Lista de exercícios – n° 03 – Resolvida

Lista de exercícios – n° 02 – Resolução - Probabilidade e Estatística – PRE-401
Prof. Dr. Marcelo de Paula Corrêa
Medidas de Tendência Central
1) As análises dos níveis de colesterol HDL (“colesterol bom”) no sangue medidos no sangue de
cinco pacientes foi de 29, 55, 58, 61 e 63 mg/dL de sangue. a) Determine a média aritmética dos
níveis observados; b) Essa média é típica dos níveis registrados?
MÉDIA ARITMÉTICA = [∑(.x1,x2,x3..,xn)]/n
MÉDIA ARITMÉTICA = [∑(29,55,58,61,63)]/5 = 53,2
A média não é típica dos níveis registrados, com a existência de um valor muito discrepante,
aqui no caso 29, a média se desloca se apresentando menos representativa do grupo de dados. Se
esse valor não fosse considerado a nova média seria de 59,26 que é um valor mais representativo do
conjunto de dados.
2) Entre 100 números, vinte são 4, quarenta são 5, trinta são 6 e os restantes são 7. Determinar a
média aritmética deste conjunto de números.
MÉDIA ARITMÉTICA = [∑(f1.x1,f2.x2,f3.x3..,fn.xn)]/∑(f)
MÉDIA ARITMÉTICA = [∑(20.4,40.5,30.6,10.7)]/100 = 5,3
3) Utilize a tabela dada no exercício 1 da lista de exercícios n° 01 e calcule a média das emissões
ocorridas naquele laboratório.
Emissão (μg/L)
50 - 59
60 - 69
70 - 79
80 - 89
90 - 99
100 - 109
110 119
Total
fr
8
10
16
14
10
5
2
65
PM (x)
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
104,5
114,5
∑(f.x)
f.x
436
645
1192
1183
945
522,5
229
5152,5
MÉDIA = ∑(f.x) / ∑(f) = 79,27
4) Usando a quarta propriedade das médias aritméticas, determine a média aritmética dos números
5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 e 10, escolhendo para a “média arbitrada” A, os valores (a) 9 e (b) 20.
(a) 9,375
(b) 9,375
5) A tabela abaixo reproduz uma tabela, apresentada em aula, com os índices de massa corporal de
50 indivíduos:
18,73
21,87
17,92
23,24
32,41
32,37
22,76
26,2
18,69
19,98
21,38
21,26
23,95
30,61
19,59
26,37
21,79
28,62
22,31
30,83
26,03
20,52
26,56
28,41
24,97
19,68
20,7
22,41
25,86
24,38
23,66
22,1
25,53
26,14
21,36
26,31
20,38
30,73
26,72
24,03
26,14
28
31,23
26,78
17,99
34,6
26,94
30,82
24,3
24,73
23,66
23,95
24,03
24,3
24,38
24,73
24,97
25,53
25,86
26,03
26,14
26,14
26,2
26,31
26,37
26,56
26,72
26,78
26,94
28
28,41
28,62
30,61
30,73
30,82
30,83
31,23
32,37
32,41
34,6
Determine a mediana:
a) Usando um rol a partir dos dados da tabela
17,92
17,99
18,69
18,73
19,59
19,68
19,98
20,38
20,52
20,7
21,26
21,36
21,38
21,79
21,87
22,1
22,31
22,41
22,76
23,24
A mediana será o dado (x25 + x26)/2 = 24,55
b) Usando a distribuição de freqüência com 5 classes
ac = AT/C = 16,68/5 = 3,34
LIMITE DE CLASSE
17,92
21,25
21,26
24,59
24,60
27,93
27,94
31,27
31,28
34,61
fa
10
15
14
8
3
A mediana é o ponto central da série de dados. Temos 25 dados nas duas primeiras classes e outros
25 dados entre a 3ª e a 5ª classes. Portanto, a mediana é dada aproximadamente por 24,60
Mostre:
c) Como deduzir a mediana a partir do histograma
A mediana deve dividir o histograma em duas áreas iguais. Como a divisão se dá justamente entre a
2ª e a 3ª “caixa” então o valor é aproximadamente 24,60.
d) Como deduzir a mediana a partir de uma ogiva percentual
Idem... Basta inferirmos a mediana a partir do valor centra.
6) Calcule a moda da distribuição de freqüência do exercício anterior
Pelo rol, vemos que a moda é 26,14. No entanto, ao usarmos a distribuição de freqüências devemos
calcular a moda
 ∆1 
 5 
x̂ =
L1 + 
21, 255 + 
24, 04
 .c =
 .3,34 =
 5 +1
 ∆1 + ∆ 2 
Onde
∆1 = 15 − 10 = 5
∆ 2 = 15 − 14 = 1
Veja que a moda calculada difere da moda obtida no rol...
7) Determine a média aritmética, a média geométrica, a média harmônica, a média quadrática, a
mediana e a moda dos seguintes conjuntos de números
a) 1; 4; 4; 8; 19; 3; 37; 12; 32; 3; 3; 9; 18; 14
b) 31,2; 31,7; 39,4; 33,8; 30,3; 36,9; 37,0
a)
MÉDIA ARITMÉTICA= 11,93
MÉDIA GEOMÉTRICA= 7,59
MÉDIA HARMÔNICA= 4,58
MÉDIA QUADRÁTICA= 16,09
MEDIANA= 8,5
MODA = 3
b)
MÉDIA ARITMÉTICA= 34,33
MÉDIA GEOMÉTRICA= 34,18
MÉDIA HARMÔNICA= 34,03
MÉDIA QUADRÁTICA= 34,48
MEDIANA= 33,8
MODA = NÃO APRESENTA
8) A contagem de bactérias, uma certa cultura, aumentou de 1000 para 4000 em três dias. Qual foi a
percentagem média de acréscimo por dia?
Vamos chamar de r a razão de crescimento das bactérias. Assim, temos:
1° dia: 1000 + 1000.r = 1000.(1 + r)
2° dia: 1000.(1 + r) + 1000.(1 + r).r = 1000(1 + r)2
3° dia: 1000.(1 + r) 2 + 1000.(1 + r) 2.r = 1000(1 + r)3
No 3° dia, temos 4000 bactérias. Portanto:
(1000 + r )3 = 4000 → (1 + r )3 = 4 → r = 3 4 − 1 → r = 0,587 → r = 58, 7%
9) Um partícula viaja de um ponto A para um ponto B à velocidade média de 30 km/h e volta de B
para A, pelo mesmo caminho, à velocidade média de 60 km/h. Qual é a velocidade média da
viagem completa ? (dica: use a média harmônica)
H = n/∑(1/x)
H = 2/[(1/30) + (1/60)]
H = 40 km/h
10) Determine: (a) os quartis Q1, Q2 e Q3; b) os decis D1, D2, ..., D10; e c) o 35° percentil da
distribuição dada na tabela do exercício 1 da lista de exercícios n° 01.
Ordem do Número Ri
16,5
Q1 = 67,65 ~ 68
33
Q2 = 78,44 ~ 79
49,5
Q3 = 90,9 ~ 91
Ordem do Número Ri
6,6
13,2
19,8
26,4
33
39,6
46,2
52,8
59,4
Ordem do Número Ri
23,1
P35= 72,87 ~ 73
D1 =
D2 =
D3 =
D4 =
D5 =
D6 =
D7 =
D8 =
D9 =
57,43
64,68
71,01
74,73
78,44
83,60
87,84
98,82
102,52
~
57
65
71
75
78
84
88
99
103