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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA Nº 16
CONTEÚDO: GEOMETRIA NO ESPAÇO - SÓLIDOS
1 - OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Os sólidos geométricos são regiões do espaço limitadas por uma superfície fechada. Eles estão
constantemente ao nosso redor. Uma fruta, uma bola de futebol, um dado, as pirâmides do Egito,
são exemplos de sólidos geométricos.
Um sólido geométrico é chamado de poliedro quando apresenta um número finito de face,
sendo as faces formadas por polígonos. Entre os poliedros podemos destacar, como exemplo: o
cubo, o paralelepípedo, a pirâmide, etc.
São sólidos não poliédricos: o cone, a esfera, o cilindro, entre outros.
Nos poliedros destacam-se:
(1) Faces - são os polígonos que limitam do poliedro (ABCD).
(2) Arestas - interseção de duas faces (AB)
(3) Vértice - intersecção de arestas (A).
Considerando o sólido acima, temos seis faces, 12 arestas e 8 vértices.
Sendo as faces polígonos, o número de arestas será igual à metade do número de lados dos
polígonos. Tomando, por exemplo, um poliedro formado por 6 faces triangulares e uma hexagonal, o
número de arestas será igual a 12, pois, (6 x 3 + 1 x 6)/2 = 12.
As faces que concorrem em um mesmo vértice de um poliedro constituem o que se chama ângulo
poliédrico cujo conceito pode ser estendido para a situação quando as arestas são coplanares. A
medida do ângulo poliédrico é dada pela soma dos ângulos de suas faces.
Como pode ser observado na figura da direita, onde as arestas coplanares, que a medida do
ângulo poliédrico é menor ou igual a 360º.
Aplicação 1: Em um dos vértices de um poliedro concorrem quatro faces sendo duas quadradas e
duas por triângulos eqüiláteros. Qual é a medida do ângulo poliédrico formado nesse vértice?
Solução: Como os ângulos internos de um quadrado valem 90º e os dos triângulos eqüiláteros
valem 60º, o ângulo poliédrico será 90º + 90º + 60º + 60º = 300º.
Aplicação 2: Os ângulos de quatro das cinco faces de um ângulo poliédrico medem: 90º, 70º, 60º,
80º. O ângulo da quinta face somente não poderá ser:
(a) 10º (b) 20º (c) 40º (d) 50º (e) 70º.
Solução: somando os quatro valores dados tem-se: 90º + 70º + 60º + 80º = 300º. Como a soma
deve ser menor ou igual a 360º, o quinto ângulo deverá ser menor ou igual a 60º. Portanto, a única
medida não possível é 70º. Resposta: letra (e).
2 - FÓRMULA DE EULER
Um poliedro é dito convexo quando todos os ângulos poliédricos de seus vértices são menores que
180º. Uma outra característica que pode identificar um poliedro convexo é: tomando dois pontos em
duas faces diferentes, o segmento que une estes pontos estará inteiramente contido no interior do
poliedro.
Com relação aos poliedros, o número de faces somado ao número de vértices é igual ao número de
arestas acrescido de dois.
Indicando por: F - nº de faces, V - nº de vértices, A - nº de arestas, tem-se F + V = A + 2.
Esta relação é conhecida como fórmula de Euler.
Deve-se, entretanto, observar que a fórmula de Euler não é válida para todo poliedro, como
acontece nos exemplos a seguir:
grande dodecaedro
estrelado
pequeno dodecaedro estrelado
Nas questões, sejam de provas ou de concursos, quando as mesmas se referirem a relações entre
faces, vértices e arestas de poliedros, estes são considerados eurelianos e, desta forma, pode ser
usada a relação de Euler.
Aplicação 1: Um poliedro é formado por 4 faces pentagonais e 5 faces hexagonais. Quantos
vértices tem esse poliedro?
Solução: A fórmula de Euler nos dá F + V = A + 2. Ora, o número de faces é 4 + 5 = 9. Para
calcular o número de vértices precisamos conhecer o número de arestas. Como dois lados dos
polígonos se unem para formar uma aresta, temos: total de lados 4 x 5 + 5 x 6 = 50. Isto leva a
50/2 = 25 arestas.
Aplicando a fórmula de Euler: 9 + V = 25 + 2 V = 27 - 9  V = 18.
Aplicação 2: Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de
vértices é 3/5 do número de faces?
Solução: Seja n o número de faces. Como são todas triangulares, teremos 3.n lados ou 3n/2
arestas. Sendo o número de vértices igual a 3/5 do número de faces, resulta V = (3/5)n= 3n/5.
Assim, F = n, A = 3n/2 e V = 3n/5. Aplicando a fórmula de Euler, n + 3n/5 = 3n/2 + 2 10n + 6n
= 15n + 20  16n - 15n = 20  n = 20. Portanto o número de arestas é A = 3n/2 = 3.20/2 = 30.
Resposta: 30.
3 - OS POLIEDROS REGULARES OU POLIEDROS DE PLATÃO
Um poliedro é regular quando todas as faces são polígonos regulares congruentes e todos os
vértices são congruentes. Isto significa que existe uma simetria do poliedro que transforma cada
face, cada aresta e cada vértice numa outra face, aresta ou vértice. É possível provar que existem
apenas cinco poliedros regulares convexos, que são:
Da esquerda para a direita na figura acima temos:
(1) Tetraedro - 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
(2) Hexaedro ou cubo - 6 faces quadrangulares, 8 vértices e 12 arestas.
(3) Octaedro - 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas.
(4) Dodecaedro - 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas.
(5) Icosaedro - 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas.
EXERCÍCIOS:
1. ( CEFET - PR ) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro
pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será:
(a) 3240º
(b) 3640º (c) 3840º (d) 4000º (e) 4060º
2. ( CEFET - PR ) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é:
(a) 32 (b) 12 (c) 20 (d) 15 (e) 18
3. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o
número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de
faces triangulares?
(a) 4 (b) 3 (c) 5 (d) 6 (e) 8
4. ( ITA - SP ) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6
outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes
partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
(a) 13 (b) 17 (c) 21 (d) 24 (e) 27
5. ( PUC - PR ) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces
quadrangulares é igual a :
(a) 10 (b) 12 (c) 40 (d) 20 (e) 8
6. ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de
arestas desse poliedro é:
(a) 12 (b) 8
(c)6
(d)20
(e) 4
7. O número de vértices de um poliedro convexo constituído por doze faces triangulares é:
(a) 4
(b) 12 (c) 10
(d) 6
(e) 8
8. ( CESGRANRIO - RJ ) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número d e vértices desse poliedro é :
(a) 6 (b) 7 (c) 8
(d) 9
(e) 10
9. ( CESGRANRIO - RJ ) Considere o poliedro regular de faces triangulares que não possui diagonais.
A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
(a)180
(b) 360
(c) 540
(d) 720
(e) 900
10. ( PUC - SP ) O número de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces triangulares e 4
faces quadrangulares é igual a:
(a) 10
(b) 12
(c) 40
(d) 20
(e) 8.
11. ( PUC - CAMP ) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices
é: (a) 24 (b) 20 (c) 16 (d) 12 (e) 10
12. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo
6840 a soma dos ângulos internos das faces, o número de faces triangulares e hexagonais é,
respectivamente: (a) 4 e 10 (b) 7 e 7 (c) 6 e 8
(d) 5 e 9 (e) 8 e 6