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Álgebra I
IM-UFRJ
Prova 2 - gabarito
Questão 1.
(a) Determine um inverso de 3 módulo 7, se existir.
3 e 7 são primos entre si, existe um inverso. Como
3.5 = 15 ≡ 1 mod (7),
a classe de 5 é
inverso de 3.
(b) Resolve em
Z
a equação
3x ≡ 2
×5
ambos lados:
(c) Resolve em
Z
mod (7).
x ≡ 3 mod (7).
o sistema:

 3x = 2 mod (7)
x ≡ 1 mod (5)

x = 5 mod (12)
Teorema dos restos Chinês: existe solução única módulo 420,
x = 101 mod (420).
Questão 2.
(a) Calcule o valor
ϕ(91) da função de Euler.
91 = 7 × 13, ϕ(91) = ϕ(7)ϕ(13) = 72.
(b) Quais são os valores possíveis da ordem (multiplicativa) de um inteiro módulo 91?
Os divisores de 72 (são 12).
(c) Enuncie o Teorema de Euler e deduza um inteiro
n
tal que
17n ≡ 1 mod (91). n = 72.
(d) Determine a ordem multiplicativa de
o(17) = 6
módulo 7 (e 13), pois
17 módulo 7 e módulo 13.
76 = 1 mas 72 , 73 (e 74 ) 6= 1.
(e) Deduza a ordem multiplicativa de
Teorema de Euclides,
o(17) = 6
17
módulo 91. 7 e 13 são primos entre si então, pelo
módulo 91.
Questão 3.
(a) Calcule a ordem multiplicativa de 5 módulo 31.
52 ≡ 1
e
53 ≡ 1 mod (31),
então
o(5) = 3
671973 por 31.
≡ 1 mod (31). Então 671973 ≡ (6730 )651 .672 3 ≡ 523 ∼
=
(b) Calcule o resto da divisão euclidiana de
67 ≡ 5 mod (31) e Euler: 6730
(53 )7 .52 ≡ 25 mod (31).
módulo 31.