"de equações" -dados

Equações de Navier-Stokes
• Para um fluido em movimento, a pressão
(componente normal da força de superfície) é
diferente da pressão termodinâmica: p " # 1 tr T
3
!
• p é invariante a rotação dos eixos de
coordenadas, e equivale a p para o fluido
!
estático, i.e., é igual ao valor médio do
componente normal de tensão no elemento
de superfície na posição x) . Para o fluido
estático, p = p
!
• Assim, para um fluido Newtoniano:
$
2 '
p = p " & # + µ )* • u
%
3 (
$1 '
2
+ = T + & trT)I = 2µE " µ (* • u)I
%3 (
3
• Para
! fluido Newtoniano incompressível:
p= p
" = " = 2µE
!
Equações de Navier-Stokes
• Para um fluido isotérmico (µ ≈ cte) e
incompressível, a equação de momentum
fica:
% # (u)
(
"'
+ u • $ (u)* = "g + $p + µ$ 2u
& #t
)
• Definindo a pressão modificada ou pressão
dinâmica "#P $ %g " #p (= 0 no fluido estático)
!
% # (u)
(
"'
+ u • $ (u)* = $P + µ$ 2u
& #t
)
!
Equação de energia para fluidos
em que a Lei de Fourier é válida
D#
# & %" ) Dp
"C p
=$ ( +
+ p, • u + T o E + , • ( k,# )
Dt
" ' %# * p Dt
• Em geral, nos fluidos Newtonianos a Lei
de Fourier é satisfeita
• A equação de energia para o fluido
Newtoniano incompressível é dada por:
D#
# & %" ) Dp
"C p
=$ ( +
+ 2µ (E o E) + , • ( k,# )
Dt
" ' %# * p Dt
Comportamento não Newtoniano
• Fluidos complexos
• Não satisfazem a equação constitutiva
para o fluido Newtoniano
• Polímeros, suspensões, etc.
• Compostos por macromoléculas
• Propriedades elásticas: Wi " #$˙
• Propriedades reológicas dependem do
escoamento (ex.: viscosidade)
!
Fluidos não Newtonianos
•
•
•
•
•
Fluidos puramente viscosos (Newtoniano Generalizado): viscosidade
varia com a taxa de deformação.

Fluidos viscoplásticos: também possuem tensão limite de
escoamento
Fluidos viscoelásticos: possuem características viscosas e elásticas
Equações constitutivas: não existem equações que descrevam o
comportamento geral de fluidos complexos em quaisquer tipos de
escoamentos
Duas técnicas distintas são usadas para a obtenção de equações
constitutivas: mecânica do contínuo x modelagem molecular (descrição
matemática do material na escala das macromoléculas)
Modelagem híbrida: mecânica do contínuo+modelagem molecular para
produzir modelos empíricos relativamente simples
Fluidos puramente viscosos
• Fluido Newtoniano Generalizado: " = # ( $˙ ) $˙
τ
Herschel-Bulkley
Bingham
Pseudoplástico
!
Newtoniano
Dilatante
"˙
Fluidos viscoelásticos
• Modelo de Maxwell: Equação constitutiva para
materiais viscoelásticos
τ
γa
γb
• Amortecedor
(elem. viscoso):
" = µ#˙
• Mola
(elem. elástico):
" = G#
" = "a + "b
"˙ = "˙ a + "˙ b =
# #˙
+
µ G
$ #+
µ
#˙ = µ"˙
G
Condições de contorno: paredes
sólidas e interfaces
• Tipos:
– Fronteira livre
– Fronteira limitada: paredes ou interfaces
• Condição cinemática (conservação de massa
em S, componente normal da velocidade
u•n=û•n em S
contínuo)
Se a outra fase é sólida,
û=usólido (parede fixa
impermeável, û=0)
Mudança de fase na interface:
ρ(u- uI)•n= ρ( û- ûI) •n em S
Velocidade da interface
• Condição de contorno térmica
• Temperatura:
em S (=θs se for parede)
• Fluxo de calor (conservação de energia na
interface):
" = "ˆ
j• n = ˆj • n em S
j = "k#$ + % (u " uI )CP ($ " $ ref )
!ˆj = "kˆ#$ˆ + %ˆ
(uˆ " u )Cˆ ($ˆ " $ )
Sem mudança de fase
I
P
ref
Com mudança de fase (H=CP∆θ)
!
u • n = uˆ • n = uI • n
"k (#$ • n) = "kˆ #$ˆ • n
(
"k (#$ • n) + kˆ #$ˆ • n = % H " Hˆ (u " uI ) • n
(
)
= Qs (se for parede)
!
) (
)
• Condição de contorno dinâmica
– Especifica a relação entre os componentes
tangenciais da velocidade
– Assumindo que a velocidade é contínua na
interface (não deslizamento):
u " (u • n)n = uˆ " (uˆ • n)n (parede, uˆ = U sólido )
!
– A condição de não deslizamento ocorre na
maioria dos fluidos Newtonianos (moléculas
pequenas), e também em muitas situações
dos fluidos complexos
• Condição de contorno Navier-slip
[
]
u " (u • n)n " # T• n " ((T• n) • n)n = 0
– β: coeficiente de deslizamento (empírico)
– A condição estabelece que ocorre um
!
deslizamento, e que este é função da
magnitude da tensão cisalhante na parede
• O deslizamento em geral ocorre para
altos valores de tensão
• Ângulo de contato: ângulo entre a
interface gás/líquido e uma superfície
sólida
• Materiais “repelentes a água”, θc>1500
• Tensão interfacial (ou superficial, quando a
interface envolve um líquido e um gás):
fornece uma medida do trabalho requerido
para aumentar a área da interface (i.e., para
formar uma nova interface, trazendo
moléculas do fluido longe dela)
• Balanço de forças na linha de contato
(equação de Young):
" LG cos# c = " SG $ " SL
γij: tensão interfacial na interface ij
!
• Obs: imagine a tensão interfacial como o trabalho
requerido para criar uma unidade de área superficial
⇒alto γij indica forte atração entre i e j.
• Da eq. acima, vemos que θc pequeno implica em γSG >
γSL (líquido fortemente atraído ao sólido) e θc alto, γSL > γ
SG
• A CC de deslizamento ou não deslizamento pode ser
definida usando o conceito de atração entre líquido e
sólido (ou θc): deslizamento ocorre em paredes
hidrofóbicas (alto θc )
• Em geral, a CC de não deslizamento é satisfatória
para fluidos Newtonianos
• Fluidos complexos: deslizamento pode ocorrer,
especialmente a altas tensões
Outras observações sobre CC:
• Nas interfaces, além das CC de velocidade, são
necessárias CC adicionais
• Interfaces mudam ao longo do escoamento.
Generalização da condição cinemática:
F " z # h ( x, y,t )
1 %F
+ u•n = 0
$F %t
• Condição de tensão: balanço de forças na interface
(que tem volume nulo) - soma das forças na interface
é zero !
• Hipótese: interface é caracterizada por uma superfície
ou tensão interfacial, que é função do estado
termodinâmico local (T ou p)
• Forças agindo na interface: pressão e tensão
agindo nas faces (proporcionais à área da
interface); força devida a tensão interfacial que
age no plano da interface, nas bordas do
elementode superfície.
• Tensão interfacial: medida de energia livre por
unidade de área. Aumento de área requer
aumento da energia livre (trabalho) do sistema.
Na teoria macroscópica, este trabalho é
produzido pela força por unidade de
comprimento γ (tensão interfacial)
• Balanço de forças em A:
# # (T " Tˆ ) • ndA +
A
$ tdI
#12
3
C
=
##A grad s $dA " #A $n ( %•n ) dA
(T " Tˆ ) • n + grad $ " $n(% • n) = 0
s
!
T: tensão no primeiro fluido
ˆ : tensão no segundo fluido
T
n: vetor normal a interface
t: vetor tangente a interface
!
=0
• Componente normal (•n): T=-pI+τ
pˆ tot " ptot + {[(# " #ˆ ) • n] • n} " $ (% • n) = 0
!
• Equação de Young-Laplace (fluidos sem
movimento):
pˆ tot " ptot = # ($ • n)
1
424
3
termo de curvatura
1
1
$ •n = +
R1 R2
• Obs: se " • n # cte a eq. de YL não pode ser
satisfeita!
• Escoamentos capilares: esc. Governados pela
tensão superficial quando existem gradientes
! (" • n) " (# • n)
em
(
: pressão capilar)
!
!
• Componente tangencial:(•t1 e •t2,
perpendiculares a n)
0 = [(" # "ˆ ) • n] • t i + (grad s $ ) • t i
grad s $ % & # n(n • &)
- Componentes tangenciais da tensão são descontínuos
através da interface quando gradsγ não é zero.
!
- Tensão interfacial depende do estado
termodinâmico (p, T): efeitos termocapilares
- Obs: surfactantes - reduzem a tensão superficial na interface