Problemas diversos

PROBLEMAS NÃO RESOLVIDOS
1. TENSÃO SUPERFICIAL
1.1. Uma placa plana está mergulhada em água. Tomando em linha de conta a
tensão superficial e admitindo que a deflexão da superfície livre é suficientemente
pequena para que a curvatura seja aproximadamente dada por
1 r  dy 2 dx 2 determine:
a) forma da superfície livre da água
b) O nível máximo h da subida em função do ângulo de contacto  .
1.2. O nível h de água no tubo de vidro representado na figura é de 5 cm e o tubo
tem um diâmetro de 2,5 mm.
a) Calcule o nível h se a tensão superficial for nula.
b) Calcule o nível h se o tubo tiver um diâmetro de 1 mm.
2. PRESSÃO HIDROSTÁTICA E NÃO HIDROSTÁTICA
2.1. Um veio vertical de uma mina tem um comprimento de 3000m e contém ar em
repouso cuja temperatura aumenta linearmente entre 20ºC à superfície até 45ºC no
fundo. Calcule a pressão do ar no fundo sabendo que à superfície é igual a 100kPa.
Considere que o ar é compressível, comportando-se como um gás perfeito.
2.2 A calote hemi-esférica representada na figura contem água e está presa ao
fundo através de 6 parafusos igualmente espaçados.
Calcule a força exercida em cada parafuso para manter a calote fixa.
2.3. A figura representa um cilindro em repouso com 2 m de diâmetro e 4 m de
comprimento. O cilindro está encostado à parede no ponto B e o fluido que o
circunda é água
Calcule a massa do cilindro.
2.4. Utiliza-se um manómetro diferencial para medir o aumento de pressão entre a
entrada e a saída de uma bomba numa conduta de água (  H2O  1000kgm3 ). O
3
fluido manométrico é mercúrio (  Hg  13600kgm ) e o desnível observado no
manómetro é igual a 762mm . Admitindo que as tomadas de pressão estática antes
( p 1 ) e depois da bomba ( p 2 ) estão ao mesmo nível e que todos os tubos estão
cheios de água, determine o aumento de pressão ( p 2  p 1 ) na bomba.
2.5. Uma placa de peso por unidade de largura P  1kNm 1 e comprimento
L  0.9m , roda em torno de um eixo. Uma das faces da placa está em contacto
com água em repouso, estando a outra face em contacto com o ar. A placa roda até
atingir uma posição de equilíbrio definida pelo ângulo  , sendo  o ângulo que a
placa faz com a direcção vertical. Considerando que  H2O  1000kgm3 e
 ar  1.2kgm 3 , calcule  .
2.6. A figura representa uma esfera com um diâmetro de 2 ft e um peso de 400 lbf
que tapa um buraco com um 1 ft de diâmetro situado no fundo do tanque.
Calcular a força necessária para deslocar a esfera.
2.7. Um carro tanque de 3m de comprimento e 1.5m de diâmetro completamente
cheio de água (   1000kgm 3 ), é acelerado a 3ms 2 para a direita.
a) Se a pressão no topo do tanque no ponto equidistante das extremidades fôr a
pressão atmosférica, determine a localização e os valores das pressões máxima e
mínima
b) Se o tanque se encontrar parcialmente cheio estando em contacto com a
atmosfera, calcule a inclinação da superfície livre. Admita que as paredes do tanque
são suficientemente altas para impedir o transbordo da água.
3. BALANÇOS DE MASSA
3.1. O Mediterrâneo sofre uma evaporação média superior ao ganho médio de água
resultante da precipitação e dos rios que nele desaguam. O nível do Mediterrâneo é
mantido constante devido ao caudal de água que vem do Atlântico. Contudo, por ser
mais densa, há também um caudal de água do Mediterrâneo para o Atlântico.
Sabendo que:
massa específica da água atlântica:  Atl  1027kgm 3
massa específica da água mediterrânica:  Med  1029kgm 3
massa específica da água doce:   1000kgm3
salinidade da água atlântica: S Atl  36.3 0 00
salinidade da água mediterrânica: S Med  37.8 0 00
caudal total devido à diferença entre evaporação, precipitação e caudal dos rios:
7  10 4 m 3 s 1
Superfície do Mediterrâneo: 2.52  1012 m 2
Volume de água mediterrânica: 3.8  1015 m 3
a) calcule o caudal volúmico de água atlântica e o de água mediterrânica no Estreito
de Gibraltar
b) quanto baixaria o nível da água mediterrânica anualmente se não existisse
fornecimento de água atlântica
c) qual o tempo de residência da água mediterrânica.
3.2. Um fluido incompressível escoa-se ao longo de uma placa. O perfil de
velocidade à entrada é uniforme com velocidade constante igual a U 0 e à saída a
velocidade apresenta um perfil parabólico com uma velocidade máxima u  U 0 para
y   . Calcule o caudal volúmico que se escoa perpendicularmente ao escoamento.
Considere que a placa tem uma espessura b .
3.3. Um tanque com ar a 20º C e a uma pressão de 100kPa é evacuado através de
uma bomba. O volume do tanque é de 1m 3 . O caudal da bomba é constante e igual
a 80 l min . Assumindo gás perfeito e um processo isotérmico, calcule o tempo
necessário para que a pressão no depósito seja igual a 1kPa . Repita o mesmo
problema mas considerando que não existe bomba, ou seja, a velocidade na saída
depende da diferença de pressões entre o depósito e o exterior.
3.4. Um reservatório tem dois tubos de entrada de diâmetro igual a 2cm e um tubo
de saída de diâmetro igual a 3cm . Num dos tubos de entrada escoa-se alcool
(  alc  790kgm 3 ) com uma velocidade de 8ms 1 e no outro tubo escoa-se água
(  ag  1000kgm3 )com uma velocidade de 12ms 1 . Assumindo mistura ideal de
fluidos incompressíveis, calcule a velocidade na secção de saída e a densidade da
mistura.
3.5. Um fole de secção triangular (altura L e base 2h ) tem um ângulo de abertura
variável igual a 2 . Quando o fole se fecha a válvula que permitiu a entrada de ar

também se fecha e o caudal mássico de saída é m t  . Sendo b a largura do fole,

deduza uma equação que relacione o caudal mássico m t  com o ângulo de
abertura t  .
4. BALANÇOS DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO E EQUAÇÃO DE BERNOULLI
4.1. Um tubo vertical apresenta uma saída alinhada com a direcção horizontal.
Sendo a área da secção de saída A s inferior à área A e no resto do tubo, deduza as
equações que permitem determinar as componentes R x e R y da força de contacto
necessária para manter o tubo fixo. Suponha que é dado o caudal volúmico Q e a
massa específica  do fluido e que a pressão na secção de saída é a pressão
atmosférica.
4.2. Um barco com um reservatório de ar comprimido desloca-se devido à saída
deste fluido através de uma secção de área A s . A velocidade de saída do ar em
relação a um observador exterior fixo é Ve e a velocidade do barco é V . Admitindo
que na direcção do movimento a única força que actua no barco é a força de


resistência da água D  kV , mostre que, em regime transiente a velocidade do
barco satiafaz a equação diferencial
dV
m  kV 2   e A e (V  Ve ) 2  0 , sendo m a
dt
massa variável do barco.
4.3. Um foguetão sobe com uma velocidade V . Considerando que na secção de
saída de área A s a velocidade relativa dos gases em relação ao astronauta é igual
a Vs , sendo  s a sua massa específica, mostre que a velocidade do foguetão é


igual a V(t )   Vs ln( 1  m t M 0 )  gt sendo M 0 a massa inicial do foguetão e m
o caudal mássico do combustível queimado.
4.4. Um reactor de um avião a jacto tem uma área na secção de entrada igual a A e
e uma área na secção de saída igual a A s , sendo V a velocidade do avião e Vs a
velocidade na secção de saída. Supondo que se conhece a massa específica  a do


ar à entrada do reactor, a relação m f m a entre o caudal mássico de combustível e o
caudal mássico de ar e a pressão relativa na secção de saída do reactor, determine
a força de resistência ao avanço do avião. Considere que o avião dispõe de quatro
reactores e que a sua velocidade é constante.
4.5. Admitindo que no problema anterior a força de resistência ao avanço é


proporcional ao quadrado da velocidade do avião ( D  kV ), qual será a velocidade
deste se funcionar apenas com dois reactores.
4.6. Duas placas paralelas de comprimento 2L estão separadas de uma distância
b(t). A placa superior move-se no sentido descendente com uma velocidade
constante V e a inferior está fixa. Um fluido ideal e incompressível de massa
específica  preenche o espaço entre as placas. Com o movimento descendente da
placa superior o fluido é “espremido” para o exterior e, como o escoamento é
simétrico, a velocidade paralela à placa no centro ( x  0 ) é nula. Admita que b<<L e
que a velocidade u paralela à placa é constante na direcção perpendicular à placa.
Considere que o escoamento é unidimensional e paralelo ao eixo dos xx.
a) Mostre que a velocidade em cada ponto a uma distância x do centro é igual a
u(x)  V x b
b) Admitindo que a pressão no final das placas ( x   L ) é zero, mostre que a
pressão a uma distância x do centro é igual a p( x )  (V b) 2 (L2  x 2 ) .
4.7. Um jacto incide numa placa plana inclinada e divide-se em 2 jactos de igual
velocidade mas com diferentes caudais volúmicos, como se mostra na figura.
Admitindo que não há forças viscosas, determine o valor de α em função do ângulo
θ da placa.
4.8. A figura representa uma comporta de largura b. Nas secções 1 e 2 o
escoamento é uniforme e a pressão é hidrostática. Desprezando atrito no fundo,
deduza uma equação para a força F, necessária para manter a comporta, em função
de b, h1 e h2.
4.9. A figura representa um venturi, o qual permite aspirar água de um reservatório.
Desprezando perdas por atrito, obtenha uma equação para V2 no início da sucção.
4.10. Um barco é impulsionado por um jacto de água que sai a uma velocidade Vj
em relação a um observador fixo no barco. Sabe-se que a força de resistência do
barco para uma velocidade de V=11ms-1 é igual a D=900N. O diâmetro da tubagem
na secção de saída é dj=7.5cm e a densidade da água é 1000kgm-3. Calcule o
caudal mássico que atravessa a bomba.
4.11. Ar entra numa lareira com massa específica 1 e sai na chaminé com massa
específica  2 . Admitindo que na entrada a velocidade do escoamento é desprezável
e considerando que a chaminé tam uma altura H, determine a velocidade na saída.
5. EQUAÇÕES DA CONTINUIDADE E DE NAVIER-STOKES
5.1. Considere o escoamento de um fluido newtoniano ao longo de um plano com
inclinação
.
Faça
as
seguintes
hipóteses:
escoamento
estacionário,
completamente desenvolvido, unidimensional,  e  constantes, sendo h a
espessura de fluido na direcção perpendicular ao plano inclinado. Determine:
a) O perfil de velocidade
b) A tensão de corte
c) A velocidade média
5.2. Escoamento de Hagen-Poiseuille. Considere o escoamento de um fluido
newtoniano ao longo de um tubo horizontal de raio R. Faça as seguintes hipóteses:
escoamento estacionário, completamente desenvolvido,

e

constantes,
V  Vr  0 (a velocidade só tem componente axial), axissimétrico (    0 ).
Determine:
a) O perfil de velocidade
b) A tensão de corte
5.3. Considere o escoamento laminar incompressível estacionário, entre duas placas
paralelas, de dois fluidos imiscíveis. A placa superior move-se com velocidade U 0
para a direita e a placa inferior está em repouso. O gradiente de pressão é zero. A
metade inferior da região entre as placas ( 0  y  h 2 ) encontra-se preenchida com
fluido de massa específica 1 e viscosidade  1 e a metade superior ( h 2  y  h )
com fluido de massa específica  2 e viscosidade  2 .
a) Escreva as condições a que deve satisfazer a tensão de corte para 0  y  h .
b) Escreva as condições de fronteira para a velocidade nas paredes ( y  0 e y  h )
e na interface dos dois fluidos ( y  h 2 ).
c) Obtenha o perfil de velocidade em cada uma das regiões e esboce o resultado
para 1   2 .
d) Calcule a tensão de corte na parede inferior.
5.4. Escoamento de Couette com gradiente de pressão. Considere o escoamento
laminar incompressível estacionário, entre duas placas paralelas, de um fluido
newtoniano. A placa superior move-se com velocidade U 0 para a direita e a placa
inferior está em repouso. O gradiente de pressão é diferente de zero. Admitindo que
o escoamento só tem componente de velocidade segundo x, determine:
a) o perfil de tensão de corte
b) o perfil de velocidade.
h 2 p
c)Desenhe perfis de velocidade para vários valores do parâmetro   
.
2U 0 x
Tendo em conta o significado físico deste parâmetro, explique a ocorrência de
tensões de corte negativas junto à parede inferior para valores de   1 .
5.5. Considere o escoamento laminar estacionário de um fluido incompressível de
viscosidade constante entre dois discos fixos paralelos e horizontais distanciados de
um comprimento b. Admita que o escoamento é puramente radial.
a) Escreva as equações diferenciais de balanço de massa e quantidade de
movimento que regem o escoamento viscoso a baixa velocidade. Simplifique as
equações.
b) Especifique as condições de fronteira para este problema.
c) Supondo que o escoamento é invíscido, determine o gradiente de pressão na
secção r  0.4m quando se escoa um caudal de ar de 1.8kgs 1 , sabendo que a
pressão e a temperatura na secção de entrada são 1atm e 20ºC. A distância entre
os discos é b=0.045m. Considere que o ar é gás perfeito.
d) Compare a evolução da pressão ao longo duma linha radial, nas duas seguintes
situações:
d1) escoamento invíscido
d2) escoamento viscoso a baixa velocidade
6. ANÁLISE DIMENSIONAL
6.1. A equação de quantidade de movimento para um jacto de gás quente à
temperatura
TH
num
fluido
mais
frio
à
temperatura
T0
é

  T

dV
1
  p   0  2 V  g 0  1 .
dt
0
 TH

a) Mostre que a razão entre as forças gravíticas (impulsão) e de inércia é igual a
Lg T0
(  1) , sendo L e V0 respectivamente um comprimento e uma velocidade de
V02 TH
referência.
b) Um modelo da chaminé, à escala 1:100, é testado num túnel de vento. O protótipo
tem uma altura de 100ft e descarrega 10 7 ft 3 dia de um gás quente a 150ºF para
uma atmosfera a 60ºF. A temperatura dos gases quentes no protótipo é igual a 80ºF
e a descarga faz-se para a mesma temperatura atmosférica. Qual o caudal de gases
quentes no modelo para garantir condições de semelhança dinâmica.
6.2. Um modelo de automóvel à escala 1:5 foi testado num túnel aerodinâmico em
que as propriedades do ar são as atmosféricas. Os ensaios foram realizados em
condições tais que simulavam a velocidade de 50km/h no protótipo, tendo-se medido
no modelo uma força de resistência aerodinâmica de 350N. Calcule:
a) O valor da força de resistência no protótipo.
b) A potência requerida para fazer face à resistência do ar.
6.3. Suponha que devido a uma explosão pontual se liberta uma quantidade de
energia E na atmosfera. A experiência mostra que nestes casos o raio R da região
de alta pressão resultante, depende do tempo t, da energia E e da densidade do ar
.
a) Usando o teorema de Buckingham, deduza uma equação para R em função de t,
 e E.
b) Mostre que a velocidade da frente de onda V diminui com o aumento de R.
c) A pressão relativa  p na região de alta pressão interior à onda de pressão,
depende de t,  e E. Mostre que  p é proporcional a R 3 .
6.4. Um navio de 35m de comprimento foi projectado para ter uma velocidade de
cruzeiro de 11ms 1 . Com vista a conhecer a sua resistência ao avanço construiu-se
um modelo com 1m de comprimento que se pretende ensaiar num tanque de
ensaios. Admitindo que se pretende respeitar a semelhança em termos do número
de Froude, calcule:
a) A velocidade de arrasto
b) A relação entre as forças de resistência no modelo e no protótipo
c) A razão entre as potências no modelo e no protótipo
d) Se pretendesse fazer ensaios de cavitação no modelo, que número adimensional
deveria respeitar? Se pudesse controlar a pressão ambiente deveria aumentá-la ou
reduzi-la para garantir condições de semelhança dinâmica?
6.5. A figura mostra um jacto de ar vertical incidente numa esfera de massa
específica  e . Os ensaios experimentais revelam que a esfera fica suspensa no
jacto numa posição estável.
a) Diga qual o ponto onde ocorre maior pressão e qual o seu valor quando a esfera,
de 5cm de diâmetro e com uma massa de 20gr, está colocada num escoamento de
ar,   1.2kgm 3 , à pressão atmosférica com uma velocidade de 10ms-1.
b) Deduza os coeficientes adimensionais que caracterizam este escoamento e
explique o seu significado.
c) Alguns dos coeficientes adimensionais encontrados deixam de afectar o problema
em determinadas condições. Quais são esses coeficientes e quais são as
condições?
6.6. O emissário submarino, representado na figura, tem um diâmetro   1m e uma
velocidade à saída U  1ms 1 . À superfície a pluma apresenta uma velocidade de
U 0  10cms 1 , sendo a largura e a profundidade respectivamente iguais a b  500m
e d  0.4m . A massa específica do efluente é  0  1005kgm 3 e da água é
 e  1020kgm 3 .
a) Definindo a diluição do jacto de efluente como D  Q e  Q 0  Q 0 , sendo Q e o
caudal de água salgada arrastada pelo jacto, determine D e a massa específica da
mistura
b) Diga qual a força que faz subir a pluma e explique a sua curvatura à saída do
emissário. No caso de a água salgada apresentar uma estratificação de densidade
devido por exemplo à presença de uma termoclina, acha possível que a pluma não
atinga a superfície?
c) Explique o arrastamento de água salgada pelo jacto de efluente. Diminuindo o
caudal volúmico de efluente e diminuindo o diâmetro do emissário, diga como varia o
caudal de água salgada arrastada pelo jacto?
d) Se utilizar um modelo à escala reduzida para obter a espessura real da pluma (d),
diga que números adimensionais manteria constantes no modelo e no protótipo.
7. ESCOAMENTO VISCOSO EM TUBOS
7.1. Considere a instalação representada na figura em que o fluido circulante é água.
O desnível entre a superfície livre do reservatório e as secções de saída da tubagem
é h  10m . A tubagem é de aço comercial (   0.05mm ) e tem um diâmetro
d  10cm .
a) Calcule o caudal escoado quando a 1ª válvula está fechada. Admita que a 2ª
válvula está completamente aberta.
b) Com a 2ª válvula completamente aberta é possível regular a 1ª válvula de modo a
ter o mesmo caudal nos dois troços. Qual o coeficiente de perda de carga da 1ª
válvula nesta condições? Despreze a perda de carga na bifurcação.
7.2. Um caudal de água corre numa conduta de secção constante, horizontal, cuja
face exterior está à pressão atmosférica, saindo o líquido através de diversos
pequenos furos existentes na conduta. O depósito de alimentação (A) e o depósito
de descarga (E) estão abertos para a atmosfera. É possível observar o nível da água
em dois tubos (B e D) ligados à conduta principal. O diâmetro desta conduta é de
2cm. Na análise deste problema pode desprezar o atrito na conduta e eventuais
perdas de carga nos furos.
a) Relacione Z A com Z B .
b) Relacione Z D com Z E .
c) Calcule o caudal escoado à entrada da conduta sabendo que Z B  1.5m ,
ZD  1.7m e que o caudal escoado nos ejectores é Q  3  10 4 m 3s 1 .
d) Se o tubo estivesse inclinado, mantendo-se as outras condições, a resposta à
alínea anterior seria diferente?. Justifique.
e) Como explica que o escoamento se realiza de A para E apesar de Z D ser
superior a Z B .
f) Substituiu-se a conduta anterior por outra, com novos ejectores e com a área da
secção transversal da conduta reduzida para metade, tendo-se verificado que o
caudal global dos ejectores se mantinha igual, bem como os níveis Z B e Z D nos
tubos. Nestas condições os níveis Z A e Z E alteram-se?
7.3. A água (   1000kgm 3 ,   10 6 m 2 s 1 ) de um reservatório é descarregada
para um outro reservatório a um nível inferior, através de dois tubos, como se indica
na figura. O tubo I é novo e tem as seguintes características: D int erno  5  10 2 m ,
D externo  6.5  10 2 m ,   0.1mm . O tubo II é idêntico mas, por ser antigo, possui
um depósito de calcário com cerca de 5mm de espessura. A rugosidade da
superfície da incrustação calcária é de 2mm.
a) Qual a energia dissipada por m 3 escoado, desde o depósito superior até ao
depósito inferior?
b) Qual o caudal total escoado?
c) Havendo uma ligação entre os dois tubos, a meia altura, há fluxo de água em que
sentido?
d) Calcule a força de atrito no tubo antigo