Aula 02 Médias - CEM • Centro de Estudos Matemáticos

Aula 02 – mtm B
MATEMÁTICA
BÁSICA
Estatística
Medidas de Tendência Central
Para melhor caracterizar um conjunto de números de uma
amostra, é preciso escolher um valor único que represente todos
os outros valores dessa amostra. Poderiam ser escolhidas
inúmeras medidas, mas existem algumas que sugerem um
concentração em torno delas, sendo por isso denominadas
medidas de tendência central. Para uma amostra, as três
medidas mais conhecidas são a média aritmética, a mediana e a
moda.
Estatística
Medidas de Dispersão ou Variabilidade
É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável
em torno de um valor de tendência central (média ou mediana)
tomado como ponto de comparação. Para uma amostra, as duas
medidas mais conhecidas são o desvio padrão e a variância.
variância
Σ( xi − x )
ρ=
n
desvio padrão
2
Σ( xi − x )
σ=
n
2
Estatística
Medidas de Tendência Central
Rol: Organização dos dados de uma pesquisa em ordem
crescente ou decrescente. Quando dispostos desta maneira, fica
fácil visualizar as principais medidas de tendência central.
Mediana (Md): A mediana é o valor que ocupa a posição central
do conjunto de dados, estando os dados em ordem crescente ou
decrescente. Quando a quantidade de dados é par, a mediana é
dada pela média aritmética das duas posições centrais.
n +1
Posição da mediana:
2
Estatística
Medidas de Tendência Central
Moda (Mo) : A moda é o valor que mais aparece (aquilo que está
na moda). Quando há apenas uma moda, a amostra denominase unimodal; duas modas bimodal; três, trimodal e quatro ou
mais modas, polimodal ou multimodal. Se todos os valores
ocorrem a mesma quantidade de vezes, a amostra denomina-se
amodal.
Estatística
Medidas de Tendência Central
Exemplo 1: Encontre a média a mediana e a moda para o
seguinte conjunto de dados: 2, 4, 6, 1, 5, 7, 9, 10, 2, 4, 6, 4.
Resolução:
2 + 4 + 6 +1+ 5 + 7 + 9 +10 + 2 + 4 + 6 + 4 60
=5
X=
=
12
12
Média:
Rol:
1 2 2 4
4
4 5 6 6 7 9 10
Moda:
Mediana:
Posição da mediana:
n +1
2
=
12 +1
2
= 6, 5ª
Md =
4+5
2
= 4, 5
Mo = 4
Estatística
Medidas de Tendência Central
Exemplo 2: As notas de um candidato no vestibular UFSC/2007 foram as
seguintes: 7,8 em Língua Portuguesa, 6,9 em Redação, 8,1 em Língua
Estrangeira, 6,2 em Geografia, 6,2 em Biologia, 9,5 em Matemática, 8,1
em Física, 7,4 em História e 8,4 em Química. A nota média, a nota
mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:
Resolução:
Média: X =
Rol:
7, 8 + 6, 9 + 8,1+ 6, 2 + 6, 2 + 9, 5 + 8,1+ 7, 4 + 8, 4
9
Moda:
Posição da mediana:
2
9
= 7, 6
6,2 6,2 6,9 7,4 7,8 8,1 8,1 8,4 9,5
Mediana:
n +1
=
68, 6
=
9 +1
2
= 5ª
Md = 7, 8
Mo = 6,2 e 8,1 (Bimodal)
Médias
Média: Uma média de uma lista de números é um valor que
pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa
característica da lista.
Média Aritmética Simples: Quando a característica é a soma dos
elementos.
∑ xi
X=
n
Exemplo 1: Calcule a média aritmética simples dos números
pares naturais menores que 10.
Resolução:
{0, 2, 4, 6, 8}
X=
0+2+4+6+8
5
=
20
5
=4
Médias
Média Aritmética Ponderada: Média associada à valores que
vem aos pares. Ex.: tabelas, histogramas, gráficos, ...
X=
∑ Pi .xi
∑ Pi
Exemplo 1: Comprei 20 kg de ração por R$ 6,00 cada quilo, 35
kg por R$4,00 cada quilo e 70 kg por R$1,00 cada quilo. Qual o
preço médio que paguei por cada quilo ?
Resolução:
“quando a
pergunta é um, o
peso é o outro.”
20.6 + 35.4 + 70.1
X=
= 2, 64
20 + 35 + 70
Médias
Média Geométrica: Quando a característica é o produto dos
elementos.
X = n Πxi
Exemplo 1: Calcule a média geométrica dos números 4 e 9.
Resolução:
X = 2 4.9 = 2 36 = 6
Médias
Média Harmônica: Quando a característica é a soma dos
inversos dos elementos.
n
X=
1
∑
xi
Exemplo 1: Calcule a média harmônica dos números 2, 3 e 6.
Resolução:
X=
1
2
+
3
1
3
+
3
=
=3
1 3 + 2 +1
6
6
Médias
Média Aritmética Simples X Média Harmônica
Média Aritmética Simples
Média associada à valores
diretamente proporcionais.
Média Harmônica
Média associada à valores
inversamente proporcionais.
Médias
Harmônico Global: Média associada também a valores
inversamente proporcionais, porém todos os agentes atuam
sobre uma mesma ocorrência. Logo, podemos usar a média
harmônica com n = 1.
1
X=
1
∑
xi
Pode-se usar também as fórmulas de harmônico global.
contribuindo
X=
x.y
x+y
contrariando
X=
x.y
x-y
Médias
Harmônico Global:
Exemplo 1: Baiano faz um almoço em 3 minutos, Erivaldinho faz
o mesmo almoço em 6 minutos. Quanto tempo eles levariam se
fizessem o mesmo almoço juntos?
Resolução:
3.6
18
X=
3+6
=
9
= 2min
Exemplo 2: Baiano faz um castelo de areia em 6 minutos,
Erivaldinho desfaz o mesmo castelo em 10 minutos. Quanto
tempo o castelo estaria pronto se as crianças brincassem juntas?
Resolução:
X=
10.6
10 - 6
=
60
4
= 15min
Médias
Reconhecimento de Média
Exemplo 1: (SBM) Uma empresa produziu, durante o primeiro
trimestre 500, 200 e 200 unidades, em janeiro, fevereiro e março,
respectivamente. Qual foi a produção média mensal nesse
trimestre :
Média Aritmética Simples
Resolução:
X=
500 + 200 + 200
3
=
900
3
= 300unidades
Médias
Reconhecimento de Média
Exemplo 2: (SBM) Uma empresa aumentou sua produção
durante o primeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e em
fevereiro, as taxas de aumento foram de 21% e de 44%,
respectivamente. Qual foi a taxa média de aumento mensal
nesse bimestre:
Média Geométrica
Resolução:
121 144 11 12 132
121 144
=
.
=
.
=
X=
.
= 1, 32
10
10
100
100 100
100 100
Taxa média de aumento de 32% ao mês.
Médias
Reconhecimento de Média
Exemplo 3: (SBM) Um automóvel subiu uma ladeira a uma
velocidade média de 60km/h e, em seguida, desceu a mesma
ladeira à velocidade média de 100km/h. A velocidade média
desse veículo no percurso inteiro foi de:
Média Harmônica
Resolução:
X=
2
1
60
+
2
2
= 75km / h
=
=
1
5+3
8
100
300
300
Médias
Reconhecimento de Média
Exemplo 4: (IME) Uma das grandes aplicações da média
harmônica, é no sistema financeiro, onde ela é usada para
calcular o custo médio de ações compradas durante um período.
Analise os dois estudos de caso e resolva cada um deles :
Caso 1, um investidor compra R$ 500,00 em ações todo mês
durante dois meses. Se os preços na hora de compra forem de
R$4 e R$6 , então o preço médio que o investidor pagou por
ação é:
Caso 2, um investidor compra 500 ações por mês, Se os preços na
hora de compra forem de R$4 e R$6 , então o preço médio que o
investidor pagou por ação é:
Tabelas e Histogramas
• (FUVEST) O histograma a seguir apresenta a
distribuição de freqüência das faixas salariais numa
pequena empresa. Com os dados disponíveis,
pode-se concluir que a média desses salários é,
aproximadamente,
Aula 02 – mtm B
FIM