aula 01: lìgica de proposiçães

RACIOCÍNIO LÓGICO, ANALÍTICO E QUANTITATIVO P/ IGP-RS
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 01
AULA 01: LÓGICA DE PROPOSIÇÕES
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Teoria
02
2. Resolução de questões
29
3. Lista das questões apresentadas na aula
81
4. Gabarito
106
Olá!
Hoje começamos o estudo do seguinte assunto:
Proposições simples e compostas; Álgebra proposicional; Implicação
lógica; Equivalência lógica; Propriedades Comutativa, Distributiva e Leis
de De Morgan; Tautologia, contradição e contingência; Sentenças
abertas; Proposições categóricas;
Costumo
chamar
estes
temas
simplesmente
de
“lógica
proposicional”, ou “lógica de proposições”. Dedicaremos a próxima aula
para reforçar o seu entendimento sobre os assuntos que iniciaremos hoje.
Lembre-se de seguir meu Instagram, onde posto dicas diárias para
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1. Teoria
1.1 Introdução
Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição
é uma oração declarativa que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F
– falso). Ex.: A bola é azul. Veja que não existe meio termo: ou a bola é
realmente de cor azul, tornando a proposição verdadeira, ou a bola é de
outra cor, sendo a proposição falsa. Observe que nem toda frase pode ser
considerada uma proposição. Por exemplo, a exclamação “Bom dia!” não
pode ser classificada como verdadeira ou falsa. O mesmo ocorre com as
frases “Qual o seu nome?” ou “Vá dormir”, que também não têm um valor
lógico (V ou F). No estudo de lógica de argumentação, usamos letras
(principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição.
É importante também conhecer alguns princípios relativos às
proposições. O princípio da não-contradição diz que uma proposição não
pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra.
Já o princípio da exclusão do terceiro termo diz que não há um meio
termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposição p
(exemplo: “2 mais 2 não é igual a 7”), sabemos que:
- se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa
(não-contradição), e
- não é possível que essa frase seja “meio verdadeira” ou “meio falsa”,
ela deve ser somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro
termo).
Uma observação importante: não se preocupe tanto com o
conteúdo da proposição. Quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou
falsa é o enunciado do exercício. Ao resolver exercícios você verá que, a
princípio, consideramos todas as proposições fornecidas como sendo
verdadeiras, a menos que o exercício diga o contrário. Se um exercício
disser que a proposição “2 + 2 = 7” é Verdadeira, você deve aceitar isso,
ainda que saiba que o conteúdo dela não é realmente correto. Isto porque
estamos trabalhando com Lógica formal.
Vejamos duas proposições exemplificativas:
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p: Chove amanhã.
q: Eu vou à escola.
Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas
pode ser Verdadeira ou Falsa.
Duas
ou
mais
proposições
podem
ser
combinadas,
criando
proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos
conhecê-los estudando as principais formas de proposições compostas.
Para isso, usaremos como exemplo as duas proposições que já vimos
acima. Vejamos como podemos combiná-las:
a) Conjunção (“e”): trata-se de uma combinação de proposições
usando o operador lógico “e”, ou seja, do tipo “p e q”. Por exemplo:
“Chove amanhã e eu vou à escola”. Utilizamos o símbolo ^ para
representar este operador. Ou seja, ao invés de escrever “p e q”,
podemos escrever “ p  q ”.
Veja que, ao dizer que “Chove amanhã e eu vou à escola”, estou
afirmando que as duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em
outras palavras, esta proposição composta só pode ser Verdadeira se as
duas proposições simples que a compõem forem verdadeiras, isto é,
acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu não for à escola, significa
que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não chover e
mesmo assim eu for à escola, a expressão acima também é Falsa.
Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou Falsa,
devemos olhar cada uma das proposições que a compõem. Já vimos que
se p acontece (p é Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira), a
expressão p e q é Verdadeira. Esta é a primeira linha da tabela abaixo. Já
se p acontece (V), isto é, se chove, e q não acontece (F), ou seja, eu não
vou à escola, a expressão inteira torna-se falsa. Isto também ocorre se p
não acontece (F) e q acontece (V). Estas são as duas linhas seguintes da
tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q acontecem (ambas são
Falsas), a expressão inteira também será falsa. Veja esta tabela:
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Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p e q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
(pq)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
A
tabela
acima
é
chamada
de
tabela-verdade
da
proposição
combinada “p e q”. Nesta tabela podemos visualizar que a única forma de
tornar a proposição verdadeira ocorre quando tanto p quanto q são
verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a proposição falsa),
basta provar que pelo menos uma das proposições que a compõem é
falsa.
b) Disjunção (“ou”): esta é uma combinação usando o operador “ou”,
isto é, “p ou q” (também podemos escrever p  q ). Ex.: “Chove
amanhã ou eu vou à escola”.
Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma
das coisas vai acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas
ocorrer, já estou dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer
ou não. Agora, se nenhuma delas acontecer (não chover e, além disso,
eu não for à escola), a minha frase estará falsa. A tabela abaixo resume
estas possibilidades:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p ou
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
q
(pq)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
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d) Condicional (implicação): uma condicional é uma combinação do
tipo “se p, então q” (simbolizada por
p  q ). Usando o nosso
exemplo, podemos montar a proposição composta “Se chove amanhã,
eu vou à escola”.
Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso.
Chamamos este caso de Condicional porque temos uma condição (“se
chove
amanhã”)
que,
caso
venha
a
ocorrer,
faz
com
que
automaticamente a sua consequência (“eu vou à escola”) tenha que
acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser também
Verdadeira.
Se a condição p (“se chove amanhã”) não ocorre (é Falsa), q pode
ocorrer (V) ou não (F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém, se a
condição ocorre (p é V) e o resultado não ocorre (q é F), estamos diante
de uma proposição composta que é Falsa como um todo. Tudo o que
dissemos acima leva a esta tabela:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Se p,
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
então q ( p  q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
e) Bicondicional (“se e somente se”): uma bicondicional é uma
combinação do tipo “p se e somente se q” (simbolizada por p  q ).
Ex.: “Chove amanhã se e somente se eu vou à escola”.
Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que,
necessariamente, as duas coisas acontecem juntas (ou então nenhuma
delas acontece). Assim, sabendo que amanhã chove, já sabemos que a
pessoa vai à escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi à escola,
então sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que não choveu,
sabemos automaticamente que a pessoa não foi à escola.
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RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado uma condicional pq onde:
p = todos os processos forem analisados até às 11 horas
q = o plantão será finalizado nesse horário
Ocorre que o plantão só foi finalizado às 18 horas, ou seja, q é F.
Para manter a condicional pq verdadeira, é preciso que p seja F
também. Afinal, olhando a tabela-verdade da condicional, quando q é F
não podemos deixar que p seja V, pois neste caso a condicional seria
falsa:
P
Q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Assim, como p é F, então pelo menos um processo não foi analisado
até as 11 horas.
Resposta: E
IMPORTANTE: Saiba que “e”, “ou”, “ou, ... ou...”, “se..., então...”,
“se e somente se” são as formas básicas dos conectivos conjunção,
disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto,
várias questões exploram formas “alternativas” de se expressar cada uma
dessas proposições compostas. Ao longo das questões que resolvermos
nessa e na próxima aula, você aprenderá a lidar com estas alternativas.
Veja os casos que considero mais importantes:
- Conectivo “mas” com ideia de conjunção (“e”). Ex.: Chove, mas
vou à escola. Observe que quem diz esta frase está afirmando que duas
coisas acontecem: 1 = chove, e 2 = vou à escola. No estudo da lógica,
isto é o mesmo que dizer “Chove e vou à escola”. Portanto, o “mas” está
sendo usado para formar uma conjunção.
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- Conectivo
“ou”
precedido
por vírgula, com
ideia
de “ou
exclusivo”. Ex.: Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula
nos permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou
à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar o “ou ...,
ou...” que estudamos na disjunção exclusiva.
-
Condicional
utilizando
“Quando...”
ou
“Toda
vez
que...”.
Exemplos:
1) Quando chove, vou à escola.
2) Toda vez que chove vou à escola.
Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de
apresentar uma condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à
escola”). Portanto, estas são formas alternativas ao clássico “se ..., então
...” da condicional.
- Uso do “...ou..., mas não ambos” com ideia de disjunção
exclusiva. Ex.: “Jogo bola ou corro, mas não ambos”. Repare que a
primeira parte dessa frase é uma disjunção comum (inclusiva), mas a
expressão “mas não ambos” exclui o caso onde “jogo bola” é V e “corro”
também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção exclusiva. Alguns
autores entendem que só temos disjunção exclusiva se a expressão “mas
não ambos” estiver presente (ainda que tenhamos “ou..., ou ...”), mas
isso não pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse
problema ao longo das questões.
Sobre proposições compostas, veja uma questão introdutória:
2. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas
não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
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e) disjunção exclusiva
RESOLUÇÃO:
Vimos logo acima que o “mas” pode ser utilizado para representar o
conectivo conjunção (“e”). Do ponto de vista lógico, a frase “Paula estuda
e não passa no concurso” tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto
porque o autor da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas são
verdadeiras:
- Paula estuda
- Paula não passa no concurso
Portanto, temos uma conjunção (letra D).
Ao estudar Português, você verá que o “mas” tem função
adversativa. Isto é, o autor da frase não quer dizer apenas que as duas
coisas são verdadeiras. Ele usa o “mas” para ressaltar o fato de que essas
coisas são, em tese, opostas entre si (espera-se que quem estuda seja
aprovado). Por mais importante que seja este detalhe semântico naquela
disciplina, aqui na Lógica Proposicional devemos tratar estas proposições
como sendo equivalentes.
Resposta: D
1.2 Negação de proposições simples
Representamos a negação de uma proposição simples “p” pelo
símbolo “~p” (leia não-p).Também podemos usar a notação
p , que é
menos usual. Sabemos que o valor lógico de “p” e “~p” são opostos, isto
é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será falsa, e vice-versa.
Quando temos uma proposição simples (por ex.: “Chove agora”,
“Todos os nordestinos são fortes”, “Algum brasileiro é mineiro”), podemos
negar essa proposição simplesmente inserindo “Não é verdade que...” em
seu início. Veja:
- Não é verdade que chove agora
- Não é verdade que todos os nordestinos são fortes
- Não é verdade que algum brasileiro é mineiro
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Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras
formas de negar uma proposição. Para descobrir a negação, basta você se
perguntar: o que é o MÍNIMO que eu precisaria fazer para provar que
esta frase é mentira? Se você for capaz de desmenti-la, você será capaz
de negá-la.
Se João nos disse que “Chove agora”, bastaria confirmar que não
está chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria
simplesmente “Não chove agora”.
Entretanto, caso João nos diga que “Todos os nordestinos são
fortes”, bastaria encontrarmos um único nordestino que não fosse forte
para desmenti-lo. Portanto, a negação desta afirmação pode ser, entre
outras possibilidades:
- “Pelo menos um nordestino não é forte”
- “Algum nordestino não é forte”
- “Existe nordestino que não é forte”
Já se João nos dissesse que “Algum nordestino é forte”, basta que
um único nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja
verdadeira. Portanto, aqui é mais difícil desmenti-lo, pois precisaríamos
analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum deles é forte. Assim,
a negação seria, entre outras possibilidades:
- “Nenhum nordestino é forte”
- “Não existe nordestino forte”
A tabela a seguir resume as principais formas de negação de
proposições simples. Veja que, assim como você pode usar as da coluna
da direita para negar frases com as expressões da coluna da esquerda,
você também pode fazer o contrário.
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Proposição “p”
Proposição “~p”
Meu gato é preto
Meu gato não é preto
Todos gatos são pretos
Algum/pelo menos um/existe gato
(que) não é preto
Nenhum gato é preto
Algum/pelo menos um/existe gato
(que) é preto
Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a
própria proposição p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade.
Ex.: “Não é verdade que meu gato não é preto”  esta frase é
equivalente a “Meu gato é preto”.
Veja abaixo uma questão inicial sobre negação de proposições
simples.
3. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte
manchete:
“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”
Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando
uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que
expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:
a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários
b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários
c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários
d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao
Banco do Brasil
e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo
RESOLUÇÃO:
Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor
constatasse que em pelo menos uma agência do BB não há déficit e ele já
teria argumento suficiente para desmentir o jornal, afinal o jornal tinha
dito que todas as agências possuem déficit. Uma forma desse leitor
expressar-se seria dizendo:
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“Pelo menos uma agência do BB não tem déficit de funcionários”.
Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria:
“Alguma agência do BB não tem déficit de funcionários”.
Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a
retratação (negação) da anterior.
Resposta: C
1.3 Negação de proposições compostas e Leis de De Morgan
Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção,
disjunção, disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos
utilizar o mesmo truque para obter a sua negação: buscar uma forma de
desmentir
quem
estivesse
falando
aquela
frase.
Vejamos
alguns
exemplos:
a) Conjunção: “Chove hoje e vou à praia”. Se João nos diz essa frase, ele
está afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida,
retorne à tabela-verdade da conjunção). Isto é, para desmenti-lo,
bastaria provar que pelo menos uma delas não ocorre. Isto é, a primeira
coisa não ocorre ou a segunda coisa não ocorre (ou mesmo as duas não
ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma disjunção, negando as
duas proposições simples como aprendemos no item anterior: “Não chove
hoje ou não vou à praia”. Da mesma forma, se João tivesse dito “Todo
nordestino é forte e nenhum gato é preto”, poderíamos negar utilizando
uma disjunção, negando as duas proposições simples: “Algum nordestino
não é forte ou algum gato é preto”.
Aqui aparece a primeira lei de De Morgan: “a negação de uma conjunção
entre duas proposições é igual à disjunção da negação de cada
proposição”. Ou seja, a negação de p ^ q é dada por ~p v ~q, ou ainda:
~(p ^ q)
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Obs.: nesse caso, não confunda o símbolo
com o da bicondicional.
Aqui, o símbolo significa apenas que o que vem antes dele pode ser
substituído pelo que vem do outro lado.
b) Disjunção: “Chove hoje ou vou à praia”. Essa afirmação é verdadeira
se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira.
Portanto,
para desmentir quem a disse, precisamos provar que as duas coisas não
acontecem, isto é, as duas proposições são falsas. Assim, a negação seria
uma conjunção: “Não chove hoje e não vou à praia”. Já a negação de
“Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto” seria “Algum
nordestino não é forte e algum gato é preto”.
Aqui aparece a segunda lei de De Morgan: “a negação de uma disjunção
entre duas proposições é igual à conjunção da negação de cada
proposição”. Ou seja, a negação de p v q é dada por ~p ^ ~q, ou ainda:
~(p v q)
~p ^ ~q
c) Disjunção exclusiva: “Ou chove hoje ou vou à praia”.
Recorrendo à
tabela-verdade, você verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se
uma, e apenas uma das proposições é verdadeira, sendo a outra falsa.
Assim, se mostrássemos que ambas são verdadeiras, ou que ambas são
falsas, estaríamos desmentindo o autor da frase. Para isso, podemos usar
uma bicondicional: “Chove hoje se e somente se eu vou à praia”. Veja
que esta frase indica que ou acontecem as duas coisas (chover e ir à
praia) ou não acontece nenhuma delas.
d) Condicional: “Se chove hoje, então vou à praia”. Lembra-se que a
condicional só é falsa caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado
(q) seja falso? Portanto, é justamente isso que deveríamos provar se
quiséssemos desmentir o autor da frase. A seguinte conjunção nos
permite negar a condicional: “Chove hoje e não vou à praia”.
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e) Bicondicional: “Chove hoje se e somente se vou à praia”. O autor da
frase está afirmando que as duas coisas (chover e ir à praia) devem
ocorrer
juntas,
ou
então
nenhuma
delas
pode
ocorrer.
Podemos
desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre (é verdadeira) enquanto
a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos permite fazer isso: “Ou
chove hoje, ou vou à praia”.
Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de
proposições compostas:
Proposição composta
Negação
Conjunção ( p  q )
Disjunção ( ~ p ~ q )
Ex.: Chove hoje e vou à praia
Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia
Disjunção ( p  q )
Conjunção ( ~ p ~ q )
Ex.: Chove hoje ou vou à praia
Ex.: Não chove hoje e não vou à praia
Disjunção exclusiva ( p  q )
Bicondicional ( p  q )
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
Ex.: Chove hoje se e somente se vou à praia
Condicional ( p  q )
Conjunção ( p ~ q )
Ex.: Se chove hoje, então vou à praia
Ex.: Chove hoje e não vou à praia
Bicondicional ( p  q )
Disjunção exclusiva ( p  q )
Ex.: Chove hoje se e somente se vou
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
à praia.
Outra
forma
de
negar
a
bicondicional
é
escrevendo
outra
bicondicional, porém negando uma das proposições simples. Por exemplo,
p ~ q é uma forma alternativa de negar p  q . Esta negação pode ser
escrita como “Chove se e somente se NÃO vou à praia).
Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir da
questão abaixo:
4. FCC – TRT/19ª – 2014) Considere a seguinte afirmação:
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Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica
satisfeito.
Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é
(A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não
fica satisfeito.
(B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica
satisfeito.
(C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica
satisfeito.
(D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não
fica satisfeito.
(E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com
persistência.
RESOLUÇÃO:
Para negar a condicional pq, podemos escrever a conjunção “p e
~q”. No caso, como a condicional é “Se José estuda com persistência,
então ele faz uma boa prova e fica satisfeito”, temos que:
p = José estuda com persistência
q = ele faz uma boa prova e fica satisfeito
Repare que q é uma proposição composta, do tipo conjunção, cuja
negação é:
~q = ele NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica satisfeito
Assim, a negação de pq é “p e ~q”, que pode ser escrita assim:
José estuda com persistência E NÃO faz uma boa prova OU NÃO fica
satisfeito
Resposta: D
1.4 Construção da tabela-verdade de proposições compostas
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Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabelaverdade de proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição
A  [(~ B )  C ] . A primeira coisa que você precisa saber é que a tabela-
verdade desta proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o número de
proposições simples envolvidas. Como só temos 3 proposições simples (A,
B e C), esta tabela terá 23, ou seja, 8 linhas.
Para
montar
a
tabela
verdade
de
uma
expressão
como
A  [(~ B )  C ] , devemos começar criando uma coluna para cada proposição
e, a seguir, colocar todas as possibilidades de combinações de valores
lógicos (V ou F) entre elas:
Valor lógico
Valor
Valor
de A
lógico de B
lógico de C
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Agora, note que em
A  [(~ B )  C ]
temos o termo ~B entre
parênteses. Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela,
inserindo os valores de ~B. Lembre-se que os valores de não-B são
opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo):
Valor lógico
Valor
Valor lógico
Valor lógico
de A
lógico de B
de C
de ~B
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
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V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os
de C, podemos criar os valores lógicos da expressão entre colchetes:
[(~ B)  C] . Observe que se trata de uma conjunção (“e”), que só tem valor
lógico V quando ambos os membros (no caso, ~B e C) são V:
Valor
Valor
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
lógico de A
lógico de B
de C
de ~B
de [(~ B)  C]
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores
lógicos de [(~ B)  C] , podemos analisar os valores lógicos da disjunção
A  [(~ B )  C ] . Lembre-se que uma disjunção só é F quando ambos os seus
membros são F (marquei esses casos em amarelo):
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
de A
B
C
~B
[(~ B)  C]
A  [(~ B )  C ]
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
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TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
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V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabelaverdade da expressão A  [(~ B )  C ] é:
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
de A
B
C
A  [(~ B )  C ]
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão
A  [(~ B )  C ] para todos os possíveis valores das proposições simples que
a compõem (A, B e C).
1.5 Tautologia e contradição
Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima,
podemos verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira,
independente
compõem.
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dos
valores
Trata-se
de
lógicos
uma
das
proposições
tautologia.
Por
outro
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simples
lado,
que
a
algumas
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expressões podem ser sempre falsas, independente dos valores das
proposições que a compõem. Neste caso, estaremos diante de uma
contradição. Vejamos alguns exemplos:
a) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito e não sou
bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma contradição
(não dá para ser bonito e não ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna
da direita dessa tabela, vemos que ela é falsa para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de
Valor lógico de
~p
p ~ p
V
F
F
F
V
F
Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso
porque temos apenas 1 proposição simples (p), e 21 = 2.
b) Veja abaixo a tabela-verdade de p ~ p (ex.: Sou bonito ou não sou
bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia
(essa frase sempre será verdadeira, independente da minha beleza).
Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é verdadeira
para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de
Valor lógico de
~p
p ~ p
V
F
V
F
V
V
Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir.
5. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
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III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q) ” é uma
tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
a) I e II
b) I e III
c) I
d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
O número de linhas de uma tabela verdade é 2n, onde n é o número
de proposições simples. Isto é, 2x2x2...x2, n vezes. Este número
certamente é divisível por 2, isto é, é par. Item VERDADEIRO.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
Temos uma bicondicional onde a primeira parte é falsa (pois 10 é
maior que a raiz quadrada de 10), e a segunda parte também é falsa
(pois 8 – 3 = 5). Na tabela-verdade da bicondicional, veja que esta
proposição composta é verdadeira quando temos F  F. Item FALSO.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q) ” é uma
tautologia.
Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela
verdade desta proposição. Repare que temos 2 proposições simples (p e
q), de modo que a tabela-verdade da proposição composta terá 22 = 4
linhas. A tabela, construída da esquerda para a direita, fica assim:
Valor
Valor
lógico de p lógico de q
Valor lógico
de ~q
Valor lógico
de
 p  q
Valor lógico de
 p  q   (~ q)
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
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F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
De fato, a proposição
 p  q   (~ q)
possui valor lógico V para
qualquer valor das proposições simples p e q. Isto é, temos uma
tautologia. Item VERDADEIRO.
Resposta: B
1.6 Equivalência de proposições lógicas
Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas
possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as
proposições p  q e ~ q ~ p são equivalentes.
Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder
compará-las. Mas intuitivamente você já poderia ver que elas são
equivalentes. Imagine que p  q é “Se chove, então vou à praia”.
Sabemos que se a condição (chove) ocorre, necessariamente o resultado
(vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado não ocorreu
(não vou à praia), isso implica que a condição não pode ter ocorrido (não
chove). Isto é, podemos dizer que “Se não vou à praia, então não chove”.
Ou seja, ~ q ~ p .
A tabela-verdade de p  q encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho,
para exercitar:
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
de p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Já a tabela-verdade de ~ q ~ p foi obtida abaixo:
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Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
de p
q
~q
~p
~ q ~ p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são
iguais? Isso nos permite afirmar que ambas as proposições compostas
são equivalentes.
Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
p
q
~p
~p ou q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores
(pq e ~q~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes.
Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos,
portanto é bom você gravar: ( p  q ), ( ~ q ~ p ) e (~p ou q) são
proposições equivalentes!!!
Veja a questão abaixo para começar a treinar as equivalências
lógicas:
6. FCC – SEPLAN/PI – 2013) Se Heráclito está convicto de que o
mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se
(A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança.
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(B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente
mudança, então ele é triste.
(C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente
mudança, então ele não é triste.
(D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo
está em permanente mudança.
(E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está
em permanente mudança.
RESOLUÇÃO:
No enunciado temos a condicional pq:
está convicto  é triste
Sabemos que pq é equivalente a ~q~p. Essa última pode ser
escrita assim:
NÃO é triste  NÃO está convicto
Temos essa frase na alternativa D: se Heráclito não é triste, então
ele não está convicto de que o mundo está em permanente mudança.
Se não tivéssemos encontrado o gabarito, poderíamos ter tentado
encontrar a outra equivalência “manjada” da condicional pq, que é a
disjunção “~p ou q”, ou seja:
NÃO está convicto OU é triste
Ou melhor:
Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente mudança OU
ele é triste.
Resposta: D
1.7 Condição necessária e condição suficiente
Quando temos uma condicional pq, sabemos que se a condição p
acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que pq seja
uma proposição verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer é
suficiente para afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p é uma
condição suficiente para q.
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Por exemplo, se dissermos “Se chove, então o chão fica molhado”,
é suficiente saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado.
Chover é uma condição suficiente para que o chão fique molhado. Por
outro lado, podemos dizer que sempre que chove, o chão fica molhado. É
necessário que o chão fique molhado para podermos afirmar chove.
Portanto, “o chão fica molhado” é uma condição necessária para
podermos dizer que chove (se o chão estivesse seco, teríamos certeza de
que não chove). Ou seja, q é uma condição necessária para p.
Resumidamente, quando temos uma condicional pq, podemos
afirmar que p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p.
Por outro lado, quando temos uma bicondicional p  q , podemos
dizer que p é necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a
proposição “Chove se e somente se o chão fica molhado” ser verdadeira,
podemos dizer que é preciso (necessário) que chova para que o chão
fique molhado. Não é dada outra possibilidade. E é suficiente saber que
chove para poder afirmar que o chão fica molhado. Da mesma forma, é
suficiente saber que o chão ficou molhado para afirmar que choveu; e a
única possibilidade de ter chovido é se o chão tiver ficado molhado, isto é,
o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha chovido.
Veja esta questão:
7. FCC – BACEN – 2005) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central
q: fazer frente ao fluxo positivo
Se p implica em q, então:
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo
b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central
c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo
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d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a
atuação compradora de dólares por parte do Banco Central
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é
condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
RESOLUÇÃO:
Se pq, podemos dizer que é suficiente que p ocorra para que q
ocorra (p é condição suficiente de q). Isto é, a atuação compradora é
condição suficiente para fazer frente ao fluxo.
Também podemos dizer que caso q não tenha ocorrido, não é
possível que p tenha ocorrido (~q~p). Isto é, q é condição necessária
de p: fazer frente ao fluxo é condição necessária para a atuação
compradora.
Resposta: C.
1.8 Sentenças abertas
Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou mais
variáveis, como o exemplo abaixo (do tipo pq):
“Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5”
Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes
valores. Se X for igual a 10, teremos:
“Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V. Se X = 11, teremos:
“Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F. Já se X = 12.5,
teremos:
“Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5”
Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F!
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Portanto, quando temos uma sentença aberta, não podemos afirmar
de antemão que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor
que as variáveis assumirem. Assim, uma sentença aberta não é uma
proposição (só será uma proposição após definirmos o valor da variável).
Trabalhe o conceito de sentenças abertas na questão a seguir.
8. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número
inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que
mostra ser falsa a frase acima é:
a) 30
b) 33
c) 40
d) 42
e) 60
RESOLUÇÃO:
Estamos diante de uma sentença aberta, pois temos uma variável
(n) que, dependendo de seu valor, pode tornar a proposição falsa ou
verdadeira.
Observe que a proposição do enunciado é uma condicional, isto é,
uma frase do tipo p  q. Sabemos que só há uma forma da condicional
ser falsa: se a condição (p) for verdadeira, mas ainda assim o resultado
(q) for falso (se ficou em dúvida, volte na tabela-verdade da condicional).
Com isso, vamos analisar as alternativas:
 n = 30: a soma de seus dígitos não é divisível por 6 (3 + 0 = 3), o
que torna a condição p Falsa. Como a condição é falsa, o resultado
(q) pode ser verdadeiro ou falso que a frase continua verdadeira. A
título de curiosidade, note que neste caso q é Verdadeira (pois 30 é
divisível por 6).
 n = 33: a soma dos seus dígitos é divisível por 6 (3+3=6), ou seja,
p é Verdadeira. Entretanto, o resultado q é Falso, pois 33 não é
divisível por 6. Portanto, n = 33 torna a proposição composta Falsa.
Este é o gabarito.
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 n = 40: neste caso, p é Falsa e q é Falsa. Com isso, a frase é
Verdadeira (para espanto daqueles não acostumados com o estudo
da Lógica)
 n = 42: neste caso, p e q são Verdadeiras, tornando pq
Verdadeira
 n = 60: idem ao anterior.
Resposta: B.
1.9. Propriedades Comutativa e Distributiva
Vamos nos utilizar das proposições simples p, q e r para
exemplificar a existência das propriedades comutativa e distributiva para
os principais operadores lógicos que vimos nessa aula. Utilizaremos o
símbolo
, que significa que uma expressão é idêntica a outra.
Conjunção: o operador ^ possui as seguintes propriedades:

comutativa  sim, significa dizer que p ^ q
q^p

distributiva  em relação à disjunção lógica podemos dizer que
existe a propriedade distributiva, da seguinte forma:
p ^ (q v r)
(p ^ q) v (p ^ r)
Disjunção: o operador v possui as seguintes propriedades:

comutativa  sim, significa dizer que p v q

distributiva  não possui
Bicondicional: o operador
qvp
possui as seguintes propriedades:

comutativa  sim:

distributiva  não possui
Condicional: o operador  não possui as propriedades comutativa e
distributiva.
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2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
9.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Considerando os operadores
lógicos usados nas sentenças compostas abaixo, é correto afirmar que a
sentença composta que representa um condicional FALSO é:
a) Se 2 é ímpar, então 2 é par.
b) 2 é par, logo 11 é primo.
c) Se 2 é par, então, 6 é primo.
d) 5 é ímpar, portanto 4 é par.
e) 4 ser ímpar implica que 5 é par.
RESOLUÇÃO:
Vejamos os valores lógicos de cada alternativa. Basta lembrar que a
única condicional falsa é VF.
a) Se 2 é ímpar, então 2 é par.
Temos FV, que é uma condicional VERDADEIRA.
b) 2 é par, logo 11 é primo.
Temos VV, que é uma condicional VERDADEIRA.
c) Se 2 é par, então, 6 é primo.
Temos VF, que é uma condicional FALSA.
d) 5 é ímpar, portanto 4 é par.
Temos VV, que é uma condicional VERDADEIRA.
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e) 4 ser ímpar implica que 5 é par.
Temos FF, que é uma condicional VERDADEIRA.
RESPOSTA: C
10.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Qual das alternativas abaixo é uma
tautologia?
a) ~(A  B)  (~A  ~B)
b) (~A  B)  (B  A)
c) ((A  B)  B)  ~A
d) (A  B)  (~A  ~B)
e) ((A  B)  ~B)  A
RESOLUÇÃO:
Vejamos cada proposição:
a) ~(A  B)  (~A  ~B)
Sabemos que ~(AvB) é o mesmo que (~A  ~B). Assim, ficamos
com:
(~A  ~B)  (~A  ~B)
É fácil ver que esta proposição não é uma tautologia. Imagine a
linha da tabela-verdade onde A é F e B é V. Com isso, ficamos com:
(V  F)  (V  F)
F V
Esta é uma bicondicional falsa. Logo, não temos uma tautologia.
b) (~A  B)  (B  A)
Sabemos que ~AvB é equivalente a AB. Portanto, ficamos com:
(A  B)  (B  A)
É fácil ver que esta proposição não é uma tautologia. Basta
imaginar a linha da tabela-verdade onde A é V e B é F. Com isso, ficamos
com:
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FV
Esta é uma bicondicional falsa, portanto não temos uma tautologia.
c) ((A  B)  B)  ~A
Imagine a linha da tabela-verdade onde A é V e B é V. Com isso,
AB é V, de modo que ((A  B)  B) é V também. Como ~A é F, ficamos
com VF, que é uma condicional falsa. Portanto, não temos uma
tautologia.
d) (A  B)  (~A  ~B)
Sabemos que AB é equivalente a ~B~A, e não a ~A~B.
Portanto, é de se imaginar que a expressão desta alternativa não é uma
tautologia. Se você quiser testar, imagine que A é V e B é F. Com isso,
ficamos com F  V, que é uma bicondicional falsa.
e) ((A  B)  ~B)  A
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
((A  B)  ~B)
((A  B)  ~B)  A
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
A
B
~B AvB
V
V
F
V
F
F
F
Temos de fato uma tautologia.
RESPOSTA: E
11.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Dadas as proposições, analise:
I. Todos os motoristas são responsáveis.
II. Nenhum motorista é responsável.
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III. Alguns motoristas não são responsáveis.
IV. Existem motoristas responsáveis.
V. Não existem motoristas que são responsáveis.
Dentre
as
alternativas
a
seguir,
selecione
aquela
que
associa
corretamente uma proposição categórica com a sua negação.
a) A negação da proposição IV é a proposição III.
b) A negação da proposição I é a proposição III.
c) A negação da proposição II é a proposição III.
d) A negação da proposição I é a proposição II.
e) A negação da proposição I é a proposição V.
RESOLUÇÃO:
Vejamos a negação de cada proposição:
I. Todos os motoristas são responsáveis.
Algum motorista NÃO é responsável.
II. Nenhum motorista é responsável.
Algum motorista é responsável.
III. Alguns motoristas não são responsáveis.
Todos os motoristas são responsáveis.
IV. Existem motoristas responsáveis.
Não existem motoristas responsáveis.
V. Não existem motoristas que são responsáveis.
Existem motoristas responsáveis.
Assim, veja que a negação da proposição I é a proposição III (e
vice-versa), e a negação da proposição IV é a proposição V (e viceversa).
RESPOSTA: B
12.
FUNDATEC – IRGA – 2013) Para responder à questão, considere
a tabela a seguir, a qual apresenta valores lógicos de forma binária. Cada
coluna representa uma proposição lógica (simples ou composta), 0
representa o valor lógico falso, e 1 representa o valor lógico verdadeiro.
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A
B
~A
~B
C
D
E
F
G
H
I
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
Baseando-se no conceito de operações lógicas e suas respectivas TabelasVerdade, que proposições estão representadas nas colunas E e F,
respectivamente?
a) bicondição e disjunção inclusiva.
b) condição e disjunção exclusiva.
c) conjunção e disjunção exclusiva.
d) disjunção inclusiva e condição.
e) disjunção inclusiva e conjunção.
RESOLUÇÃO:
Observe que E é só é falsa quando A é verdadeira e B é falsa:
A
B
~A
~B
C
D
E
F
G
H
I
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
Isso nos remete à proposição condicional, que só é falsa quando
temos VF.
Já F é falsa quando A e B são verdadeiras, bem como quando A e B
são falsas, e é verdadeira nos demais casos. Isso nos remete à disjunção
exclusiva, que é falsa quando temos “ou V ou V” ou quando temos “ou F
ou F”.
RESPOSTA: B
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13.
FUNDATEC – IRGA – 2013) A negação da proposição “João é
médico ou João é engenheiro.” é:
a) “João não é médico e João não é engenheiro.”
b) “João não é médico ou João não é engenheiro.”
c) “Não é verdade que João não é médico ou João é engenheiro.”
d) “Não é verdade que João não é médico e João é engenheiro.”
e) “Não é verdade que João é médico e João é engenheiro.”
RESOLUÇÃO:
A negação de uma disjunção “p ou q” é dada pela conjunção “~p e
~q”, ou seja,
“João NÃO é médico E João é NÃO engenheiro”
RESPOSTA: A
14.
FUNDATEC – CREA/PR – 2010) Dadas as proposições:
p: os gatos são marrons.
q: os cães são amarelos.
Uma das formas de representação, em linguagem simbólica, da
proposição “Não é verdade que, se os gatos não são marrons, então os
cães são amarelos.” é
A) ~(p
B) p
q)
~q
C) ~p
~q
D) ~(p
q)
E) ~p
q
RESOLUÇÃO:
Podemos representar a condicional “se os gatos não são marrons,
então os cães são amarelos” por ~pq. Como temos um “não é verdade
que” no início desta frase, devemos obter a sua negação, isto é:
~(~pq)
A negação de AB é dada por “A e ~B”. Da mesma forma, a
negação de ~pq é dada por ~p e ~q, que temos na alternativa C.
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RESPOSTA: C
15.
CESPE – INSS – 2016) A sentença "Bruna, acesse a internet e
verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição
composta que pode ser escrita na forma p^q.
RESOLUÇÃO:
Note que temos verbos no imperativo ("acesse", "verifique").
Estamos diante de uma ordem, que NÃO é uma proposição. Se não temos
uma proposição, não podemos representar na forma de uma conjunção
p^q.
A banca tentou fazer você acreditar que estava mesmo diante de
uma conjunção, pois temos um “e” na frase deste item. Mas fique atento
para as situações que NÃO são proposições, como vimos anteriormente!
Resposta: E
16.
CESPE – INSS – 2016) Dadas as proposições simples p: "Sou
aposentado" e q: "Nunca faltei ao trabalho", a proposição composta "Se
sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado"
deverá ser escrita na forma (p^q)~p, usando-se os conectivos lógicos.
RESOLUÇÃO:
Veja a frase dada no enunciado:
"Se sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou
aposentado"
Veja que marquei os conectivos lógicos e sublinhei os 3 verbos.
Estamos diante de 3 proposições simples ligadas por 2 conectivos:
condicional (“se... então”) e conjunção (“e”). Podemos esquematizar a
frase assim:
(aposentado e não faltei)  não aposentado
Substituindo o “e” pelo símbolo ^ que representa a conjunção,
temos:
(aposentado ^ não faltei)  não aposentado
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Podemos ainda definir proposições lógicas que nos permitam
representar a frase. Por exemplo:
p = aposentado (de modo que ~p = não aposentado)
q = não faltei
Repare que representei “não faltei” utilizando a letra q, mesmo
tendo um “não”. Não há problema nenhum em fazer isto, ok? Basta você
manter a coerência ao longo do restante da resolução.
Usando as proposições simples que definimos, temos:
(aposentado ^ não faltei)  não aposentado
^
p
q

~p
Portanto, a proposição do enunciado pode mesmo ser representada
na forma (p^q)  ~p. Item CERTO.
Resposta: C
17.
CESPE – INSS – 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue
os itens subsequentes.
( ) Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia,
logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de
Pedro, que é não fumante” representa uma proposição composta.
RESOLUÇÃO:
O “logo” nos dá ideia de que a informação que o precede (Antônio
fumar 10 cigarros por dia) é uma CONDIÇÃO, cujo cumprimento leva
obrigatoriamente a um RESULTADO (a probabilidade de infarto aumenta).
Estamos
diante
de
uma
proposição
condicional,
que
pode
ser
esquematizada como pq, onde:
p = Antônio fuma 10 cigarros por dia
q = A probabilidade de Antônio sofrer um infarto é três vezes maior que a
de Pedro
Item CERTO.
Resposta: C
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18.
CESPE – TRE/MT – 2015) A negação da proposição: “Se o
número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar” pode ser
expressa corretamente por
A “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é
primo”.
B “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar”.
C “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar”.
D “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar”.
E “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é
ímpar”.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a condicional pq, onde:
p = o número inteiro m > 2 é primo
q = o número m é ímpar
A sua negação é dada por “p e ~q”, onde:
~q = o número m não é ímpar
Escrevendo “p e ~q”:
“O número inteiro m>2 é primo E o número m não é ímpar”
Note que aqui temos uma frase com uma variável (m) mas que,
ainda assim, pode ser CLASSIFICADA como VERDADEIRA. Isto porque, de
fato, todo número primo maior que 2 é ímpar (basta lembrar da
matemática básica). Temos uma variável no texto mas ainda assim esta
frase
é
uma
proposição,
pois
pode
ser
classificada
como
V
independentemente do valor da variável.
Resposta: C
19.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
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cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por “Se o
comprador escritura o imóvel, então ele o registra”.
RESOLUÇÃO:
A proposição P é uma condicional que podemos representar como
~p~q, onde:
~p = não escritura
~q = não registra
Já a proposição “Se o comprador escritura o imóvel, então ele o
registra” pode ser representada por pq, usando as mesmas proposições
simples definidas acima.
Queremos saber se ~p~q é negação de pq. Podemos fazer isto
montando a tabela-verdade das duas proposições. Se essas tabelas forem
OPOSTAS entre si, então estamos diante de negações. Veja a tabela
abaixo, que tem apenas 4 linhas, afinal temos apenas 2 proposições
simples (p e q):
p
q
~p
~q
~p~q
pq
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
Note que as colunas marcadas NÃO são exatamente opostas entre
si. Existem linhas da tabela onde as duas proposições tem mesmo valor
lógico. Isto nos mostra que elas NÃO são negação uma da outra. Item
ERRADO.
Para você acompanhar melhor a montagem desta tabela, saiba que
a ordem de preenchimento foi a seguinte:
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- criar uma coluna para cada proposição simples (p e q)
- verificar se precisamos criar colunas para as negações (neste caso
precisamos para ~p e para ~q)
- criar colunas para as proposições que queremos avaliar (~p~q e pq)
- preencher a coluna de p com V-V-F-F
- preencher a coluna de q com V-F-V-F
- preencher a coluna de ~p com o oposto da coluna p
- preencher a coluna de ~q com o oposto da coluna q
- preencher a coluna de ~p~q, colocando F nas linhas onde temos VF
nas colunas de ~p e de ~q, e V nas demais (afinal uma condicional só é
falsa quando temos VF)
- preencher a coluna de pq, colocando F nas linhas onde temos VF nas
colunas de p e de q, e V nas demais.
Resposta: E
20.
CESPE – INSS – 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue
os itens subsequentes.
( ) Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica esportes” e
“Cláudio tem uma alimentação balanceada”, é correto afirmar que a
proposição “Cláudio pratica esportes ou ele não pratica esportes e não
tem uma alimentação balanceada” é uma tautologia.
RESOLUÇÃO:
Sendo p = Cláudio pratica esportes, podemos dizer que “ele não
pratica esportes” é ~p. Definindo ainda q = Cláudio tem uma alimentação
balanceada, a proposição deste item é:
p ou (~p e q)
Como o item afirma ser uma tautologia (sempre verdadeira), vamos
“desafiá-lo”, tentando deixar esta proposição falsa. Assumindo que p é F
(de modo que ~p é V) e também assumindo que q é F, ficamos com o
seguinte:
F ou (V e F)
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F ou F
F
Portanto, conseguimos deixar a proposição falsa, o que nos indica
NÃO ser uma tautologia. Note que nem foi preciso fazer a tabela-verdade,
e já podemos marcar que o item é ERRADO!
Vamos resolver também da forma mais “tradicional”, que consiste
em montar a tabela-verdade desta proposição:
p
q
~p
(~p e q)
p ou (~p e
q)
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
Veja que, de fato, NÃO estamos diante de uma tautologia, e sim de
uma contingência, pois a proposição do enunciado pode ser V ou F,
dependendo do caso.
Resposta: E
21.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador
escritura o imóvel, ou não o registra”.
RESOLUÇÃO:
Vemos
que
P
é
“não
escritura

não
registra”.
Podemos
esquematizá-la como ~q~p, onde:
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~q = não escritura
~p = não registra
Sabemos que isto é equivalente a pq, onde p seria “registra” e q
seria “escritura”, de modo que pq seria:
registraescritura
Esta proposição ~q~p também é equivalente a ~pvq, que seria:
não registra ou escritura
Portanto é correto dizer que:
“O comprador não registra o imóvel ou o escritura”
Como a ordem das proposições não altera a disjunção, podemos
dizer que:
“O comprador escritura o imóvel ou não o registra”
Item CERTO. Note que, para resolver esta questão, bastou lembrar
que pq, ~q~p e ~pvq são proposições equivalentes.
Resposta: C
22.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o
escriturou.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a proposição P pode ser esquematizada por:
não escritura  não registra
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Já vimos que ~q~p é equivalente a pq, que neste caso seria:
registra  escritura
Lembrando que em uma condicional pq podemos afirmar que q é
necessário para p, então neste caso podemos dizer que escriturar é
necessário para ter registrado. Ou melhor:
quem registrou necessariamente escriturou
Item CERTO.
Resposta: C
23.
FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo
prefeito de uma grande capital.
Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o
preço das passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação
não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
RESOLUÇÃO:
Temos a proposição condicional que pode ser sintetizada assim:
(inflação não cair ou diesel aumentar)  passagem reajustada
Essa proposição é do tipo (P ou Q)  R, onde:
P = inflação não cair
Q = diesel aumentar
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R = passagem reajustada
Essa proposição é equivalente a ~R~(P ou Q), que por sua vez é
equivalente a ~R (~P e ~Q), onde:
~P = inflação cair
~Q = diesel NÃO aumentar
~R = passagem NÃO SER reajustada
Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos:
passagem não ser reajustada  (inflação cai e diesel não aumenta)
Temos isso na alternativa E.
Resposta: E
24.
FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato
inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das
duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da
seguinte afirmação:
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida
e que o Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta
informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
RESOLUÇÃO:
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A proposição do enunciado pode ser resumida assim:
Arsenal vença E (Chelsea perca OU Chelsea empate)
Sabemos que a proposição composta "p E (q OU r)" é equivalente a
"(p E q) OU (p E r)". Escrevendo essa última, teríamos algo como:
(Arsenal vença E Chelsea perca) OU (Arsenal vença E Chelsea empate)
Temos isso na alternativa A.
Resposta: A
25.
FCC – TRF/3ª – 2014) Considere a afirmação: Nem todas as
exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de
vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é:
(A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram
cumpridas.
(B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas.
(C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue
adiante.
(D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue
adiante.
(E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue
adiante.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que a condicional AB é equivalente à disjunção “~A ou
B”. A frase do enunciado é uma disjunção “~A ou B”, onde:
~A = nem todas as exigências foram cumpridas
B = o processo segue adiante
Portanto, a proposição A é igual a “todas as exigências foram
cumpridas”, e a condicional AB é:
“Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue
adiante”
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Resposta: C
26.
FCC – TRT/2ª – 2014) Durante um comício de sua campanha
para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação:
“Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir
mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.”
Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa,
pode-se concluir que, necessariamente,
(A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros
de estradas no Estado.
(B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas
populares no Estado.
(C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de
estradas no Estado.
(D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas
populares no Estado.
(E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram
construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional do tipo p(q e r):
(eu for eleito)  (asfaltar 2000km e construir mais de 5000 casas)
O único caso onde essa condicional tem valor lógico Falso é quando
temos VF, ou seja, quando p é V (o candidato é eleito) e “q e r” é F.
Para que “q e r” seja F, é preciso que sua negação seja V, ou seja, que
“~q ou ~r” seja V. Ou seja:
“não asfaltar 2000km ou não construir mais de 5000 casas”
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Portanto, para que a frase do candidato, é necessário que:
- o candidato tenha sido eleito, e
- não tenham sido asfaltados 2000km ou não tenham sido construídas
mais de 5000 casas.
Portanto,
a
alternativa
E
está
correta,
pois
é
preciso,
necessariamente, que o que ela afirma seja Verdadeiro:
(E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram
construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.
Naturalmente, também seria correta uma opção de resposta do
tipo:
“O candidato foi eleito E não foram asfaltados 2000 quilômetros de
estradas ou não foram construídas mais de 5000 casas populares no
Estado”
Também
seria
correta
uma
afirmação
que
dissesse
que,
necessariamente, “o candidato foi eleito”.
Resposta: E
27.
FCC – TRT/2ª – 2014) Um dia antes da reunião anual com os
responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o
diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação:
Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve
prejuízo neste ano.
Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu
celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a
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informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que,
necessariamente,
(A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram
prejuízo neste ano.
(B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram
prejuízo neste ano.
(C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas
teve prejuízo neste ano.
(D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas
tiveram prejuízo neste ano.
(E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma
delas teve prejuízo neste ano.
RESOLUÇÃO:
Se a conjunção “Todas as franquias enviaram o balanço anual E
nenhuma delas teve prejuízo neste ano” é FALSA, podemos concluir que a
sua negação é verdadeira. Esta negação é:
“Nem todas as franquias enviaram o balanço anual OU alguma delas teve
prejuízo neste ano”
Temos uma variação disto na alternativa E.
Resposta: E
28.
FCC – TJAP – 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um
analista político fictício: “se o partido P conseguir eleger Senador no
Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado”.
A
partir
da
declaração
do
analista,
é
correto
concluir
que,
necessariamente, se o partido P
(A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o
senador no Estado G.
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(B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no
Estado G.
(C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no
Estado F.
(D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria
no Senado.
(E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria
no Senado.
RESOLUÇÃO:
Vamos usar as seguintes proposições simples:
p = o partido P conseguir eleger Senador no Estado F
q = o partido P conseguir eleger Senador no Estado G
r = o partido P terá a maioria no Senado
Veja que a frase do enunciado é:
(p ou q)  r
Esta proposição é equivalente a:
~r  ~(p ou q)
Esta proposição é o mesmo que:
~r  (~p e ~q)
Reescrevendo esta última:
“se o partido P não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido
eleger o senador no Estado F e não terá conseguido eleger senador no
Estado G”
Analisando as alternativas de resposta, veja que a A está correta.
Afinal, se o partido P não tiver maioria, é porque ele não elegeu senador
no estado G (e também não elegeu senador no estado F).
Resposta: A
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29.
FCC – TJAP – 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os
brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa
informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então,
necessariamente, Luíza
(A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70.
(B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70.
(C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos.
(D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos.
(E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta.
RESOLUÇÃO:
O enunciado nos mostra que o único caso onde a pessoa é obrigada
a votar é quando ela preenche todas essas condições:
- é alfabetizada
- tem de 18 a 70 anos
Logo, se não for preenchida qualquer dessas condições (ou mesmo
as duas), a pessoa não é obrigada a votar. Podemos escrever:
“se a pessoa for analfabeta OU então estiver fora da faixa 18-70 anos, ela
não é obrigada a votar”
Para estar fora da faixa de 18-70 anos, ela deve ter menos de 18
ou mais de 70 anos. Ou seja:
“se a pessoa for analfabeta OU tiver menos de 18 ou mais de 70 anos, ela
não é obrigada a votar”.
Assim, podemos concluir que Luíza é analfabeta ou tem menos de
18 ou mais de 70 anos. Pode até ser que ela cumpra as duas condições
(seja analfabeta e tenha mais de 70 anos, por exemplo), mas isto não é
necessário, pois basta ela preencher alguma das condições para não
precisar votar.
Resposta: B
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30.
FCC – TJAP – 2014) Vou à academia todos os dias da semana e
corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação
lógica da afirmação anterior é
(A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias
na semana.
(B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na
semana.
(C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a
semana.
(D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na
semana.
(E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana.
RESOLUÇÃO:
Temos a conjunção “p e q”, onde:
p = Vou à academia todos os dias da semana
q = corro três dias na semana
A sua negação é “~p ou ~q”, ou seja:
“Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias na
semana”
Resposta: A
31.
FCC – SAEB/BA – 2014) Renata disse a seguinte frase: “Se Lucas
venceu o jogo, então Denis não compareceu”. Lucas, irado, afirmou que a
frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de
vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é:
(A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo.
(B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu.
(C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu.
(D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu.
(E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu.
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RESOLUÇÃO:
A frase dita por Renata é uma
condicional do tipo p-->q.
A sua
negação é dada pela frase "p e não-q". Temos:
p = Lucas venceu o jogo
q = Denis não compareceu
Dessa forma a frase "p e não-q" é simplesmente:
" Lucas venceu o jogo e Denis compareceu"
Resposta: C
32.
FCC – METRÔ/SP – 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e
resolvem problemas.
Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é:
(A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas.
(B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer
problema.
(C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas.
(D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve
problemas.
(E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente.
RESOLUÇÃO:
Para negar o que foi afirmado no enunciado, basta encontrarmos
um mecânico que não seja inteligente ou que não resolva problemas.
Portanto, uma forma de escrever a negação lógica desta frase é:
" algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas"
Resposta: C
33.
FCC – TRT/1ª – 2013) Um vereador afirmou que, no último ano,
compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou
parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é
necessário que, no último ano, esse vereador
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(A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha
empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
(B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e
tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
(C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou
tenha empregado um parente em seu gabinete.
(D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha
empregado um parente em seu gabinete.
(E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal
ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete.
RESOLUÇÃO:
Temos
a
condicional
“p
e
q”
que
pode
ser
resumida
por
“compareceu a todas E não empregou”. A sua negação é dada por “~p ou
~q”, que pode ser resumida como “não compareceu a pelo menos uma
OU empregou”. Temos essa última estrutura na alternativa C.
Resposta: C
34.
FCC – TRT/1ª – 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um
dos setores de uma fábrica.
Aviso I
Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não
pode operar a máquina M.
Aviso II
Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode
operar a máquina M.
Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi
proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do
supervisor
(A) opõe-se apenas ao Aviso I.
(B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II.
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(C) opõe-se aos dois avisos.
(D) não se opõe ao Aviso I nem ao II.
(E) opõe-se apenas ao Aviso II.
RESOLUÇÃO:
Cada aviso é uma condicional pq , cujo resumo encontra-se
abaixo:
Aviso I: não realizou  não pode
Aviso II: realizou  pode
No caso do funcionário citado, temos que “realizou” é V (pois ele fez
o curso) e que “pode” é F (pois ele foi proibido de operar a máquina).
Esta combinação de valores lógicos torna a condicional do aviso I
verdadeira, pois temos FV. Já a condicional do aviso II é falsa, pois
temos VF. Assim, o caso do funcionário opõe-se apenas ao aviso II, pois
torna esta frase falsa.
Resposta: E
35.
FCC – PGE/BA – 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando
imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo,
(A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar.
(B) Alice irá ao País das Maravilhas.
(C) Alice vai necessariamente imaginar.
(D) Alice não irá, também, imaginar.
(E) Alice não vai imaginar.
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado é uma condicional usando o “quando”. Ela
pode ser reescrita assim, para facilitar a análise:
Se imaginar ou perder o medo, então Alice irá ao país das maravilhas
Foi dito que Alice perdeu o medo. Com isso, a disjunção “imaginar
ou perder o medo” é Verdadeira. Uma vez que ocorreu a condição, o
resultado deve acontecer. Ou seja, Alice IRÁ ao país das maravilhas.
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Resposta: B
36.
FCC
–
MPE/AM
–
2013)
O
professor
de
uma
disciplina
experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do
semestre que, para ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5
das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a
6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele,
necessariamente,
(A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no
máximo, igual a 5,0.
(B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a
6,0.
(C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios
inferior a 6,0.
(D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a
0,0.
(E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor
ou igual a 5,0.
RESOLUÇÃO:
Veja que o professor estabeleceu duas condições (realizar pelo
menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios maior ou igual a
6,0) que, se respeitadas, levam ao resultado (aprovação). Ou seja, temos
a condicional:
Se realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter média de relatórios
maior ou igual a 6,0, então o aluno é aprovado
Juca foi reprovado, ou seja, o resultado da condicional não ocorreu.
Isso obriga a condição (realizar pelo menos 5 das 6 experiências e ter
média de relatórios maior ou igual a 6,0) a NÃO ter ocorrido também.
Observe que essa condição é uma conjunção. Para ela não ter ocorrido
(não ser V), basta que uma das proposições simples que a compõe seja
Falsa. Portanto:
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- Juca NÃO realizou pelo menos 5 das 6 experiências OU teve média
inferior a 6,0;
Outra forma de dizer isso é:
- Juca realizou MENOS DE 5 experiências OU teve média inferior a 6,0;
Temos isso na alternativa C:
(C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios
inferior a 6,0.
Resposta: C
37.
FCC – TRT/BA – 2013) Analisando a tabela de classificação do
campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última
rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua
última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então
o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão,
pode-se concluir que, necessariamente,
(A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu.
(B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu.
(C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu.
(D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu.
(E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu
RESOLUÇÃO:
A
“regra”
dada
pelo
enunciado
pode
ser
resumida
nessa
condicional:
Se União vencer ou Camisa não vencer, então União é campeão
(p ou q)  r, onde:
p = União vencer
q = Camisa não vencer
r = União é campeão
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Como o União não se sagrou campeão, vemos que r é F. Isso obriga
a condição (p ou q) a ser F também. Assim, a negação de (p ou q) será V.
Esta negação é:
~(p ou q) = ~p e ~q
Escrevendo (~p e ~q), temos: o União NÃO venceu e o Camisa
VENCEU. Temos essa mesma ideia na alternativa E:
o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu
Resposta: E
38.
FCC – TRT/11a – 2012) Uma senhora afirmou que todos os
novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi
usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua
afirmação, o que permite concluir que
(A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados.
(B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles
foi usado.
(C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles
foram usados.
(D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados.
(E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi
usado.
RESOLUÇÃO:
Sendo p = todos os novelos são coloridos e q = nenhum novelo foi
usado, a afirmação da senhora foi “p e q”. Se ela se enganou, “p e q” é
Falso, portanto a sua negação é Verdadeira.
A negação de “p e q” é “não-p ou não-q”. As negações das
proposições simples são:
Não-p = algum novelo não é colorido
Não-q = algum novelo foi usado
Portanto, “não-p ou não-q” seria: Algum novelo não é colorido ou
algum novelo foi usado.
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Poderíamos utilizar também a expressão “pelo menos um” no lugar
de “algum”. Com isso, teríamos a resposta da letra B.
Resposta: B
39.
FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da
Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração,
dirigindo-se às galerias da casa:
“Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas,
então eu não darei início à votação”.
Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:
a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações
desrespeitosas foram interrompidas
b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as
manifestações desrespeitosas não foram interrompidas
c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o
presidente da mesa dará início à votação
d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente
da mesa começará a votação
e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o
presidente da mesa não começará a votação.
RESOLUÇÃO:
Observe que temos uma condicional ( p  q ), onde:
p = As manifestações desrespeitosas não forem interrompidas
q = Eu não darei início à votação
Esta é uma proposição “manjada”, pois sabemos que ela é
equivalente a ~ q ~ p e também a ~p ou q. Como ~q é “eu darei início
à
votação”
e
~p
é
“as
manifestações
desrespeitosas
foram
interrompidas”, temos:
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~ q ~ p :
“Se
eu
dei
início
à
votação,
então
as
manifestações
desrespeitosas foram interrompidas”.
~p ou q: “As manifestações desrespeitosas foram interrompidas ou eu
não dei início à votação”.
Repare que a alternativa A é similar à expressão ~ q ~ p que
escrevemos acima, sendo este o gabarito.
Resposta: A
40.
FCC - DNOCS - 2010) Considere a seguinte proposição:
“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de
trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional
ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento
profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela
não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz
cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos
de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
RESOLUÇÃO:
No enunciado tempos uma proposição do tipo p
q, onde p e q
são, resumidamente:
p = pessoa não faz cursos
q = ela não melhora
Você já deve ter decorado que a proposição ~q
~p é equivalente
a ela. Outra equivalente é q ou ~p. Vejamos as estruturas de cada
alternativa:
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(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional
ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
Aqui temos a estrutura: ~(q ou ~p)
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento
profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
~(p e q)
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela
não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
q
p
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz
cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
~q ou p
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos
de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
q ou ~p
Veja que apenas na letra E temos uma proposição no formato q ou
~p, que é equivalente a p
q. Este é o gabarito.
Veja como é importante gravar a equivalência entre:
p
~q
q
~p
q ou ~p
Se você não se lembrasse disso, teria que construir a tabelaverdade de cada proposição!
Resposta: E
41.
FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
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q: O trabalho enobrece.
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é
fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA
quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
RESOLUÇÃO:
Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: “Se não-q, então nãop”. Só há 1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for
Verdadeira, porém o resultado (não-p) for Falso.
Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa.
E para que não-p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira.
Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa.
Resposta: D
42.
FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples:
p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel
A negação da proposição composta p ~ q é:
a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel
b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel
c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir
automóvel
d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de
dirigir automóvel
e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir
automóvel.
RESOLUÇÃO:
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Primeiramente, veja que ~q (negação de q) pode ser escrita como:
Maly não gosta de dirigir automóvel.
Assim, a proposição p e não-q ( p ~ q ) é:
“Maly é usuária do Metrô e Maly não gosta de dirigir automóvel”
Quem diz essa frase, está afirmando que as duas informações são
verdadeiras, isto é, que Maly é usuária do Metrô e, também, que Maly não
gosta de dirigir automóvel. Isto porque esta proposição composta é uma
conjunção (“e”), que só é verdadeira quando ambos os lados são
verdadeiros.
Se quiséssemos desmentir (ou negar) o autor da frase, bastaria
mostrar que um dos lados não é verdadeiro. Isto é, bastaria provar que
Maly não é usuária do Metrô, ou então provar que Maly gosta de dirigir
automóvel. Portanto, a negação da frase acima é:
“Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel”
(letra A)
De uma maneira mais rápida, bastaria você lembrar que a negação
de p ~ q é ~ p ~ (~ q ) , isto é, ~ p  q .
Resposta: A.
43.
FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra
em relação a seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo
ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a
gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir
que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe,
então ele tem mais de 45 anos de idade.
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos
anualmente ou não toma a vacina contra a gripe.
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c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele
não tem 50 ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame
médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos
dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
RESOLUÇÃO:
A condicional do enunciado é:
Funcionário tem 45 ou mais  faz exame E toma vacina
Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionários com 45 ou
mais anos devem fazer exame e tomar vacina todo ano. Já quanto aos
funcionários com menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer
ou não exame, e tomar ou não a vacina.
Se uma pessoa não fez exame, ela não pode ter mais de 45 (pois se
tivesse, deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, você deve
concordar que a frase abaixo é correta:
"Se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 45 ou mais
anos".
(da mesma forma, poderíamos dizer que "se um funcionário não tomou
vacina, então ele não tem 45 ou mais anos").
Entretanto, essa alternativa não aparece entre as opções de
respostas. Mas temos uma parecida na letra C:
"se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 50 ou mais
anos"
Se você concordou com a frase anterior, deve concordar com essa
também. Isso porque se alguém não tem 45 ou mais anos, esse mesmo
alguém também não tem 50 ou mais anos. Isto é, podemos garantir que
uma pessoa que não fez exame TEM MENOS DE 50 ANOS, até porque
poderíamos garantir que esta pessoa tem menos de 45 anos.
Resposta: C.
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44.
FCC - TRE-PI - 2009) Um dos novos funcionários de um cartório,
responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução:
“Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao
setor verde.”
Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, podese concluir que, necessariamente,
(A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é
encaminhada ao setor verde.
(B)
toda
pessoa
encaminhada
ao
setor
verde
precisa
autenticar
documentos.
(C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são
encaminhadas ao setor verde.
(D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar
documentos.
(E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa
autenticar documentos.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado outra condicional p
q. Lembrando que ~q
~p é equivalente a ela, assim como q ou ~p, podemos verificar a
estrutura das alternativas do enunciado, usando:
p = pessoa precisa autenticar
q = encaminhar ao setor verde
(A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é
encaminhada ao setor verde.
~q (podíamos ler a frase dessa alternativa como: “se uma
~p
pessoa não precisa autenticar, então ela não é encaminhada”).
(B)
toda
pessoa
encaminhada
ao
setor
verde
precisa
autenticar
documentos.
q
p (podíamos ler: “se a pessoa é encaminhada, então ela
precisa autenticar”).
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(C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são
encaminhadas ao setor verde.
q  p (“as pessoas são encaminhadas se e somente se precisam
autenticar”)
(D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar
documentos.
Essa frase está relacionada com q
p: se uma pessoa é
encaminhada para o setor verde, então ela precisa autenticar (pois essa é
a única função das pessoas que lá trabalham).
(E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa
autenticar documentos.
~q
~p (“se a pessoa não é encaminhada, então não precisa
autenticar”).
Veja que este é o gabarito, pois sabemos que ~q
equivalente a p
~p é
q.
Obs.: você poderia simplesmente interpretar a frase do enunciado.
Ele diz que as pessoas que precisam autenticar são encaminhadas ao
setor verde. Mas não permite concluir o que ocorre com as outras
pessoas. Pode ser que parte delas também seja encaminhada ao setor
verde. Agora, como todas as pessoas que precisam autenticar vão para o
setor verde, se uma pessoa não foi para o setor verde é porque ela não
precisa autenticar.
Resposta: E.
45.
FCC – TJ/SE – 2009) Considere as seguintes premissas:
p : Trabalhar é saudável
q : O cigarro mata.
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A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se
a) p é falsa e ~q é falsa.
b) p é falsa e q é falsa.
c) p e q são verdadeiras.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) ~p é verdadeira e q é falsa.
RESOLUÇÃO:
Veja que “Trabalhar não é saudável” é a negação da proposição p,
isto é, ~p. Já “o cigarro mata” é a própria proposição q. Portanto, o
exercício nos deu uma proposição ~p ou q.
Vimos que uma disjunção (“ou”) só é falsa se ambas as proposições
que a constituem sejam falsas. Portanto, vemos que a disjunção do
enunciado será falsa quando ~p for falsa e q for falsa. Entretanto, para
que ~p seja falsa, o seu oposto (isto é, p) deve ser verdadeira.
Assim, “Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata” será falsa
quando p for verdadeira e q for falsa.
Resposta: D
46.
FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será
tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma
decisão tenha sido tomada.
c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e
nenhuma decisão tenha sido tomada.
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RESOLUÇÃO:
Essa afirmação do enunciado é uma disjunção (“ou”). Ela só será
falsa se ambas as proposições que a compõem sejam falsas. Vamos,
portanto, obter a negação de cada uma delas separadamente:
p: Pelo menos um ministro participará da reunião
Como negar uma proposição com “Pelo menos um”? Basta usar
“Nenhum”. Assim, temos: Nenhum ministro participará da reunião.
q: nenhuma decisão será tomada.
Podemos negar essa proposição dizendo: “Pelo menos uma decisão
será tomada”.
Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que
a conjunção abaixo seja verdadeira:
“Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será
tomada”.
Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e,
mesmo assim, 1 ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para
podermos afirmar que a afirmação é FALSA. A alternativa A cita o caso
em que sabemos que nenhum ministro participou e, ainda assim, 2
decisões foram tomadas, o que é suficiente para desmentir a afirmação
do enunciado.
Resposta: A
47.
FCC - TRT/2ª – 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais
que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições
compostas:
(1) p  q ;
(2) ~ p  q ; (3) ~ ( p ~ q ) ; (4) ~ ( p  q )
Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?
a) nenhuma
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b) apenas uma
c) apenas duas
d) apenas três
e) quatro.
RESOLUÇÃO:
Vejamos a solução mais rápida, através da tabela verdade. Do
enunciado, sabemos que p é V e q é F.
(1) p  q é V apenas se p e q são V. Como q é F, então p  q é Falsa.
(2) ~ p  q é F apenas se ~ p é V e q é F. Porém, como p é V, então ~ p
é F. Com isso, a implicação ~ p  q é Verdadeira.
(3) ~ ( p ~ q ) . Veja que a negação da disjunção p ~ q é a conjunção
~ p  q . Essa conjunção só é V se ambos os lados são V. Como q é F,
então essa expressão é Falsa.
(4) ~ ( p  q ) . A negação da bicondicional p  q é o ou exclusivo
pq .
Esta proposição é V se uma das proposições simples é V e a outra é F.
Como p é V e q é F, podemos afirmar que p  q é verdadeiro.
Resposta: C.
48.
FCC - TRT/18ª - 2008) Considere as proposições:
p: Sansão é forte e q: Dalila é linda
A negação da proposição p e ~ q é:
(A) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte.
(B) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda.
(C) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda.
(D) Sansão não é forte ou Dalila é linda.
(E) Sansão não é forte e Dalila é linda.
RESOLUÇÃO:
A proposição p e ~q seria:
Sansão é forte e Dalila não é linda
Trata-se de uma conjunção. Para negá-la, basta mostrar que um
dos lados é falso, ou seja:
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Sansão não é forte ou Dalila é linda
Resposta: D
49.
FCC – TCE-MG – 2007) São dadas as seguintes proposições:
(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é
eficiente.
(3) Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é
eficiente.
(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.
É
correto
afirmar
que
são
logicamente
equivalentes
apenas
as
proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4
RESOLUÇÃO:
Consideremos as seguintes proposições simples:
p: Jaime trabalha no Tribunal de Contas.
q: Jaime é eficiente.
Utilizando essas duas proposições simples, podemos reescrever as
proposições compostas do enunciado da seguinte forma:
(1) pq
(2) ~p~q
(3) ~(p e ~q)
(4) ~p ou q
Duas proposições lógicas são equivalentes se possuem a mesma
tabela-verdade, isto é, se assumem o mesmo valor lógico (V ou F)
quando p e q assumem os mesmos valores lógicos. Vamos escrever
abaixo a tabela-verdade de cada uma das proposições dadas.
(1) pq:
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50.
FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
não
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na
carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B)
Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de
projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
e progride na carreira.
RESOLUÇÃO:
Considere as duas proposições simples abaixo:
p = Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento
q = Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira.
Sendo assim, a frase do enunciado é a condicional pq. Esse é o
caso mais “manjado”, e você deve lembrar que as proposições ~ q ~ p e
~p ou q são equivalentes a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas
últimas. Antes disso, precisamos saber as negações simples ~p e ~q:
~p  Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
~q  Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira
Desse modo, temos:
~ q ~ p  Se um Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira, então ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
~p ou q  Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de
aperfeiçoamento ou não progride na carreira.
Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase
que escrevemos acima:
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(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
Aqui você poderia dizer: a letra D tem uma disjunção exclusiva, e
não a disjunção inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado
com a disjunção exclusiva. Analisando as demais alternativas de
resposta, você não encontraria nenhuma parecida com
~ q ~ p ou com
(~p ou q). Assim, só resta “aceitar” que a FCC está considerando que a
expressão “ou..., ou...” da letra D refere-se a uma disjunção inclusiva, e
não à bicondicional.
Resposta: D
51.
FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
RESOLUÇÃO:
Uma sentença aberta é aquela que possui uma variável cujo valor
pode tornar a proposição V ou F. O caso clássico é aquele presente na
alternativa II. Dependendo dos valores atribuídos às variáveis x e y, a
proposição pode ser V ou F. Entretanto, a alternativa I também é uma
sentença aberta. Isto porque, dependendo de quem for “Ele”, a
proposição pode ser V ou F. Precisamos saber quem é a pessoa referida
pelo autor da frase para atribuir um valor lógico.
Resposta: C
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52.
FCC – ICMS/SP – 2006) Se p e q são proposições, então a
proposição p  (~ q) é equivalente a:
RESOLUÇÃO:
Observe que p  (~ q) é justamente a negação da condicional pq.
Isto é, podemos dizer que p  (~ q) é equivalente a ~(pq). Assim, já
podemos marcar a alternativa D.
Que tal praticarmos a resolução mais tradicional? Basta escrever a
tabela-verdade das proposições. Teremos apenas 22 = 4 linhas, pois só
temos 2 proposições simples:
P Q ~p ~q
p  (~ q)
~ (q ~ p)
~ ( p  q)
~ ( p ~ q)
~ ( p  q)
~ q ~ p
V V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
Repare que apenas a coluna de ~ ( p  q) é igual à de p  (~ q) .
Resposta: D
53.
FCC – ICMS/SP – 2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são
proposições.
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A
proposição
composta
que
substitui
corretamente
o
ponto
de
interrogação é:
RESOLUÇÃO:
Observe que a proposição composta que buscamos só é verdadeira
quando p é V e q é F. Lembrando que pq só é falsa neste mesmo caso,
fica claro que a proposição que buscamos é a negação de pq, ou seja:
~(pq)
Temos isto na alternativa E.
Resposta: E
54.
FCC – ICMS/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é
logicamente equivalente a pq é:
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RESOLUÇÃO:
Questão “manjada”, na qual você não pode perder tempo, mas
também não pode errar. Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q” e
também a ~q~p. Temos esta última na alternativa C.
Resposta: C
55.
FCC – ICMS/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a
correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
c) As proposições ~ ( p  q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p  q)] é logicamente falsa.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa:
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
Sendo p = “está quente” e q = “usa camiseta”, temos:
pq
~p e q
Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q”, mas não a “~p e q”.
Veja que se tivermos p e q Verdadeiras, teríamos pq com valor lógico V
e “~p e q” com valor lógico F. Item FALSO.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
Aqui devemos apelar aos nossos conhecimentos para afirmar que
“Terra é quadrada” e “Lua é triangular” são duas informações incorretas,
isto é, Falsas. Mas, em uma condicional, FF tem valor lógico verdadeiro,
ao contrário do que afirma este item. Item FALSO.
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c) As proposições ~ ( p  q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
Sabemos que a negação da conjunção p  q , isto é, ~ ( p  q) , é
justamente a disjunção (~ p ~ q) . Portanto, é correto falar que ~ ( p  q) é
equivalente a (~ p ~ q) , ao contrário do que o item afirma. Item FALSO.
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
Sabemos que a negação de uma bicondicional (“se e somente se”) é
feita com um “ou exclusivo” (“ou..., ou...”). Item FALSO.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p  q)] é logicamente falsa.
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
p
q
pq
~ ( p  q)
p ~ ( p  q)
~ [ p ~ ( p  q)]
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
De fato temos uma contradição, isto é, uma proposição que
somente possui valor lógico F. Item VERDADEIRO.
Resposta: E
56.
FCC – ICMS/SP – 2006) Seja a sentença
~ {[( p  q)  r ]  [q  (~ p  r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
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e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
RESOLUÇÃO:
Observe que, se p for F, podemos afirmar que a condicional pq é
V. Com isto, a disjunção ( p  q)  r certamente é V. Por outro lado, ~p
será V. Com isso, a disjunção ~ p  r certamente é V, de modo que a
condicional q  (~ p  r ) também é V.
Pelo que vimos acima, a bicondicional [( p  q)  r ]  [q  (~ p  r )] é V
pois ela tem os valores lógicos V  V . E a negação desta bicondicional,
isto é,
~ {[( p  q)  r ]  [q  (~ p  r )]} , é Falsa.
Isto nos permite afirmar que, quando p é F, a sentença é F. Temos
isto na letra A.
Resposta: A
57.
FCC – ICMS/SP – 2006) Dada a sentença
complete o espaço

  ~ (~ p  q  r ) ,
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r
ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma
tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
RESOLUÇÃO:
Como se trata de uma condicional, devemos focar a análise no caso
onde o resultado ~ (~ p  q  r ) é F, pois se ocorrer de a condição

ser V,
a condicional será falsa, deixando de ser uma tautologia.
Para ~ (~ p  q  r ) ser F, (~ p  q  r ) precisa ser V. E para a conjunção
(~ p  q  r ) ser V, é preciso que tanto ~p, q e r sejam V.
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Neste caso, p, ~q e ~r seriam todas F. Se qualquer uma dessas três
estivesse no lugar de
 ,
teríamos uma tautologia, pois FF tem valor
lógico Verdadeiro:
p ~ (~ p  q  r )
~ q ~ (~ p  q  r )
~ r ~ (~ p  q  r )
Resposta: B
58.
FCC - ICMS/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p  p)    e
a sentença aberta B: “Se o espaço

for ocupado por uma ...(I)..., a
sentença A será uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e
II forem substituídos, respectivamente, por:
a) contingência e contradição
b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, observe que (~ p  p) é uma tautologia. Para qualquer
valor lógico de p (V ou F), esta disjunção é V. Assim, sabemos que na
bicondicional (~ p  p)    , o lado esquerdo é sempre V.
Se o lado direito também for ocupado por uma sentença que seja
sempre V (uma tautologia), a frase inteira será uma tautologia.
Já se o lado direito for ocupado por uma sentença que seja sempre
F (uma contradição), a frase inteira será uma contradição.
Por fim, se o lado direito for ocupado por uma sentença que possa
ser V ou F (uma contingência), a frase inteira será uma contingência.
Temos apenas este último caso na alternativa D.
Resposta: D
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59.
FCC – TRT/6ª – 2006) Uma turma de alunos de um curso de
Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e
coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela
participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham
pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e
obteve os seguintes depoimentos:
Augusto: “Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou.”
Berenice: “Se Carlota pagou, então Augusto também pagou.”
Carlota: “Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não
pagou.”
Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que
(A) apenas Berenice não pagou a sua parte.
(B) apenas Carlota não pagou a sua parte.
(C) Augusto e Carlota não pagaram suas partes.
(D) Berenice e Carlota pagaram suas partes.
(E) os três pagaram suas partes.
RESOLUÇÃO:
Vamos usar as proposições abaixo para resolver a questão:
A = Augusto pagou
B = Berenice pagou
C = Carlota pagou
Portanto, as três frases podem ser escritas da seguinte forma:
Augusto: ~(B ou ~C)
Berenice: C  A
Carlota: C e (~A ou ~B)
Vamos assumir que C é V. Analisando a frase de Berenice,
concluímos que A é V também. Na conjunção dita por Carlota, sabemos
que C é V. Como A é V, então ~A é F. Isso obriga ~B a ser V, caso
contrário a disjunção (~A ou ~B) seria F, e a frase de Carlota seria F.
Como ~B é V, então B é F. E como C é V, então ~C é F também.
Portanto, (B ou ~C) é F, o que torna a frase de Augusto V.
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Assim, assumindo que C é V, foi possível tornar as 3 frases
verdadeiras, como manda o enunciado. E, neste caso, B é F e A é V. Ou
seja, Carlota e Augusto pagaram, enquanto Berenice não. Isso torna a
letra A, e apenas a letra A, correta.
Resposta: A
60.
FCC – SEFAZ-SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas
têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas
não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
b) V
c) I
d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
Note que a frase IV é uma proposição, pois pode assumir os valores
lógicos V ou F. Entretanto, é impossível atribuir esses valores lógicos às
demais frases, pois temos pergunta (III), ordem ou pedido (V), e
expressão de opiniões (I e II). Ou seja, todas elas não são proposições.
Portanto, a única frase diferente é a da letra IV, por ser uma
proposição, ao contrário das demais.
Resposta: A
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Fim de aula. Até o próximo encontro!
Abraço,
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1. FCC – TRT/BA – 2013) Devido à proximidade das eleições, foi
decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de
plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse
plantão, foi divulgada a seguinte orientação:
“Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão
será finalizado nesse horário.”
Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado
às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente,
(A) nenhum processo foi analisado até às 11 horas.
(B) todos os processos foram analisados até às 11 horas.
(C) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas.
(D) todos os processos foram analisados até às 18 horas.
(E) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas.
2. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas
não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
e) disjunção exclusiva
3. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um jornal publicou a seguinte
manchete:
“Toda Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários.”
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Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando
uma negação de tal manchete. Das sentenças seguintes, aquela que
expressaria de maneira correta a negação da manchete publicada é:
a) Qualquer Agência do Banco do Brasil não têm déficit de funcionários
b) Nenhuma Agência do Banco do Brasil tem déficit de funcionários
c) Alguma Agência do Banco do Brasil não tem déficit de funcionários
d) Existem Agências com déficit de funcionários que não pertencem ao
Banco do Brasil
e) O quadro de funcionários do Banco do Brasil está completo
4. FCC – TRT/19ª – 2014) Considere a seguinte afirmação:
Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica
satisfeito.
Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é
(A) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não
fica satisfeito.
(B) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica
satisfeito.
(C) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica
satisfeito.
(D) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não
fica satisfeito.
(E) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com
persistência.
5. FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q) ” é uma
tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
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a) I e II
b) I e III
c) I
d) II
e) III
6. FCC – SEPLAN/PI – 2013) Se Heráclito está convicto de que o
mundo está em permanente mudança, então ele é triste. Portanto, se
(A) Heráclito é triste, o mundo está em permanente mudança.
(B) Heráclito não está convicto de que o mundo está em permanente
mudança, então ele é triste.
(C) Heráclito está convicto de que o mundo está em permanente
mudança, então ele não é triste.
(D) Heráclito não é triste, então ele não está convicto de que o mundo
está em permanente mudança.
(E) Heráclito é triste, então ele não está convicto de que o mundo está
em permanente mudança.
7. FCC – BACEN – 2005) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central
q: fazer frente ao fluxo positivo
Se p implica em q, então:
a) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo
b) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central
c) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é
condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo
d) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a
atuação compradora de dólares por parte do Banco Central
e) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é
condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
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8. FCC – BAHIAGÁS – 2010) “Se a soma dos dígitos de um número
inteiro n é divisível por 6, então n é divisível por 6”. Um valor de n que
mostra ser falsa a frase acima é:
a) 30
b) 33
c) 40
d) 42
e) 60
9.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Considerando os operadores
lógicos usados nas sentenças compostas abaixo, é correto afirmar que a
sentença composta que representa um condicional FALSO é:
a) Se 2 é ímpar, então 2 é par.
b) 2 é par, logo 11 é primo.
c) Se 2 é par, então, 6 é primo.
d) 5 é ímpar, portanto 4 é par.
e) 4 ser ímpar implica que 5 é par.
10.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Qual das alternativas abaixo é uma
tautologia?
a) ~(A  B)  (~A  ~B)
b) (~A  B)  (B  A)
c) ((A  B)  B)  ~A
d) (A  B)  (~A  ~B)
e) ((A  B)  ~B)  A
11.
FUNDATEC – SES-RS – 2014) Dadas as proposições, analise:
I. Todos os motoristas são responsáveis.
II. Nenhum motorista é responsável.
III. Alguns motoristas não são responsáveis.
IV. Existem motoristas responsáveis.
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V. Não existem motoristas que são responsáveis.
Dentre
as
alternativas
a
seguir,
selecione
aquela
que
associa
corretamente uma proposição categórica com a sua negação.
a) A negação da proposição IV é a proposição III.
b) A negação da proposição I é a proposição III.
c) A negação da proposição II é a proposição III.
d) A negação da proposição I é a proposição II.
e) A negação da proposição I é a proposição V.
FUNDATEC – IRGA – 2013) Para responder à questão, considere
12.
a tabela a seguir, a qual apresenta valores lógicos de forma binária. Cada
coluna representa uma proposição lógica (simples ou composta), 0
representa o valor lógico falso, e 1 representa o valor lógico verdadeiro.
A
B
~A
~B
C
D
E
F
G
H
I
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
Baseando-se no conceito de operações lógicas e suas respectivas TabelasVerdade, que proposições estão representadas nas colunas E e F,
respectivamente?
a) bicondição e disjunção inclusiva.
b) condição e disjunção exclusiva.
c) conjunção e disjunção exclusiva.
d) disjunção inclusiva e condição.
e) disjunção inclusiva e conjunção.
13.
FUNDATEC – IRGA – 2013) A negação da proposição “João é
médico ou João é engenheiro.” é:
a) “João não é médico e João não é engenheiro.”
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b) “João não é médico ou João não é engenheiro.”
c) “Não é verdade que João não é médico ou João é engenheiro.”
d) “Não é verdade que João não é médico e João é engenheiro.”
e) “Não é verdade que João é médico e João é engenheiro.”
14.
FUNDATEC – CREA/PR – 2010) Dadas as proposições:
p: os gatos são marrons.
q: os cães são amarelos.
Uma das formas de representação, em linguagem simbólica, da
proposição “Não é verdade que, se os gatos não são marrons, então os
cães são amarelos.” é
A) ~(p
B) p
q)
~q
C) ~p
~q
D) ~(p
q)
E) ~p
q
15.
CESPE – INSS – 2016) A sentença "Bruna, acesse a internet e
verifique a data de aposentadoria do Sr. Carlos!" é uma proposição
composta que pode ser escrita na forma p^q.
16.
CESPE – INSS – 2016) Dadas as proposições simples p: "Sou
aposentado" e q: "Nunca faltei ao trabalho", a proposição composta "Se
sou aposentado e nunca faltei ao trabalho, então não sou aposentado"
deverá ser escrita na forma (p^q)~p, usando-se os conectivos lógicos.
17.
CESPE – INSS – 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue
os itens subsequentes.
( ) Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia,
logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de
Pedro, que é não fumante” representa uma proposição composta.
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18.
CESPE – TRE/MT – 2015) A negação da proposição: “Se o
número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar” pode ser
expressa corretamente por
A “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é
primo”.
B “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar”.
C “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar”.
D “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar”.
E “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é
ímpar”.
19.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) A negação da proposição P pode ser expressa corretamente por “Se o
comprador escritura o imóvel, então ele o registra”.
20.
CESPE – INSS – 2016) Com relação a lógica proposicional, julgue
os itens subsequentes.
( ) Considerando-se as proposições simples “Cláudio pratica esportes” e
“Cláudio tem uma alimentação balanceada”, é correto afirmar que a
proposição “Cláudio pratica esportes ou ele não pratica esportes e não
tem uma alimentação balanceada” é uma tautologia.
21.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
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A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador
escritura o imóvel, ou não o registra”.
22.
CESPE – TCE/RN – 2015) Em campanha de incentivo à
regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um
cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não
registra o imóvel não se torna dono desse imóvel”.
A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se
o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra” seja
verdadeira, julgue os itens seguintes.
( ) Um comprador que tiver registrado o imóvel, necessariamente, o
escriturou.
23.
FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo
prefeito de uma grande capital.
Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o
preço das passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação
não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
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24.
FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato
inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das
duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da
seguinte afirmação:
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida
e que o Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta
informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
25.
FCC – TRF/3ª – 2014) Considere a afirmação: Nem todas as
exigências foram cumpridas ou o processo segue adiante. Do ponto de
vista lógico, uma afirmação equivalente à acima é:
(A) Se o processo segue adiante, então nem todas as exigências foram
cumpridas.
(B) O processo não segue adiante e todas as exigências foram cumpridas.
(C) Se todas as exigências foram cumpridas, então o processo segue
adiante.
(D) Se nenhuma exigência foi cumprida, então o processo não segue
adiante.
(E) Nem todas as exigências foram cumpridas e o processo segue
adiante.
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26.
FCC – TRT/2ª – 2014) Durante um comício de sua campanha
para o Governo do Estado, um candidato fez a seguinte afirmação:
“Se eu for eleito, vou asfaltar 2.000 quilômetros de estradas e construir
mais de 5.000 casas populares em nosso Estado.”
Considerando que, após algum tempo, a afirmação revelou-se falsa,
pode-se concluir que, necessariamente,
(A) o candidato não foi eleito e não foram asfaltados 2.000 quilômetros
de estradas no Estado.
(B) o candidato não foi eleito, mas foram construídas mais de 5.000 casas
populares no Estado.
(C) o candidato foi eleito, mas não foram asfaltados 2.000 quilômetros de
estradas no Estado.
(D) o candidato foi eleito e foram construídas mais de 5.000 casas
populares no Estado.
(E) não foram asfaltados 2.000 quilômetros de estradas ou não foram
construídas mais de 5.000 casas populares no Estado.
27.
FCC – TRT/2ª – 2014) Um dia antes da reunião anual com os
responsáveis por todas as franquias de uma cadeia de lanchonetes, o
diretor comercial recebeu um relatório contendo a seguinte informação:
Todas as franquias enviaram o balanço anual e nenhuma delas teve
prejuízo neste ano.
Minutos antes da reunião, porém, ele recebeu uma mensagem em seu
celular enviada pelo gerente que elaborou o relatório, relatando que a
informação não estava correta. Dessa forma, o diretor pôde concluir que,
necessariamente,
(A) nenhuma franquia enviou o balanço anual e todas elas tiveram
prejuízo neste ano.
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(B) alguma franquia não enviou o balanço anual e todas elas tiveram
prejuízo neste ano.
(C) nenhuma franquia enviou o balanço anual ou pelo menos uma delas
teve prejuízo neste ano.
(D) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou todas elas
tiveram prejuízo neste ano.
(E) nem todas as franquias enviaram o balanço anual ou pelo menos uma
delas teve prejuízo neste ano.
28.
FCC – TJAP – 2014) Considere a seguinte declaração, feita por um
analista político fictício: “se o partido P conseguir eleger Senador no
Estado F ou no Estado G, então terá a maioria no Senado”.
A
partir
da
declaração
do
analista,
é
correto
concluir
que,
necessariamente, se o partido P
(A) não tiver a maioria no Senado, então não terá conseguido eleger o
senador no Estado G.
(B) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no
Estado G.
(C) tiver a maioria no Senado, então terá conseguido eleger o senador no
Estado F.
(D) não conseguiu eleger o senador no Estado F, então não terá a maioria
no Senado.
(E) não conseguiu eleger o senador no Estado G, então não terá a maioria
no Senado.
29.
FCC – TJAP – 2014) No Brasil, o voto é obrigatório apenas para os
brasileiros alfabetizados que têm de 18 a 70 anos. De acordo com essa
informação, se Luíza é uma brasileira que não é obrigada a votar, então,
necessariamente, Luíza
(A) é analfabeta e tem menos de 18 anos ou mais de 70.
(B) é analfabeta ou tem menos de 18 anos ou mais de 70.
(C) não é analfabeta, mas tem menos de 18 anos.
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(D) é analfabeta, mas pode ter de 18 a 70 anos.
(E) tem mais de 70 anos, mas pode não ser analfabeta.
30.
FCC – TJAP – 2014) Vou à academia todos os dias da semana e
corro três dias na semana. Uma afirmação que corresponde à negação
lógica da afirmação anterior é
(A) Não vou à academia todos os dias da semana ou não corro três dias
na semana.
(B) Vou à academia quase todos os dias da semana e corro dois dias na
semana.
(C) Nunca vou à academia durante a semana e nunca corro durante a
semana.
(D) Não vou à academia todos os dias da semana e não corro três dias na
semana.
(E) Se vou todos os dias à academia, então corro três dias na semana.
31.
FCC – SAEB/BA – 2014) Renata disse a seguinte frase: “Se Lucas
venceu o jogo, então Denis não compareceu”. Lucas, irado, afirmou que a
frase dita por Renata não era verdadeira. Uma frase, que do ponto de
vista lógico, é a negação da frase dita por Renata é:
(A) Lucas venceu o jogo ou Denis venceu o jogo.
(B) Denis não compareceu ao jogo e Lucas não venceu.
(C) Lucas venceu o jogo e Denis compareceu.
(D) Se Lucas não venceu o jogo, então Denis compareceu.
(E) Lucas venceu o jogo ou Denis compareceu.
32.
FCC – METRÔ/SP – 2014) Todos os mecânicos são inteligentes e
resolvem problemas.
Uma afirmação que representa a negação lógica da afirmação anterior é:
(A) nenhum mecânico é inteligente e resolve problemas.
(B) se um mecânico não é inteligente, então ele não resolve qualquer
problema.
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(C) algum mecânico não é inteligente ou não resolve problemas.
(D) todos os mecânicos não são inteligentes ou ninguém resolve
problemas.
(E) se um mecânico resolve problemas, então ele é inteligente.
33.
FCC – TRT/1ª – 2013) Um vereador afirmou que, no último ano,
compareceu a todas as sessões da Câmara Municipal e não empregou
parentes em seu gabinete. Para que essa afirmação seja falsa, é
necessário que, no último ano, esse vereador
(A) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal ou tenha
empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
(B) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal e
tenha empregado todos os seus parentes em seu gabinete.
(C) tenha faltado em pelo menos uma sessão da Câmara Municipal ou
tenha empregado um parente em seu gabinete.
(D) tenha faltado em todas as sessões da Câmara Municipal e tenha
empregado um parente em seu gabinete.
(E) tenha faltado em mais da metade das sessões da Câmara Municipal
ou tenha empregado pelo menos um parente em seu gabinete.
34.
FCC – TRT/1ª – 2013) Leia os Avisos I e II, colocados em um
dos setores de uma fábrica.
Aviso I
Prezado funcionário, se você não realizou o curso específico, então não
pode operar a máquina M.
Aviso II
Prezado funcionário, se você realizou o curso específico, então pode
operar a máquina M.
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Paulo, funcionário desse setor, realizou o curso específico, mas foi
proibido, por seu supervisor, de operar a máquina M. A decisão do
supervisor
(A) opõe-se apenas ao Aviso I.
(B) opõe-se ao Aviso I e pode ou não se opor ao Aviso II.
(C) opõe-se aos dois avisos.
(D) não se opõe ao Aviso I nem ao II.
(E) opõe-se apenas ao Aviso II.
35.
FCC – PGE/BA – 2013) Alice irá ao País das Maravilhas quando
imaginar ou perder o medo. Se Alice perder o medo,
(A) Alice não irá ao País das Maravilhas, pois não vai imaginar.
(B) Alice irá ao País das Maravilhas.
(C) Alice vai necessariamente imaginar.
(D) Alice não irá, também, imaginar.
(E) Alice não vai imaginar.
36.
FCC
–
MPE/AM
–
2013)
O
professor
de
uma
disciplina
experimental de um curso de Engenharia estabeleceu no início do
semestre que, para ser aprovado, um aluno teria de realizar pelo menos 5
das 6 experiências propostas e ter média de relatórios maior ou igual a
6,0. Como Juca foi reprovado nessa disciplina, pode-se concluir que ele,
necessariamente,
(A) realizou apenas 4 experiências e teve média de relatórios, no
máximo, igual a 5,0.
(B) realizou 4 ou menos experiências e teve média de relatórios inferior a
6,0.
(C) realizou menos do que 5 experiências ou teve média de relatórios
inferior a 6,0.
(D) não realizou qualquer experiência, tendo média de relatórios igual a
0,0.
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(E) não realizou qualquer experiência ou teve média de relatórios menor
ou igual a 5,0.
37.
FCC – TRT/BA – 2013) Analisando a tabela de classificação do
campeonato de futebol amador do bairro antes da realização da última
rodada, o técnico do União concluiu que, caso seu time vencesse sua
última partida ou o time do Camisa não ganhasse seu último jogo, então
o União seria campeão. Sabendo que o União não se sagrou campeão,
pode-se concluir que, necessariamente,
(A) o Camisa perdeu seu jogo e o União perdeu o seu.
(B) o Camisa venceu seu jogo e o União venceu o seu.
(C) o Camisa empatou seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu.
(D) o Camisa empatou seu jogo e o União venceu o seu.
(E) o Camisa venceu seu jogo e o União empatou ou perdeu o seu
38.
FCC – TRT/11a – 2012) Uma senhora afirmou que todos os
novelos de lã guardados numa gaveta são coloridos e nenhum deles foi
usado. Mais tarde, ela percebeu que havia se enganado em relação à sua
afirmação, o que permite concluir que
(A) existem novelos de lã brancos na gaveta e eles já foram usados.
(B) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou algum deles
foi usado.
(C) pelo menos um novelo de lã da gaveta não é colorido ou todos eles
foram usados.
(D) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e já foram usados.
(E) os novelos de lã da gaveta não são coloridos e algum deles já foi
usado.
39.
FCC – ALESP – 2010) Durante uma sessão no plenário da
Assembleia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declaração,
dirigindo-se às galerias da casa:
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“Se as manifestações desrespeitosas não forem interrompidas,
então eu não darei início à votação”.
Esta declaração é logicamente equivalente à afirmação:
a) se o presidente da mesa deu início à votação, então as manifestações
desrespeitosas foram interrompidas
b) se o presidente da mesa não deu início à votação, então as
manifestações desrespeitosas não foram interrompidas
c) se as manifestações desrespeitosas forem interrompidas, então o
presidente da mesa dará início à votação
d) se as manifestações desrespeitosas continuarem, então o presidente
da mesa começará a votação
e) se as manifestações desrespeitosas não continuarem, então o
presidente da mesa não começará a votação.
40.
FCC - DNOCS - 2010) Considere a seguinte proposição:
“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de
trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional
ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento
profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela
não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz
cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos
de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
41.
FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
q: O trabalho enobrece.
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A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é
fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA
quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
42.
FCC – METRÔ/SP – 2010) Considere as proposições simples:
p: Maly é usuária do Metrô; e q: Maly gosta de dirigir automóvel
A negação da proposição composta p ~ q é:
a) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel
b) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel
c) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir
automóvel
d) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de
dirigir automóvel
e) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir
automóvel.
43.
FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra
em relação a seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo
ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a
gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir
que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe,
então ele tem mais de 45 anos de idade.
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b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos
anualmente ou não toma a vacina contra a gripe.
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele
não tem 50 ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame
médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos
dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
44.
FCC - TRE-PI - 2009) Um dos novos funcionários de um cartório,
responsável por orientar o público, recebeu a seguinte instrução:
“Se uma pessoa precisar autenticar documentos, encaminhe-a ao
setor verde.”
Considerando que essa instrução é sempre cumprida corretamente, podese concluir que, necessariamente,
(A) uma pessoa que não precise autenticar documentos nunca é
encaminhada ao setor verde.
(B)
toda
pessoa
encaminhada
ao
setor
verde
precisa
autenticar
documentos.
(C) somente as pessoas que precisam autenticar documentos são
encaminhadas ao setor verde.
(D) a única função das pessoas que trabalham no setor verde é autenticar
documentos.
(E) toda pessoa que não é encaminhada ao setor verde não precisa
autenticar documentos.
45.
FCC – TJ/SE – 2009) Considere as seguintes premissas:
p : Trabalhar é saudável
q : O cigarro mata.
A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se
a) p é falsa e ~q é falsa.
b) p é falsa e q é falsa.
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c) p e q são verdadeiras.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) ~p é verdadeira e q é falsa.
46.
FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será
tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma
decisão tenha sido tomada.
c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e
nenhuma decisão tenha sido tomada.
47.
FCC - TRT/2ª – 2008) Dadas as proposições simples p e q, tais
que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições
compostas:
(1) p  q ;
(2) ~ p  q ; (3) ~ ( p ~ q ) ; (4) ~ ( p  q )
Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras?
a) nenhuma
b) apenas uma
c) apenas duas
d) apenas três
e) quatro.
48.
FCC - TRT/18ª - 2008) Considere as proposições:
p: Sansão é forte e q: Dalila é linda
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A negação da proposição p e ~ q é:
(A) Se Dalila não é linda, então Sansão é forte.
(B) Se Sansão não é forte, então Dalila não é linda.
(C) Não é verdade que Sansão é forte e Dalila é linda.
(D) Sansão não é forte ou Dalila é linda.
(E) Sansão não é forte e Dalila é linda.
49.
FCC – TCE-MG – 2007) São dadas as seguintes proposições:
(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é
eficiente.
(3) Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é
eficiente.
(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.
É
correto
afirmar
que
são
logicamente
equivalentes
apenas
as
proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4
50.
FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
não
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na
carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B)
Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de
projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.
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(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
e progride na carreira.
51.
FCC – ICMS/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
52.
FCC – ICMS/SP – 2006) Se p e q são proposições, então a
proposição p  (~ q) é equivalente a:
53.
FCC – ICMS/SP – 2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são
proposições.
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A
proposição
composta
que
substitui
corretamente
o
ponto
de
interrogação é:
54.
FCC – ICMS/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é
logicamente equivalente a pq é:
55.
FCC – ICMS/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a
correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
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c) As proposições ~ ( p  q) e (~ p ~ q) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
e) A proposição ~ [ p ~ ( p  q)] é logicamente falsa.
56.
FCC – ICMS/SP – 2006) Seja a sentença
~ {[( p  q)  r ]  [q  (~ p  r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
57.
FCC – ICMS/SP – 2006) Dada a sentença
complete o espaço

  ~ (~ p  q  r ) ,
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r
ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma
tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
58.
FCC - ICMS/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p  p)    e
a sentença aberta B: “Se o espaço

for ocupado por uma ...(I)..., a
sentença A será uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e
II forem substituídos, respectivamente, por:
a) contingência e contradição
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b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
59.
FCC – TRT/6ª – 2006) Uma turma de alunos de um curso de
Direito reuniu-se em um restaurante para um jantar de confraternização e
coube a Francisco receber de cada um a quantia a ser paga pela
participação. Desconfiado que Augusto, Berenice e Carlota não tinham
pago as suas respectivas partes, Francisco conversou com os três e
obteve os seguintes depoimentos:
Augusto: “Não é verdade que Berenice pagou ou Carlota não pagou.”
Berenice: “Se Carlota pagou, então Augusto também pagou.”
Carlota: “Eu paguei, mas sei que pelo menos um dos dois outros não
pagou.”
Considerando que os três falaram a verdade, é correto afirmar que
(A) apenas Berenice não pagou a sua parte.
(B) apenas Carlota não pagou a sua parte.
(C) Augusto e Carlota não pagaram suas partes.
(D) Berenice e Carlota pagaram suas partes.
(E) os três pagaram suas partes.
60.
FCC – SEFAZ-SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas
têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas
não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
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b) V
c) I
d) II
e) III
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01
E
02
D
03
C
04
D
05
B
06
D
07
C
08
B
09
C
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