Problemas e exercícios do capítulo 5

Problemas e exercícios do capítulo 5
CAPÍTULO 5:
1) Um circuito de Fórmula Mundial circular, com 320 m de raio, tem como velocidade
de segurança 40 m/s. Calcule a tangente do ângulo de inclinação da pista.
Observação: velocidade de segurança é a velocidade com a qual o carro pode trafegar
sem que nenhuma força de atrito lateral seja exercida em suas rodas.
RESOLUÇÃO: Da figura temos que: =>
2) Um brinquedo consiste em duas pequenas bolas A e B, de mesma massa M, e um
fio flexível: a bola B está presa na extremidade do fio e a bola A possui um orifício pelo
qual o fio passa livremente. Para o jogo, um operador (com treino!) deve segurar o fio
e girá-lo, de tal forma que as bolas descrevam trajetórias circulares, com o mesmo
período T e raios diferentes. Nessa situação, como indicado na figura 1, as bolas
permanecem em lados opostos em relação ao eixo vertical fixo que passa pelo ponto
O. A figura 2 representa o plano que contém as bolas e que gira em torno do eixo
vertical, indicando os raios e os ângulos que o fio faz com a horizontal.
Problemas e Exercícios do Capítulo 5
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Assim, determine:
a) O módulo da força de tensão F, que permanece constante ao longo de todo o fio,
em função de M e g.
b) A razão K = sen ‘/sen š, entre os senos dos ângulos que o fio faz com a horizontal.
c) O número N de voltas por segundo que o conjunto realiza quando o raio R• da
trajetória descrita pela bolinha B for igual a 0,10 m. Não há atrito entre as bolas e o fio.
Considere sen š ¸ 0,4 e cos š ¸ 0,9; ™ ¸3.
RESOLUÇÃO:
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EXEMPLO 5-9. PÁGINA:139. Você está girando um balde que contém uma quantidade
de água de massa m, em um círculo vertical de raio r. Se a rapidez no topo do círculo é
vtopo, encontre: (a) A força FBA exercida pelo balde sobre a água no topo do circulo. (b) o
valor mínimo de vtopo para que a água permaneça dentro do balde. (c) Qual é a força
exercida pelo balde sobre o balde na base do círculo, onde a rapidez do balde é Vbase?
RESOLUÇÃO: Diagramas de forças (corpo livre) para a água no topo e na base do
círculo.
No topo a equação para as forças é: Fba + mg = mv2/R => Fab = m (V2topo/R - g)
Na parte mais baixa a equação para as forças é:Fba-mg= mv2/R =>Fab= m (V2base/R + g)
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EXEMPLO 5-12: PÁGINA 141. Uma curva de 30,0 m de raio é inclinada de um ângulo
Θ. Isto é, a normal da superfície da estrada forma um ângulo Θ com a vertical. Encontre
Θ para que o carro percorra a curva a 40,0 km/h, mesmo se a estrada está coberta de
gelo, o que a torna praticamente sem atrito.
RESOLUÇÃO:
Ver questão 1
EXEMPLO 5-13: PÁGINA 142. Você é membro de uma equipe de testes de pneus de
automóveis. Você está testando um novo modelo de pneus de corrida para verificar se,
realmente, o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o pavimento de concreto
seco é 0,90, conforme alegado (afirmado) pelo fabricante. Um carro de corrida foi capaz
de percorrer com rapidez constante um circulo de 45,7 m de raio em 15,2 s, sem
derrapar. Despreze o arraste do ar e o atrito de rolamento, e suponha horizontal a
superfície plana da pista. O carro percorreu com a máxima rapidez possível V, sem
derrapar. (a) Qual foi a rapidez V? (b) Qual foi a aceleração? (c) Qual é o menor valor
do coeficiente de atrito entre os pneus e a pista?
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RESOLUÇÃO:
Diagrama de corpo livre:
©2008 by W.H. Freeman and Company
V = 2πr/T = 2π 45,7/15,2 => V = 18,9 m/s; ac = V2/r = 18,9 2/ 45,7 => ac =7,81 m/s2 =>
at = 0. Observe o diagrama de forças. A força de atrito faz o papel da resultante
centrípeta. Assim: μe.N = mv2/r => μe = mv2/r.mg = v2/rg = 18,9 2/ 45,7.9,81 = 0,796 =>
μe = 0,796
PÁGINA 159. EX 43. Um bloco de massa m1 = 250 g está sobre um plano inclinado de
um ângulo de 30° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o
plano é 0,100. O bloco está amarrado a um segundo bloco de massa m2 = 200 g que
pende livremente de um cordão que passa por uma polia sem massa e sem atrito.
Depois que um segundo bloco caiu 30,0 cm, qual é sua rapidez?
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RESOLUÇÃO: Vamos adotar um sistema de coordenadas em que a direção + x é o da
inclinação para o bloco cuja massa é m1 e para baixo para o bloco cuja massa é m2.
Poderia ser adotado o sentido contrário.Podemos encontrar a velocidade do sistema,
quando se desloca um dado distância usando uma equação-aceleração constante (por
exemplo a equação de Torricelli). Vamos supor que a cordão é sem massa e que não
estica. Sob a influência das forças mostrados na os diagramas de livre do corpo, os
blocos terão um uma aceleração comum. o aplicação da segunda lei de Newton para
cada bloco, seguido pela eliminação de a tensão T e à utilização da definição de fk
(força de atrito), permitirá determinar o aceleração do sistema.
Observe que a força peso no bloco 2 é maior que o componente Px da força peso no
bloco 1. Portanto, a tendência do bloco1 é subir o plano inclinado.
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Aplicando a segunda Lei de Newton para cada bloco, temos:
Bloco 2: P2 - T = m2.a
Bloco 1: T - Px - fk = m1.a
atenção: fk = fat= μN = μPy = μmgcosΘ
Somando as equações dos blocos 1 e 2, isolando a aceleração e substituindo os
valores com unidades no Sistema Internacional temos:
Usando a equação de Torricelli :
Livro Tipler capítulo 5
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1) Um caminhão viaja ao longo de uma estrada horizontal reta, carregando vários
objetos. Se o caminhão esta aumentando sua rapidez, quais são as forças que,
atuando sobre os objetos, também fazem com que eles aumentem de rapidez?
Explique por que alguns objetos podem continuar em repouso sobre o piso, enquanto
outros podem escorregar pra trás sobre o piso.
RESOLUÇÃO: As forças de atrito estática e cinética são responsáveis pelas acelerações.
Se o coeficiente de atrito estático entre os objetos e a carroceria do caminhão é
suficientemente grande, então o objeto não escorregará na carroceria do caminhão. Quanto
maior aceleração do caminhão, quanto maior deverá ser o coeficiente de atrito estático que
é necessário para evitar o escorregamento.
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3) Um bloco de massa m repousa sobre um plano inclinado de um ângulo Ɵ com a
horizontal. Determine o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano.
RESOLUÇÃO: Diagrama de corpo livre. Para situação de repouso, temos que:
Px = mg senΘ; Py = mg cosΘ
Px ≤ fat => μemgcosΘµmgsenΘ
μeµtgΘ
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11) Esta questão é um excelente quebra-cabeça inventado por Boris Korunsky. Dois
blocos idênticos estão ligados por um cordão sem massa que passa por uma polia.
Inicialmente, o ponto do meio do cordão está passando pela polia e a superfície sobre a
qual está o bloco 1 não tem atrito. Os blocos1 e 2 estão inicialmente em repouso,
quando o bloco 2 é largado, com o cordão tracionado e na horizontal. O bloco 1 atingirá
a polia antes ou depois do bloco 2 atingir a parede? (Suponha que a distância inicial do
bloco 1 à polia seja igual à distância inicial do bloco 2 à parede)
RESOLUÇÃO: Diagrama de corpo livre.
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Os seguintes diagramas de corpo livre mostram as forças que atuam sobre os dois objetos
algum tempo após o bloco 2 é descartado. Observe que a tensão na corda é a mesma em
ambos os lados da polia. A única força necessária para puxar o bloco 2 à esquerda é a
componente horizontal da tensão. A componente desta força é menor do que a tração T e os
blocos 1 e 2 têm a mesma massa, a aceleração do bloco 1 para a direita será sempre maior do
que a aceleração do bloco 2 para a esquerda. Devido a distância inicial a partir do bloco 1 para
a polia é o mesmo que o inicial distância do bloco 2 à parede, o bloco 1 vai bater na polia antes
de bloco 2 bater na parede.
14) Um bloco escorrega sobre uma superfície sem atrito ao longo do trilho de perfil
circular. O movimento do bloco é rápido o suficiente para impedir que ele perca contato
com o trilho. Relacione os pontos ao longo do caminho com os respectivos diagramas
de corpo livre.
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RESOLUÇÃO: As únicas forças que atuam sobre o bloco são o seu peso e A força
que a superfície exerce sobre ele. Como a superfície de loop-a-loop é sem atrito, a
força que ela exerce sobre o bloco deve ser perpendicular à sua superfície. No ponto
A o peso é para baixo e para a força normal é para a direita. A força normal é a força
resultante centrípeta. Corpo livre diagrama 3 corresponde a estas forças. No ponto B
o peso para baixo, a força normal é para cima, e a força normal é maior do que o peso
de modo a que a sua diferença é a força resultante centrípeta. O diagrama 4
corresponde a essas forças. No ponto C, o peso é baixo e a força normal é para a
esquerda. A força normal é a força resultante centrípeta. O diagrama 5 corresponde a
estas forças. No ponto D, tanto o peso e a força normal são para baixo. Sua soma é a
força Resultante centrípeta. O diagrama 2 corresponde a essas forças.
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51) Dois blocos ligados por um cordão deslizam para baixo sobre um plano inclinado
de 10°. O bloco 1 tem massa m1 = 0,80 kg e o bloco 2 tem massa m2 = 0,25 kg.
Os coeficientes de atrito cinético entre o blocos e o plano são 0,30, para o bloco 1 e
0,20 para o bloco 2. Determine:
a) a aceleração do sistema;
b) a tração na corda.
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RESOLUÇÃO: Suponha que a corda é sem massa e não estica. Em seguida, os blocos têm
uma aceleração comum e a tensão na corda atua sobre ambos os blocos, de acordo com a
terceira lei de Newton. Desenhe os diagramas de corpo livre para cada bloco e aplique a
Segunda lei de Newton de movimento e à definição da força de atrito cinético para cada bloco
para obtenção de equações simultâneas para determinar aceleração e tração T.
Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada bloco temos:
Bloco 1: - μ1m1gcosΘ + T + m1gsenΘ = m1 a
Bloco 2: - μ2m2gcosΘ - T + m2gsenΘ = m2 a
Somando as duas equações e isolando a aceleração temos:
Módulo de da aceleração: a = 0,96 m/s2
Substituindo o valor da aceleração em qualquer uma das equações temos:
T = 0,18 N.
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56) Uma massa de 100 kg é puxada sobre uma superfície sem atrito e horizontal por
uma força F, de forma que sua aceleração é a1 = 6,00 m/s2. Uma massa de 20 kg
desliza sobre o topo da massa de 100 kg tem aceleração de a2 = 4,00 m/s2.
(Deslizando para trás em relação á massa de 100 kg).
a) Qual a força de atrito exercida pela massa de 100 kg sobre a massa de 20 kg?
b) Qual a força resultante sobre a massa de 100 kg? Quanto vale a força F?
c) Depois que a massa de 20 kg cair para fora da massa de 100 kg, qual é aceleração
da massa de 100 kg? Suponha a força F inalterada.
RESOLUÇÃO: As forças que atuam sobre cada uma dessas massas são mostradas
no diagrama de corpo livre abaixo. m1 representa a massa da massa 20,0 kg e m2 que
da massa 100 kg. Observe os diagramas de corpo livre para cada corpo.
Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada corpo, temos:
Corpo 1: fk1 = m1.a1
Corpo 2: F - fk2 = m2.a2 = Fresultante
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Lembrando que pela terceira Lei de Newton fk2 = fk1 => módulos das forças de atritos
a) fk1 = m1.a1 = 20,0.4,00 = 80 N
b) m2.a2 = Fresultante => Fresultante = 100.6,00 = 600 N
c) F = 600 + 80 = 680 N => F = m2.a => 680 = 100.a => a = 6,80 m/s2
Ao cair o bloco de 20,0 kg, a força de atrito entre os blocos deixa de existir.
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80) Um pequeno objeto de massa m1 se move em trajetória circular de raio r sobre uma
mesa horizontal e sem atrito. Ele está preso a cordão que passa por um pequeno furo
sem atrito no centro da mesa. Um segundo objeto, de massa m2, está preso a outra
extremidade do cordão. Deduza uma expressão para r em termos de m1 e m2 e o tempo
T de revolução.
RESOLUÇÃO: Suponha que o cordão é sem massa e que não faz esticar. Os
diagramas de corpo livre para o dois objetos são mostrados à direita. O furo na mesa
muda o sentido da tensão no cordão (o qual fornece uma força resultante centrípeta
necessária para manter o objeto se movendo em uma trajetória circular). A aplicação da
segunda Lei Newton ea definição de força resultante centrípeta nos levará a um
expressão para r como uma função da M1, M2, e T o tempo para uma revolução.
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81) Um bloco de massa m1 está amarrado a um cordão de comprimento L1 fixo por uma
extremidade. O bloco se move em um circulo horizontal sobre uma mesa sem atrito. Um
segundo bloco de massa m2 é preso ao primeiro por um cordão de comprimento L2 e
também se move em circulo sobre a mesa horizontal sem atrito. Se o período de
movimento é T, encontre a tração na corda em termos dos dados informados.
RESOLUÇÃO: Os diagramas de corpo livre mostram as forças que atuam sobre cada
corpo. Escrevendo a Segunda Lei de Newton e usando a Resultante Centripeta,
temos:
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92)Um avião está voando em círculo horizontal com velocidade d 480 km/h. O avião
está inclinado para o lado, suas asas formando um ângulo de 40° com a horizontal.
Considere uma força de sustentação perpendicular às asas atuando sobre a aeronave
em seu movimento. Qual é o raio do circulo que o avião está descrevendo?
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RESOLUÇÃO: A força de sustentação aerodinâmica ( ), normal às asas, e o peso
( ) do avião geram, por composição, a sua resultante centrípeta horizontal.
:
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101) Três massas pontuais, de 2,0 kg cada uma, estão localizadas no eixo x. Uma
está na origem, outra em x = 0,20 me outra em x = 0,50 m. Encontre o centro de
massa do sistema.
RESOLUÇÃO: Da definição das coordenadas do centro de massa temos:
102) Em uma escavação arqueológica de final de semana, você descobre um velho
machado consistindo em uma pedra simétrica de 8,0 kg presa à extremidade de um
bastão uniforme. As medidas que você obteve são mostradas na figura. A que
distância da extremidade livre do cabo está o centro de massa do machado?
RESOLUÇÃO: Calcule separadamente o centro de massa da pedra e do bastão.
Após determinar o centro de massa de cada peça, calcule o centro de massa do
sistema pedra bastão.
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Centro de massa do bastão: (80+18)/2 = 49 cm
Centro de massa da pedra: 80 + 9 = 89 cm
103) Três bolas A, B e C, com massas de 3,0 kg, 1,0 kg e 1,0 kg, respectivamente,
estão ligadas por barras sem massas.
a) Quais são as coordenadas do centro de massa?
b) Uma força de 12 N i é aplicada à bola de 3,0 kg, não há forças sobre as outras bolas.
Qual é a aceleração do cento de massa?
RESOLUÇÃO:
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104) Encontre o centro de massa da folha uniforme de compensado. Considere-a
como um sistema efetivamente constituído de duas folhas, fazendo com que uma
delas tenha massa negativa para dar conta do corte. Assim, uma delas é uma folha
quadrada de 3 m de lado e massa m1, e a outra, é uma folha retangular medindo
1,0 m x 2,0 m e com uma massa m2. Localize a origem das coordenadas no canto
esquerdo da folha.
RESOLUÇÃO: A chapa pode ser dividida em retângulos menores. Determinamos o
centro de massa de cada retângulo. Com o a chapa é homogênea e de espessura
uniforme. Sua densidade é constante. Podemos escrever: d = m1/A1 = m2/A2 = m3/A3.
Assim a massa de cada parte da placa fica determinada: m1 = d.A1 .... . Substtituindo
nas equações das coordenadas do centro de massa, chegamos nas relações abaixos.
Problemas e Exercícios do Capítulo 5
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Substituindo o centro de massa de cada retângulo e suas repectivas áresa temos:
(Xcm = 1.5m, Ycm = 1.4m)
113) Duas partículas de 3,0 kg têm velocidades v1 = (2,0 m/s) i + (3,0 m/s) j
v2 = (4,0 m/s) i - (6,0 m/s) j. Encontre a velocidade do centro de massa.
RESOLUÇÃO: Vcm = dxcm/dt
114) Um carro de 1500 kg desloca-se para oeste com velocidade de 20,0 m/s e um
caminhão de 3000 kg viaja para o leste com velocidade de 16,0 m/s. Encontre a
velocidade do sistema carro - caminhão.
RESOLUÇÃO:
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