MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
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FÍSICA EXPERIMENTAL III José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS “ A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos – o Universo – mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática” – Galileu Galilei Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Formar uma hipótese Fazer observações (Medidas de grandezas físicas) Testar hipótese/Fazer experimentos Novos experimentos Organizar e analisar dados (Tratamento de Dados) Não Erro nos experimentos? Os experimentos e observações suportam a hipótese? Sim! Fazer conclusões Publicar resultados Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 3 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Algumas definições importantes: grandeza física 1) Grandeza física: é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza. a) Qualitativa: uma grandeza descreve qualitativamente um conceito porque para cada noção diferente pode haver (pelo menos em princípio) uma grandeza diferente e vice-versa. a) Quantitativa: uma grandeza descreve quantitativamente um conceito porque o exprime em forma de um binário de número e unidade. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 4 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Grandeza física Exemplos: corrente elétrica, diferença de potencial elétrico, resistência elétrica, capacitância, comprimento, tempo. As grandezas físicas são divididas em: a) Grandezas fundamentais (independentes): massa, comprimento e tempo, que como se sabe formam o SI (Sistema Internacional). b) Grandezas derivadas (dependentes): corrente elétrica, diferença de potencial elétrico, resistência elétrica, etc… Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 5 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Como medir uma grandeza física? Toda grandeza física deve ser passível de ser medida. Então, surge a pergunta: como medir uma grandeza física? Medir uma grandeza física significa compará-la com outra, da mesma espécie, definida como unidade, para verificar a relação numérica entre elas. L=4,6 pés Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 6 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas e erros experimentais Toda medida traz consigo erros intrínsecos, isto é associados ao processo de medição. Qual o valor da medida do volume do líquido dentro da proveta? É 17 mL? É 18 mL? Como definir cientificamente valor deste volume? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos o 7 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas analógicas e erros experimentais: medidas elétricas Qual o valor da medida de diferença de potencial elétrico fornecido pelo voltímetro abaixo? É 40 V? É 45 V? Como definir de forma científica o valor desta ddp? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 8 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas e erros experimentais: medidas elétricas digitais Qual o valor da medida de diferença de potencial elétrico fornecido pelo voltímetro abaixo? É 3,999 V? Qual medida? a confiança nesta Qual é a precisão desta medida? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 9 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Apresentação das medidas e seus erros e unidades Assim, a toda medida experimental associamos um ERRO. Este ERRO experimental deve fazer parte do resultado da medição. G = [M(G) ± ∆M)] U G ⇒ Grandeza ΔM ⇒ Erro da medida M ⇒ Medida U ⇒ Unidade Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 10 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Exemplos da apresentação de medidas 17 mL < V < 18 mL V = (17,7 ± 0,5) mL 45 V < V < 46 V V = (42 ± 2) V Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 11 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas diretas Em medidas diretas o valor desconhecido da grandeza é comparado com o valor padrão. Não levando em conta a medida do erro experimental, qual o comprimento do pedaço de madeira? L = 4,57 cm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 12 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas indiretas Já em medidas indireta as mesmas são realizadas efetuando-se operações matemáticas com os resultados das medidas diretas. Qual a área do pedaço de madeira? A área do pedaço de madeira é calculada a partir das medidas de comprimento e largura do mesmo. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 13 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Medidas indiretas: o cálculo A = L⋅H L = 4,57 cm H = 0,43 cm A = 4,54 cm × 0,43 cm = 1,9522 cm2 A = 2,0 cm2 Individualmente, as medidas de L e H apresentam erros. Consequentemente, a medida indereta da área A também possui erros!!! Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 14 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO Filosofia básica no laboratório A person with a watch knows what time it is. A person with two watches is never sure. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 15 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Como distinguir algarismos significativos Todos os números obtidos em uma medida, acompanhados de um último duvidoso são chamados de algarismos significativos. Ou seja, na prática algarismos significativos de uma medida são aqueles que temos plena certeza, mais um duvidoso. O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escala do instrumento de medida... …logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala do instrumento de medida. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 17 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplos de algarismos significativos: medidor analógico V = (17,7 ± 0,5) mL V = (42 ± 2) V (17,7 mL): três A.S. (42 V): dois A.S. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 18 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplos de algarismos significativos: medidor digital V = (3,999) V t = (27) °C 3,999 V: 4 A.S. 27 °C: 2 A.S. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 19 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Algarismos significativos e instrumentos de medida O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento de medida usado. 32.33 0C 32.3 0C Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 20 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Algarismos significativos: exemplos de réguas Réguas com diferentes graduações fornecem a mesma medida com número de algarismos significativos distintos. dm cm mm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 21 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Réguas e o número de algarismos significativos dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada régua centimetrada régua milimetrada Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 22 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Medindo o comprimento da barra com cada régua... dm cm mm Instrumento de Medida L régua decimetrada 1,1 dm régua centimetrada 11,3 cm régua milimetrada 113,4 mm Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos Suposição…”chute”: Depende do olho do medidor! Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 23 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS O número de algarismos significativos em cada caso dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,1 dm ? régua centimetrada 11,3 cm ? régua milimetrada 113,4 mm ? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 24 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS O número de algarismos significativos em cada caso é... dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 25 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais um exemplo... dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada régua centimetrada régua milimetrada Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 26 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS O número de algarismos significativos em cada caso dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,0 dm ? régua centimetrada 10,0 cm ? régua milimetrada 100,0 mm ? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 27 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS O número de algarismos significativos em cada caso é... dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,0 dm 2 régua centimetrada 10,0 cm 3 régua milimetrada 100,0 mm 4 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 28 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Agora é a hora de vocês pensarem um pouco... ? Qual o comprimento da barra acima. 1) 4,5 cm 2) 4,54 cm 3) 4,547 cm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 29 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Vamos pensar mais um pouco... Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 30 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E agora, múltiplas alternativas... A. 0,030 m 1 2 3 B. 4050 litros 2 3 4 C. 0,0008 g 1 2 4 D. 3,00 m 1 2 3 E. 0,8340 3 5 4 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 31 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E as respostas são... A. 0,030 m 1 2 3 B. 4050 litros 2 3 4 C. 0,0008 g 1 2 4 D. 3,00 m 1 2 3 E. 0,8340 3 5 4 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 32 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Algumas definições A precisão da medida de uma grandeza física refere-se a reprodutibilidade desta medida quando a repetimos sob as mesmas condições. Em outras palavras, quando falamos de precisão estamos falando de quão próximo as medidas estão uma da outra quando as repetimos sob as mesmas condições. Já o termo acurácia refere-se a quão próximo a medida realizada está do valor real, previamente adotado como referência Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 34 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e preciso Seja uma pessoa em um jogo de dardos, testando a sua precisão e acurácia. No caso em questão apresenta alta acurácia e precisão. ele alta A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos entre si, com baixa dispersão. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 35 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e preciso No caso em questão apresenta baixa acurácia e precisão. ele alta A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. Já a alta precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, diminuindo a sua dispersão. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 36 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: acurado e não preciso No caso apresenta alta precisão. em questão ele acurácia e baixa A alta acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem próximos ao centro do alvo. Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si, aumentando a sua dispersão. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 37 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e não preciso Por fim, no caso em questão ele apresenta baixa acurácia e baixa precisão. A baixa acurácia está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes do centro do alvo. Já a baixa precisão está associada ao fato de todos os seus tiros estarem distantes entre si. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 38 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Distinção entre precisão e acurácia: conclusão Observamos agora as quatro situações e analisamos as diferenças entre elas. A precisão e a acurácia de uma medida estão associadas aos tipos de erros cometidos durante o processo de medição. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 39 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Tipos de erros cometidos durante a medição Erros podem ser divididos em erros sistemáticos e erros aleatórios. a) Erro sistemático: acontece quando todos os valores medidos são muito altos ou muito baixos do que o valor real. b) Erro aleatório: na ausência de erro sistemático, ocorre quando alguns valores são muito maiores e outros muito menores do que o valor real. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 40 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Erros: precisão e acurácia no laboratório Preciso e acurado Preciso mas não acurado Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 41 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Classificação dos erros segundo as medidas realizadas Erro aleatório Erro sistemático Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 42 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Instrumentos de medida e precisão dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 Qual a régua mais precisa? Por quê? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 43 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Definição de instrumento de medida mais preciso dm cm mm Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos Significativos Obtidos régua decimetrada 1,1 dm 2 régua centimetrada 11,3 cm 3 régua milimetrada 113,4 mm 4 É a régua milimetrada, pois tem maior número de A. S.. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 44 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Medida e escala do instrumento de medida O resultado de uma medida fornece informação sobre a escala do instrumento adotado para a medição. Considere a medida apresentada abaixo. L = 11,3 cm Perguntamos: qual a escala da régua usada nesta medição. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 45 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA A função do algarismo duvidoso Para responder a esta pergunta devemos olhar para o último algarismo significativo à direita do número apresentado. L = (17,3) cm Como vimos, este último algarismo significativo é o algarismo duvidoso. Desta forma, concluímos que a régua usada é centimetrada pois o algarismo duvidoso está na primeira casa decimal, que é a casa indicadativa de milímetro. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 46 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Mudanças no uso de unidades Esta mesma medida pode ser escrita com a unidade dada em metros. L = 11,3 cm = 0,113 m Perguntamos agora para o número apresentado na forma L = 0,113 m qual é a escala da régua utilizada? Será que, por apresentarmos a medida em m estamos necessariamente usando agora uma escala em metros? Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 47 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA Conclusões finais A mudança na escala (de cm para m) não altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. O número 11,3 cm = 0,113 m indica que temos 0 m, 1 dm, 1 cm e 3 mm. Isto indica que o algarismo duvidoso está na casa dos mm, e que temos certeza até a casa dos cm. Logo, podemos concluir sem sombra de dúvida que com a medida 11,3 cm = 0,113 m, a escala usada é a centimetrada. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 48 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA E para finalizar.... Um cartoon... Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 49 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Relembrando... Abaixo mostramos uma tabela com os principais prefixos usados no SI. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 51 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A regra geral da notação científica Recapitulando: a mudança de unidades de uma medida de uma grandeza física altera a quantidade de algarismos significativos obtidos na medida. 18,7 dm ≠ 1870 mm 18,7 dm = 187× ×10 mm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 52 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A conveniência da notação científica A notação científica é uma forma conveniente de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Em notação científica qualquer número pode ser escrito como o produto de um número real entre 1 e 10 vezes o número 10 elevado a uma dada potência (número inteiro). Seja, por exemplo o número 215; vamos escrevê-lo em notação científica!! 215 = 2,15 ×100 = 2,15 ×10 ×10 215 = 2,15 × 10 2 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 53 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA A conveniência da notação científica Observe que no caso do número 215, movemos a vírgula duas posições para a esquerda, e assim o expoente da potência de dez é dois. Seja, agora o número 0,00215; vamos escrevê-lo também em notação científica!! 1 1 1 0,00215 = 2,15 × = 2,15 × = 2,15 × 3 1000 10 ×10 ×10 10 0,00215 = 2,15 ×10 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos −3 54 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Exemplos Sejam as medidas abaixo, as quais convertemos para micrômetros. d = 30 dm → d = 30× ×105 µm d = 300 cm → d = 300× ×104 µm d = 3000 mm → d = 3000× ×103 µm Lembremos que o número antes da vírgula deve ser um número entre real 1 e 10. d = 30 dm → d = 30× ×105 µm → d = 3,0× ×106 µm d = 300 cm → d = 300× ×104 µm → d = 3,00× ×106 µm d = 3000 mm → d = 3000× ×103 µm → d = 3,000× ×106 µm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 55 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA Exemplos Digamos o número de A.S. dos números da tabela abaixo. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 56 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 1 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados deve ser AUMENTADO de uma unidade. Por exemplo, escreva o número abaixo com três algarismos significativos. 5,379 5,379 Como o número à direita do duvidoso é 9 > 5, então arredondamos “para cima”! 5,38 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 58 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 2 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números INFERIORES a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior aos desprezados NÃO SE ALTERA. Por exemplo, escreva o número abaixo com dois algarismos significativos. 0,2413 0,2413 Como o número à direita do duvidoso é 13 < 50, então arredondamos “para baixo”! 0,24 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 59 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3 Se os algarismos desprezados em um resultado numérico formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, 5000, 50000, etc., deve-se proceder como segue: a) Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for IMPAR, deve ser AUMENTADO em uma unidade; b) Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior à parte desprezada for PAR deve ficar INALTERADO. (ZERO TAMBÉM É PAR!). Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 60 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3: exemplo Por exemplo, escreva o número abaixo com dois algarismos significativos. 1,9500 1,9500 Como o número à direita do duvidoso é 00, então devemos olhar para o número à direita deste duvidoso. Como este número é ímpar (9 é impar!!), então arredondamos “para cima”, aumentando o número apresentado! 2,0 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 61 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO Regra 3: mais um exemplo Por exemplo, escreva o número abaixo com dois algarismos significativos. 3,8400 3,8400 Como o número à direita do duvidoso é 00, então devemos olhar para o número à direita deste duvidoso. Como este número é par (8 é par!!), então arredondamos “para baixo”, mantendo o número como apresentado! 3,8 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 62 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Objetivos da Disciplina 8. FEX3001 e o Curso de Engenharia Elétrica Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução – O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefixos do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Ideias gerais Como vimos anteriormente o resultado de uma medida indireta é efetuada utilizando-se operações matemáticas com números obtidos de medidas diretas. Além disso, em inúmeras situações é necessário efetuar uma ou mais operações matemáticas com resultados de medidas obtidas com instrumentos de precisão diferentes. Há situações em que se podem obter medidas com diferentes números de A.S. com um mesmo aparelho de medida. Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 65 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para adição e subtração O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 25,2 + 1,34 _______ 26,54 Resposta: 26,5 uma casa decimal duas casas decimais uma casa decimal Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 66 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos O resultado da adição de várias medidas de uma mesma grandeza física não pode ter maior número de algarismos significativos, na sua parte decimal, do que a parte decimal mais pobre das parcelas. 83,5 ml + 23,28 ml _______ 106,78 Resposta: 106,8 ml 865,9 ml - 2,8121 ml _________ 863,0879 ml Resposta: 863,1 ml Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 67 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Pense um pouco... A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 1) 256,75 2) 256,8 3) 257 B. 58,925 - 18,2 = 1) 40,725 2) 40,73 3) 40,7 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 68 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E o resultado correto é... A. 235,05 + 19,6 + 2,1 = 1) 256.75 2) 256,8 3) 257 B. 58,925 - 18,2 = 1) 40.725 2) 40.73 3) 40,7 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 69 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para multiplicação e divisão O resultado da multiplicação de várias medidas não pode ter maior número de algarismos significativos do que o “mais pobre” dos fatores. 9,2 cm × 6,8 cm × 0,3744 cm = 23,4225 cm3 = 23 cm3 1,540 V 1,540 V 1540 ⋅ = ⋅ = Ω −3 3,30 mA 3,30 ×10 A 3,30 = 466,667 = 467 Ω Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 70 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Mais exemplos 1,52834 dm × 3,38 cm =15,2834 cm × 3,38 cm = = 51,657892 cm = 51,7 2 cm Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 2 71 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Agora é com vocês... A. 2,19 X 4,2 = 1) 9 2) 9,2 3) 9,198 B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 6× ×10 2) 27 3) 27,323 C. 57,38 ÷ 2,1= 1) 27,3238 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 72 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E as respostas corretas são... A. 2,19 X 4,2 = 1) 9 2) 9,2 3) 9,198 B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 6× ×10 C. 57,38 ÷ 2,1= 1) 27,3238 2) 27 Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 3) 27,323 73 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Regra para operações mistas Regra geral: cada operação deve ser feita respeitando sua característica, priorizando-se as somas e subtrações em relação às multiplicações e divisões. Regra do “bom senso”: o resultado final deve conter a mesma quantidade de algarismos significativos que a medida direta mais pobre! Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 74 MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Exemplo Considere que em um circuito RLC em série foram medidas as seguintes grandezas físicas: frequência f = 60 Hz, indutância L = 18,91 mH, capacitância C = 15,42 µF, resistência R = 173,0 Ω. Determine a impedância Z deste circuito. 1 Z = R + 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ L − 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C 2 2 Z = 2,4 × 10 2 Ω Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos 75
