0,0) e extremidade P (2,3) ,
mostrado na fig. 5.29.
Reciprocamente, podemos associar a um segmento de reta orientado OP com origem
O (0,0) e extremidade P ( x, y ) a matriz
x
 y
 
Eixo
dos y
Eixo
dos y
3
P(2,3)
P(x,y)
Eixo
dos x
Eixo
dos x
2
P(0,0)
Fig. 5.28
Definição Um vetor do plano é uma matriz 2  1 ou 1  2
Fig. 5.29
x
X     x
 y
y ,
em que x e y são números reais, chamamos de componentes de X. Chamamos um vetor
do plano simplesmente de vetor.
01 de fevereiro de 2010
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
100

Um vetor no espaço v  ( x, y, z ) pode também ser escrito na notação matricial como
uma matriz linha ou como uma matriz coluna:
 x
v   y 
 z 


v  x
ou
z .
y
Estas noções podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais

 x1   x 2   x1
v  w   y1    y 2    y1
 z1   z 2   z1

 x  
 v    y   
 z  


x2 
y 2  ,
z 2 
y2
z 2   x1  x 2

x
y 
z 

ou


v  w  x1
y1
z1   x 2

 v   x
y
y1  y 2
z1  z 2  ,
z    x  y  z 
produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais


v  w  ( x1 , y1 , z1 )  ( x 2 , y 2 , z 2 )  ( x1  x 2 , y1  y 2 , z1  z 2 ) ,

 v   ( x, y, z )  (  x,  y,  z ) .
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores
e multiplicação de vetores por escalar.
Teorema: Sejam U, V e W vetores e  e  escalares. São válidas as seguintes propriedades:
(a) U + V = V + U;
(e)
(U) = ( )U;
(b) (U + V) + W = U + (V + W);
(f)
(U + V) =
(c) U +
(g) (
= U;
(d) U + (- U) =
;
01 de fevereiro de 2010
+)U =
U+
V;
U + U;
(h) 1U = U.
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101
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Produto de Vetores
Norma e Produto Escalar
Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de
qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento de um vetor V,
também chamado de norma ou módulo de V, é denotado(a) por V ou V . Segue do
Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor é dada por
V  v12  v 22
V  x2  y2
ou
no caso em que V = (v1, v2) é um vetor no plano, e por
V  v12  v 22  v32
ou
V  x2  y2  z2
no caso em que V = (v1, v2, v3) é um vetor no espaço (verifique usando as figuras 5.30 e
5.31).
Fig. 5.30 - A norma de um vetor V no plano
Fig. 5.31 - A norma de um vetor V no espaço
Um vetor de norma igual a 1 é chamado de vetor unitário. A distância entre dois pontos

P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) é igual a norma do vetor PQ (figura 5.27). Como



PQ  OQ  OP  ( x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 ) , então a distância de P a Q é dada por
dist ( P, Q)  PQ  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
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102
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Analogamente, a distância entre dois pontos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) no plano é igual ao

módulo (norma) do vetor PQ , que é dado por
dist ( P, Q)  PQ  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
Ex.:
Fig. 5.32
A norma (módulo) do vetor V = (1, - 2, 3) é
V  12  (2) 2  3 2  14 .
A distância entre os pontos P = (2, - 3, 1) e Q = (- 1, 4, 5) é
dist ( P, Q)  PQ  (1  2) 2  (4  (3)) 2  (5  1) 2  (3) 2  7 2  4 2  74 .
Vetor Unitário
Dado um vetor V não nulo, o vetor
é um vetor unitário na direção de V, temos que
U 
Ex.:
1
V 1
V
Um vetor unitário na direção do vetor V = (1, - 2, 3) é o vetor
 1 
V   1 (1,2,3)   1 ,  2 , 3  .
U  

 14 
 14 14 14 
V 
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103
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Produto Escalar
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado é um escalar. Por isso
ele é chamado produto escalar. Este produto tem aplicação, por exemplo, em Física: o
trabalho realizado por uma força é o produto escalar do vetor força pelo vetor
deslocamento, quando a força aplicada é constante.
Chama-se produto escalar ou interno de dois vetores

u  x1i  y1 j  z1 k
e
 

v  x 2 i  y 2 j  z 2 k e se representa por u  v , ao número real
 
u  v  x1 x 2  y1 y 2  z1 z 2
Ex.:
Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). O produto escalar de V com W é dado por
V . W = x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 . 2 + 1 . 2 + 0 . 3 = 2 .
Teorema Sejam U, V e W vetores e
um escalar. São válidas as seguintes propriedades:
(a) U . V = V . U;
(b) U . (V + W) = U . V + U . W;
(c)
(U . V) = ( U) . V = U . ( V);
(d) V . V = || V||2  0, para todo V e V . V = 0 se, e somente se, V =
.
Definição Geométrica de Produto Escalar
Se V e W são vetores não-nulos e  o ângulo entre eles, então
V  W  V W cos
V  W  V W cos
para
0     180 
Fig. 5.33
O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo coseno do ângulo por eles formado.
Obs.:
Dois vetores V e W são ortogonais se, e somente se, V W  0
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104
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Cálculo do Ângulo de Dois Vetores
Da igualdade V  W  V W cos
cos 
V W
V W
fórmula a partir da qual se calcula o ângulo  entre dois vetores V e W não-nulos.
Ex.:
Calcular o ângulo entre os vetores V  (1,1,4) e W  (1,2,2) .
cos 
V W
1  (1)  1  2  4  2
9
1
2
1 2  8
=




V W
2
1  1  16 1  4  4
18 9
3 2 3
2
logo,
 2
  45 
  arccos

2


Projeção Ortogonal
O ângulo entre dois vetores não-nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por V
e W que satisfaz 0     , quando eles estão representados com a mesma origem.
Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = 90o) dizemos que os vetores V e W
são ortogonais ou perpendiculares entre si.
Lema
Se dois vetores V e W são ortogonais, então V . W = 0.
Fig. 5.34 (a)
Fig. 5.34 (b)
Podemos decompor um vetor V em uma soma de dois vetores, V1 e V2, sendo V1 na direção
de um vetor W e V2 perpendicular a W (figura 5.35).
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105
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Fig. 5.35 (a)
Fig. 5.35 (b)
Figura 5.35 – Decomposição de V em uma soma V1  V2 , onde V1 é paralelo a W.
O vetor V1 é chamado projeção ortogonal de V sobre W e é denotado por projW V .
Proposição Seja W um vetor não nulo. Então, a projeção ortogonal de um vetor V em W é dada por
 V W
projW V  
 W 2


W .


Uma Aplicação na Física
O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que
inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como por exemplo, o trabalho.

O trabalho realizado por uma força constante F ao longo de

um deslocamento d é definido como o produto escalar
desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo
qual a força está aplicada. Pode-se observar que a

componente da força F que realiza o trabalho é

F x , conforme mostra a figura 5.36.


|| Fx |||| F || cos
Então,
Fig. 5.36
Onde  é o ângulo entre a força e o deslocamento. A grandeza física trabalho, notada por
W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema Internacional o joule, notado
por J.
Então,
 
W  F d
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ou


W || F || || d || cos
[J] = [N  m]
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106
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.:
Vamos determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Sejam
V1 = (1, 0, 0), V2 = (0, 1, 0) e V3 = (0, 0, 1) (figura 5.37). Uma diagonal do cubo é
representada pelo vetor D dado por
D = V1 + V2 + V3 = (1, 1, 1) .
Então o ângulo entre D e V1 satisfaz
cos  
D  V1

D V1
1
2
1.1  0.1  0.1
1 1
2
2
 1
2
0 0
2
2


1
3
ou seja,
 1 
  arccos   54  .
 3
Produto Vetorial
Vamos, agora, definir um produto entre dois
vetores, cujo resultado é um vetor. Por isso, ele
Fig. 5.37
é chamado produto vetorial. Este produto tem aplicação, por exemplo,
em Física: a força exercida sobre uma partícula carregada, mergulhada num campo
magnético, é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula pelo vetor campo
magnético, desde que o campo seja constante e a carga seja unitária.
Definição Sejam V = (x1, y1, z1) e W = (x2, y2, z2) dois vetores no espaço. Definimos o produto
vetorial, V  W , por
 y
V  W   det  1
  y2
Ex.:
z1 
x
 det  1

z2 
 x2
z1 
x
 det  1

z2 
 x2
y1  

y 2  
(4)
Sejam V = (1, 2, - 2) e W = (3, 0, 1).
 2  2 
1 2 
1  2
V W   det 
 det 
 det 
   (2,7,6) .


3 0 
3 1 
 0 1 
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107
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Vetores Canônicos
i  (1,0,0) ,
j  (0,1,0) ,
k  (0,0,1)
são vetores unitários (de norma igual a um) paralelos aos eixos coordenados. Todo vetor
V = (x1, y1, z1) pode ser escrito em termos de uma soma de múltiplos escalares de i, j e k
(combinação linear), pois
V  ( x, y, z )  ( x,0,0)  (0, y,0)  (0,0, z ) 
 x (1,0,0)  y (0,1,0)  z (0,0,1) 



 xi  y j  z k  x i  y j z k
Fig. 5.38 (a)
Fig. 5.38 (b)
Usando os vetores i, j e k o produto vetorial V  W , pode ser escrito em termos do
determinante simbólico



i
j
k
V  W  x1
y1
z1
x2
y2
z2
(5)
onde



i
V  W  x1
x2
j
y1
y2
k
y
z1  1
y2
z2
z1  x1
i
z2
x2
z1  x1
j
z2
x2
y1 
k
y2
O símbolo à direita de (5) não é um determinante, pois a primeira linha contém vetores em
vez de escalares. No entanto, usaremos esta notação pela facilidade de memorização que
ela propicia no cálculo do produto vetorial.
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108
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.:




Calcular u  v para u  5i  4 j  3k e v  i  k
i j k
i j k i j
Sol.: u  v  5 4 3
repita as primeira e segunda linhas 5 4 3 5 4 , faça a
1 0 1
1 0 1 1 0
multiplicação dos elementos das “diagonais principais” menos as “diagonais secundárias”.


 4 1  i  3 1 j  5  0  k  4 1  k  3  0  i  5 1  j
 4i  2 j  4 k
ou
(4,2,4)
No teorema seguinte estão as propriedades mais importantes do produto vetorial.
Teorema Sejam V, W e U vetores no espaço e
um escalar. São válidas as seguintes propriedades:
(a) V x W = - (W x V), ou seja, o produto vetorial é anti-comutativo;
(b) V x W =
se, e somente se, V =
W ou W =
V;
(c) V . (V x W) = W . (V x W) = 0, ou seja, o produto vetorial V x W é perpendicular a V e
a W;
(d) V x (W + U) = V x W + V x U e (V + W) x U = V x U + W x U;
(e)
(V x W) = ( V) x W = V x ( W);
(f) || V x W||2 = || V||2|| W||2 - (V . W)2 (identidade de Lagrange).
Características do Vetor V  W
Se V e W são vetores não nulos, já vimos que V x W é perpendicular a V e a W. Além disso,
pode ser mostrado que o sentido de V x W é determinado pela “regra da mão direita''
(figura 5.39): Se o ângulo entre V e W é , giramos o vetor V de um ângulo até que
coincida com W e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o
polegar vai apontar no sentido de V x W.
Fig. 5.39 (a)
01 de fevereiro de 2010
Fig. 5.39 (b)
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109
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Interpretação Geométrica
Se V e W são vetores no espaço, o produto vetorial V x W tem uma interpretação
geométrica. Pela identidade de Lagrange,
|| V x W||2 = || V||2|| W||2 - (V . W)2 .
Se é o ângulo entre V e W, então V . W = || V|| || W|| cos e assim
|| V x W||2 = || V||2|| W||2 - || V||2|| W||2(cos )2 = || V||2|| W||2(sen )2 .
Como, 0     , segue que sen  0 , e
portanto
V  W  V W sen
Mas, || W|| sen é a altura do paralelogramo
determinado por V e W (figura 5.40). Logo,
a norma do produto vetorial || V x W|| é igual
à área do paralelogramo determinado por V
e W. Isto demonstra o resultado seguinte.
Fig. 5.40 - Área de um paralelogramo
Teorema Sejam V e W vetores não nulos no espaço. A área do paralelogramo determinado por V e W
é igual a
|| V  W ||
Ex.:
Vamos calcular a área do triângulo determinado pelos pontos P = (2, 2, 0), Q = (0, 4, 3) e
R = (- 1, 0, 2) (figura 5.41). Sejam

V = PQ = (0 - 2, 4 - 2, 3 - 0) = (- 2, 2, 3)

W = PR = (- 1 - 2, 0 - 2, 2 - 0) = (- 3, - 2, 2) .
Então,
V x W = (10, - 5, 10)
e
Área =
1
15
|| V W ||  .
2
2
Fig. 5.41
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110
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Produto Misto
O volume de um paralelepípedo determinado por três vetores também pode ser obtido
usando o produto escalar e o produto vetorial, como mostraremos a seguir.
x1
U  (V  W )  x 2
x3
Teorema Sejam U, V e W vetores no espaço. Então,
y1
y2
y3
z1
z2
z3
O produto U . (V x W) é chamado de produto misto de U, V e W.
Ex.:
O produto misto dos vetores U = 2i – j + 3k, V = – i + 4j + k e W = 5i + j – 2k é
2
x1
y1
z1
U  (V  W )  x 2
y2
z2   1
x3
y3
z3
5
1
3
4
1  84
1
2
Teorema Sejam U, V e W vetores no espaço. O
volume do paralelepípedo determinado por
U, V e W (figura 5.42) é igual a
| U  (V  W ) | .
Fig. 5.42
Demonstração O volume do paralelepípedo determinado
por U, V e W é igual a área da base vezes a altura,
ou seja, pelo teorema visto anteriormente, o volume é dado por
vol = || V x W|| h .
Mas, como vemos na figura 5.42 a altura é h = || U||| cos |, o que implica que
vol = || V x W|| || U|| | cos | = | U . (V x W)| .
01 de fevereiro de 2010
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111
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Ex.:
Sejam U = - 3i + 2j + 5k, V = i + 4j – 4k e W = 3j + 2k. O volume de um paralelepípedo
com arestas determinadas por U, V e W é dado por
3 2
| U  (V  W ) |  1
0
5
4  4  | 49 |  49 .
3
2
Corolário Sejam U, V e W vetores no espaço. Estes vetores são coplanares (isto é, são paralelos a um
mesmo plano) ou dois deles são colineares (paralelos) ou um deles é o vetor nulo se, e
somente se,
x1
U  (V  W )  x 2
x3
Ex.:
y1
y2
y3
z1
z2  0 .
z3
Vamos verificar que os pontos P = (0, 1, 1), Q = (1, 0, 2), R = (1, - 2, 0) e S = (- 2, 2, - 2)
são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano. Com estes pontos podemos construir
os vetores

PQ = (1 - 0, 0 - 1, 2 - 1) = (1, - 1, 1),

PR = (1 - 0, - 2 - 1, 0 - 1) = (1, - 3, - 1) e

PS = (- 2 - 0, 2 - 1, - 2 - 1) = (- 2, 1, - 3)


Os pontos P, Q, R e S pertencem ao mesmo plano se, e somente se, os vetores PQ , PR e

PS são coplanares. E isto acontece se, e somente se, o produto misto entre eles é zero.
Mas,



1
PQ  ( PR  PS )  1
2
01 de fevereiro de 2010
1
1
 3 1  0
1
3
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112
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Espaços Vetoriais Euclidianos
Em meados do século dezessete foi materializada explicitamente a idéia de utilizar pares de
números para situar pontos no plano e ternos de números para situar pontos no espaço
tridimensional. Na segunda metade do século dezoito, os matemáticos e físicos começaram
a perceber que não havia necessidade de parar com ternos, pois quádruplos a1 , a 2 , a 3 , a 4 
de números poderiam ser considerados pontos de um espaço de dimensão quatro,
quíntuplos a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5  de números como pontos num espaço de dimensão cinco e
assim por diante, uma n-upla de números sendo pontos de um “espaço n-dimensional.”
Nosso objetivo neste capítulo é estudar as propriedades das operações sobre os vetores
deste tipo de espaço.
Espaço Euclidiano n -dimensional
Neste capítulo definimos o espaço tridimensional R3 como o conjunto de todas as ternas
x, y, z  de números reais. Esta definição nos dá um modelo matemático do espaço físico
em que vivemos, pois a intuição geométrica e a experiência diária impõem que a
localização de qualquer ponto seja especificada univocamente por três coordenadas.
Embora nossa visualização geométrica não se estenda além do espaço tridimensional, é
possível, mesmo assim, estender além do espaço tridimensional muitas das idéias familiares
trabalhando, não com as propriedades geométricas de pontos e vetores mas sim com suas
propriedades numéricas ou algébricas.
Vetores no Espaço n -dimensional
Definição Se n é um inteiro positivo, dizemos que uma seqüência a1 , a 2 , , a n  de números reais é
uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é chamado espaço ndimensional e denotado por Rn.
Já vimos que os vetores no plano são definidos por pares ordenados de números reais e que
vetores no espaço são definidos por ternos ordenados de números reais. Muito do que
estudamos sobre vetores no plano e no espaço pode ser estendido para n-uplas de números
reais, em que n pode ser um número inteiro positivo. Para cada n, o conjunto das n-uplas de
números reais é chamado espaço euclidiano.
O conjunto R1 é simplesmente o conjunto dos números reais. O conjunto R2 é o conjunto
dos pares de números reais e o R3 é o conjunto dos ternos de números reais.
No R3 o terno de números  x1 , x 2 , x3  pode ser interpretado geometricamente de duas
maneiras: pode ser visto como um ponto, neste caso x1, x2 e x3 são as coordenadas do ponto
01 de fevereiro de 2010
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113
Geometria Analítica e Álgebra Linear
(figura 5.43), ou como um vetor, neste caso x1, x2 e x3 são as componentes do vetor (figura
5.44). Também no Rn uma n-upla pode ser pensada como um vetor ou como um ponto. Por
exemplo, a quíntupla X  1,2,3,5,4  pode ser pensada como um ponto no R3, quando
consideramos X como um elemento do conjunto R5, ou como um vetor do R5, quando
fazemos operações com X, como as que iremos definir adiante. Vamos chamar os
elementos do Rn de pontos ou de vetores dependendo da situação.
Fig. 5.43
Fig. 5.44


Definição Dois vetores u  u1 , u 2 ,  , u n  e v  v1 , v 2 , , v n  em Rn são ditos iguais se
u1  v1 , u 2  v 2 , , u n  v n
A soma u + v é definida por


u  v  u1  v1 , u 2  v 2 , , u n  v n 


e se k é um escalar qualquer, o múltiplo escalar k v de v é definido por
As operações de adição e multiplicação por escalar nesta definição são chamadas as
operações padrão em Rn.

O vetor nulo ou zero de Rn é denotado por 0 e é definido como

0  0,0,,0
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114
Geometria Analítica e Álgebra Linear


Se u  u1 , u 2 , , u n  é um vetor qualquer de Rn, então o negativo (ou simétrico) de u é

denotado por  u e definido por

 u   u1 ,u 2 , ,u n 
A diferença de vetores em Rn é definida por


u  v  u1  v1 , u 2  v 2 , , u n  v n 
Propriedades das Operações Vetoriais no Espaço n -dimensional
As propriedades aritméticas mais importantes da adição e multiplicação por escalar de
vetores em Rn estão listadas no próximo teorema. As provas são todas fáceis e deixadas
como exercícios.



Teorema Se u  u1 , u 2 , , u n  , v  v1 , v2 , , v n  e w  w1 , w2 , , wn  são vetores em Rn e k e l
são escalares, então:




a) u  v  v  u






b) u  ( v  w)  (u  v )  w





c) u  0  0  u  u



d) u  ( u )  0 ,

ou seja,

u u  0

e) k (l u )  kl (u )

f)



l (u  v )  l u  l v



g) (k  l ) v  k v  l v


h) 1 u  u
Espaço Euclidiano n -dimensional
Para estender as noções de distância, norma e ângulo ao Rn, nós começamos com a seguinte
generalização do produto escalar de R2 e R3.
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115
Geometria Analítica e Álgebra Linear


Definição Se u  u1 , u 2 , , u n  e v  v1 , v2 , , v n  são vetores quaisquer em Rn, então
 
u  v  u1v1  u 2 v 2    u n v n
 


define o produto interno euclidiano u  v de u e u .
Observe que para n  2 ou 3, o produto interno euclidiano é o produto escalar usual.
Ex.:
O produto interno euclidiano dos vetores

u   1,3,5,7 
e

v  5,4,7,0
em R4 é
 
u  v  (1)(5)  (3)(4)  (5)(7)  (7)(0)  18
Como tantas das idéias familiares dos espaços bi e tridimensionais continuam válidas no
espaço n-dimensional, é comum nos referirmos ao Rn com as operações de adição,
multiplicação por escalar e o produto interno euclidiano como espaço euclidiano ndimensional.
Teorema Propriedades do Produto Interno Euclidiano



Se u , v e w são vetores em Rn e l é um escalar, então:
 
 
a) u  v  v  u


 
b) (l u )  v  l (u  v )



 
 
c) ( u  v )  w  u  v  v  w
 
 

d) v  v  0 . Além disso, v  v  0 se, e somente se, v  0 .
Espaço Euclidiano n -dimensional
Por analogia com as fórmulas familiares do R2 e R3, nós definimos a norma euclidiana (ou

o comprimento euclidiano) de um vetor u  u1 , u 2 ,  , u n  em Rn por
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116
Geometria Analítica e Álgebra Linear

 
u  ( u  u )1 2  u12  u 22    u n2
Da mesma forma, a distância euclidiana entre os pontos
(6)
u  u1 , u 2 ,  , u n  e
v  v1 , v 2 , , v n  do Rn é definida por
d u , v   u  v  (u1  v1 ) 2  (u 2  v 2 ) 2    (u n  v n ) 2
Ex.:

(7)

Se u  1,3,2,7  e v  0,7,2,2  , então temos, no espaço euclidiano R4,

u  (1) 2  (3) 2  (2) 2  (7) 2  63  3 7
e
 
d ( u , v )  (1  0) 2  (3  7) 2  (2  2) 2  (7  2) 2  58
Teorema A desigualdade de Cauchy-Schuarz em Rn, então:


Se u  u1 , u 2 , , u n  e v  v1 , v2 , , v n  são vetores quaisquer em Rn, então:
u v  u  v

(8)

Se u e v são vetores não-nulos do R2 e R3,
u  v  u  v cos  u  v  cos  u  v

(9)

e, se u  0 ou se v  0 , então ambos os lados de (9) são zero, de modo que a desigualdade
vale também neste caso.
Os próximos dois teoremas apresentam as propriedades básicas de comprimento e distância
no espaço euclidiano n-dimensional.
Teorema Propriedades do Comprimento em Rn



Se u , v e w são vetores em Rn e k é um escalar, então:
a)
u 0
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117
Geometria Analítica e Álgebra Linear
b)
u  0 se, e somente se, u  0
c)
kv  k  v
d)
u  v  u  v (desigualdade triangular)
A parte (c) deste teorema afirma que multiplicando um vetor por um escalar k
multiplica o comprimento daquele vetor por um fator de k (figura 5.45 (a)). A parte
(d) deste teorema é conhecida como a desigualdade triangular por que generaliza
o resultado familiar da geometria euclidiana segundo o qual a soma de dois dos
lados de um triângulo é pelo menos tão grande quanto o terceiro lado (figura 5.45
(b)).



u v
kv

v

v

u
Fig. 5.45 (a)
Fig. 5.45 (b)
Teorema Propriedades da Distância em Rn



Se u , v e w são vetores em Rn, então:
a) d u , v   0


b) d u , v   0 se, e somente se, u  v
c) d u , v   d v, u 
d) d u , w  d u , v   d v, w (desigualdade triangular)
A parte (d) deste teorema, que também é chamada desigualdade triangular, generaliza o
resultado familiar da geometria euclidiana que afirma que a menor distância entre dois
pontos é obtida ao longo de uma reta (figura 5.46).
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118
Geometria Analítica e Álgebra Linear
w
d u , w  d u , v   d v, w
v
u
Fig. 5.46
A fórmula (6) expressa a norma de um vetor em termos do produto escalar. O seguinte
teorema útil expressa o produto escalar em termos de normas.


Teorema Se u e v são vetores em Rn com produto interno euclidiano, então
u v 
1
1
2
u v  u v
4
4
2
(10)
Ortogonalidade


Lembre-se que nos espaços euclidianos R2 e R3, dois vetores u e v são definidos como
 
sendo ortogonais (ou perpendiculares) se u  v  0 . Motivados por isto, nós apresentamos a
seguinte definição.


 
Definição Dois vetores u e v em Rn são ortogonais se u  v  0 .
Ex.:
Os vetores

u   2,3,1,4 
e

v  1,2,0,1
são ortogonais no espaço euclidiano R4, pois
 
u  v  (2)(1)  (3)(2)  (1)(0)  (4)(1)  0
Observamos que muitas das propriedades familiares de vetores ortogonais dos espaços

euclidianos R2 e R3 continuam valendo no espaço euclidiano Rn. Por exemplo, se u e
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119
Geometria Analítica e Álgebra Linear





v são vetores ortogonais de R2 ou de R3, então u , v e u + v formam os lados de um
triângulo retângulo (figura 5.47); assim pelo teorema de Pitágoras,
uv
2


 u
2
 v
u v
2

v

u
Fig. 5.47
O próximo teorema mostra que este resultado estende ao Rn.
Teorema O teorema de Pitágoras em Rn.


Se u e v são vetores ortogonais em Rn com produto interno euclidiano, então
uv
2
 u
2
 v
2
Notações Alternativas para Vetores em Rn

Muitas vezes é útil escrever um vetor v  v1 , v2 , , v n  de Rn em notação matricial como
uma matriz-linha ou uma matriz-coluna:
 v1 
v 
v   2

 
v n 


ou
v  v1
v2  vn 
Estas notações podem ser justificadas pelo fato de que as operações matriciais
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120
Geometria Analítica e Álgebra Linear
 v1    v1 
v    v 

2
 v   2  
   

  
v n    v n 
 v1   u1   v1  u1 
v  u  v  u 
 
2
,
v u   2    2    2
    

    
v n  u n  v n  u n 
ou


v  u  v1
v 2  v n   u1
u 2  u n   v1  u1
v2  u 2  vn  u n 

  v    v1 v 2  vn     v1   v 2    v n 
produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais


u  v  u1 , u 2 , , u n   v1 , v 2 , , v n   u1  v1 , u 2  v 2 ,, u n  v n 

  v    v1 , v 2 , , v n     v1 ,  v 2 ,  ,   v n 
A única diferença é o formato em que escrevemos os vetores.
Uma Fórmula Matricial para o Produto Escalar
Se nós usarmos a notação de matrizes-coluna para os vetores
 u1 
u 
u   2

 
u n 

 v1 
v 
v   2

 
v n 

e
e omitirmos o colchete de matrizes 1 1 , então teremos
v T u  v1
v2
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 u1 
u 
 v n    2   u1v1  u 2 v 2    u n v n   u  v   v  u

 
u n 
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121
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Assim, para vetores na notação de matrizes-coluna nós temos a seguinte fórmula para o
produto interno euclidiano:
u  v  vT u
Ex.:
(11)
Se
 1
3

u 
5
 
7
e
5 
 4

v 
7 
 
0 
então
 1
3
T
u  v  v u  5  4 7 0     18  18
5
 
7
Um Sistema Linear Escrito na Forma de Produto Escalar
Em particular, podemos escrever um sistema linear AX  B no formato de produto escalar
como
 r1  x   b1 
 r  x  b 
 2  2
   
  

rm  x  bm 
(12)
onde r1 , r2 ,, rm são os vetores-linha de A e b1 , b2 , , bm são as entradas de B.
Um exemplo de um sistema linear expresso no formato (12) de produto escalar é:
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122
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Sistema
3 x1

2 x1
x
 1
Forma de Produto Escalar
 4 x2
 x3
1
 7 x2
 4 x3
5
 5x2
 8 x3
0
 3,4,1 
2,7,4  

 1,5,8 
x1 , x2 , x3  1
x1 , x2 , x3   5
x1 , x2 , x3  0
Independência Linear
Definição Para cada inteiro positivo n, o espaço euclidiano Rn é definido pelo conjunto de todas as
n-uplas ordenadas X   x1 , x 2 ,, x n  de números reais.
Combinação Linear



Uma combinação linear de vetores v 1 , v 2 , , v k é simplesmente uma soma de múltiplos



escalares de v 1 , v 2 , , v k .




Definição Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v k , se a equação vetorial




x1 v 1  x 2 v 2    x k v k  v
(13)
possui solução, ou seja, se existem escalares x1 , x2 , , x k que satisfazem equação (13).

Neste caso, dizemos também que v pode ser escrito como uma combinação linear de



v 1 , v 2 , , v k .



Se k  1 , então a equação (13) se reduz a x1 v 1  v , ou seja, v é uma combinação linear



de v 1 se, e somente se, v é um múltiplo escalar de v 1 .
Ex.:



Sejam v 1  1,0,0  e v 2  1,1,0  , vetores de R3. O vetor v  2,3,2  não é uma combinação


linear de v 1 e v 2 , pois a equação
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Geometria Analítica e Álgebra Linear



x1 v 1  x 2 v 2  v ,
que pode ser escrita como
x1 1,0,0  x 2 1,1,0   2,3,2  ,
ou ainda,
( x1  x2 ), x2 ,0  2,3,2 ,
é equivalente ao sistema

 x1




x2
x2
0
 2
 3
 2
que não possui solução.

Fig. 5.48 (a) – O vetor

combinação linear de
Ex.:

v não é
Fig. 5.48 (b) – O vetor


v1 e v 2
linear de


v é combinação

v1 e v 2

O vetor v  2,3,0 é uma combinação linear de v 1  1,0,0  e v 2  1,1,0  , pois a equação



x1 v 1  x 2 v 2  v ,
ou
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124
Geometria Analítica e Álgebra Linear
x1 1,0,0  x 2 1,1,0   2,3,0  ,
ou ainda,
( x1  x2 ), x2 ,0  2,3,0 ,
é equivalente ao sistema
 x1





x2
 2
x2
 3
0
 0
que possui solução.
Ex.:




O vetor nulo 0 é sempre combinação linear de quaisquer vetores v 1 , v 2 , , v k , pois




0  0 v1 0 v 2  0 v k
Ex.:

Todo vetor v  a, b, c  do R3 é uma combinação linear de


i  1,0,0  ,
j  0,1,0 

k  0,0,1 .
e
Pois,



a, b, c   a1,0,0  b0,1,0  c0,0,1  a i  b j  c k .

Para verificarmos se um vetor b é combinação linear de um conjunto de vetores

 

 a 1 , a 2 ,  , a n  , escrevemos a equação vetorial






x1 a 1  x2 a 2    x n a n  b ,
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(14)
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125
Geometria Analítica e Álgebra Linear

 

e verificamos se ela tem solução. Se  a 1 , a 2 ,  , a n  são vetores do Rm, a (14), pode ser


escrita como
 a11 
 a1n   b1 


x       x n       
a m1 
a mn  bm 
Fig. 5.49
que é equivalente ao sistema linear
AX  B ,

em que as colunas de A são vetores são os vetores a i escritos como matrizes colunas, ou
 x1 
x 


 
seja, A   a 1 a 2  a n  e X   2  . Isto prova o seguinte resultado.



 
 xn 

Proposição Sejam A uma matriz m  n e B uma matriz m  1 . O vetor b é combinação linear das
colunas de A se, e somente se, o sistema AX  B tem solução.
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126
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Independência Linear

 

Definição Dizemos que um conjunto S   v 1 , v 2 ,  , v k  de vetores é linearmente independente


(L.I.) se a equação vetorial




x1 v 1  x 2 v 2    x k v k  0
(15)
só possui a solução trivial, ou seja, se a única forma de escrever o vetor nulo como



combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , , v k é aquela em que todos os escalares são iguais a
zero. Caso contrário, isto é, se (15) possui solução não trivial, dizemos que o conjunto S é
linearmente dependente (L.D.).
Ex.:
Um Conjunto Linearmente Dependente



Se v 1  2,1,0,3 , v 2  1,2,5,1 e v 3  7,1,5,8 , então o conjunto de vetores
S  v1 , v 2 , v3  é linearmente dependente, pois 3  v1  v 2  v3  0 .
Ex.:
Um Conjunto Linearmente Dependente
Os polinômios
p1  1  x , p 2  5  3x  2 x 2 e p3  1  3 x  x 2
formam um conjunto linearmente dependente em P3 , pois 3 p1  p 2  2 p3  0 .
Ex.:
Conjuntos Linearmente Independentes


Considere os vetores i  1,0,0  , j  0,1,0 
componentes, a equação vetorial


e

k  0,0,1 em R3. Em termos de

k1 i  k 2 j  k 3 k  0
é dada por
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127
Geometria Analítica e Álgebra Linear
k1 1,0,0   k 2 0,1,0  k 3 0,0,1  0,0,0 
ou, equivalente, por
k1 , k 2 , k 3   0,0,0
Isto implica que k1  0 , k 2  0 e k 3  0 , de modo que o conjunto S  i, j, k  é
linearmente independente. Um argumento similar pode ser usado para mostrar que os
vetores
e1  1,0,0, ,0  , e2  0,1,0, ,0  , ∙∙∙, en  0,0,0,,1
formam um conjunto linearmente independente em R3.
Ex.:
Determinando Independência / Dependência Linear
Determine se os vetores



v1  1,2,3 , v 2  5,6,1 e v 3  3,2,1
formam um conjunto linearmente dependente ou independente.
Solução
Em termos de componentes, a equação vetorial



k1 v 1  k 2 v 2  k 3 v 3  0
é dada por
k1 1,2,3  k 2 5,6,1  k 3 3,2,1  0,0,0 
ou, equivalente, por
k1  5k 2  3k 3 ,2k1  6k 2  2k 3 ,3k1  k 2  k 3   0,0,0
Igualando as componentes correspondentes, dá
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128
Geometria Analítica e Álgebra Linear
 k1

 2k1
 3k
 1


 5k 2
 6k 2
 k2
 3k 3
 2k 3
 k3
 0
 0
 0

Assim, os vetores v 1 , v 2 e v 3 formam um conjunto linearmente dependente se este
sistema tiver uma solução não-trivial, ou um conjunto linearmente independente se só tiver
a solução trivial. Resolvendo o sistema, obtemos
1
k1   t ,
2
1
k2   t ,
2

k3  t


Assim, o sistema tem soluções não-triviais e v 1 , v 2 e v 3 formam um conjunto
linearmente dependente. Alternativamente, nós poderíamos mostrar a existência de
soluções não-triviais sem resolver o sistema, mostrando que a matriz de coeficientes tem
determinante zero e conseqüentemente é não-invertível (verifique).
O termo “linearmente dependente” sugere que os vetores de alguma maneira dependem um
do outro. O próximo teorema mostra que isto realmente ocorre.
Teorema Um conjunto S de dois ou mais vetores é:
a) Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de S pode ser
escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.
b) Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em S pode ser escrito
como uma combinação linear dos outros vetores de S.
Ex.:



Nós já vimos que os vetores i  1,0,0  , j  0,1,0  e k  0,0,1 formam um conjunto
linearmente independente. Pelo teorema anterior segue que nenhum destes vetores pode ser
escrito como uma combinação linear dos outros dois. Para ver isto diretamente, suponha

que k pode ser escrito como



k  k1 i  k 2 j
Em termos de componentes,
0,0,1  k1 1,0,0  k 2 0,1,0
01 de fevereiro de 2010
ou
0,0,1  k1 , k 2 ,0
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129
Geometria Analítica e Álgebra Linear

Mas a última equação não é válida para nenhum valor de k1 e k 2 , de modo que k não



pode ser expresso por uma combinação linear de i e j . Similarmente, i não pode ser



expresso por uma combinação linear de i e j . Similarmente, i não pode ser expresso
por uma combinação linear de




j e k e j não pode ser expresso por uma combinação

linear de i e k .
O seguinte teorema fornece duas informações importantes sobre independência linear.
Teorema
a) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
b) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente
se, nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.
Interpretação Geométrica da Independência Linear
A independência linear tem uma interpretação geométrica útil em R2 e R3:
Em R2 ou R3, um conjunto de dois vetores é linearmente independente se, e somente se, os
vetores não estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem
(figura 5.50).
Fig. 5.50 - Linearmente dependente
Linearmente independente
Em R3, um conjunto de três vetores é linearmente independente se, e somente se, os vetores
não estão num mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem (figura
5.51).
01 de fevereiro de 2010
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130
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Fig. 5.51
Três vetores linearmente dependentes (paralelos)
Três vetores linearmente dependentes (2 paralelos)
No R3 temos que se três vetores não nulos são L.D., então ou os três são paralelos, ou dois
deles são paralelos ou os três são coplanares, isto é, são paralelos a um mesmo plano.
Três vetores linearmente dependentes (coplanares)
Portanto, podemos dizer que três vetores são L.D. se, e somente se, um deles é uma
combinação linear dos outros dois. No R3, se três vetores são L.I., então eles não são
coplanares (figura 5.52).
Fig. 5.52 - Três vetores linearmente independentes
01 de fevereiro de 2010
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131
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Para descobrir se um conjunto v1 , v 2 , , v n  é L.I. precisamos saber se a equação vetorial

x1v1  x 2 v 2    x n v n  0
(16)
tem somente solução trivial. Se v1 , v 2 ,, v n são vetores do Rm, a equação (16), pode ser
escrita como
 v11 
 v1n  0


x1       x n       
v m1 
v mn  0

é equivalente ao sistema linear homogêneo A  X  0 , em que as colunas de A são os
 x1 
x 
vetores vi escritos como matrizes colunas, ou seja, A  v1 , v 2 ,, v n  e X   2  . Isto

 
 xn 
prova o seguinte resultado.
Proposição Seja A uma matriz m  n .
a) As colunas de A são linearmente independentes se, e somente se, o sistema


A  X  0 tem A  X  0 somente a solução trivial.
b) Se m  n , então as colunas de A são linearmente independentes se, e somente se,
det( A)  0 .
Teorema Seja S  v1 , v 2 , , vr  um conjunto de vetores em Rn. Se r  n , então S é linearmente
dependente.
O teorema acima nos diz que um conjunto em R2 com mais de dois vetores, ou um
conjunto em R3 com mais de três vetores ou um conjunto em Rn com mais de n vetores são
sempre L.D. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles são ou não L.I. leva a um
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132
Geometria Analítica e Álgebra Linear
sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações, que tem sempre solução
trivial.
Ex.:



Considere os vetores v 1  1,0,1 , v 2  0,1,1 e v 3  1,1,1 de R3. Para sabermos se eles
são L.I. ou L.D. escrevemos a equação

x1v1  x 2 v 2  x3 v3  0

Esta equação vetorial equivalente ao sistema linear A  X  0 , em que
A  v1
v2
1 0 1
v3   0 1 1 .
1 1 1
Escalonamento a matriz A | 0 podemos obter a sua forma escalonada reduzida
1 0 0 0
R | 0  0 1 0 0 .
0 0 1 0

Concluímos, então que o sistema A  X  0 possui somente a solução trivial
x1  x 2  x3  0 . Portanto os vetores v1 , v 2 , v3 são L.I.
Ex.:



Sejam v 1  1,2,5 , v 2  7,1,5 e v 3  1,1,1 vetores do R3. Para sabermos se eles são
L.I. ou L.D. escrevemos a equação

x1v1  x 2 v 2  x3 v3  0

Esta equação vetorial equivalente ao sistema linear A  X  0 , em que
A  v1
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v2
1 7 1 
v3   2  1  1 .
5 5  1
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133
Geometria Analítica e Álgebra Linear
A matriz A | 0 é equivalente por linhas à matriz escalonada reduzida
1 0  2 5 0 
R | 0  0 1 1 5 0 .
0 0
0
0
Assim a variável x3 pode ser uma variável livre que pode, portanto, assumir qualquer valor.

Concluímos que o sistema A  X  0 e a equação vetorial (17) têm solução não trivial.
Portanto, os vetores v1 , v 2 , v3 são L.D.
A expressão “linearmente dependente” sugere que os vetores dependem uns dos outros em
algum sentido. O teorema seguinte mostra que este realmente é o caso.
Teorema Um conjunto S  v1 , v 2 ,, v k 
k  1
de vetores é linearmente dependente (L.D.) se, e
somente se, pelo menos um dos vetores, v j , for combinação linear dos outros vetores de S.
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134
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exercícios Numéricos


1. Dados os vetores u  2i  3 j e v  i  j , determinar


2u v
R.: (3,5)


2. Dados os vetores u  (1,1) e v  (3,4) , calcular



(b) || u  v ||
(a) || u ||
R.:

(a)
(b) 13
2

3. Dados os vetores u  (2,3,1) e v  (1,1,4) , calcular


2 u  ( v )
R.: -2


4. Determine o valor de x para o qual os vetores v  xi  3 j  4k e w  3i  j  2k são
perpendiculares.
R.:  11 3
5. Ache o ângulo entre o seguinte par de vetores:
 2 

R.: arccos
 4
2


3i  3 j e 2i  j  2k



6. Sejam u  (3,2,1) , v  (0,2,3) e w  (2,6,7) , calcule



(u  v )  w
R.: (27,40,42)


7. Encontre a área do paralelogramo determinado por u e v .


u  (1,1,2) , v  (0,3,1)
R.:
59
8. Calcule a área do triângulo com vértices A  (1,2,1) , B  (3,0,4) e C  (5,1,3)
R.:


101
2

9. Encontre o produto misto u  ( v  w) .



u  (1,2,4) , v  (3,4,2) , w  (1,2,5)
R.: - 10
10. Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2,1,6) e os
três vértices adjacentes nos pontos B = (4,1,3) , C = (1,3,2) e D = (1,2,1).
R.: 15 unids de Vol
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135
Geometria Analítica e Álgebra Linear
11. Sejam u = (-3, 2, 1, 0), v = (4, 7, -3, 2) e w = (5, -2, 8, 1). Encontre
(a) v  w
(b)  u  (v  4 w)
12. Sejam u1   1,3,2,0  , u 2  2,0,4,1 , u 3  7,1,1,4 e u 4  6,3,1,2  . Encontre os
escalares c1 , c 2 , c3 e c 4
c1u1  c 2 u 2  c3 u 3  c 4 u 4  0,5,6,3
R.: c1  1; c2  1; c3  1; c 4  1
13. Verifique que não existem escalares c1 , c 2 , c3 tais que
c1 1,0,1,0   c2 1,0,2,1  c3 2,0,1,2   1,2,2,3
14. Em cada parte, calcule a norma euclidiana do vetor.
(a) (2,5)
(b) (3,4,0,12)
(c) (2,1,1,3,4)
15. Sejam u  4,1,2,3 , v  0,3,8,2  e w  3,1,2,2  . Calcule cada expressão.
(a) u  v
(b) u  v
(c)
3u  5v  w
16. Encontre o produto interno euclidiano u  v .
(a) u  3,1,4,5 , v  2,2,4,3
(b) u   1,1,0,4,3 , v   2,2,0,2,1
17. Encontre a distância euclidiana entre u e v.
(a) u  0,2,1,1 , v   3,2,4,4 
(b) u  3,3,2,0,3 , v   4,1,1,5,0 
18. Em cada parte, determine se os vetores dados são ortogonais.
(a) u   1,3,2  , v  4,2,1
(b) u  0,3,2,1 , v  5,2,1,0 
19. Para quais valores de k os vetores u e v são ortogonais?
(a) u  2,1,3 , v  1,7, k 
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(b) u  k , k ,1 , v  k ,5,6 
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
20. Resolva os seguintes sistemas lineares em x1, x2 e x3.
1,1,4  x1 , x2 , x3   10
3,2,0  x1 , x2 , x3   1
4,5,1  x1 , x2 , x3   7
21. Quais dos seguintes vetores são combinação linear de X 1 4,2,3 , X 2  2,1,2 e
X 3   2,1,0  ?
(a) 1,1,1 ;
(b) 4,2,6  .
22. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes?
(a)
1,1,2, 1,0,0, 4,6,12;
1,1,1, 2,3,1, 3,1,2.
(b)



23. Para quais valores de  o conjunto de vetores 3,1,0 ,   2,2,0 é L.D.?
24. Vamos calcular a força (que é um vetor) de atração entre dois corpos de massas 2 e 5
unidades, colocados nos pontos (1, 3, 5) e (2, 1, 0), respectivamente, sabendo que a
m m
intensidade da atração entre eles é dada pela relação 1 2 2 .
d
z
5

2
5 
 1
,
,
R.: F  

 3 30 3 30 3 30 
4
3
2
1
y
x
0
0
0
2
1
2
3
4
4
Onde m1 é a massa do primeiro corpo, m2 a massa do segundo e d a distância entre eles, e
sabendo ainda que a força age na direção da reta que une os dois pontos.
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137
Geometria Analítica e Álgebra Linear

25. Um campo elétrico uniforme induz uma força constante dada pelo vetor F  10,2,5
em uma partícula carregada eletricamente. Vamos calcular o trabalho realizado quando
a partícula se move na trajetória que começa e termina em A, dada pela figura abaixo.
O trabalho total é
T  T AB  TBC  TCA
onde TAB é o trabalho realizado de A a B etc. O trabalho é o produto interno da força
pelo vetor que dá o deslocamento.
R.: 0
A=(1, 1, 3)
3
2.5
2
1.5
B=(2, 3, 2)
1
1
1
C=(2, 2, 1)
1.5
1.5
2
2
2.5
3
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exercícios usando o MatLab
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes numéricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor V = (1, 2, 3);
>> subs(expr,x,num)
>> solve(expr)
substitui x por num na expressão expr;
determina a solução da equação expr=0;
Comandos numéricos do pacote GAAL:
>> V=randi(1,3)
>> no(V)
cria um vetor aleatório com componentes inteiras;
calcula a norma do vetor V.
>> pe(V,W)
calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W.
>> pv(V,W)
calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W.
Comandos gráficos do pacote GAAL:
>> desvet(P,V)
desenha o vetor V com origem no ponto P
>> desvet(V) desenha
o vetor V com origem no ponto O = (0, 0, 0).
>> po([P1;P2;...;Pn])
desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.
>> lineseg(P1,P2,'cor')
>> eixos
>> box
desenha o segmento de reta P1P2.
desenha os eixos coordenados.
desenha uma caixa em volta da figura.
>> axiss
>> rota
reescala os eixos com a mesma escala.
faz uma rotação em torno do eixo z.
>> zoom3(fator)
amplifica a região pelo fator.
>> tex(P,'texto')
coloca o texto no ponto P.
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