MA14 - Aritmética .2cm Lista 10 .5cm Unidades 21

MA14 - Aritmética
Lista 10
Unidades 21 e 22
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Unidade 21 - Capı́tulo 11, Seções 1 e 2
11.1.1 Pode o dobro de um número natural deixar resto igual a 9
quando dividido por 26? E quando dividido por 25?
11.1.2 Resolva, quando possı́vel, as congruências:
a) 3X ≡ 5 mod 7;
b) 6X ≡ 21 mod 18;
c) 12X ≡ 36 mod 28;
d) 12X ≡ −36 mod 28;
e) 151X ≡ 11 mod 245.
11.1.3 Seja p um número primo e seja a um número inteiro tal
que p 6 | a. Mostre que a única solução módulo p da congruência
aX ≡ b mod p é x = ap−2 b.
11.1.4 Sejam a, m ∈ Z, com m > 2 e (a, m) = 1. Mostre que a
única solução módulo m da congruência aX ≡ b mod m é
x = aϕ(m)−1 b.
11.1.5 Mostre que a congruência X 2 + 1 ≡ 0 mod 7 não possui
soluções. Conclua que a equação X 2 − 7Y 2 − 14X + 7Y − 6 = 0
não admite soluções inteiras.
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11.2.1 Ache todos os números inteiros que deixam restos 2, 3 e 4
quando divididos por 3, 4 e 5, respectivamente.
11.2.2 Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5
quando dividido por 5, 7 e 9, respectivamente.
11.2.3 Dispomos de uma quantia de x reais menor do que 3 000.
Se distribuirmos essa quantia entre 11 pessoas, sobra R$1, 00; se a
distribuirmos entre 12 pessoas, sobram R$2, 00 e se a distribuirmos
entre 13 pessoas, sobram R$3, 00. De quantos reais dispomos?
11.2.4 Um macaco, ao subir uma escada de dois em dois degraus,
deixa de sobra um degrau; ao subir de três em três degraus,
sobram dois degraus; e ao subir de cinco em cinco degraus, sobram
três degraus. Quantos degraus possui a escada, sabendo que o
número de degraus está entre 150 e 200 ?
11.2.5 Resolva o sistema:
3X ≡ 1 mod 7, 5X ≡ 2 mod 11, 4X ≡ 3 mod 13.
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11.2.6 Levando em consideração que 2275 = 25 × 13 × 7, resolva
a congruência 3X ≡ 11 mod 2275.
11.2.7 Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 5 mod 6.
11.2.8 Resolva o sistema:
X ≡ 2 mod 3, X ≡ 3 mod 4, X ≡ 4 mod 5, X ≡ 2 mod 6.
11.2.9 (Yi Shing, aprox. 700d.C.) Ache os inteiros que deixam
restos 1, 2, 5 e 5 quando divididos respectivamente por 2, 3, 6 e 12.
11.2.10 Sejam F1 , . . . , Fn os n primeiros números de Fermat.
Mostre que existe um número natural N tal que Fi divide
N + i − 1 para i = 1, . . . , n.
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Unidade 22 - Capı́tulo 11, Seção 3
11.3.1 Seja {a1 , . . . , am } um sistema completo de resı́duos
módulo m.
a) Mostre que se a é um inteiro, então {a1 + a, . . . , am + a} é um
sistema completo de resı́duos módulo m.
b) Se (a, m) = 1, então {a · a1 , . . . , a · am } é um sistema completo
de resı́duos módulo m. Mostre que vale a recı́proca.
c) Se p é primo e a um inteiro que não é múltiplo de p, mostre que
ap−1 ≡ 1 mod p (Pequeno Teorema de Fermat).
d) Mostre que se (r , m) = 1, então {a, a + r , . . . , a + (m − 1)r } é
um sistema completo de resı́duos módulo m.
Sugestão. (para c) Considere os dois sistemas completos de
resı́duos mod p: {0, 1, . . . , p − 1} e {0, a · 1, . . . , a(p − 1)} e note
que
1 · · · (p − 1) ≡ ap−1 · 1 · · · (p − 1) mod p.
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11.3.2 Construa as tabelas da adição e da multiplicação para Z6 e
Z7 .
11.3.3 Ache os elementos invertı́veis de Z6 , Z7 , Z8 e Z9 .
11.3.4 Ache os inversos de
a) [5] em Z6
b) [3], [4] e [5] em Z7
c) [3], [5], e [7] em Z8
d) [5], [4] e [8] em Z9
e) [1 951] em Z2 431
f) [3], [5] e [7] em Z8
11.3.5 a) Seja {a1 , . . . , aϕ(m) } um sistema reduzido de resı́duos
módulo m. Mostre que se (a, m) = 1, então {a · a1 , . . . , a · aϕ(m) }
é um sistema reduzido de resı́duos módulo m.
b) Utilize o item anterior para dar uma outra demonstração do
Teorema de Euler.
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11.3.6 Considere Zm para m > 2. Mostre que
(a) Zm tem um número par de elementos invertı́veis;
(b) se [a] é invertı́vel, então −[a] é invertı́vel e [a] 6= −[a].
(c) Mostre que a soma dos elementos invertı́veis de Zm é igual a
[0].
(d) Mostre que a soma de todos os elementos de um sistema
reduzido qualquer de resı́duos módulo m é sempre múltiplo de m.
11.3.7 (Enade 2008) No anel dos inteiros módulo 12, R = Z12 ,
(A) não há divisores de zero.
(B) todo elemento não nulo é invertı́vel.
(C) o subconjunto dos elementos invertı́veis forma um subanel de
R.
(D) a multiplicação não é comutativa.
(E) há exatamente quatro elementos invertı́veis.
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