probabilidade e estatística

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
CE075 – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADA
LISTA 3
1- Suponha que o U={x | 0 ≤ x ≤ 2 }. Sejam os conjuntos A e B dado por:
A={x | 1 ≤ x ≤ 1 }
e
B={x | 1 ≤ x ≤ 3 }.
2
4
4
Determine os conjuntos:
a) A ∪ B
b) A ∪ B
c) A ∩ B
d) A ∩ B
e) A ∪ B
2- Sejam os conjuntos A={x ∈ ℜ | x é impar} e B={ x ∈ ℜ | x2-8x+15=0}, mostre que
B⊃A.
3- Seja A, B, e C eventos associados a um experimento aleatório. Exprima em notações
de conjuntos as seguintes afirmações verbais:
a) Ao menos um dos eventos ocorre
b) Exatamente um dos eventos ocorre
c) Exatamente dois eventos ocorrem.
4- Quatro Universidades A, B, C e D estão participando de um torneio de futsal. Na
primeira etapa, A deve jogar com B e C com D. Na segunda etapa os dois vencedores
disputarão o campeonato e os dois perdedores jogarão para ver quem fica com a terceira
colocação. Um possível resultado pode ser representado por (ACBD) que significa que
a campeão foi a Universidade A, a segunda colocada foi C, a terceira B e a última D.
Represente por X o evento em que A ganha o torneio.
Represente por Y o evento em que B ficou entre os dois primeiros lugares.
Represente por Z o evento em que C ficou em segundo lugar.
Determine:
a) X ∪ Z
b) Y ∩ Z
c) Z – Y
d) (X’ ∩ Z’) ∪ Y
e) Os resultados X e Y são disjuntos? Justifique sua resposta.
5- Um colegiado de curso é composto por seis membros. De quantas maneiras os
membros podem sentar ao redor de uma mesa dado que o Coordenador e o Vicecoordenador devem ficar sempre juntos
6- Considere, agora, outro experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto
eqüidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido
no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do
sistema.
a) Descreva o espaço amostral do experimento;
b) Descreva o resultado ω1 “distância entre o ponto escolhido e o ponto médio do
segmento é ≤ 2” na forma de subconjunto do espaço amostral;
c) Descreva o resultado ω2 “distância entre o ponto escolhido e a origem é ≤ ½”;
d) Descreva o resultado ω3 “ a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento
menor que a 2a “.
7- Uma caixa com N lâmpadas contém r lâmpadas ( r
Essas lâmpadas são verificadas uma a uma até que
encontrada.
a) Descreva o espaço amostral do experimento .
b) Suponha que as lâmpadas acima sejam verificadas
defeituosas tenham sido encontradas. Descreva o
experimento.
< N ) com filamento partido .
uma lâmpada defeituosa seja
uma a uma, até que todas as
espaço amostral para este
8- Sejam os eventos A e B possíveis de ocorrer. Prove que a probabilidade de que
ocorra exatamente um dos eventos é dado por P[(A ∩ Bc ) U( B ∩ A c ) ]=P(A)+P(B)2P(A ∩ B).
9- Um certo tipo de motor elétrico falha nas seguintes situações :
A. emperramento dos mancais;
B. queima dos rolamentos;
C. desgaste das escovas;
Suponha que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima e esta é
quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de
que o motor falhe devido a cada uma dessas circunstâncias?
10- Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y e P(A ∩ B) = z .
Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z:
a) P(A c UB c )
b) P(A c ∩ B)
c) P(A c UB)
d) P(A c ∩ B c )
11- Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=1/4 ,
P(A ∩ B) = P(C ∩ B) = 0 e P(A ∩ C) = 1 / 8. Calcule a probabilidade de que ao menos
um dos eventos A, B ou C ocorra.
12- Uma caixa contém 4 lâmpadas defeituosas e 6 perfeitas. Duas lâmpadas são
extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade
de que a outra lâmpadas também seja perfeita?
13- A probabilidade de que um aluno saiba a resposta para uma certa questão, de um
exame de múltipla escolha é p. Das opções de resposta para cada questão, somente uma
é correta. Se o aluno não sabe a resposta para a questão, ele seleciona ao acaso uma
resposta dentre as m opções. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado
que ele sabe a resposta é 0,88 , pergunta-se :
a) Se o aluno responder corretamente a questão, qual a probabilidade de que ele
“chutou” a resposta ?
b) Se o aluno responder incorretamente a questão, qual a probabilidade de que ele
não “chutou” a resposta ?
14- Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é 0,3 . O meu time ganha um
jogo em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6
. Se ganham o jogo em novembro , qual a probabilidade de que choveu no dia ?
15- Suponha que temos duas urnas 1 e 2, cada urna tem duas gavetas. A urna 1 contém
uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra; enquanto a urna 2
contém uma moeda de ouro em cada gaveta . Uma urna é escolhida ao acaso, a seguir
uma de suas gavetas é aberta ao acaso . Verifica-se que a moeda encontrada nessa
gaveta é de ouro. Qual a probabilidade de que a moeda provenha da urna 2 ?
16- Em uma fábrica de parafusos , as máquinas A , B e C produziram 25 , 35 e 40% do
total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina 5 , 4 e 2%
respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se
verifica ser defeituoso . Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina
A ? da B ? da C ?
17- Três componentes C1 , C2 e C3 de um mecanismo são postos em série ( linha reta )
.Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o
evento {C2 está à direita de C1} e seja S o evento {C3 está à direita de C1} . Os eventos
R e S são independentes ? Por quê ?
18- Setenta por cento das aeronaves leves que desaparecem em vôo em certo país são
localizadas posteriormente. Das aeronaves localizadas, 60% possuem localizador de
emergência, enquanto 90% das aeronaves não localizadas não possuem esse dispositivo.
Suponha que uma aeronave leve tenha desaparecido.
a) Se ela tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de não ser localizada?
b) Se ela não tiver localizador de emergência, qual é a probabilidade de ser localizada?
19- Com tempo seco a chance de Pato ganhar uma corrida é 30%; com chuva a chance
dobra. Se os meteorologistas estimam em 40% a probabilidade de chuva durante a
próxima corrida, qual probabilidade de vitória?
20- Uma cidade tem um time de basquete profissional jogando em casa e um time de
hockey profissional jogando fora na mesma noite. De acordo com as probabilidades
para os esportes profissionais publicadas pela “Chance” (outono de 1992), um time de
basquete profissional tem uma probabilidade 0,641 de ganhar um jogo em casa e um
time de hockey profissional tem uma probabilidade 0,462 de ganhar um jogo fora de
casa. Historicamente, quando ambos os times jogam na mesma noite, a chance de que a
principal história de esporte na manhã seguinte será sobre o jogo de basquete é 60% e a
chance de que será sobre o jogo de hockey é 40%. Suponha que na manhã depois destes
jogos a principal história de esportes de jornal comece com a manchete “Nós
ganhamos!”. Qual é a probabilidade de que a história seja sobre o time de basquete?