Mecânica dos Fluidos - DM

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Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Matemática
Mecânica dos Fluidos
Disciplina: Trabalho de Graduação A e B
Responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo
Aluno: Ricardo de Sá Teles
Orientador: Prof. Dr. José Antonio Salvador
São Carlos, 15 de dezembro de 2003.
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Resumo
A lista de aplicações dos princípios da mecânica dos fluidos é bastante
extensa e estudamos algumas delas nos Trabalhos de Graduação A e B. O nosso
objetivo principal é chamar a atenção para o fato da mecânica dos fluidos não ser
estudada por interesse puramente acadêmico; ao contrário, é um assunto de larga
importância nas nossas experiências diárias e ela obteve um grande avanço com o
uso das modernas tecnologias.
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0.
Introdução
A mecânica dos fluidos lida com o comportamento dos fluidos em repouso ou
em movimento. É lógico começar com uma definição informal de fluido: uma
matéria que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de
cisalhamento (tangencial), não importa quão pequena ela possa ser.
Assim, os fluidos compreendem as fases líquidas e gasosas (de vapor) das
formas físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado
sólido da matéria é clara quando você compara os seus comportamentos. Um sólido
deforma-se quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não
continuamente.
Por que estudar mecânica dos fluidos?
O conhecimento e a compreensão dos princípios básicos e dos conceitos da
mecânica dos fluidos são essenciais para analisar qualquer sistema no qual um fluido
é o meio produtor de trabalho.
Durante a realização do Trabalho de Graduação A revisamos os seguintes
tópicos: o Teorema Fundamental do Cálculo, Teorema de Green, Teorema da
Divergência, Teorema de Stokes, Espaço Euclidiano, Produto Escalar, Produto
Vetorial, Bases, Álgebra Tensorial e Cálculo Tensorial, ferramentas indispensáveis
ao estudo de Mecânica dos Fluidos.
Em seguida, estumos Cinemática do Contínuo que compõe um ramo da
mecânica em que materiais são tratados como contínuos e constituídos de volumes
infinitesimais de matéria.
Na segunda parte do trabalho, TG B, foi estudado os seguintes tópicos:
Tensão, Fluidos, Fluidos compressíveis e incompressíveis, Fluido Newtoniano
Viscoso, Escoamento de Fuidos, Equação de Energia e Escoamento Irrotacional.
O trabalho está sendo desenvolvido no software MAPLE V e no WORD.
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1.
1.1
Cinemática do Contínuo
Descrição de Movimentos de um Contínuo
Suponha que um corpo no instante t = t0 ocupa uma certa região do espaço. A
posição espacial de uma partícula pode ser descrita pelo vetor posição X, medido a
partir de um ponto fixo. Seja x o vetor posição da partícula no instante t. Então,
temos
x = x(X,t) com x(X,t0) = X
(1.1)
e essas equações descrevem o caminho de qualquer partícula que em t = t0 está na
posição X (diferentes X's para diferentes partículas).
A terna (X1,X2,X3) serve para identificar as diferentes partículas do corpo e é
conhecida como coordenada material.
1.2 Descrições Material e Espacial
Quando tratamos do movimento no contínuo, as quantidades físicas
associadas com as partículas do corpo (temperatura, velocidade, etc) mudam com o
tempo. Descrevemos estas mudanças como:
1 - Seguindo as partículas. Tal descrição é conhecida como descrição material
ou descrição Lagrangiana.
2 - Observando as mudanças em locais fixos. Tal descrição é dita espacial ou
Euleriana. A terna (x1,x2,x3) que situa as posições fixas de pontos no espaço físico é
conhecida como coordenada espacial.
1.3
Derivada Material
A taxa de variação com o tempo de uma quantidade (tal como velocidade ou
temperatura, etc) de uma partícula material é chamada de derivada material.
Denotaremos a derivada material por
D
.
Dt
i) Quando a descrição material de uma quantidade é usada, θ = θ(X1,X2,X3),
então
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Dθ ∂θ
=
Dt
∂t
(Xi fixo)
(1.2)
ii) Quando a descrição espacial é usada θ = θ(x1,x2,x3)
Dθ ∂θ
=
+ v.gradθ
Dt
∂t
1.4
(1.3)
Tensão Principal
Assumindo que o tensor tensão E é simétrico, então diremos que existem três
direções mutuamente perpendiculares em relação as quais a matriz de E é diagonal.
De um determinado E, as tensões principais são achadas pela equação
característica de E, isto é,
λ3 - I1λ2 + I2λ – I3 = 0
(1.4)
onde I1, I2, I3 são chamados de escalares invariantes do tensor tensão.
1.5
Equação da Conservação de Massa
Se seguirmos uma partícula durante o seu movimento, seu volume pode
variar, porém sua massa total continuará inalterada.
Na forma invariante, a equação da conservação de massa fica
ρdiv +
Dρ
Dt
2.
Tensão
= 0 . (1.5)
Consideramos agora a descrição de forças que atuam no interior de um corpo.
Na teoria clássica do contínuo as forças internas de um corpo são introduzidas
por meio dos conceitos de forças de corpo e forças de superfície. Exemplos de forças
de corpo são a gravidade e a eletrostática. Vamos supor que é adequado descrever as
forças de superfície através da definição de vetor tensão no ponto.
2.1
Vetor Tensão
O vetor tensão tn num ponto P interno a um corpo é definido como o limite da
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∆F
quando ∆A → 0 , onde ∆ F é a resultante das forças atuando numa
∆A
razão
pequena área ∆ A contendo o ponto P.
O princípio da Tensão de Cauchy diz que se n é a normal unitária externa a um
plano tangente, então o vetor tensão é dado por
t = t(x,t,n)
onde o escalar t denota o tempo. Aqui a dependência de n é linear, isto é,
t( x, t, n ) = T ( x, t ) n , onde T é uma transformação linear, denominada de tensor
tensão.
2.2
Tensões Principais
Supondo que o tensor normal é, em geral, simétrico, há três direções principais
que são mutuamente perpendiculares (autovetores de T). Os planos tendo essas
direções como vetores normais são ditos planos principais. Sobre esses planos, o
vetor tensão é normal ao plano (isto é, não há tensões de cisalhamento) e as tensões
normais são ditas tensões principais. As tensões principais são obtidas pela equação
característica de T que é dada por
λ 3 − I1 λ 2 + I2 λ − I3 = 0 .
2.3
Tensão de cisalhamento máxima
A tensão de cisalhamento máxima é igual a metade da diferença entre as
tensões principais máxima e mínima e atua sobre o plano que divide o ângulo entre
as direções das tensões máxima e mínima.
A intensidade máxima da tensão de cisalhamento é dada pelo maior dos
valores
T1 − T2
2
2.4
,
T1 − T3
2
,
T2 − T3
2
.
Equação do movimento - Princípio do Momento Linear
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Na forma invariante, a equação do movimento é dada por
div T + ρ B = ρ a
Se a aceleração for nula, então a equação (5.11) se reduz a equação do
equilíbrio
div T + ρ B = 0 .
3.
Fluido Newtoniano Viscoso
3.1
Fluidos
Definimos um fluido como uma classe de materiais que não suporta uma
tensão de cisalhamento sem que se deforme continuamente. Exemplos de fluidos são
a água, ar e outros.
Estudaremos um modelo especial de fluido em que a tensão de cisalhamento é
diretamente proporcional à taxa de deformação. Esse modelo de fluido é chamado
fluido Newtoniano.
Quando um fluido está em movimento de corpo rígido, o vetor tensão sobre
qualquer plano é normal ao plano. Assim, todo plano é principal.
3.2
Fluidos compressíveis e incompressíveis
Para um fluido incompressível temos
Dρ
=0.
Dt
(3.2)
Então segue da equação da conservação de massa que
∂
Dρ
+ ρ 
v  = 0
 ∂ xk k 
Dt


3.3
Equações da Hidrostática
Com T ij = −p δ ij , as equações do equilíbrio
 ∂ T  + ρ B = 0 , (3.3)


i
 ∂ xj ij 


onde B i são as componentes do corpo de forças por unidade de massa, tornam-se
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∂
p = ρ Bi
∂ xi
(3.4)
Exemplo: Um tanque contendo um fluido homogêneo move-se horizontalmente para
a direita com uma aceleração constante a, ache o ângulo θ de inclinação da
superfície livre.
Solução: As equações do movimento para o fluido são
∂ 
ρ a = −
p  , (i)
 ∂ x1 


∂ 
p  , (ii)
0 = −
 ∂ x2 


∂ 
0 = −
p  + ρ g . (iii)
 ∂ x3 


De (ii), p independe de x2 . Da equação (i)
p = −ρ a x1 + f( x3 ) (iv)
e das equações (iii) e (iv)
∂
∂
p=
f = ρg.
∂ x3
∂ x3
Assim
f( x3 ) = ρ g x3 + cte
isto é,
p = −ρ a x1 + ρ g x3 + c .
Sobre a superfície p = p 0 , a superfície é um plano dado por
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ρ g x3 = ρ a x1 ,
isto é,
x3 =
a x1
g
e
tg( θ ) =
3.4
dx3
dx1
=
a
.
g
Fluido Newtoniano
Um material é dito isotrópico se suas propriedades mecânicas independem do
referencial. Um tensor com as mesmas componentes em relação a qualquer base
retangular unitária é dito um tensor isotrópico.
Assumindo que o estado de tensão para um fluido sob movimento de corpo
rígido é dado por um tensor isotrópico, então considerando um fluido em movimento
geral, é natural decompor o tensor tensão em duas partes
T ij = −p δ ij + T ij ´
(3.5)
em que os valores de T ij ´ dependem da taxa de deformação.
Definimos agora uma classe de materiais chamados "Fluidos Newtonianos"
como segue:
I. Para um ponto material, os valores de T ij ` num instante t dependem linearmente
das componentes do tensor taxa de deformação
∂   ∂ 
v+
v 
1  
  ∂ xj i   ∂ xi j  





Dij =
2
(3.6)
naquele instante e não de qualquer outras quantidades cinemáticas.
II. O fluido é isotrópico.
Temos que para um fluido Newtoniano, a forma mais geral de T ij ` é, com
∆ = D11 + D22 + D33 = Dkk ,
T ij ` = λ ∆ ∆ ij + 2 µ Dij
(3.7)
onde λ e µ são constantes com dimensão de (força)(tempo)/(comp)(comp). O
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tensor tensão T ij ` é chamado de tensor "tensão viscoso". Assim, o tensor tensão total
é
T ij = −p δ ij + λ ∆ δ ij + 2 µ Dij ,
(3.8)
O escalar p nas equações acima é chamado de pressão.
3.5
Interpretação de λ e µ
Considere o cisalhamento dado pelo campo velocidade
v1 = f( x2 ), v2 = 0, v3 = 0 .
Para esse escoamento
T 11 = T 22 = T 33 = −p ,
T 13 = T 23 = 0
e
df 
T 12 = µ 
 .
 dx 2 


(3.9)
Assim, µ é a constante de proporcionalidade relacionando a tensão de
cisalhamento com o gradiente da velocidade.
Da equação (3.7), temos para um campo velocidade geral,
1
2µ
T ii ` = ( λ +
)∆ .
3
3
Ou seja, ( λ +
(3.10)
2µ
) é a constante de proporcionalidade relacionando a tensão
3
normal viscosa principal com a taxa de variação de volume. A tensão normal
principal total é dada por
1
2µ
T ii ` = -p + ( λ +
)∆ .
3
3
(3.11)
3.6 Fluido Newtoniano Incompressível
Para um fluido incompressível, temos ∆ = 0 em todo instante. Assim a
equação constitutiva para um tal fluido torna-se
T ij = −p δ ij + 2 µ Dij
(3.12)
Page 11
Desde que
∂   ∂ 
1
Dij =    
vi  + 
vj  
 2    ∂ xj   ∂ xi  
(3.13)
onde vi são as componentes da velocidade, as equações constitutivas podem ser
escritas como
∂   ∂ 
v+
v  ,
T ij = −p δ ij + µ  
  ∂ xj i   ∂ xi j  

 

(3.14)
Substituindo a equação constitutiva (eq. 3.14) na equação do movimento,
obtemos
∂
ρ   v  + grad v v  = ρ B − grad p + µ div grad v .
  ∂t 

(3.15)
Essas são é a chamada equação de Navier-Stoves do movimento para um
fluido Newtoniano incompressível.
3.8
Equação de energia
D
( U + KE ) = P + Q
Dt
(3.19)
A partir da equação acima podemos chegar na equação do calor
unidimensional
u t = c2 u xx ,
onde u( x, t ) representa a temperatura numa posição x e num instante de tempo t
num fio de comprimento 1 com extremos perfeitamente isolados. O valor da
2
constante c é determinado pelo material do qual o fio é feito.
Supondo também que a distribuição inicial de temperatura no fio é dada por:
u( x, 0 ) = sin( π x )
Podemos plotar o seguinte gráfico que representa a variação da temperatura
com o tempo e com o espaço.
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4. Considerações Finais
O resumo aqui apresentado é parte do que foi desenvolvido para as
disciplinas de Trabalho de Graduação A e B no primeiro e segundo semestre de 2003
e no segundo semestre de 2003, respectivamente.
No
primeiro
semestre
estudamos toda
a
parte
de
pré-requisitos,
indispensáveis para um melhor entendimento do projeto, tais como, conceitos de
Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Álgebra Tensorial e Cálculo
Tensorial.
No segundo semestre estudamos o Tensor Tensão e um modelo especial de
fluidos chamado de Fluido Newtoniano. Vimos também algumas aplicações.
Durante a realização desse trabalho foi feita intensa pesquisa bibliográfica e
procuramos utilizar o MAPLE como ambiente para simular alguns problemas.
Esse trabalho permite ao leitor conhecimento e a compreensão dos princípios
básicos e dos conceitos da mecânica dos fluidos.
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5. Bibliografia
[1] LAI, M., RUBIM. E. & KREMPL, E.. Introduction to Continuum Mechanics,
Pergamon Press, 1988.
[2] LIU, I-SHIH, Continuum Mechanics, Springer Verlag, 2001.
[3] FOX, ROBERT W. & DONALD, ALAN T.. Introdução a Mecânica dos Fluidos.
Rio de Janeiro – RJ, Livros Técnicos e Científicos S.A., 1998.
[4] COIMBRA, A.L.. Lições e Exercícios de Mecânica do Contínuo, vol. 1 e 2. Rio
de Janeiro – RJ, Núcleo de Publicações da COPPE, 1988.
[5] MELO, SEVERINO T. & MOURA NETO, F.. Mecânica dos Fluidos e Equações
Diferenciais, IMPA, 1991.
[6] GUIDORIZZI, H.L.. Um curso de cálculo, vol.3, Rio de Janeiro – RJ, Livros
Técnicos e Científicos Editora S.A., 2002.
[7] SPIVAK, M.. Calculus. Berkeley, Califórnia. W.A. Benjamin, Inc., 1973.
[8] LIPSCHUTZ, S.. Álgebra Lienar, Mac-Graw Hill do Brasil, 1971.