Média, Mediana e Distância entre dois pontos

Média, Mediana e Distância entre dois pontos
1. (Pucrj 2013) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo
equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1
b) 2
c) 4
d) 2
e) 3
2. (Ufrgs 2012) Os pontos A(1, 2), B(6, 2) e C são os vértices de um triângulo equilátero,
sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eixo das abscissas e a
reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é
1
a)  .
2
b) 
c)
3
.
2
1
.
2
2
.
2
3
.
e)
2
d)
3. (Fgv 2012) No plano cartesiano, M(3, 3), N(7, 3) e P(4, 0) são os pontos médios
respectivamente dos lados AB , BC , e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 0
4. (Fgv 2012) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são,
respectivamente, (1, 4), (–2, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
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5. (Ita 2012) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do
baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a
5
a)
3
b)
97
3
c)
109
3
5
3
10
e)
3
d)
6. (Ufba 2011) Considere, no plano cartesiano, os pontos A(0, 2), B(−2, 4), C(0, 6), A’(0, 0), B’
6

2,0 e um ponto C’ que tem coordenadas positivas.
Sabendo que
, determine o produto das coordenadas do ponto C’.
e
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a
catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa
os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano
cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da
prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos
pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
7. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m,
podemos concluir que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de
vereadores é de
a) 1500 m.
b) 500 5 m.
c) 1000 2 m.
d) 500 + 500 2 m.
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8. (Ufmg 2010) Os pontos A = (0, 3), B = (4, 0) e C = (a, b) são vértices de um triângulo
equilátero no plano cartesiano.
Considerando-se essa situação, é CORRETO afirmar que
a) b 
4
a.
3
b) b 
4
7
a .
3
6
4
a  3.
3
4
3
d) b  a  .
3
2
c) b 
9. (Uff 2010) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro,
perí, significa “em torno de”, e o segundo, metron, significa “medida”.
O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (−1, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5)
a) 10 + 29  26
b) 16 + 29  26
c) 22 + 26
d) 17 + 2 26
e) 17 + 29  26
10. (Ufba 2010) Na figura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que
passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B.
Com base nessa informação, pode-se afirmar:
01) O triângulo BCD é equilátero.
02) A área do setor circular hachurado é igual a

u.a.
4
x
representa a reta r.
2
08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30º.
16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1).
1
4
32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão é um triângulo de área u.a.
3
3
64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido
positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3).
04) A equação y 
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11. (Ibmecrj 2009) Considere o triângulo ABC, onde A (2, 3), B (10, 9) e C (10, 3) representam
as coordenadas dos seus vértices no plano cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB,
então, a medida de MC vale:
a) 2 3
b) 3
c) 5
d) 3 2
e) 6
12. (Ufrgs 2008) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2, 1) vértices consecutivos de um
quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é
a) 2.
b) 2 2 .
c) 3 2 .
d) 5.
e) 5 2 .
13. (Puc-rio 2007) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o
ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
14. (G1 - cftmg 2005) Os pontos A(- 5, 2) e C(3, - 4) são extremidades de uma diagonal de um
quadrado. O perímetro desse quadrado é
15. (Puc-rio 2004) Sejam A e B os pontos (1, 1) e (5, 7) no plano. O ponto médio do segmento
AB é:
a) (3, 4)
b) (4, 6)
c) (-4, -6)
d) (1, 7)
e) (2, 3)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Como o triângulo ABC é equilátero, segue que
AC  AB  ( 1  1)2  (0  0)2  2.
Resposta da questão 2:
[E]
sen 60 
3
.
2
Resposta da questão 3:
[C]
D é ponto médio de PN, logo:
xD 
7  4 11
 .
2
2
D é ponto médio de CM, logo:
xC  3 11

 xC  8.
2
2
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Resposta da questão 4:
[B]
M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura.
Na diagonal AC, temos:
xM 
1 0 1

2
2
yM 
4  8 12

6
2
2
Logo, M(1/2, 6)
Na diagonal BD, temos:
xD  2 1
  xD  3
2
2
y 6
6 D
 yD  6
2
Logo, temos D(3, 6) e 3 + 6 = 9.
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Resposta da questão 5:
[B]
Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos:
xG 
040 4

3
3
yG 
036
3
3
4 
Logo, G  ,3 
3 
Calculando a distância do ponto G ao ponto A.
2
16
4

d    0   32 
9 
9
3

97
3
Resposta da questão 6:
Pelas informações do enunciado, os dois triângulos são retângulos e isósceles, portanto B’C’
deverá ser igual a 6 2 e C’ será dado por: ( 6 2 . 6 2 ). Logo, o produto das coordenadas de
C’ será 6 2 . 6 2 = 72.
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Resposta da questão 7:
[B]
Sejam A(1, 1) e B(5, 3), respectivamente, as coordenadas da catedral e da câmara de
vereadores. Assim, a distância entre os pontos A e B é
dAB  (5  1)2  (3  1)2  20  2 5.
Como a catedral dista 2 unidades da prefeitura, segue que a escala do gráfico é
2
1

.
500 250
Portanto, a distância real entre a catedral e a câmara é 250  2 5  500 5 m.
Resposta da questão 8:
[B]
d A, C  d A, B
b

(a  0) 2  (b  3) 2  (a  4) 2  (b  0) 2  a 2  b 2  6b  9  a 2  8a  16  b 2  8a  6b  7  b 
8a  7

6
4a 7
3 6
Resposta da questão 9:
[E]
x 2  5 2  2 2  x  29
y 2  5 2  12  y  26
Logo
P = 7  10  29  26
P = 17 +
29  26
y
7
5
x
-1
y
5
5
1
8
9
x
10
Resposta da questão 10:
02 + 04 = 06
01) Falsa, o triângulo é retângulo.
 .12 
02) Verdadeira, A =
.
4 4
04) Verdadeira. Observe que a imagem de zero é zero e que a imagem de quatro é 2.
1
08) Falso, é um ângulo cuja tangente é .
2
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16) Não o ponto simétrico fica numa reta perpendicular á reta dada como referência.
32) Falso, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Logo a área deveria
4
ser .
9
64) Falso, o ponto correto é (0,3 2 ) .
Resposta da questão 11:
[C]
 x  xB y A  yB   2  10 3  9 
M  A
,
,
  
  (6, 6)
2
2
2 

  2
MC 
(10  6)2  (3  6)2 
25  5.
Resposta da questão 12:
[E]
AB 
32  (4) 2  5
d  AB 2  5 2 .
Resposta da questão 13:
[C]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[A]
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