Língua Portuguesa - Concurseiro 24 Horas

PREPARATÓRIO PARA CARREIRAS BANCÁRIAS
CURSO DE MATEMÁTICA PARA BANCO DO BRASIL
AULA 1- NÚMEROS INTEIROS
PROFESSOR: BRUNO LEAL
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS
Sumário
1.
APRESENTAÇÃO....................................................................................................................................................2
2.
TEORIA E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .......................................................................................................................4
3.
CONSIDERAÇÕES FINAIS .....................................................................................................................................32
4.
LISTA COM OS EXERCÍCIOS ABORDADOS HOJE ...................................................................................................34
Prof. BRUNO LEAL
1
PREPARATÓRIO PARA CARREIRAS BANCÁRIAS
CURSO DE MATEMÁTICA PARA BANCO DO BRASIL
AULA 1- NÚMEROS INTEIROS
PROFESSOR: BRUNO LEAL
1. APRESENTAÇÃO
Olá, amigos concurseiros! Tudo tranquilo? Tomara que sim! Caso estejam
nervosos, ansiosos por conta da Matemática, fiquem calmos: costumo dizer que
não se trata de nenhum bicho-de-sete-cabeças (vá lá, duas ou três no
máximo!) e se eu, que não sou nenhum Einstein, aprendi, então por que vocês,
caros amigos, não conseguiriam?
Passo número ZERO para aprendizagem: AUTOCONFIANÇA!
Esta é a aula demonstrativa de Matemática para o concurso do Banco do Brasil.
Conhecemos a banca – Fundação Cesgranrio – e as provas estão previstas para
23/02/2014.
A Fundação Cesgranrio é uma das mais conhecidas, com enorme tradição em
organizar concursos. Isso é bom, pois temos uma grande quantidade de
questões para basear nossas aulas.
O grau de dificuldade das questões pode ser considerado fácil para médio.
Evidentemente que uma ou outra questão pode ser mais difícil, porém, no
geral, o aluno bem preparado, como você, meu amigo, não terá maiores
dificuldades.
Sobre mim, meu nome é Bruno Leal Monteiro, tenho 34 anos, dou aulas de
Matemática, Raciocínio Lógico e Matemática Financeira em cursinhos
preparatórios desde os 18 aninhos...
Lembro-me da minha primeira turma, preparatório para o CESD (Soldado
Especialista da Aeronáutica, hoje em dia, é um concurso interno). Era o mais
novo em sala! Todos com muita desconfiança daquele franzino professor, que
nem vestibular ainda havia feito... mas deu tudo certo e até hoje estou
ajudando a centenas de amigos/alunos a alcançarem seus objetivos. Só que
nem um pouco franzino... rsrsrs.
Sou autor de diversos materiais didáticos e do livro “Matemática para Concursos
– A Arte de Resolver Problemas”, pela Editora ELMO.
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Como nas minhas turmas presenciais, foco o aprendizado da Matemática e do
Rac. Lógico através da resolução de muitos, muitos exercícios.
Espero que gostem, aprendam de verdade e que exorcizem todo e qualquer
fantasma proveniente do Raciocínio Lógico que cismar rondar seus estudos!
Juntos somos fortes, não perca a força, o foco e a fé!
Rumo à vitória!
1.1
Conteúdo Programático
O conteúdo programático que consta no Edital é o seguinte:
RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO: Números inteiros e racionais:
operações (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação);
expressões numéricas; múltiplos e divisores de números naturais;
problemas. Frações e operações com frações. Números e grandezas
proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra
de três; porcentagem e problemas. Estatística descritiva; distribuição de
probabilidade discreta. Juros simples e compostos: capitalização e
descontos. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais,
real e aparente. Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e
Financiamentos. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de
financiamento, empréstimo e investimento. Taxas de Retorno
É bastante coisa! Mas não temos como correr. É encararmos, sem medo.
Esta aula zero tratará do tema Números Inteiros. Resolvemos nada menos que
32 exercícios, fora diversos exemplos de aplicação de propriedades.
Sem perder mais tempo, vamos lá!
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2.
Teoria e Exercícios Resolvidos
2.1. Conjunto dos Números Naturais
É o conjunto = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}. Os números naturais são aqueles que
utilizamos para exprimir a quantidade de elementos de um conjunto. Como
assim? Por exemplo: No meu estojo há 7 canetas. O 7 é um número natural,
pois serviu para designar a quantidade de elementos do conjunto de canetas do
meu estojo.
Eu não poderia nunca dizer que no estojo há 2/5 de caneta, ou 4,59 canetas,
nem mesmo – 5 canetas... Já imaginou se eu dissesse que no meu estojo há
√ caneta? Você iria certamente fechar esse arquivo e dizer que eu sou louco!
Há alguns subconjuntos de
que são importantes:
I. O conjunto * = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = N – {0}. Toda vez que você vir o
asterisco (*) associado a um conjunto significa que o elemento ZERO foi
retirado do conjunto, ok?
II. O conjunto {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...}
chamado de conjunto dos números PRIMOS. Um número natural é dito PRIMO
quando tiver exatamente dois divisores naturais distintos: o 1 (chamado de
divisor universal, pois é divisor de todos os naturais) e o próprio número.
Por exemplo, o 11 é primo pois os únicos números naturais que o dividem
exatamente são o 1 e o próprio 11. Já o 15 não é primo pois, além de ser
divisível por 1 e por 15, também o é por 3 e por 5.
Um número natural, a partir do 4, que não for primo, será chamado de
COMPOSTO.
É importante reparar que o menor número natural primo e o único par é o 2. O
zero e o um não são nem primos nem compostos.
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O conjunto dos números naturais possui diversas “limitações”. Por exemplo, na
subtração. Embora possamos subtrair 5 de 8, obtendo 3, não podemos fazer
10 – 15, pois o minuendo (10) é menor que o subtraendo (15).
Ah, mas dá – 5! Sim, dá – 5, só que, por enquanto, não definimos ainda o que
seja a “quantidade – 5”. Para tanto, vamos “ampliar” o conjunto dos números
naturais e definir o Conjunto dos Números Inteiros ( ).
2.2. Conjunto dos Números Inteiros
Eventualmente, você tomou noção de grandezas que admitiam valores menores
que zero (negativos), como por exemplo, a temperatura. Hoje mesmo, em
Boston, EUA, houve uma nevasca e a temperatura chegou a 13 graus abaixo de
zero (−13ºC).
O saldo bancário, infelizmente, é outra grandeza
negativos... mais frequentemente do que gostaríamos...
que
admite
valores
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou
oposto. O oposto do 1 é o −1, do 2 o −2 e assim por diante. O sinal "−" indica
que se trata de um número negativo, portanto menor que zero.
Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos, que passam a ser
indicados por +1, +2, +3 etc., e o zero, bem, o zero é nulo, nem positivo, nem
negativo.
A presença do sinal “+” na frente dos inteiros positivos é opcional.
IMPORTANTE: a SOMA de um inteiro com o seu OPOSTO é sempre ZERO.
Exemplos: (+1) + ( −1) = 0;
(−5) + (+ 5) = 0
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O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam
um outro conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela
letra (do alemão zahl, número):
= {...−4,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,+4,...}.
Alguns subconjuntos importantes:
I)
* = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...} = Z – {0} (inteiros não nulos)
II)
= {..., −3, −2, −1, 0} (inteiros não positivos)
são os números negativos incluindo o zero.
colocado
ao
CUIDADO!
Na sua representação deve ser
lado
do
.
Não são os inteiros negativos, pois o zero PERTENCE a
III)
= {..., −3, −2, −1} (inteiros negativos)
IV)
= {0,1,2,3,4,...} (inteiros não negativos)
Note
V)
que
o
conjunto
=
.
.
= {1, 2, 3, 4,...} (inteiros positivos) Tal conjunto é igual a
2.3. Módulo ou valor absoluto
Considere a reta abaixo, e os números inteiros nela indicados.
Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o
zero) de módulo ou valor absoluto.
Assim, a distância do ponto que representa o número 4 à origem é 4. Dizemos
que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos
|4| = 4.
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Da mesma forma, a distância do ponto −2 à origem é 2, ou seja, o módulo de
−2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas.
Assim: |−2| = 2
Outros exemplos:
|3| = 3; |−7| = 7; |0| = 0; |−1| = 1.
Vamos generalizar:
Qual é o módulo de um número qualquer x?
|x| = ?
A resposta é: depende!
Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu
módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância
não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou
considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).
Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = −x, se x for um número
negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.
2.4. Operações com números inteiros
Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre
resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações
estão bem definidas em
ou, equivalentemente, que o conjunto
é fechado
para qualquer uma destas três operações.
As divisões, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem
sempre têm resultado inteiro.
Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto
ou, equivalentemente, que
não é fechado para qualquer uma destas três
operações.
Adições e subtrações com números inteiros
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com
números inteiros. Observe os exemplos seguintes:
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Exemplo 1:
Calcular o valor da seguinte expressão: 10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4
Faremos duas somas separadas: uma só com os números positivos
10 + 15 + 4 = +29;
e outra só com os números negativos: (−7) + (−9) + (−3) = −19.
Nós repetimos o sinal negativo e SOMAMOS ou módulos.
Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados.
+29 – 19 = +10 ou simplesmente 10.
Atenção: É preciso dar sempre ao resultado o sinal do número que tiver o maior
valor absoluto!
Exemplo 2:
Calcular o valor da seguinte expressão: −10 + 4 – 7 – 8 + 3 −2
1º passo: Achar os totais (+) e (−):
(+): +4 + 3 = + 7;
(−): −10 − 7 − 8 − 2= −27.
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior
módulo:
−27 + 7 = −20.
Multiplicações e divisões com números inteiros
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os
sinais dos dois termos da operação.
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SINAIS IGUAIS: resultado POSITIVO (+)
SINAIS OPOSTOS: resultado NEGATIVO (−)
Exemplos:
a) (+5) x (+2) = +10
b) (+5) x (−2) = −10
c) (−5) x (−2) = +10
d) (−5) x (+2) = −10
e) (+8) : (+2) = +4
f) (+8) : (−2) = −4
g) (-8) : (−2) = +4
h) (-8) : (+2) = −4
Vamos aos nossos primeiros exercícios resolvidos:
QUESTÃO 01 (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – Fundação Carlos
Chagas) O resultado da expressão: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168
+ 169 – 170 é igual a:
A) 170.
B) − 170.
C) 85.
D) − 85.
E) − 87.
SOLUÇÃO: A questão é tranquila, não precisamos nos desesperar!
para facilitar a explicação, separar os termos da expressão em pares:
Vamos,
(1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + (7 – 8) + . . . + (167− 168) + (169 – 170).
Repare, meu amigo, 2 coisas:
1ª) Conseguimos formar 170 : 2 = 85 pares;
2ª) Em cada par, temos uma subtração cujo resultado é −1.
Logo, nossa expressão fica – 1 – 1 – 1 – 1 − ... – 1, com 85 termos, logo, o
resultado é −85, alternativa D.
GABARITO DA QUESTÃO: Letra “D”
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Ufa! Passamos pelos nossos primeiros desafios. Serão dezenas até o fim do
nosso curso. Não desanime, estamos juntos nesse barco!
2.5. Múltiplos de um inteiro
Sejam m e n dois números inteiros. Dizemos que n é múltiplo de m se existir
um número k, inteiro, tal que n = k . m.
Desta forma, dizemos que 12 é múltiplo de 3, pois existe um número
inteiro k (neste caso k = 4 tal que: 3 · k = 12). Da mesma maneira, dizemos
que – 21 é múltiplo de 7, pois existe um número inteiro k (neste caso k = – 3),
tal que – 21 = 7 · k.
Observemos que o 0 (zero) é múltiplo do número inteiro k, qualquer que seja k,
pois sempre podemos escrever: 0 · k = 0.
O conjunto dos múltiplos de um inteiro k é indicado por M(k).
temos:
Por exemplo,
M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ±8, ...}.
O conjunto dos múltiplos de zero, M(0) é UNITÁRIO: M(0) = {0}.
Se a é múltiplo de b, podemos também dizer que a é divisível por b, ou então
que b é divisor de a.
Decomposição em fatores primos
Todo o número composto pode ser decomposto ou fatorado num produto de
números primos.
Assim, por exemplo, o número 90, que não é primo, pode ser decomposto
como: 90 = 2 · 45
O número 45, por sua vez, sendo composto, pode ser fatorado na forma: 45 =
3 · 15
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Desta forma poderíamos apresentar o número 90 com uma fatoração: 90 = 2 ·
3 · 15
Sendo o número 15 também um número composto, podemos apresentá-lo
através do seguinte produto: 15 = 3 · 5
Teremos, finalmente, a fatoração completa do número 90 = 2 · 3 · 3 · 5
Se quisermos escrever o produto 3 . 3 na forma de potência, teremos o que
chamamos forma canônica: 90 = 2 . 32 . 5.
Como procedimento geral, podemos estabelecer uma regra para decomposição
de um número natural em fatores primos.
REGRA: para decompormos um número natural em fatores primos, basta
dividirmos o número dado pelo seu menor divisor primo; dividimos o quociente
pelo menor divisor primo; procedemos da mesma maneira com os demais
quocientes obtidos até chegarmos a um quociente igual a 1. O produto
indicado de todos os fatores primos obtidos representa o número fatorado.
Exemplos: Represente os números 90, 300 e 72 na forma canônica:
Critérios de divisibilidade
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Podemos verificar quando um número é divisível por outro, efetuando a
operação de divisão. Existem, porém, critérios que nos permitem reconhecer a
divisibilidade entre dois números sem que façamos a divisão. Tais critérios se
aplicam aos principais e mais usados divisores, como observaremos a seguir:
• divisibilidade por 2: um número é divisível por 2 quando for par. Quando for
ímpar, deixará resto 1 na divisão por 2.
• divisibilidade por 3: um número é divisível por 3, quando a soma dos
algarismos que o formam for múltiplo de 3.
Exemplos:
a) 8421 é divisível por 3, pois 8 + 4 + 2 + 1 = 15 é um múltiplo de 3.
b) 8422 NÃO é divisível por 3, pois 8 + 4 + 2 + 2 = 16 não é múltiplo de 3.
Como o 16, ao ser dividido por 3 deixa RESTO 1, 8422, dividido por 3, TAMBÉM
DEIXARÁ resto 1.
Note, pois, que o critério por 3 não nos diz apenas se o número é ou não
divisível por 3, quando não o for, também nos fornece o RESTO da divisão.
• divisibilidade por 4: um número é divisível por 4, quando o número formado
pelos seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplos:
a) 2 724 é divisível por 4, pois o número 24 é divisível por 4.
b) 584.563.211 deixa resto 3 na divisão por 4, pois 11 dividido por 4 deixa
resto
3.
• divisibilidade por 5: um número é divisível por 5, quando o seu algarismo da
unidade for zero ou cinco.
Exemplo:
789546 deixa resto um na divisão por 5, pois o 6, algarismo da unidade, na
divisão por 5 também deixa resto 1.
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• divisibilidade por 6: um número é divisível por 6, quando for divisível,
separadamente, por 2 e por 3.
Exemplo: 672 é divisível por 6, pois é par e divisível por 3 (6 + 7 + 2 = 15).
• divisibilidade por 8: um número é divisível por 8, quando o número formado
pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
a) 22712 é divisível por 8, pois o número 712 é divisível por 8.
b) 22713 deixa resto 1 na divisão por 8, pois 713, dividido por 8, também
deixa
resto
1.
• divisibilidade por 9: um número é divisível por 9, quando a soma dos
algarismos que o formam for múltiplo de 9. É a mesma regra do 3.
Exemplos: 18711 é divisível por 9, pois 1 + 8 + 7 + 1 + 1 = 18 é múltiplo de
9.
• divisibilidade por 10: um número é divisível por 10, quando o seu algarismo
da unidade for zero.
Exemplo:
123456767 deixa resto 7 na divisão por 10, pois termina em 7.
• divisibilidade por 11: um número é divisível por 11, quando a diferença entre
as somas dos valores absolutos dos algarismos de posição ímpar e a dos
algarismos de posição par for divisível por 11.
Exemplo: 83 765 é divisível por 11, pois a diferença da soma dos algarismos de
posição ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos algarismos de posição par (3 + 6
= 9) é um número divisível por 11.
IMPORTANTE!! Nossa querida, pero no mucho, Fundação Cesgranrio com
alguma frequência cobra questões envolvendo restos. Vamos aprender como
resolvê-las com facilidade, dando uma olhadinha nos exemplos preliminares:
Exemplo 1: Qual o resto da divisão por 5 da soma 36 + 87?
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A Aritmética nos ensina que “o resto da soma” é a “soma dos restos” das
parcelas.
Como assim, não entendi bulhufas!!! Calma, veja como é fácil:
O 36, dividido por 5, deixa resto 1 (pois termina em 6) e o 87, dividido por 5,
deixa resto 2 (pois termina em 7).
O resto da soma 36 + 87 é simplesmente a soma dos restos 1 e 2, ou seja 1 +
2 = 3.
Vamos conferir? 36 + 87 = 123 que dividido por 5, realmente deixa resto 3.
Exemplo 2: Qual o resto na divisão por 10 do produto 285 x 833?
A Aritmética também nos ensina que o “resto do produto” é o “produto dos
restos” de cada fator. Observe:
O 285 dividido por 10 deixa resto 5, pois termina em 5. Já o 833, por terminar
em 3, deixa resto 3 na divisão por 10.
Logo, o resto do produto 285 x 833 é simplesmente o resto que 5 x 3 = 15
deixa na divisão por 10, ou seja, resto 5.
Conferindo, 285 x 833 = 237405, que realmente deixa resto 5 na divisão por
10.
Exemplo 3: Qual o resto na divisão por 3 da expressão (4126 x 118) +
8375?
Muita calma nessa hora! É bem fácil! Vamos inicialmente calcular os restos de
cada termo da expressão por 3.
1º) 4126 → 4 + 1 + 2 + 6 = 13 → 13 : 3 deixa resto 1;
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2º) 118 → 1 + 1 + 8 = 10 → 10 : 3 deixa resto 1;
3º) 8375 → 8 + 3 + 7 + 5 = 23 → 23 : 3 deixa resto 2.
Agora, basta substituir cada número pelo seu respectivo resto na divisão por 3,
e resolver a expressão:
(1 x 1) + 2 → 1 + 2 = 3 que, dividido por 3, deixa resto ZERO!
Por curiosidade, vamos calcular o resultado da expressão: 486686 + 8375 =
495243 que, dividido por 3, dá quociente 165081 e resto zero.
Vamos a mais alguns exercícios resolvidos:
QUESTÃO 02 Resolva a expressão (99 – 9)(99 – 19)(99 – 29) ... (99 – 189)
SOLUÇÃO: A primeira coisa é termos CALMA! Sem pânico nem precipitações!
Resolvendo as subtrações nos 3 primeiros parênteses, obtemos 90, 80 e 70,
não é verdade? Ótimo! Agora repare as reticências: o que elas indicam? Que
o padrão continua, e vai até uma última subtração, 99 – 189, que dá −90, pois
nós subtraímos e repetimos o sinal do −189, pois este tem maior módulo.
No momento, nossa expressão está assim: 90 . 80 . 70 ... (−90).
Ainda pouco “falei” sobre um PADRÃO. Que padrão é esse? Os números estão
DIMINUINDO de 10 em 10, confere? Eles vão ficando cada vez menores até
eventualmente ficarem negativos até chegar no −90.
Podemos escrever então que a expressão é 90 . 80 . 70 . 60 . 50 . 40 . 30 . 20 .
10 . 0 . (−10) ... (−90). Ora, qualquer número multiplicado por ZERO dá...
ZERO! A resposta do exercício!
GABARITO DA QUESTÃO: ZERO “0”
QUESTÃO 03 A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é:
SOLUÇÃO: O conjunto dos números naturais primos, números que apresentam
exatamente dois divisores positivos, o 1 e o próprio número, é infinito. Seus
primeiros elementos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
... Note que o ÚNICO natural par que é primo é o 2.
O 5º número primo é o 11 e o 2º, o 3, sendo de 11 – 3 = 8 a diferença entre
eles.
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Lembrando que números naturais que são divisíveis finitamente por mais de
dois divisores positivos são chamados números COMPOSTOS.
Por exemplo, o 15 apresenta 4 divisores positivos: o 1, o próprio 15, o 3 e o 5.
Portanto, o 15 é composto.
De acordo com as definições acima expostas, o 1 não é nem primo nem
composto, pois D(1) = {1} (possui apenas um divisor). O zero também não é
nem primo nem composto, pois D(0) = {1, 2, 3, 4, 5, ...} (possui infinitos
divisores).
GABARITO DA QUESTÃO: OITO “8”
QUESTÃO 04 (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo:
O conjunto dos múltiplos de 1 é um conjunto unitário;
Todo número composto tem apenas 2 divisores primos;
O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais;
O número 1 é múltiplo de todos os números naturais;
Todo número primo admite um divisor primo.
a) todas as afirmativas são falsas
b) todas as afirmativas são verdadeiras
c) apenas uma afirmativa é falsa
d) apenas uma afirmativa é verdadeira
e) nenhuma das anteriores
SOLUÇÃO:
I) FALSO, pois M(1) = {0, 1, 2, 3, ...} =
(conjunto dos números naturais);
II) FALSO, pois, por exemplo, 30 = 2 x 3 x 5, ou seja, é um número composto
que possui 3 fatores primos;
III) FALSO, pois M(0) = {0};
IV) FALSO, pois é o zero o múltiplo universal. O 1 é um divisor universal;
V) VERDADEIRO, o próprio número.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “D”.
QUESTÃO 05 (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) De quantas maneiras
podemos escrever 497 como a soma de dois números primos positivos?
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PROFESSOR: BRUNO LEAL
SOLUÇÃO: Ao adicionarmos dois números pares, ou dois números ímpares, o
resultado será sempre par. Mas se adicionarmos um número par com um
ímpar, a soma será ímpar.
Sendo ímpar o 497, pelo que colocamos acima, ele é a soma de um número par
com um número ímpar. Como essas parcelas devem ser ambas primas, a única
opção possível seria escrever 497 = 2 + 495, pois o 2 é o único natural par e
primo.
Porém, o 495 é composto, por ser M(5). Logo, não há nenhuma maneira de ser
escrever 497 como a soma de 2 primos.
GABARITO DA QUESTÃO: NENHUMA VEZ
QUESTÃO 06 (Centro Federal de Educação Tecnológica
Determine 3 números naturais consecutivos cujo produto é 504.
–
CEFET/RJ)
SOLUÇÃO: Sejam x, x + 1 e x + 2 os naturais consecutivos. Sendo 504 o
produto deles, podemos escrever que x . (x + 1) . (x + 2) = 504.
O problema é que, desenvolvendo a expressão acima, encontramos uma
equação do 3º grau! Logo, é uma questão proibitiva de ser resolvida por meios
algébricos.
Como os números são naturais e o produto deles é 504, tais números são
DIVISORES de 504. Decompondo-o em fatores primos e escrevendo-o na
forma canônica, vem: 504 = 23 . 32 . 7 = 8 . 9 . 7, que são justamente os
números consecutivos que estávamos procurando!
GABARITO DA QUESTÃO: SETE, OITO E NOVE “7,8 e 9”.
QUESTÃO 07 Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por 1 944
de modo a obter um quadrado perfeito?
SOLUÇÃO: Um número natural é chamado quadrado perfeito quando possuir
raiz quadrada exata, ou seja, quando for o quadrado de um número natural.
Qualquer quadrado perfeito possui, na sua forma canônica, todas as suas bases
elevadas a expoentes pares. Exemplo: 144 = 24 . 32 é um quadrado perfeito
por possui todas as suas bases elevadas a expoentes pares.
O nosso número, 1944, quando fatorado, dá 23 x 35. Para ser um quadrado
perfeito, deveríamos ter, no mínimo, 24 x 36. Para que isso ocorra, precisamos
multiplicar o 1944 por 2 x 3 = 6, para acrescentar as bases 2 e 3 que estavam
faltando.
GABARITO DA QUESTÃO: SEIS “6”
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QUESTÃO 08 (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n
por 3888 um cubo perfeito é:
SOLUÇÃO: Um número natural é chamado cubo perfeito quando possuir raiz
cúbica exata, ou seja, quando for o cubo de um número natural. Qualquer cubo
perfeito possui, na sua forma canônica, todas as suas bases elevadas a
expoentes que são divisíveis por 3. Exemplo: 1728 = 2 6 . 33 é um cubo
perfeito por possui todas as suas bases elevadas a expoentes divisíveis por 3.
O nosso número, 3888, quando fatorado, dá 24 x 35. Para ser um cubo
perfeito, deveríamos ter, no mínimo, 26 x 36. Para que isso ocorra, precisamos
multiplicar o 3888 por 22 x 3 = 12, para acrescentar as duas bases 2 e a base 3
que estavam faltando.
GABARITO DA QUESTÃO: DOZE “12”
QUESTÃO 09 Quais são os divisores positivos de 60?
SOLUÇÃO: Para determinar os divisores positivos de um número, procedemos
como se segue abaixo:
1º) Fatoramos o número dado;
2º) Traçamos uma segunda barra vertical à direita dos fatores primos;
3º) Um pouco acima e à direita dessa barra, escrevemos o divisor 1, que é o
divisor universal;
4º) Multiplicamos os fatores primos pelos números que vão ficando à direita da
segunda barra.
Obs.: Os produtos que se forem repetindo não serão escritos.
Aplicando-se a regra para o 60, temos:
1
60
2
2
30
2
4
15
3
3 – 6 – 12
5
5
5 – 10 – 20
1
15 – 30 – 60
logo, D (60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30, 60}.
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Note, meu amigo concurseiro, que o enunciado falou em divisores POSITIVOS...
mas haveria divisores negativos?
Da mesma forma que acontece com os múltiplos, o oposto ou simétrico de um
divisor positivo de um inteiro continuará divisor desse inteiro. Por exemplo, o 9
possui como divisores positivos o 1, o 3 e o próprio 9. Além desses, o −1, o −3
e o −9 também são divisores do 9.
GABARITO DA QUESTÃO: “1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20, 30, 60”.
QUESTÃO 10 Marque V ou F:
a) Todo número inteiro é divisor de 1. (
)
b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. (
)
c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. (
d) 1 é divisor de todos os números inteiros. (
)
)
e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. (
)
SOLUÇÃO:
a) FALSO, pois o único divisor (positivo) de 1 é o próprio 1.
inteiro é MÚLTIPLO de 1.
Todo número
b)
FALSO, pois o único múltiplo de zero é o próprio zero.
c)
FALSO, o 1 é DIVISOR de todos os números inteiros, assim como o – 1.
d)
VERDADEIRO
e)
VERDADEIRO
GABARITO DA QUESTÃO: F – F – F – V – V
QUESTÃO 11 Analise as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito.
II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito.
III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número.
Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que:
as 3 são falsas
as 3 são corretas
apenas I e II são corretas
apenas II e III são corretas
nenhuma das anteriores
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SOLUÇÃO: É importantíssimo repararmos nesse enunciado que ele cita o
conjunto dos múltiplos de um “número”, nada sendo especificado acerca de tal
número. Conclui–se que ele pode ser par, ímpar, positivo, negativo ou mesmo
o ZERO. Levando isso em consideração, vamos analisar as afirmativas:
I) FALSO, pois o conjunto dos múltiplos de zero é UNITÁRIO: M(0) = {0}.
II) FALSO, pois o conjunto dos divisores de zero é INFINITO: D(0) = {1, 2, 3,
4, ...}. Note que o zero não é divisor nem de si mesmo.
III) VERDADEIRO, por exemplo, 24 e 32 são múltiplos de 8 e a soma deles, 56,
também o é.
A diferença e o produto de dois múltiplos de um número também é múltipla do
número.
Conclui-se que a alternativa correta é a letra e)
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “E”
QUESTÃO 12 A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273. O maior desses
números é um número:
a) Par
b) Ímpar
c) Múltiplo de 3
d) Múltiplo de 4
SOLUÇÃO: Sabemos que os múltiplos de 7 se sucedem de 7 em 7 e por isso,
sendo x o menor dos números, os outros serão x + 7 e x + 14.
Como a soma deles é 273, vem: x + x + 7 + x + 14 = 273 → 3x + 21 = 273
→ 3x = 252 → x = 84.
O maior será 84 + 14 = 98, que é um número par, letra a).
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “A”
QUESTÃO 13 Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da
seguinte maneira:
1 2 3
10 11 12
19 __ __
4 5 6
13 14 15
__ __ __
7 8 9
16 17 18
__ __ __
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna"
em que o número 500 se encontra são, respectivamente:
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a) 2 e 2.
b) 3 e 3.
c) 2 e 3.
d) 3 e 2.
e) 3 e 1.
SOLUÇÃO: Repare que há 9 elementos em cada quadrado, e a localização de
cada número pode ser dada pelo RESTO da divisão do número por 9. Pelo
critério de divisibilidade por 9, o número 500 deixa resto 5 + 0 + 0 = 5 na
divisão por 9. Portanto, o número 500 deve estar na mesma posição do 5, ou
seja, no centro do quadrado, na linha 2 e coluna 2.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “A”
QUESTÃO 14 (Banco do Brasil/2010 − Cesgranrio) De acordo com o Plano
Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de
Goiás tem 62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabese, também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não
pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas
pavimentadas. Quantos quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás?
SOLUÇÃO: Sendo x a extensão das pavimentadas e y, das não pavimentadas,
podemos escrever:
1º) y = x + 62868 e
2º) y = 6x + 393,
logo, comparando as duas equações, vem: 6x + 393 = x + 62868 → 6x – x =
62898 – 393 → 5x = 62475 → x = 62475 : 5 → x = 12495.
GABARITO DA QUESTÃO: 12495 KM.
QUESTÃO 15 (Transpetro/2012 – Cesgranrio) Se a soma de dois números
naturais não nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então:
(A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3.
(B) um deles é par, se o outro for ímpar.
(C) certamente os dois números são compostos.
(D) os dois números podem ser iguais.
(E) um dos números é, obrigatoriamente, primo.
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SOLUÇÃO: Vamos representar os números por x e y. O enunciado nos disse
que a soma deles é igual ao quádruplo (4 vezes) de um deles, digamos, 4 vezes
y. Em símbolos:
x + y = 4y → isolando x, vem: x = 4y – y → x = 3y.
Repare, querido amigo, que x é igual a 3 vezes o número natural y. Com
certeza, x será múltiplo de 3, pois todo múltiplo de 3 é igual a 3 vezes
“alguém”. Alternativa A.
Vamos pensar num exemplo numérico: números: 2 e 6 → soma: 2 + 6 = 8,
que é o quádruplo do 2. Note que o 6 é divisível por 3, por ser 3 vezes
“alguém”, 3 x 2.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “A”
QUESTÃO 16 (BNDES/2012 − Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do
Conduru, localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente
9.270 hectares. Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas.
Qual é, em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas?
(A) 2.060
(B) 2.640
(C) 3.210
(D) 5.100
(E) 7.210
SOLUÇÃO: O que o enunciado quis dizer com “Dessa área, 7 em cada 9
hectares são ocupados por florestas”?
Que, separando a área do parque em “lotes” de 9 hectares cada, em cada “lote”
7 hectares são ocupados por florestas e 2 hectares NÃO serão ocupados.
Como a área do Parque é de 9270 hectares, podemos formar 9270 : 9 = 1030
“lotes” de 9 hectares. Portanto, a área pedida é 2 x 1030 = 2060 hectares,
alternativa A.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “A”
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QUESTÃO 17 (Banco do Brasil – Escriturário/2013 – Fundação Carlos Chagas)
Para recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma
brincadeira na qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos
iguais (mesmo número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9,
ou 10 integrantes. Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa
menos funcionários sem grupo é aquela em que os grupos têm número de
integrantes igual a:
(A) 7.
(B) 9.
(C) 5.
(D) 10.
(E) 8.
SOLUÇÃO: A questão é simples, basta dividir 37 por 5, 7, 8, 9 e 10 e verificar
os restos de cada divisão. O divisor que “deixar o resto menor” será a
resposta.
1º) 37 : 5 → quociente 7 e resto 2;
2º) 37 : 7 → quociente 5 e resto 2;
3º) 37 : 8 → quociente 4 e resto 5;
4º) 37 : 9 → quociente 4 e resto 1;
5º) 37 : 10 → quociente 3 e resto 7.
Portanto, a resposta é a alternativa B, pois dividindo os funcionários em grupos
de 9 em 9, só sobra 1.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “B”
QUESTÃO 18 (DPE – RS/2013 – FCC) Em uma montadora, são pintados, a
partir do início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com
a seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20
seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2
últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete.
Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor:
(A) prata.
(B) preta.
(C) branca.
(D) azul.
(E) vermelha.
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SOLUÇÃO: Como se trata de uma sequência, vamos dividir 530 por 68:
encontramos quociente 7 e resto 54. O que isso significa? Que o ciclo de 68
carros pintados ocorreu 7 vezes e, durante o oitavo ciclo, paramos no carro
número 54. Isso quer dizer que, no oitavo ciclo, chegamos a pintar os 33
carros prata e os 20 carros pretos (totalizando 53 carros). O carro de número
54, o último a ser pintado, foi, seguindo a sequência, terá a cor branca.
Alternativa C.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “C”
QUESTÃO 19 (DPE – SP/2013 – FCC) Alguns funcionários da Defensoria
Pública de São Paulo participaram de um seminário sobre “Ações na Área Cível”,
pelo qual pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais
era o valor unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre
40 e 60, quantos funcionários da Defensoria participaram de tal seminário?
(A) 11.
(B) 13.
(C) 37.
(D) 55.
(E) 59.
SOLUÇÃO: Seja Y o total de funcionários que participaram do seminário. Note
que Y é um número inteiro positivo (não podemos ter 24,785 funcionários
participando!). Se cada um desses Y funcionários pagou X reais, podemos
escrever que X . Y = 715.
O enunciado nos disse que X também é inteiro, logo precisamos que X e Y
sejam DIVISORES de 715, sendo X, entre 40 e 60, conforme o enunciado.
Decompondo 715 em fatores primos, encontramos 5.11.13. Podemos concluir
que X = 5 . 11 = 55 (pois é um número entre 40 e 60) e consequentemente Y
= 13.
Logo, 13 funcionários participaram do evento, tendo cada um pagado 55 reais.
Alternativa B.
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “B”
QUESTÃO 20 (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – FCC)
No
universo dos números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O
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resto da divisão do mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que
80. O resto da divisão do número Y por 15 é:
(A) 3.
(B) 0.
(C) 5.
(D) 12.
(E) 9.
SOLUÇÃO: Vamos encontrar os números naturais que, divididos por 13,
deixam resto 2:
13 x 1 + 2 = 15;
13 x 2 + 2 = 28;
13 x 3 + 2 = 41;
13 x 4 + 2 = 54;
13 x 5 + 2 = 87 (note que basta irmos somando de 13 em 13, a partir do 15),
...
Vamos agora encontrar os números naturais que, divididos por 17, deixa resto
3:
17 x 1 + 3 = 20;
17 x 2 + 3 = 37;
17 x 3 + 3 = 54;
17 x 4 + 3 = 71, ...
Percebemos que o 54 é o número menor que 80 que apareceu em ambas as
sequências. Logo, Y = 54. Dividindo-o por 15, o quociente é 3 e o resto é 9,
alternativa E.
Vejamos mais alguns exercícios resolvidos, dessa vez sobre restos:
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “E”
QUESTÃO 21 (CMRJ) Considere 3 números naturais representados por m, n e
p. Se os restos das divisões de m, n e p por 11, são, respectivamente, 3, 4 e 5,
então o resto da divisão de (m + n + p) por 11 é:
SOLUÇÃO: Como vimos na teoria, basta substituir m, n e p por 3, 4 e 5, pois o
“resto da soma” é a soma dos restos das parcelas. Logo, teremos (3 + 4 + 5) :
11 → 12 : 11 → resto 1
GABARITO DA QUESTÃO: RESTO 1
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QUESTÃO 22 (UNICAMP) A divisão de um certo inteiro positivo N por 1994
deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número
1994.
SOLUÇÃO: Mesma história do anterior, o resto da soma é a soma dos restos
das parcelas. Como N deixa resto 148 na divisão por 1994 e o 2000 deixa resto
6, (N + 2000) deixará resto (148 + 6) = 154 na divsão por 1994.
GABARITO DA QUESTÃO: RESTO 14
2.6. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Hora do “Varandão da Saudade”... bons tempos que nossas preocupações
escolares eram o mmc...
Relembrando: o mmc entre é o menor inteiro POSITIVO que é múltiplo, ao
mesmo tempo, de dois os mais inteiros dados.
Exemplo: Calcular o mmc (4, 6):
1º) Múltiplos (naturais) de 4 = {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36...}
2º) Múltiplos (naturais) de 6 = {0,6,12,18,24,30,36,40,...}
3º) Múltiplos comuns (naturais) entre 4 e 6 = {0,12,24,36...}
Portanto, o mínimo múltiplo comum entre 4 e 6 é o 12.
Repare que o 12 não é “umc” – único múltiplo comum. É apenas o menor,
POSITIVO, dentre INFINITOS. Qualquer MÚLTIPLO de 12 continuará múltiplo
tanto do 4 quanto do 6.
Em princípio, no conjunto dos naturais, o mmc deveria ser o zero, por ele ser o
múltiplo universal e o menor natural. Por isso que para evitar de o zero ser
sempre a resposta, o fizemos de “café-com-leite” adotando o mmc como sendo
o menor inteiro POSITIVO que é divisível ao mesmo tempo, no caso, entre o 4 e
o 6.
Esse processo é “artesanal”, e bastante lento, por isso de interesse apenas
teórico.
Vamos utilizar preferencialmente o processo da decomposição
simultânea em fatores primos, como você certamente sabe fazer. Veja logo
abaixo um exemplo:
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Existe ainda um terceiro processo:
primos. Veja o exemplo abaixo:
da decomposição separada em fatores
Exemplo: Determine o mmc (90, 48).
Vamos utilizar o processo da decomposição separada em fatores primos dos
números dados. O mmc é igual ao produto dos fatores primos comuns e não
comuns elevados aos maiores expoentes.
No nosso caso, temos: 90 = 2 x 32 x 5 e 48 = 24 x 3, logo mmc (90, 48) = 24
x 32 x 5 = 720.
Há algumas questões clássicas envolvendo o mmc, que veremos agora:
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “”
QUESTÃO 23 De um aeroporto partem 3 aviões que fazem rotas
internacionais. O primeiro avião faz a rota de ida e de volta em 4 dias, o
segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia, os 3 aviões
partirem simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão
novamente no mesmo dia?
SOLUÇÃO: Questões como essa, que pedem após quanto tempo determinados
eventos coincidirão pela primeira vez, são facilmente resolvidas.
Basta
encontrarmos o mínimo múltiplo comum entre 4, 5 e 10, que é igual a 20 dias.
O que caracteriza um problema de mmc é justamente isso: coincidência entre
os acontecimentos dos eventos citados no enunciado.
GABARITO DA QUESTÃO: “20”
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QUESTÃO 24 As revisões mecânica, hidráulica e elétrica de um dado
equipamento devem ser realizadas respectivamente em intervalos de 6, 4 e 8
meses.
Iniciando-se a manutenção com uma revisão simultânea das 3
categorias em janeiro de 2013, essas 3 revisões coincidirão novamente em:
SOLUÇÃO: Repare a última frase do enunciado: essas 3 revisões coincidirão
novamente em... Como na anterior, a questão é sobre mmc.
Sendo o mmc (6, 4, 8) = 24 meses = 2 anos, conclui-se que a próxima revisão
simultânea ocorrerá em janeiro de 2015.
GABARITO DA QUESTÃO: JANEIRO DE 2015
QUESTÃO 25 (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) Certo jogo de
cartas pode ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas
aos jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O
número mínimo de cartas que esse jogo pode ter é:
SOLUÇÃO: Se o jogo pode ter de 2 a 5 participantes, então pode ter 2, 3, 4 ou
5 participantes. A quantidade de cartas deve ser múltipla desses números, pois
todas as cartas devem ser distribuídas e todos os jogadores recebem a mesma
quantidade de cartas. Logo, o número mínimo de cartas é dado pelo mmc(2, 3,
4, 5) = 60.
GABARITO DA QUESTÃO: “60”
QUESTÃO 26 (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ)
Na festa de
casamento de Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese,
carne e massa. Garçons serviram os convidados utilizando pequenas bandejas.
A quantidade servida era aproximadamente igual parta todos, sem repetição.
Todos os convidados se serviram de todos os pratos oferecidos e as bandejas
retornavam à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as
de maionese , 4 pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas
cada. Nessas condições, dos números abaixo apresentados, só um deles pode
corresponder ao total de convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o:
90
120
144
150
200
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SOLUÇÃO: Como no anterior, o total de convidados será dado por um múltiplo
comum de 3, 4, 5 e 6. O menor de todos é dado pelo mmc(3, 4, 5, 6) = 60,
que não apareceu nas alternativas.
Qualquer múltiplo do mmc continuará sendo um múltiplo comum de 3, 4, 5 e 6.
Os múltiplos de 60 são {0, 60, 120, 180, ...}. Observe que o 120 apareceu na
opção b), sendo esta a resposta.LETRA “B"
GABARITO DA QUESTÃO: LETRA “B”
QUESTÃO 27 Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca
15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo
instante as luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas
voltarão a piscar ao mesmo tempo?
SOLUÇÃO: CUIDADO!! A questão tem “cheiro” de mmc, “gosto” de mmc,
“cara” de mmc, “corpo” de mmc... e É de mmc... Mas não é o mmc(15, 10) =
30!!!
Por quê? Pois não nos importa saber que determinado evento ocorre 15 vezes
por minuto, 25 vezes por hora, 60 vezes por dia, etc..., e sim de quanto em
quanto tempo leva para tal evento ocorrer APENAS UMA VEZ.
No nosso exercício, se a 1ª luz pisca 15 vezes por minuto, ou seja, 15 vezes a
cada 60 s, então ela pisca uma vez a cada 60 : 15 = 4 s.
Da mesma forma, se a 2ª luz pisca 10 vezes por min, ou seja 10 vezes a cada
60 s, pisca uma vez a cada 60 : 10 = 6 s.
Agora sim! Basta calcular o mmc(4, 6) = 12 s.
GABARITO DA QUESTÃO: 12 s.
QUESTÃO 28 O menor número que dividido por 15, 18 e 24 deixa resto 7 é:
SOLUÇÃO: Seja N o número procurado. Podemos escrever que:
N 15
7
,
N 18
7
,
N 24
7
.
Notemos que N não é múltiplo nem de 15, nem de 18 e nem de 24. Se
subtrairmos os três restos 7 de N, as 3 divisões se tornam exatas, portanto, N –
7 é um múltiplo comum (mc) de 15, 18 e 24.
Como o enunciado pediu o menor valor possível de N, podemos escrever que N
– 7 = mmc (15, 18, 24) → N – 7 = 360 → N = 367.
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GABARITO DA QUESTÃO: N = 367.
2.7. Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural
que divide todos estes números, ao mesmo tempo.
Exemplo 1: Calcular o mdc entre 60 e 80.
1º) Divisores de 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
2º) Divisores de 80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80}
3º) Divisores comuns = {1,2,4,5,10,20}
Logo, o Máximo Divisor Comum é 20.
Exemplo 2: Determinar o mdc dos números 360 e 210.
Vamos utilizar o MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS ou ALGORITMO DE
EUCLIDES. Observe o esquema:
1
1
2
2
360 210 150 60 30
150 60
30
0
A primeira linha é a linha dos quocientes, enquanto que a última é a linha dos
restos.
1º) Dividimos o maior número (360) pelo menor (210), obtendo quociente 1,
que ficará na primeira linha, acima do 210 e resto 150, que ficará na terceira
linha, abaixo do 360;
2º) Dividimos o primeiro divisor (210) pelo primeiro resto (150),
quociente 1 e resto 60;
obtendo
3º) Dividimos o segundo divisor (150) pelo segundo resto (60) e assim por
diante até encontrarmos resto zero. O último número escrito na linha do meio,
que foi o último divisor (30) será o mdc. No caso de determinarmos o mdc de 3
números, calculamos o mdc entre dois deles e, depois, o mdc entre o número
que sobrou e o mdc encontrado para os 2 primeiros.
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30
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Há ainda um terceiro processo, que consiste em decompor separadamente os
números em fatores primos. O mdc é igual ao produto dos fatores primos
comuns elevados aos menores expoentes.
No nosso caso, temos: 360 = 23 x 32 x 5 e 210 = 2 x 3 x 5 x 7 logo,
mdc (360, 210) = 2 x 3 x 5 = 30.
Importante:
a) Se o menor dos números dados dividir todos os outros, sendo todos eles
positivos, ele será o mdc.
Ex.: O mdc entre 8, 16 e 32 é igual a 8 pois 8 é divisor de 16 e 32.
b) Números primos entre si são aqueles que não apresentam divisores primos
comuns, sendo o mdc deles sempre igual a um.
Ex.: O mdc entre 12 e 25 é igual a 1 pois são números primos entre si (nenhum
primo divide ao mesmo tempo 12 e 25).
Dividindo-se dois ou mais números pelo seu mdc os quocientes encontrados são
números primos entre si.
Ex.: O mdc entre 6, 9 e 21 é igual a 3, temos:
6 : 3 = 2; 9 : 3 = 3; 21 : 3 = 7 → 2, 3, e 7 são números primos entre si.
Há algumas questões clássicas envolvendo mdc. Vamos dar uma olhada nelas:
QUESTÃO 29 Seja n  . Sabendo-se que o mdc (n, 15) = 3 e que o mmc (n,
15) = 90, determinar o valor de n.
SOLUÇÃO: Existe uma relação que liga o mmc e o mdc de dois números
positivos: mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b, ou seja, o produto do mmc de dois
números positivos pelo mdc dos mesmos números é igual ao produto deles.
No nosso exercício, podemos escrever que 90 x 3 = n x 15 → 270 = 15n → n
= 18.
GABARITO DA QUESTÃO: n = 18.
QUESTÃO 30 Sabendo que a x b = 30240 e que o mmc(a,b) = 504, então o
mdc(a,b) é:
SOLUÇÃO: Como no anterior, temos que mmc (a, b) x mdc (a, b) = a x b. No
nosso exercício, vem: 504 x mdc = 30240 → mdc = 60.
GABARITO DA QUESTÃO: mdc = 60.
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QUESTÃO 31 Um antiquário adquiriu 112 tinteiros, 48 espátulas e 80
canivetes. Deseja arrumá-los em mostruários de modo a cada um conter o
mesmo e o maior número possível de objetos da mesma natureza. O total de
objetos em cada mostruário será de:
SOLUÇÃO: A “marca registrada” de um problema de mdc é DIVISÃO DE DOIS
OU MAIS NÚMEROS EM PARTES IGUAIS E MAIORES POSSÍVEIS. O enunciado
possui claramente essa “marca”: deseja-se arrumar (distribuir, dividir) os
objetos em mostruários de modo a cada um conter o mesmo (divisão em partes
iguais) e o maior número possível de objetos da mesma natureza.
O que precisamos simplesmente é encontrar o mdc (112, 48, 80) = 16.
GABARITO DA QUESTÃO: 16
QUESTÃO 32 Maria tinha 3 carretéis, o 1o com 28m, o 2o com 52m e o 3o com
60m de fita colorida. Resolveu cortar as fitas em pedaços de comprimentos
iguais, do maior tamanho possível e sem sobras, para fazer um enfeite.
Quantos pedaços ela obteve?
SOLUÇÃO: Como no anterior, o enunciado nos pede que dividamos (cortemos)
as fitas em pedaços iguais e maiores possíveis. Logo, se trata de uma questão
de mdc. Calculando o mdc (28, 52, 60), encontramos 4 METROS como
resposta.
Como diria João Kléber, PARA, PARA PARA!!! A resposta NÃO é 4!!
O enunciado NÃO pediu o TAMANHO de cada pedaço, e sim o NÚMERO DE
PEDAÇOS obtidos.
Adicionando os comprimentos dos 3 carretéis, temos 28 + 52 + 60 = 140 m.
Dividindo 140 por 4, obtemos 35 pedaços.
GABARITO DA QUESTÃO: 35
Depois de citar o João Kléber, acho melhor encerrar esta aula, rsrsrsrs...
3.
Considerações Finais
É com enorme satisfação que concluímos nossa primeira aula. Acredito que
todos tenham entendido tudo e percebido que não “doeu nada”, rsrsrs.
Pratiquem, leiam várias vezes, tirem suas dúvidas, estou às ordens sempre!
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Até nossa próxima aula! Rumo à vitória! Força, foco e fé!
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4.
LISTA COM OS EXERCÍCIOS ABORDADOS HOJE
01. Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – Fundação Carlos Chagas) O
resultado da expressão: 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + . . . − 168 + 169 –
170 é igual a:
A) 170.
B) − 170.
C) 85.
D) − 85.
E) − 87.
02. Resolva a expressão (99 – 9)(99 – 19)(99 – 29) ... (99 – 189)
03). A diferença entre o 5º e o 2º número natural primo é:
04. (Colégio Militar do Rio de Janeiro) Examine as afirmativas abaixo:
I)
O conjunto dos múltiplos de 1 é um conjunto
II) Todo número composto tem apenas 2 divisores primos;
unitário;
III) O conjunto dos múltiplos de 0 é o conjunto dos números naturais;
IV) O número 1 é múltiplo de todos os números naturais;
V) Todo número primo admite um divisor primo.
a.
todas as afirmativas são falsas
b.
todas as afirmativas são verdadeiras
c.
apenas uma afirmativa é falsa
d.
apenas uma afirmativa é verdadeira
e.
nenhuma das anteriores
05. (Olimpíadas Brasileiras de Matemática) De quantas maneiras podemos
escrever 497 como a soma de dois números primos positivos?
06. (Centro Federal de Educação Tecnológica – CEFET/RJ)
números naturais consecutivos cujo produto é 504.
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Determine 3
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07. Qual o menor inteiro positivo que se deve multiplicar por 1 944 de modo a
obter um quadrado perfeito?
08. (FUVEST) O menor número natural n que torna o produto de n por 3888
um cubo perfeito é:
09. Quais são os divisores positivos de 60?
10. Marque V ou F:
a) Todo número inteiro é divisor de 1. (
)
b) Todo número inteiro é múltiplo de zero. (
)
c) 1 é múltiplo de todos os números inteiros. (
d) 1 é divisor de todos os números inteiros. (
)
)
e) Zero é múltiplo de todos os números inteiros. (
)
11. Analise as afirmativas abaixo:
I. O conjunto dos múltiplos de um número é um conjunto infinito.
II. O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito.
III. A soma de dois múltiplos de um número é também múltipla desse número.
Com relação às afirmações acima, pode-se dizer que:
a) as 3 são falsas
b) as 3 são corretas
c) apenas I e II são corretas
d) apenas II e III são corretas
e) nenhuma das anteriores
12. A soma de 3 múltiplos consecutivos de 7 é 273. O maior desses números
é um número:
a)
par
b) ímpar
c) múltiplo de 3
d) múltiplo de 4
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13. Os números inteiros positivos são dispostos em "quadrados" da seguinte
maneira:
1 2 3
10 11 12
19 __ __
4 5 6
13 14 15
__ __ __
7 8 9
16 17 18
__ __ __
O número 500 se encontra em um desses "quadrados". A "linha" e a "coluna"
em que o número 500 se encontra são, respectivamente:
a) 2 e 2.
b) 3 e 3.
c) 2 e 3.
d) 3 e 2.
e) 3 e 1.
14. (Banco do Brasil/2010 − Cesgranrio) De acordo com o Plano Nacional de
Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem
62.868km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também,
que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera
em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos
quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás?
15. (Transpetro/2012 – Cesgranrio) Se a soma de dois números naturais não
nulos é igual ao quádruplo de um desses números, então:
A) pelo menos um dos números é múltiplo de 3.
B) um deles é par, se o outro for ímpar.
C) certamente os dois números são compostos.
D) os dois números podem ser iguais.
E) um dos números é, obrigatoriamente, primo.
16. (BNDES/2012 − Cesgranrio) O Parque Estadual Serra do Conduru,
localizado no Sul da Bahia, ocupa uma área de aproximadamente 9.270
hectares. Dessa área, 7 em cada 9 hectares são ocupados por florestas. Qual é,
em hectares, a área desse Parque NÃO ocupada por florestas?
A) 2.060
B) 2.640
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C) 3.210
D) 5.100
E) 7.210
17. (Banco do Brasil – Escriturário/2013 – Fundação Carlos Chagas) Para
recepcionar os 37 novos funcionários de uma agência, foi criada uma
brincadeira na qual os novos funcionários deveriam ser divididos em grupos
iguais (mesmo número de integrantes) que poderiam ter ou 5, ou 7, ou 8, ou 9,
ou 10 integrantes. Das cinco opções de tamanhos dos grupos, a que deixa
menos funcionários sem grupo é aquela em que os grupos têm número de
integrantes igual a:
A) 7.
B) 9.
C) 5.
D) 10.
E) 8.
18. (DPE – RS/2013 – FCC) Em uma montadora, são pintados, a partir do
início de um turno de produção, 68 carros a cada hora, de acordo com a
seguinte sequência de cores: os 33 primeiros são pintados de prata, os 20
seguintes de preto, os próximos 8 de branco, os 5 seguintes de azul e os 2
últimos de vermelho. A cada hora de funcionamento, essa sequência se repete.
Dessa forma, o 530º carro pintado em um turno de produção terá a cor:
A) prata.
B) preta.
C) branca.
D) azul.
E) vermelha.
19. (DPE – SP/2013 – FCC) Alguns funcionários da Defensoria Pública de São
Paulo participaram de um seminário sobre “Ações na Área Cível”, pelo qual
pagaram o total de R$ 715,00, no ato de suas inscrições. Se X reais era o valor
unitário da inscrição e X é um número inteiro compreendido entre 40 e 60,
quantos funcionários da Defensoria participaram de tal seminário?
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A) 11.
B) 13.
C) 37.
D) 55.
E) 59.
20. (Agente de Segurança Metroviária – SP/2013 – FCC) No universo dos
números naturais, o resto da divisão do número Y por 13 é 2. O resto da divisão
do mesmo número Y por 17 é 3. O número Y é menor do que 80. O resto da
divisão do número Y por 15 é:
A) 3.
B) 0.
C) 5.
D) 12.
E) 9.
21. (CMRJ) Considere 3 números naturais representados por m, n e p. Se os
restos das divisões de m, n e p por 11, são, respectivamente, 3, 4 e 5, então o
resto da divisão de (m + n + p) por 11 é:
22. (UNICAMP) A divisão de um certo inteiro positivo N por 1994 deixa resto
148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.
23. De um aeroporto partem 3 aviões que fazem rotas internacionais. O
primeiro avião faz a rota de ida e de volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o
terceiro em 10 dias. Se num certo dia, os 3 aviões partirem simultaneamente,
depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
24. As revisões mecânica, hidráulica e elétrica de um dado equipamento
devem ser realizadas respectivamente em intervalos de 6, 4 e 8 meses.
Iniciando-se a manutenção com uma revisão simultânea das 3 categorias em
janeiro de 2013, essas 3 revisões coincidirão novamente em:
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25. (Escola de Especialistas da Aeronáutica – EEAR) Certo jogo de cartas pode
ter de 2 a 5 participantes. Todas as cartas devem ser distribuídas aos
jogadores e todos devem receber a mesma quantidade de cartas. O número
mínimo de cartas que esse jogo pode ter é:
26. (Colégio Militar do Rio de Janeiro – CMRJ) Na festa de casamento de
Márcia, foi servido um jantar, constituído de arroz, maionese, carne e massa.
Garçons serviram os convidados utilizando pequenas bandejas. A quantidade
servida era aproximadamente igual parta todos, sem repetição. Todos os
convidados se serviram de todos os pratos oferecidos e as bandejas retornavam
à copa sempre vazias. Cada bandeja de arroz servia 3 pessoas, as de maionese
, 4 pessoas, as de carne, 5 pessoas e as de massa, 6 pessoas cada. Nessas
condições, dos números abaixo apresentados, só um deles pode corresponder
ao total de convidados que foram à festa de Márcia. Assinale-o:
a) 90
b) 120
c) 144
d) 150
e) 200
27. Duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes
por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se em certo instante as
luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar
ao mesmo tempo?
28. O menor número que dividido por 15, 18 e 24 deixa resto 7 é:
29. Seja n  . Sabendo-se que o mdc (n, 15) = 3 e que o mmc (n, 15) = 90,
determinar o valor de n.
30. Sabendo que a x b = 30240 e que o mmc(a,b) = 504, então o mdc(a,b) é:
31. Um antiquário adquiriu 112 tinteiros, 48 espátulas e 80 canivetes. Deseja
arrumá-los em mostruários de modo a cada um conter o mesmo e o maior
número possível de objetos da mesma natureza. O total de objetos em cada
mostruário será de:
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32. Maria tinha 3 carretéis, o 1o com 28m, o 2o com 52m e o 3o com 60m de
fita colorida. Resolveu cortar as fitas em pedaços de comprimentos iguais, do
maior tamanho possível e sem sobras, para fazer um enfeite. Quantos pedaços
ela obteve?
GABARITO DAS QUESTÕES
01) D
02) zero
03) 8
04) D
05) nenhuma
06) 7, 8 e 9
07) 6
08) 12
09) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10,12, 15, 20,
30, 60
10) F - F - F - V - V
11) E
12) A
13) A
14) 12495
15) A
16) A
17) B
18) C
19) B
20) E
21) resto 1
22) resto 14
23) 20
24) janeiro de 2015
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25) 60
26) B
27) 12 s
28) 367
29) 18
30) 60
31) 16
32) 35
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