Lista 1 - Instituto de Física

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Física - Departamento de Física
FIS01200 - 2007/2
Área 4 - Lista 1
1. As massas e as coordenadas de quatro partículas são as seguintes: 50 g,
x = 2,0 cm, y = 2,0 cm; 25 g, x = 0 cm, y = 4,0 cm; 25 g, x = - 3,0 cm,
y = - 3,0 cm; 30 g, x = - 2,0 cm, y = 4,0 cm. Qual é o momento de inércia
deste conjunto em relação ao (a) eixo x; (b) eixo y e (c) eixo z?
Resp.: (a) 1305 g cm2; (b) 545 g cm2; (c) 1850 g cm2.
2. Determine o momento de inércia de uma régua de um metro de
comprimento e massa de 0,56 kg, em torno de um eixo perpendicular à
régua e passando pela marca de 20 cm.
Resp.: 9,7 x 10- 2 kg m2.
3. Três barras finas de mesmo comprimento L
estão dispostas em forma de um “U” invertido,
como mostra a figura. As massas das barras
verticais são iguais, enquanto que a terceira barra
(horizontal) possui uma massa três vezes maior.
Despreze as espessuras das barras e calcule o
momento de inércia do sistema em relação aos
seguintes eixos: (a) contendo cada uma das
barras; (b) paralelos ao plano da página e
perpendiculares às barras, passando
pelos centros de massa destas; (c) perpendicular ao plano da página,
passando pelo centro de massa de cada uma das barras; (d) perpendicular ao
plano da página, passando pelo centro de massa do sistema: xCM = L / 2 e
yCM = 4 L / 5 considerando a origem localizada no ponto inferior da barra
vertical esquerda).
Resp.: (a) 2 ML2, (2/3) ML2 e 2 ML2 ; (b) (11/12) ML2 e (3/4) ML2; (c)
(35/12) ML2 , (17/12) ML2 e (35/12) ML2; (d) (73/60) ML2.
4. Suponha que o sistema do problema anterior seja posto em movimento de
rotação em relação aos eixos ali considerados. Tome M = 1,0 kg e L = 1,0 m.
(a) Sabendo que a energia cinética de rotação desse sistema vale 1,0 kJ,
escolha os eixos em relação aos quais a velocidade angular será mínima ou
máxima, e calcule essas velocidades. (b) Sabendo que a velocidade angular
desse sistema vale 50,0 rad/s, escolha os eixos em relação aos quais a
energia cinética de rotação será mínima ou máxima, e calcule essas energias
cinéticas.
Resp.: (a) 26 rad/s e 55 rad/s; (b) 0,83 kJ e 3,6 kJ.
5. (a) Mostre que, para rotação em torno de um eixo central, um cilindro
maciço de massa M e raio R é equivalente a um aro delgado de massa M e
raio R / 2 . (b) A distância radial a um dado eixo, para a qual toda a massa
de um corpo poderia ser considerada concentrada, sem alterar a sua inércia
rotacional em relação a este eixo, é denominada raio de giração. Represente
por k o raio de giração, e mostre que k =
I M . Esta equação fornece o
raio do chamado aro equivalente no caso geral.
6. O comprimento do braço do pedal de uma bicicleta é de 0,152 m e o pé
aplica uma força para baixo de 111 N. Qual é o torque em torno do eixo
quando o braço faz um ângulo de (a) 30o; (b) 90o e (c) 180o com a vertical?
Resp.: (a) 8,5 N.m; (b) 17 N.m (c) zero.
7. Um ciclista cuja massa é de 70 kg coloca todo seu peso sobre os pedais ao
subir uma estrada íngreme. Cada pedal descreve um círculo de diâmetro 0,40
m. Determine o torque máximo exercido no processo.
Resp.: 137 N m.
8. Três forças estão aplicadas em um cilindro que pode
girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu
centro, como mostra a figura.
Sabendo que
R1 = 5,0 cm, R2 = 12 cm, F1 = 6,0 N e F2 = 4,0 N, (a)
qual deve ser o módulo de F3 de forma que o cilindro
não gire? Agora, suponha que a massa do cilindro é de
2,0 kg e que F3 = 2,0 N. (b) Determine o módulo, a
direção e o sentido do vetor aceleração do cilindro.
Resp.: (a) 4,8 N; (b) 9,72 rad/s2, perpendicular à página e saindo dela.
9. Uma casca esférica fina tem raio igual a 1,9 m. Um torque aplicado de
960 N m imprime uma aceleração angular de 6,2 rad/s2 em torno de um eixo
que passa pelo centro da casca. (a) Qual é o momento de inércia da casca em
torno do eixo de rotação? (b) Calcule a massa da casca esférica.
Resp.: (a) 155 kg m2 ; (b) 64,3 kg.
10. No ato de saltar de um trampolim, um mergulhador leva 220 ms para
variar sua velocidade angular de zero até 6,2 rad/s. O momento de inércia do
mergulhador é 12 kg m2. (a) Qual é a aceleração angular durante o salto? (b)
Que torque externo atuou sobre o mergulhador durante o salto?
Resp.: (a) 28,2 rad/s2 ; (b) 3,4 x 102 N m.
11. Um pequeno objeto, cuja massa é de 1,3 kg, está preso a uma das
extremidades de uma barra leve de 0,78 m de comprimento. O sistema gira
num círculo horizontal em torno da outra extremidade da barra, a
5000 rev/min. (a) Determine o momento de inércia do sistema em torno do
eixo de rotação. (b) A resistência do ar exerce uma força de 2,3 × 10-2 N
sobre o objeto, em direção oposta a do seu movimento. Que torque deve ser
aplicado ao sistema para mantê-lo girando com velocidade constante?
Resp.: (a) 0,79 kg m2; (b) 1,8 x 10 -2 N m.
Momento de Inércia de Alguns Corpos
12. Uma roda de 32 kg e de raio igual a 1,2 m está girando a 280 rev/min. Ela
deve parar em 15 s. (a) Que trabalho deve ser realizado sobre ela? (b) Qual é
a potência necessária? Considere a roda um aro fino.
Resp.: 19,8 kJ; (b) 1,3 kW.
13. O motor de um automóvel desenvolve 100 cv (= 74,6 kW) quando
gira a 1800 rev/min. Que torque ele comunica?
Resp.: 396 N m.
14. Um rolo de papel é desenrolado sobre uma superfície
horizontal, puxando-se a ponta do papel paralelamente à
superfície (veja figura). Despreze a espessura do papel e
admita que o rolo não deslize sobre a superfície. Qual é a
distância percorrida pelo centro de massa do rolo para cada
cada metro de papel desenrolado?
Resp.: 0,50 m.
15. Um objeto de momento de inércia I, raio R, e massa M,
está montado em um eixo, como mostra a figura. Não existe
atrito. Uma corda leve é enrolada em torno da borda do
objeto, com um corpo de massa m suspenso em sua outra
extremidade. Obtenha uma relação para a aceleração do
sistema, (a) usando os princípios da Conservação da Energia,
e (b) usando os princípios da Dinâmica. (c) Mostre que, se o
objeto for um disco uniforme, e se m = M, a energia cinética
de translação do corpo suspenso será o dobro da energia
cinética de rotação do disco. (d) Se o objeto for um disco uniforme de raio R = 12 cm e M = 400 g, e se a massa
suspensa for de 50 g, determine a velocidade de m após ela ter descido
50 cm a partir do repouso.
Resp.: (a) e (b) m g / (m + I / R2 ); (d) 1,4 m/s.
16. Numa máquina de Atwood, a polia é montada em mancais horizontais,
sem atrito, e tem um raio de 5,0 cm. A massa de um dos blocos é de 500 g e
a do outro é igual a 460 g. Quando abandonamos o bloco mais pesado,
observamos que ele cai 75 cm em 5,0 s. (a) Qual é a aceleração de cada
bloco? (b) Qual é a tensão na parte da corda que suporta cada bloco? (c)
Qual é a aceleração angular da roldana? (d) Determine o momento de inércia
da roldana.
Resp.: (a) 0,06 m/s2; (b) 4,54 N e 4,88 N; (c) 1,2 rad/s2; (d) 0,014 kg m2.
17. Um cilindro de comprimento L e raio R tem peso P. Dois
cordões são enrolados em volta do cilindro, próximos das
extremidades, e suas pontas estão presas a ganchos fixos no
teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os cor-dões
exatamente na vertical e em seguida é abandonado, a partir
do respouso (veja a figura). Detrermine: (a) a tensão
de cada cordão enquanto eles estão se desenrolando; (b) a aceleraração
linear do cilindro durante a queda.
Resp.: (a) P / 6; (b) 2 g / 3.
18. Um ioiô possui momento de inércia igual a 950 g cm2 e massa igual a
120 g. O raio do seu eixo é igual a 3,2 mm e o comprimento do fio é igual a
120 cm. O ioiô parte do repouso e se desenrola até terminar o comprimento
do fio. (a) Qual é a sua aceleração? (b) Quanto tempo ele leva para chegar
até a extremidade do fio? (c) Qual será a velocidade angular do ioiô quando o
fio está completamente desenrolado? (Dica: Neste instante, o movimento do
ioiô é puramente rotatório.)
Resp.: (a) 12,5 cm/s2; (b) 4,38 s; (c) 172,5 rad/s.
19. Uma fita de massa desprezível é enrolada em volta de um cilindro de
massa M e de raio R. A fita é puxada verticalmente para cima, a uma
velocidade que evita que o centro de massa se desloque, enquanto o cilindro
está sendo desenrolado. (a) Qual é a tensão na fita? (b) Qual é o trabalho
realizado sobre o cilindro quando ele atinge uma velocidade angular ω? (c)
Qual é o comprimento da fita desenrolada durante este período?
Resp.: (a) m g; (b) M R2 ω2 / 4; (c) R2 ω2 / 4 g.
20. Uma esfera sólida de 3,6 kg rola para cima de um plano inclinado de 30o
em relação à horizontal. Na base do plano, o centro de massa da esfera
possui uma velocidade igual a 4,8 m/s. (a) Calcule a energia cinética da esfera
na base do plano. (b) Até que distância ao longo do plano a esfera sobe?
Esta resposta depende do peso da esfera?
Resp.: (a) 58,1 J; (b) 3,3 m, não.
21. Dois blocos idênticos, cada um de massa M, são ligados por uma corda
leve que passa por uma roldana, sem atrito, de raio R e momento de inércia I
(veja figura). A corda não desliza sobre a roldana, e não se sabe se há ou não
atrito entre o plano e o bloco deslizante. Quando o sistema é abando-nado a
partir do repouso, observa-se que a roldana gira num ângulo θ durante o
intervalo de tempo t, e que a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual é a
aceleração angular da roldana? (b) Qual são as acelerações dos dois blocos?
(c) Quais são as tensões nas seções superior e inferior da corda? (d) Existe
atrito entre o plano e o bloco deslizante? Caso afirmativo, calcule a força de
atrito cinético entre o plano e o bloco deslizante. Todas as respostas devem
ser expressas em termos de M, I, R, θ, g e t.
Resp.: (a) 2 θ / t2;
(b) (2 θ / t2) R;
(c) T1 = M g - [M + (I / R2)] (2 θ / t2 ) R;
T2 = M g - M (2 θ / t 2) R;
(d) M g - [2 M + (I / R2)] (2 θ / t2 ) R.
22. Um cilindro maciço de raio igual a 10 cm e
massa de 12 kg parte do repouso e desce
rolando, sem deslizar, uma distância de 6,0 m ao
longo do telhado de uma casa, que possui uma
inclinação de 30o com a horizontal, como mostra
a figura. (a) Calcule a velocidade angu-lar do
cilindro no momento em que ele aban-dona o
telhado da casa. (b) A altura da parede
externa da casa é igual a 5,0 m. A que distância da parede o cilindro atinge o
solo?
Resp.: (a) 62,6 rad/s; (b) 4,01 m
23. Uma esfera uniforme rola para baixo de um plano inclinado. (a) Qual deve
ser o ângulo de inclinação do plano, em relação à horizontal, para que a
aceleração do centro de massa da esfera seja igual a um décimo da
aceleração da gravidade? (b) Para este ângulo, qual seria a aceleração de
um bloco desli zando ao longo do plano?
Resp.: (a) 8,0o; (b) 1,37 m/s2.
24. Uma esfera gira em torno de um eixo
vertical sem atrito. Uma corda leve, que
passa em torno do equador da esfera e por
uma polia tem, pendente à outra
extremidade, um objeto pendurado, como
mostra a figura. Qual é a velocidade do
objeto suspenso, inicialmente em repouso, após ele ter descido uma distância h?
Resp.: v = {2mgh/[m + (I/r2) + 2/5)M]}1/2.
25. Uma bola de gude de massa m e raio r
rola, sem deslizar, ao longo do trilho curvo
mostrado
na
figura,
tendo
sido
abandonada, do repouso, em algum lugar
sobre a seção reta do trilho. (a) De que
altura mínima acima da base do trilho deve
ser solta a bola a fim de que esta se
mantenha no trilho no topo da circunferência? (O raio da circunferência é R, e R
>> r.) (b) Se a bola é abandonada da altura 6R acima da base do trilho, qual será a componente horizontal da força
atuante sobre ela no ponto Q?
Resp.: (a) 2,7 R; (b) 7,1 mg.
26. Uma chaminé alta, de altura L, racha próximo à base e cai. Expresse as
acelerações: (a) angular e (b) tangencial do topo da chaminé como função do
ângulo θ formado pela chaminé com a vertical. (c) A aceleração linear pode
exceder a g? (d) A chaminé quebra durante a queda. Explique como isto pode
acontecer.
Resp.: (a) a = (3 g sen θ) / 2 L; (b) (3 g sen θ) / 2; (c) sim, para os
pontos tais que 3 sen θ d ≥ 2 L, sendo d a distância ao eixo de
rotação.
27. Um pedaço de uma fita flexível de comprimento L é
firmemente enrolado. Permite-se, em seguida, que ele se
desenrole enquanto desce um declive que forma um
ângulo θ com a horizontal, conforme é ilustrado na figura,
sendo que a parte superior da fita fica presa por
um prego. Mostre que a fita se desenrola completamente em um tempo:
t = [3 L / (g sen θ)]1/2 .
28. Um cilindro maciço de 15 cm de raio e
2,0 kg de massa possui uma fita leve e fina
enrolada em sua periferia. A fita passa por
uma polia de massa desprezível e sem
atrito. Na outra extremidade da fita, está
preso um corpo de peso igual a 150 N, que
pende verticalmente. O cilindro sobe o
plano inclinado que forma 30o com a horizontal, sem deslizar. Determine:
(a) a aceleração linear do centro de massa do cilindro, e (b) a aceleração
angular do cilindro. (c) Qual é a relação entre a aceleração do centro de
massa do cilindro e a aceleração do bloco? (d) Calcule a tensão na fita. (e)
Qual seria a resposta do item (a) supondo que a massa do cilindro fosse de
8 kg, e que a massa do bloco fosse igual a 1 kg? Resp.: (a) aCM = 4,5 m/s2;
(b) 30,1rad/s2; (c) a = 2aCM; (d) 11,7 N; (e) 1,2 m/s2.