intervalos, inequações e módulo - Feg

Revisão de Pré-Cálculo
INTERVALOS, INEQUAÇÕES
E MÓDULO
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
Guaratinguetá, SP, outubro 2016
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Intervalos da Reta
Intervalos são subconjuntos dos números reais.
Sejam a e b números reais.
Notação
Desigualdade
Tipo de Intervalo
●
[ a, b ]
a≤x≤b
Fechado
●
( a, b )
a<x<b
Aberto
a e b são ditas as extremidades do intervalo (limitado).
De maneira similar se define [a, b) e (a, b].
Desenho na lousa.
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Dupla Desigualdade - observações
a≤x≤b
equivale a a ≤ x e x ≤ b
(ambas as condições devem ser satisfeitas)
●
Não se usa o sinal de > ou ≥ em duplas desigualdades
como por exemplo (erro de notação)
a ≥ x ≥ b,
a ≤ x ≥ b ou ainda a ≥ x ≤ b.
Observe que a ≥ x ≥ b equivale a b ≤ x ≤ a
JRRZ & ISMJ
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Intervalos não limitados - Semiretas
Notação
Desigualdade
( a,+ ∞)
x>a
(- ∞, b)
x<b
De maneira análoga se define [a, + ∞ ) e ( - ∞ , a].
O símbolo para infinito ∞ (não é um número real) tem
por significado que os valores (em módulo) podem ser
muito grandes.
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Conjuntos, Relações e Operações
Sejam A e B dois conjuntos.
Notação
Leitura
Equivalente
AcB
A está contido em B
x ε A => x ε B
AU B
união de A e B
x ε A ou x ε B
A∩ B
interseção de A e B
xεA e xεB
●
●
Dois conjuntos são disjuntos se A ∩ B = Ø
JRRZ & ISMJ
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Inequações (desigualdades)
Sejam u, v, w, z e c números reais, variáveis ou expressões algébricas.
1. Transitiva
Se u < v e v < w então u < w
2. Adição
Se u < v, então u + w < v + w.
Se u < v e w < z então u + w < v + z
3. Multiplicação
Se u < v e c > 0 então u.c < v.c
Se u < v e c < 0 então u.c > v.c
As propriedades acima são verdadeiras se o símbolo < é substituído por ≤.
Existem propriedades similares para > e ≥.
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Inequação Linear
Dados a (a ≠ 0) e b números reais, resolva para x (incógnita)
a.x + b < 0
Resolução passo a passo
1. Some -b a desigualdade:
a.x < - b
2. Divida por a considerando um dos dois casos
2.1 se a > 0: x < - b/a
2.2 se a < 0: x > b/a
Inequação poderia ter sido formulada com >, ≤ ou ≥.
JRRZ & ISMJ
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Inequação Quadrática
Dados a (a ≠ 0), b e c números reais, resolva para x (incógnita)
2
a.x +b.x+c<0
Obs: alunos provavelmente vão resolver de forma gráfica, esboçando o gráfico da
parábola e determinando os intervalos onde ela é negativa.
Método do Varal
1o Passo: Fatore a expressão
2o Passo: monte o diagrama para análise de sinal (varal).
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Inequação Quadrática
Exemplo: considere que a equação
a.x 2 +b.x+c=0
tem duas raízes reais e distintas indicadas por r1 e r2.
Fatoração da expressão:
a.x 2 +b.x+c = a.( x−r 1 )(x−r 2 )
Diagrama de sinais (varal) considerando a > 0
JRRZ & ISMJ
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Inequação Polinomial
●
O método do varal pode ser usado para resolver uma
inequação polinomial de grau >= 2 desde que se consiga
fatorar o polinômio.
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Inequações – Exercícios do Simmons
capítulo 1, seção 2
●
●
Exercício 2b resolvido em sala.
Exercício 2k foram dadas dicas para determinar
as raízes por inspeção e depois por fatoração
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Inequações – Exercícios do Simmons
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Módulo (ou valor absoluto)
O módulo de um número real a é definido por
 a se a ≥ 0
a=
 − a se a < 0
Observações:
• |a| ≥ 0 e |a| = 0 se e somente se a = 0.
•
|a – b| é igual a distância entre os pontos a e b da reta.
JRRZ & ISMJ
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Módulos e desigualdades
Seja u uma expressão algébricas e a um número real com a≥0.
1. I u I < a se e somente se –a < u < a
São os pontos u cuja distância a origem é menor que a
2.
I u I > a se e somente se
u < -a ou u > a.
São os pontos u cuja distância a origem é maior que a.
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Vizinhança de um ponto a
●
Intervalo aberto de centro a e raio r:
( a – r, a + r)
ou
a – r < x < a + r ou
|x–a|<r
São os pontos cuja distância ao ponto a é menor que r.
●
●
De maneira similar pode-se definir vizinhança fechada de um ponto,
vizinhança à esquerda e vizinhança a direita.
Vizinhança própria: x ≠ a.
JRRZ & ISMJ
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Módulos - Exercícios do Simmons
capítulo 1, seção 2
Exercício b resolvido em sala de aula.
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