Caderno de Atividades
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Caderno de Atividades ENSINO MÉDIO matemática 2 . série a Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) (Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil) M319 Marciano Neto, Mário. Matemática : ensino médio, 2ª. série : caderno de atividades / Mário Marciano Neto e Dirceu Luiz Fedalto ; ilustrações Cesar Stati. – Curitiba : Positivo, 2012. : il. Sistema Positivo de Ensino ISBN 978-85-385-5506-3 (Livro do aluno) ISBN 978-85-385-5507-0 (Livro do professor) 1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos I. Fedalto, Dirceu Luiz. II. Stati, Cesar. III. Título. CDU 510 © Editora Positivo Ltda., 2012 Diretor-Superintendente Diretor-Geral Diretor Editorial Gerente Editorial Gerente de Arte e Iconografia Ruben Formighieri Emerson Walter dos Santos Joseph Razouk Junior Maria Elenice Costa Dantas Cláudio Espósito Godoy Autoria Mário Marciano Neto Dirceu Luiz Fedalto Edição Fernanda Rosário de Mello Angela Ferreira Pires da Trindade Solange Gomes Ilustração Projeto gráfico e capa Editoração Pesquisa iconográfica Cesar Stati Roberto Corban Expressão Digital Tassiane Aparecida Sauerbier © Shutterstock/JustASC Produção Editora Positivo Ltda. Rua Major Heitor Guimarães, 174 80440-120 – Curitiba – PR Tel.: (0xx41) 3312-3500 – Fax: (0xx41) 3312-3599 Impressão e acabamento Gráfica Posigraf S.A. Rua Senador Accioly Filho, 500 81310-000 – Curitiba – PR Fax: (0xx41) 3212-5452 E-mail: [email protected] 2012 Contato [email protected] Matemática sumário matrizes e determinantes..........................................5 sistemas lineares.......................................................14 geometria espacial.....................................................21 análise combinatória................................................35 probabilidades...........................................................46 3 Matemática Matrizes e DETERMINANTES 1 −1 0 4 1.Dada a matriz A = 2 3 3 2 0 1 2 4 1 4 4 2 −3 −2 , pede-se: 1 5 a) a ordem da matriz A; b)o elemento a32 de A; 4.Dada a matriz identidade de ordem 6, pergunta-se: a) Quantos são os seus elementos? b)Quantos elementos são iguais a zero? E quantos elementos são iguais a 1? 5.Construa a matriz M = (aij)3x2, tal que aij = i + j. c) a soma dos elementos da 2.a linha de A; d)a soma dos elementos da 4.a linha de A. 6.Determine os valores de x, y e z nas igualdades abaixo: 2 −1 2.Sendo a matriz A = 3 0 , escreva: 4 2 a) a matriz oposta; 9 x + 1 y − 2 7 a) = 0 2z − 3 0 z b)a matriz transposta. 3.Escreva a matriz identidade de ordem: x − y y 2 3 81 b) = x + y 6 7 6 a) 2 x 2 b)3 x 3 5 Caderno de Atividades 7.Dadas as matrizes A, B e C, calcule o que se pede: 1 2 −5 0 −1 3 A= B= 4 0 3 −1 −2 0 1 2 3 C= 0 0 2 10.Construa a matriz R definida da seguinte forma: 0 se i < j R = ( aij)3x3, tal que aij = 3i + 2 j se i = j 2 i − 2 se i > j a) A + B + C b)2A – B + 3C 1 3 4 8.Sendo A = 2 . A – Bt. 5 3 −1 0 e B=1 3 4 7 , calcule 2 11.Considere um quadrado de lado 4 cm, com seus vértices numerados de 1 a 4, no sentido horário. Escreva a matriz Q = (aij)4x4 na qual os índices i e j são os vértices de 1 a 4 e os elementos aij são as distâncias entre os vértices. 9.Dadas as matrizes A = (aij)2x2 com aij= i + j, B = (bij)2x2 com bij = i . j e C = (cij)2x2 com cij = i2 + j2, calcule o valor de 2A + 3B – C. 6 Matemática 1 1 1 2 3 12.Sendo A = e B = 2 4 , calcule: 0 −1 2 3 0 a) A . B b)B . A 1 2 0 3 13.Dadas as matrizes A = e B= , calcule: 3 2 1 4 a) A . B c) A² b)B . A d)B² 2 2 14.Sendo a matriz A = , calcule A² + 4A – 5I2 (I2: Matriz identidade de ordem 2x2). 1 2 1 15.Dadas as matrizes A = [ 1 7 0 ] e B = −2 , calcule: 5 a) A . B b)B . A 7 Caderno de Atividades 4 1 16.Obtenha a matriz inversa da matriz A = 11 3 2 1 17.Verifique se a matriz A = é inversa da ma 5 3 3 −1 triz B = . −5 2 8 18.Seja A = (aij)2x2 com aij = 2j – i2. Determine a matriz inversa da matriz A. 19.Seja a matriz A= (aij)2x2, onde i + j, se i = j aij = aij = . Se At é a matriz transi − j se i ≠ j , posta de A, então determine a matriz B = A2 + At. Matemática 1 2 . 2 3 20.Obtenha a matriz inversa da matriz M = 22.Calcule o valor dos seguintes determinantes: a) 1 3 4 2 b) 1 −5 2 1 23.Calcule o valor dos seguintes determinantes: 1 3 2 a) 4 1 0 1 2 1 2 21.Considere a matriz A = A2008. 3 − 3 . Determine −2 2 5 4 b) 6 5 8 0 0 0 24.Calcule o valor do determinante: 1 2 5 2 4 1 3 6 2 9 Caderno de Atividades 25.Determine o valor de m de modo que o determi2 1 m nante de 3 4 3 seja igual a 0. −1 2 −1 2 3 −2 1 −3 26.Calcule .0 4 1 . 4 1 0 5 −3 27.Resolva a equação 10 −2 5 −3 28.Sendo a = 2 0 1 4 −3 2 calcule 9a + b2. 29.Resolva as equações: a) 5 2 = –4 2x + 3 x b) x 2 = –10 3x + 5 2x + 1 c) x − 2 2 1 16 = 2x + 3 x 1 1 4 5 = 6. x−2 x e 8 0 −3 b = 4 0 −1 , 4 3 −2 Matemática a b a+b d) c d c + d m n m+n 30.Resolva a equação: x x x 5 x x 3= 2 x x 4 2 x −1 1 3 2 e) 1 2 1 5 12 7 2 3 5 33.O valor de x que satisfaz a equação 7 −1 6 = 0 x2 31.Determine os valores de x, de modo que 7 x = 18. 1 32.Calcule o valor dos seguintes determinantes, justificando: 0 0 0 a) 3 4 2 −1 7 9 2 0 2 b) 3 4 3 −1 7 −1 2 3 5 c) 4 6 10 −1 7 9 é: a) 1 b)2 c) 3 d)4 e) 5 1 4 x a b c 34.Seja A = m n p e detA = 10. Calcule o valor dos z y z seguintes determinantes: m n p a) a b c 2x 2y 2z 2m 3n p b) 2x 3y z 2a 3b c 11 Caderno de Atividades a b c 35.Seja A = m n p e detA = 8, determine: z y z a) det(2A) 37.Calcule o valor dos seguintes determinantes: 3 0 a) 0 0 0 4 1 1 1 −1 1 1 1 2 3 3 4 −1 2 b) 2 −3 1 2 2 1 1 5 5 1 1 3 2 b)det(–3A) 1 0 −1 36.Dada a matriz M = 2 4 6 , pede-se: 3 2 3 a) o cofator do elemento a23; b)o valor do det M, utilizando a Regra de Sarrus; c) o valor do detM, utilizando o Teorema de Laplace. 12 1 0 0 2 1 1 2 4 4 Matemática 38.Resolva a equação, sendo x um número real: 2 0 0 0 x −2 1 3 2 −2 = −36 0 1 x 0 0 −6 39.Dadas as matrizes 1 −2 3 −2 3 1 A = 1 4 5 e B = 0 −4 2 , 6 2 −1 −6 3 4 calcule o det(A + B). 1 3 −1 0 , 2 40.Dadas as matrizes A = e B = 1 4 2 calcule: a) detA b)detB c) det(A + B) d)det(A . B) Anotações 13 Caderno de Atividades Sistemas Lineares 1.Resolva pela Regra de CRAMER: x + y = 3 2x + y = 4 mx + 2y = 0 8x + my = 0 3.Discuta o sistema 4.Resolva, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte 2.Resolva pela Regra de CRAMER: x − y + z = 3 2x + y − z = 0 3x − y + 2z = 6 14 sistema: x + y = 1 −2x + 3y − 3z = 2 x + z = 1 Matemática 5.Determine o valor de p para que o sistema tenha solução diferente da trivial: 2x − y + z = 0 x + y + pz = 0 2x + y + 2z = 0 6.(F.G.V.) – Para que valores de k o sistema abaixo (nas incógnitas x, y e z) é indeterminado? x + 2y − z = 0 3x + ky = 0 2x + y − z = 0 7.Resolva o sistema linear homogêneo 3x + 4 y + z = 0 2x − y − z = 0 − x + 3y − z = 0 3x − 5y = 0 for resolvido pela Regra de Cramer, o valor de x será dado por uma 4 x + 7y = 19 fração cujo denominador vale: 8.(F.G.V.) – Se o sistema linear a) 41 b) 179 c) –179 d) 9 e) –9 9.No estacionamento de uma universidade, em um determinado horário, existiam automóveis e bicicletas. O número total de rodas era de 130 e o número de bicicletas era o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontravam no pátio era de: a) 50 b) 42 c) 52 d)54 e)62 15 Caderno de Atividades 10.Resolva os sistemas escalonados abaixo: 2x + y − z = 7 y + 2z = 3 a) 5z = 10 11.Resolva os sistemas abaixo, por escalonamento: x + y − 2z = −1 a) 2x + y + z = 0 x + 4 y − 6 z = 4 16 x − y + 2z − w = 1 y+z+w=4 b) 2z − w = 0 −w= 4 Matemática x+y+z=2 b) x + 3y = 2 3x + 2y − 2z = −5 x − 2y + 3z = 1 c) 2x + y − z = 0 3x − y + 2z = 4 x + 2y + 3z = 4 d) 2x + 3y + z = 2 5x + 8y + 5z = 8 17 Caderno de Atividades 2x + 2y − 2z = 6 12.O valor de x no sistema x − y + 3Z = 3 é: −y + z = 2 a) 4 b) 8 c) –1 d) 0 e) nda 13.Sabendo que x + y = 800, x + z = 1 000 e y + z = 1 200, calcule o valor de 2x + 3y – z. 14.Numa loja, podem ser comprados: uma faca, duas colheres e três garfos por R$23,50; duas facas, cinco colheres e seis garfos por R$50,00; duas facas, três colheres e quatro garfos por R$36,00. Qual seria o valor pago por meia dúzia de cada? 18 Matemática 15.Para pesar três maçãs, dispomos de um massor (peso) de 100 g e de uma balança de pratos iguais. A massa da maçã maior é igual à massa das duas outras juntas. A massa da menor mais 100 g igual a massa das outras. A maior mais a menor pesam 100 g. A massa das três será: a) 125 g b) 150 g c) 175 g d) 200 g e) 225 g x + 2y = −1 2x + ay = b 17.O sistema a) é impossível se a = 4 e b = – 2; b)é possível e determinado se a = 4 e b = – 2; c) é impossível se a ≠ 4 e b ≠ – 2; d)é determinado se a = 4; e) é indeterminado se a = 4 e b = – 2. 18.Faça a discussão dos sistemas em função dos parâmetros a e b: 16.Considere o seguinte sistema de equações lineares e, em seguida, calcule o produto x . y . z . t. x + by = 3 a) 2x − 4 y = a x + y + z + t = 11 x − y − z − t = −9 − x + y − z − t = −7 − x − y + z − t = −5 a) 15 b) 20 d) – 20 e)– 30 c) 30 x + 2y − z = 3 b) 2x + 5y + z = 1 x + y + az = b 19 Caderno de Atividades x + my + z = 0 19.Para que o sistema mx + y − z = 4 seja possível e determinado, é necessário que: x − z = 2 a) m = 2 ou m = – 1 b)m = 2 ou m ¹ – 1 c) m ≠ 2 e m ≠ – 1 d)m = – 2 ou m = 1 e) m ¹ 2 e m = – 1 Anotações 20 Matemática geometria espacial 1.Um poliedro convexo possui 8 faces e 6 vértices. Calcule o número de arestas. 5.Calcule o número de vértices de um poliedro convexo de 6 faces quadrangulares e 12 faces triangulares. 2.O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é: a) 32 b) 12 c) 20 d)15 e) 18 6.Um poliedro convexo tem 10 vértices, 8 faces triangulares e x faces quadrangulares. O número total de faces desse poliedro é: a) 12 b) 10 c) 8 d)6 e) 4 3.Um turista ecológico encontrou, em uma de suas viagens, um cristal de rocha no formato de um poliedro convexo de 60 faces triangulares. Calcular o número de arestas e vértices desse cristal. 7.A soma de todos os ângulos das faces de um polie4.Um poliedro convexo possui 12 faces pentagonais. Calcule o número de vértices desse poliedro. dro convexo é 1 800º. O número de vértices desse poliedro é: a) 5 b) 6 c) 7 d)8 e) 9 21 Caderno de Atividades 8.A soma de todos os ângulos de todas as faces de 12.O cubo octaedro é um poliedro convexo que tem 6 um poliedro regular é 3 600º. O número de arestas desse poliedro é: a) 6 b) 12 c) 30 d) 20 e) 8 faces quadradas e 8 faces triangulares. Determine: a) o número de arestas; b)o número de vértices; 9.O hexaedro regular é um poliedro convexo com: a) 4 faces quadradas, 8 arestas e 8 vértices; b)6 faces quadradas, 8 arestas e 12 vértices; c) 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices; d)4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices; e) 8 faces triangulares, 12 arestas e 8 vértices. 10.São classificados como poliedros de Platão: a) a esfera e o cubo; b)o cubo e o octaedro; c) a circunferência e a esfera; d)o cubo e o decaedro; e) o hexaedro regular e o pentaedro. c) a soma das medidas dos ângulos das faces. 13.A figura a seguir representa a planificação de um sólido. O volume desse sólido é: 3 3 3 11.A figura abaixo é a planificação de um poliedro convexo. Após a contagem do número de faces, determine o número de arestas e vértices do poliedro: 3 3 a) 8 b)75 c) 32/5 d)13/7 e) 81/4 22 Matemática 14.Calcule o volume de um prisma quadrangular re- 16.Num prisma triangular regular, a altura mede gular cujo lado da base é 3 cm e cuja altura é 6 cm. 2 3 cm e a área lateral é o quádruplo da área da base. Calcule a área total desse prisma. 15.Calcule o volume e a área total de um prisma triangular regular, com altura 6 cm e altura da base 3 3 cm. 17.A área lateral de um prisma regular hexagonal é o triplo da área da base desse prisma. Calcule o volume, sabendo que a base desse prisma tem perímetro igual a 12 cm. 23 Caderno de Atividades 18.Calcule o volume de um cubo de área total de 2 150 cm . 21.Aumentando-se a medida da aresta de um cubo em 10%, a área total desse cubo ficará aumentada em: a) 10% b) 11% c) 32% d) 20% e) 21% 19.Dado um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões são 3 cm, 4 cm e 12 cm, calcule: a) a área total; b) a medida da diagonal; 22.O lado, a diagonal de uma face e o volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três números em progressão geométrica. Calcule: a) a área total desse cubo; c) o volume. 20.Dado um cubo cuja diagonal mede 2 3 m, calcule: a) a área total do cubo; b) a medida da diagonal desse cubo; c) o volume desse cubo. b) o volume desse cubo. 24 Matemática 23.Para construir um prisma regular hexagonal de 26.Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com 5 cm de altura e aresta da base 4 cm, um menino pretende recortar as faces laterais e as bases em uma folha retangular de cartolina com 30 cm de comprimento por 20 cm de largura. Calcule o percentual de cartolina usado nessa construção. (Use 3 = 1,7.) arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo retângulo de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. Determine o valor de x. 27.Um prisma regular triangular tem todas as nove arestas congruentes entre si. Calcule a área total desse prisma, sabendo que o volume é 16 3 cm3. 24.Uma caixa de papelão foi construída na forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões 20 cm, 40 cm e 50 cm. Calcule o “peso” desta caixa, sabendo que cada 1 cm2 pesa 0,5 gramas. 28.1. A pirâmide abaixo representada é regular. Escreva o nome dos segmentos destacados: 25.Numa cozinha de 3 m de comprimento, 2 m de V largura e de 2,80 m de altura, as portas e janelas ocupam uma área de 4 m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra de 10% a mais da metragem. Determine a metragem de azulejos a comprar. O A M vO: vA: vm: Om: AO: 25 Caderno de Atividades 29.Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 cm de altura e 12 cm de aresta da base. Obtenha: a) a área da base; b) a medida do apótema; 31.A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é 3 600 cm2. Se a medida da altura da pirâmide é 50 cm, calcule a área total e o volume dessa pirâmide. 50 60 60 c) a área lateral; d) a área total. 30.Em uma pirâmide hexagonal regular, o apótema mede 13 cm e o raio da circunferência circunscrita, 5 cm. Calcule a área total dessa pirâmide. 32.Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular cujo perímetro da base é 36 cm e a altura, 15 cm. 26 Matemática 33.Em uma pirâmide hexagonal regular, a aresta da 36.A pirâmide de Quéops, a Grande Pirâmide de Gizé, base mede 20 cm e a aresta lateral, 26 cm. Determine a área total e a medida da altura dessa pirâmide. tem base quadrada com 230 m de lado e altura de 147 m. Um caminhão basculante, desses utilizados no transporte de areia, costuma transportar,.quando cheio, 6 m³ de areia. Determine quantas viagens um caminhão desse tipo deveria fazer, para transportar um volume de areia equivalente ao da pirâmide. 34.Todas as arestas de uma pirâmide quadrangular regular apresentam a mesma medida, e a soma delas é 240 cm. Determine a área total dessa pirâmide. 37.No desenho abaixo, você tem a planificação de uma pirâmide triangular regular. Calcule a área total e a medida da altura dessa pirâmide: 4 3 cm 6 cm 35.Rogério comprou papelão colorido para recobrir todas as faces de uma pirâmide quadrangular regular de 40 cm de altura e 60 cm de aresta da base. Na balança de sua casa, ele constatou que cada 1 cm2 de papelão pesava 0,1 g e que a pirâmide, antes do recobrimento, pesava 385 g. Se ele, depois do recobrimento, pesar novamente a pirâmide, qual a massa (peso) que ele irá encontrar? 27 Caderno de Atividades 38.De um cubo de aresta 12 cm, retira-se através de 40.(PUC –SP) – O volume de uma pirâmide hexagonal uma secção, o tetraedro VABC, conforme ilustra a figura. O volume da parte restante é igual a: regular cuja aresta lateral tem 10 m e o raio da circunferência circunscrita à base mede 6 m, em m3, é igual a: a) 144 2 b) 144 3 c) 144 6 d) 144 5 e) 144 7 A B V C a) ( b) ( c) ( d) ( e) ( ) 576 cm3 ) 1 440 cm3 ) 1 152cm3 ) 288 cm3 ) 1 200 cm3 39.(PUC – SP) – Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são: • sua base é um quadrado com 100 m de lado; • sua altura é de 100 m. Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1 000 m3, os escravos, utilizados como mão-deobra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, calcule o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias. 41.A altura e o apótema de uma pirâmide quadrangular regular medem, respectivamente, 20 cm e 25 cm. Calcule o volume e a área total dessa pirâmide. 42.Um cilindro circular reto tem 12 cm de altura e 10 cm de diâmetro na base. Calcule a área total e o volume desse cilindro. 28 Matemática 43.O volume de um cilindro circular reto é 1 500 π cm3. Se a medida da altura do cilindro é 15 cm, calcule a medida do raio da base e a área total. 46.Em um cilindro equilátero, a área da base é 900 π cm2. Calcule o volume desse cilindro. 47.Um retângulo gira em torno de um de seus lados, que mede 6 cm. O volume do sólido gerado por esse retângulo é de 600 π cm3. Calcule a área lateral e a área total do sólido. 44.Um tanque com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 8 m e a altura 10 m, armazena um certo combustível, que ocupa 40% de sua capacidade total. Calcule: a) a capacidade total do tanque; b)o volume de combustível contido nesse tanque, em litros. (1 m3 = 1 000 L e π = 3,14) 48.A altura de um cilindro circular reto mede o triplo 45.Um recipiente com a forma de um cilindro reto cujo 100 cm ≠ armazena um certo líquido que ocupa 40% de sua diâmetro da base mede 40 cm e a altura da medida do raio da base. Se o comprimento da circunferência da base é 8 π cm, determine o volume do cilindro em centímetros cúbicos. capacidade. Calcule, em litros, o volume de líquido contido nesse recipiente. 29 Caderno de Atividades 49.Um produto é embalado em recipiente com forma- 51.Uma tornearia confecciona colunas de madeira to de cilindros retos. O cilindro A tem altura 20 cm e raio da base 5 cm. O cilindro B tem altura 10 cm e raio da base 10 cm. a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos material? de forma cilíndrica usando blocos que têm a forma de paralelepípedos retângulos. O processo é simples: o bloco de madeira é colocado em um torno que o faz girar e uma lâmina metálica retira os “cantos”, transformando-o em um cilindro. Dessa forma, um bloco de 20 cm x 20 cm x 50 cm é transformado num cilindro de 10 cm de raio por 50 cm de altura, fazendo com que as perdas sejam mínimas. Calcule, em porcentagem, a quantidade de madeira que é retirada do bloco. b)O produto embalado no cilindro A é vendido a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B, a R$ 7,00 a unidade. Para o consumidor, qual é a embalagem mais vantajosa? (Use π = 3,14.) 50.No projeto de um prédio foi inicialmente prevista a construção de um reservatório de água com formato cilíndrico cujas medidas seriam: raio da base igual a 2 m e altura igual a 3 m. Depois, foi constatado que o volume do reservatório havia sido subestimado, sendo necessário, na verdade, o dobro do volume. Qual deverá ser a medida do raio da base, sabendo-se que a altura do reservatório não poderá ser alterada? 52.Considere os dois cilindros circulares retos abaixo representados. Se V1 é o volume do cilindro de maior altura e V2 o volume do outro cilindro, é verdade que: 2a a a 30 2a Matemática a) V1 = 2V2 b)V1 = V2 V2 2 V d)V1 = 2 4 V e) V1 = 2 a c) V1 = 55.(FUVEST – SP) – Sabe-se que uma lata de azeite cilíndrica tem 8 cm de diâmetro e 18,5 cm de altura e, ainda, que nela vem marcado o conteúdo 900 mL. Qual o volume de ar contido na lata “cheia” e “fechada”? (Adote π = 3,14.) 56.Um recipiente tem a forma de um cilindro reto cujo raio da base mede 10 cm. Ao colocar-se uma pedra nesse recipiente, o nível da água sobe 3 cm. Determine, nessas condições, o volume da pedra. 53.Duzentos litros de um líquido serão armazenados em latas cilíndricas de raio 5 cm e altura 13 cm. Cada lata deverá ser preenchida em até 80% do seu volume. Quantas latas, no mínimo, serão necessárias? 3 cm 10 57.Um cone circular reto tem 10 cm de raio na base e 24 cm de altura. Calcule a área total e o volume desse cone. 54.Considere os cilindros de revolução obtidos pela rotação de um retângulo de lados medindo 3 cm e 6 cm. Analise as afirmações e marque ( V ) para as verdadeiras e ( F ) para as falsas: ( ) O cilindro formado pela rotação do retângulo em torno do lado menor é equilátero. ( ) A secção meridiana do cilindro formado pela rotação do retângulo em torno do lado menor tem área igual a 36 cm2. ( ) O volume dos dois cilindros é 108 π cm3. ( ) A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado. 31 Caderno de Atividades 58.A superfície lateral de um cone é um setor circular o de 12 cm de raio e ângulo central de 120 . Calcule a área total desse cone. 60.Um cone é gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo, de catetos medindo 15 cm e 8 cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e o volume desse cone. 59.Calcule a área total e o volume de um cone equilátero cuja geratriz mede 20 cm. (Obs.: Em um cone equilátero, a geratriz é igual ao diâmetro da base.) 61.Considere um triângulo retângulo de catetos medindo 5 cm e 12 cm. Gira-se o triângulo em torno do cateto maior, obtendo-se um cone circular reto. Analise as proposições abaixo, marcando ( V ) para as verdadeiras e ( F ) para as falsas: a) ( ) A geratriz do cone mede 13 cm. b)( ) A área lateral do cone é igual a 60 π cm2. c) ( ) O volume do cone é igual a 100 π cm3. d)( ) A área total do cone é igual a 90 π cm2. e)( ) O volume do cone obtido pela rotação em torno do cateto menor é o mesmo que daquele que se obtém em torno do cateto maior. 32 Matemática 62.Uma ampulheta é formada por dois cones circula- 64.Uma jarra tem a forma de um cilindro circular reto res retos idênticos, tendo cada um deles 6 cm de diâmetro na base e 10 cm de altura. Um deles está completamente cheio de areia e esta escoa para o outro cone à razão de 0,5 cm3 por segundo. O tempo necessário para escoar totalmente a areia de um cone para o outro é: a) menor que 2 min; b)entre 2 min e 3 min; c) entre 3 min e 4 min; d)entre 4 min e 5 min; e) maior que 5 min. com 12 cm de diâmetro e 30 cm de altura. Ela está cheia de suco e este será transferido para copos com a forma de um cone circular reto invertido de 6 cm de diâmetro e 15 cm de altura. Quantos copos serão necessários para transferir todo o suco da jarra? 63.(FUVEST – SP) – Deseja-se construir um cone circu- 65.A área lateral de um cone circular reto é 80 π cm². lar reto com 4 cm de raio na base e 3 cm de altura. Para isso, recorta-se, em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. A medida do ângulo central do setor circular é: a) 144o b)192o c) 240o d)288o e) 336o Se a geratriz do cone mede 10 cm, determine: a) a medida do raio da base; b)a medida da altura. 66.Num cone circular reto, a área da base é 49 π cm2. Se a medida da geratriz é 25 cm, calcule o volume desse cone. 33 Caderno de Atividades 67.A tabela abaixo mostra as medidas de dois cones 70.(UFPE) – Um recipiente na forma de um cone reto circulares retos. Calcule a massa do segundo cone, sabendo que são feitos do mesmo material e que a massa é diretamente proporcional ao volume. invertido está preenchido com água e óleo, em duas camadas que não se misturam. A altura, medida na vertical, da camada de óleo é metade da altura da parte de água, como ilustrado a seguir. Cones Raio Altura 1 4 cm 9 cm 2 6 cm 8 cm Volume Massa 240 g h 2h Se o volume do recipiente é 54 cm3, qual é o volume da camada de óleo? 68.Um chapéu de aniversário é a superfície lateral de um cone circular reto de 10 cm de raio e de geratriz medindo 25 cm. Calcule quanto papel será necessário para confeccionar 5 000 desses chapéus. (Use π = 3,14 e 1 m2 = 10 000 cm2..) a) 32 cm3 b) 34 cm3 c) 36 cm3 d) 38 cm3 e) 40 cm3 71.Uma torneira enche um funil cônico à razão de 69.Um cone circular reto tem raio da base e altura iguais a 3 cm e 4 cm, respectivamente. É correto afirmar que a área lateral, em cm2, de um cilindro circular reto de raio da base igual à terça parte do raio da base do cone e que comporta o mesmo volume do cone é igual a: a) 24 π b) 14 πc) 21 π d)24 e) 12 100 π cm3/s, enquanto outra torneira o esvazia à razão de 28 π cm3/s. Sendo 6 cm o raio da boca do funil e 12 cm a sua altura, o tempo, em segundos, necessário para que o funil fique completamente cheio é correspondente a: a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e) 6 34 Matemática análise combinatória 1.Um edifício tem 8 portas. De quantas formas uma 7.Quantos números de telefone de oito dígitos po- pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? dem ser formados com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, de modo que os três primeiros dígitos sejam distintos entre si? 2.Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, de quantas maneiras poderão ser distribuídos um primeiro e um segundo prêmios? 8.Quantos números naturais maiores do que 400 e de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 5 e 6? 3.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 9.De um ponto A a um ponto B há cinco caminhos; 4.De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário cujas respostas para cada pergunta são “sim” ou “não”? de B a um terceiro ponto C, seis caminhos; e de C a um quarto ponto D, também seis caminhos. Quantos caminhos distintos existem para ir do ponto A ao ponto D? 5.Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 8 e 9? 10.Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas dis6.Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 6 e 8? tintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 35 Caderno de Atividades 11.As placas de automóveis de uma cidade constam 16.Dispondo de 8 cores, queremos pintar uma bandei- de duas letras e quatro algarismos. Determine o número de placas que são fabricadas com as letras P, Q, R e os algarismos 0, 1, 7 e 8. ra de 5 listras com cores diferentes, cada listra de uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 17.Uma bandeira é formada por 7 listras, havendo 3 12.Um automóvel comporta duas pessoas no banco da frente (uma delas é o motorista) e três no de trás. De quantos modos podemos lotar o veículo com pessoas escolhidas entre sete pessoas, sabendo que entre elas há quatro que podem dirigir? cores diferentes para pintá-las. De quantas maneiras distintas será possível pintá-las de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor? 18.Calcule o valor de: a) 2! + 4! – 3! = 13.13. Com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser formados? b)(2 . 3)! + 2 . 3! = c) (4+2)! – (4!+2!) 14.14. Empregando três vogais e cinco consoantes, calcule o número de palavras de cinco letras que podem ser formadas sem usar vogais nem consoantes juntas: a) sem repetição; b) podendo haver repetição. 15.De um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos são os resultados possíveis para os três primeiros lugares? 36 d) 10 ! = 8! e) 10 !+ 8 ! = 8! f ) 100! - 99! 99! Matemática 19.Resolva as equações: ( x + 2)! = 56 a) x! b) 20.Considere a seqüência definida por an = Qual é o valor de a1000? n!(n2 − 1) . (n + 1)! ( x + 2)! = 10 ( x + 1) 21.Uma família de 7 pessoas vai posar para uma foto. c) ( x + 1)!+ x ! = 11 x! De quantas maneiras distintas seus membros podem se dispor, permanecendo em pé, um ao lado do outro, de modo que marido e mulher fiquem sempre juntos? 22.Quantos anagramas da palavra FÓRMULAS têm as letras M e U ocupando a posição central? d) ( x + 2)!( x − 2)! =4 ( x + 1)!( x − 1)! 23.Quantos anagramas da palavra PROBLEMAS: a) começam e terminam por vogal? b)começam e terminam em consoante? c) começam com vogal e terminam em consoante? e) (x – 2)! = 720 d)contêm as letras P, R e O juntas? f ) (x – 8)! = 1 e) contêm as letras P, R e O juntas e nessa ordem? 37 Caderno de Atividades 24.Numa prateleira, existem 5 livros de Matemática, 3 de Física e 4 de História, todos distintos entre si. a) De quantos modos diferentes podemos arrumá-los? 27.Quantos são os anagramas da palavra MÉDICO que não têm vogais e consoantes juntas? 28.Quantos são os anagramas da palavra PROFESSOR? b)De quantos modos diferentes podemos arrumálos de maneira que os livros de cada matéria fiquem sempre juntos? 29.Considerando os anagramas da palavra DESERTO, quantos começam pela letra T? c) De quantos modos diferentes podemos arrumálos de forma que os livros de Física fiquem sempre juntos? 30.Quantos são os anagramas da palavra CONSTITUINTE que começam pela letra T? d)De quantos modos diferentes podemos arrumálos de maneira que o primeiro e o último livro sejam de Matemática? 25.Num veículo viajam 7 pessoas, das quais 2 são motoristas. De quantos modos é possível acomodá-las sabendo-se que no banco dianteiro há 3 lugares e no traseiro, 4? 31.Determine a quantidade de números inteiros maiores que 400 000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 4, 5, 6, 8 e 9, de modo que não figurem algarismos repetidos? 26.Com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7, pergunta-se: a) quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar? 32.Quantos números pares podemos obter permutando os algarismos do número 55 788? b)quantos números ímpares de 5 algarismos diferentes podemos formar? c) quantos números pares de 5 algarismos distintos podemos formar? d)quantos números de algarismos diferentes maiores que 40 000 podemos formar? 38 33.Determine a quantidade de anagramas da palavra VESTIBULAR que apresentam todas as vogais à esquerda de todas as consoantes. Matemática 34.Uma moeda é lançada 7 vezes consecutivas. Quantos são os resultados possíveis nos quais ocorrem 4 caras e 3 coroas? 37.Calcule o valor de: 3 a) C10 = b) C58 = 2 c) C12 = 35.Você deve escolher 6 algarismos para formar uma d) C110 = senha com base nos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Então, calcule: a) o número de senhas que podem ser formadas; 38.Um grupo é formado por 8 alunos. Considerando b)o número de senhas que podem ser formadas sem se repetirem os algarismos. b) Quantas equipes com 5 elementos podem ser formadas? 36.O mapa a seguir representa as regiões em que está dividido o Brasil. Cada uma delas deve ser colorida de modo que aquelas com uma fronteira comum tenham cores distintas. Tendo como base essa condição, responda: esses alunos, responda: a) Quantas duplas distintas podem ser formadas? 39.Considere o conjunto A, onde A = {0; 1; 2; 3; 4}. a) Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 1 elemento? b)Quantos subconjuntos de A podem ser formados com 3 elementos? Norte Nordeste Centrooeste Sudeste c) Quantos subconjuntos admite (ao todo) o conjunto A? Sul a) Quantas cores no mínimo são necessárias para colorir o mapa? b)Dispondo de cinco cores e usando-as, de quantas maneiras o mapa pode ser colorido? c) Dispondo de cinco cores e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul da mesma cor, de quantas maneiras o mapa pode ser colorido? 40.Uma comissão de cinco membros será escolhida entre oito pessoas. Calcule o número de comissões diferentes que podem ser formadas. 41.Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco usando-se três frutas distintas. 39 Caderno de Atividades 42.Com oito pontos sobre uma circunferência, quan- 46.Considere duas retas distintas e paralelas r e s. To- tos triângulos com os vértices nesses pontos podem ser formados? mam-se 7 pontos sobre a reta r e 9 pontos sobre a reta s. Com vértices nesses pontos, quantos triângulos podem ser construídos? 43.Sete pontos foram marcados na circunferência abaixo: 47.Em uma câmara de vereadores, trabalham 6 vereadores do partido A, 5 vereadores do partido B e 4 vereadores do partido C. Determine o número de comissões de 7 vereadores que podem ser formadas, devendo cada comissão ser constituída de 3 vereadores do partido A, 2 vereadores do partido B e 2 vereadores do partido C. a) Quantos segmentos com extremidades em 2 desses pontos podem ser formados? b)Quantos triângulos ficam determinados com vértices em 3 desses pontos? c) Quantos polígonos convexos ficam determinados com vértices nesses pontos? 48.Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de 5 pessoas contendo 2 homens e 3 mulheres poderemos formar? 49.Um técnico de basquetebol dispõe de 12 jogadores, 5 dos quais devem ser selecionados para disputar um campeonato. Se Xazam e Heureka não podem ficar fora da equipe selecionada e os demais jogadores jogam em quaisquer posições, calcule o número total de equipes que esse técnico poderá formar. 44.Numa sala existem 5 homens e 4 mulheres. Quantos grupos de 5 pessoas, sendo 2 homens e 3 mulheres, poderemos formar? 45.Numa classe existem 10 alunas, das quais uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome de um deles. Formaram-se comissões com 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões das quais Maria participa e João, não? 40 50.(UESC – BA) – Em um grupo de 15 professores, existem 7 de Matemática, 5 de Física e 3 de Química. O número máximo de comissões que se pode formar com 5 professores, cada uma delas constituída por 2 professores de Matemática, 2 de Física e 1 de Química, é igual a: a) 2 520 b)630 c) 120 d)65 e) 34 Matemática 51.(ACAFE –SC) – Uma confeitaria produz 6 tipos di- 55.(ITA – SP) – Entre 4 moças e 5 rapazes, deve-se for- ferentes de bombons de frutas. O número de embalagens diferentes que ela pode formar, sabendo que cada embalagem deve conter 4 tipos diferentes de bombons, é: a) 10 b) 30 c) 120 d) 45 e) 15 mar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? 52.(UFPE) – Um quarteto de cordas é formado por dois violinistas, um violista e um violoncelista, e os dois violinistas exercem funções diferentes. De quantas maneiras podemos compor um quarteto escolhendo entre quatro violinistas, três violistas e dois violoncelistas? 53.(UECE-CE) – Bruno fez 1 (um) jogo na SENA apostando em 6 (seis) números: 8, 18, 28, 30, 40 e 50. Automaticamente, Bruno também estará concorrendo à quina (grupo de 5 números), à quadra (grupo de 4 números) e ao terno (grupo de 3 números), a partir do grupo inicialmente apostado. Se n é o número de quinas, q o número de quadras e p o número de ternos incluídos na aposta de Bruno, então n + q + p é igual a: a) 12 b) 41 c) 60 d) 81 56.Quantos números naturais distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? 57.De quantas maneiras 7 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 7 lugares? 58.Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7, 8 e 9? 59.Em uma prova de atletismo, participam 16 atletas 54.(UEL – PR) – Um professor entrega 8 questões aos alunos para que, em uma prova, escolham 5 para resolver, sendo que duas destas são obrigatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 5 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alunos que entregou a prova é: a) 6 b) 20 c) 56 d) 120 e) 336 que concorrem a uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze. Quantas maneiras distintas pode apresentar o resultado dessa prova? 60.Quantos são os números de quatro algarismos distintos formados com os algarismos de 0 a 7 divisíveis por 5? 41 Caderno de Atividades 61.Considere os números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos de 0 a 6 e determine: a) o total deles; b)quantos são ímpares; c) quantos são pares. 66.Com os números 2, 3, 4 , 5 e 7, quantos números fracionários diferentes de 1 podemos escrever? 67.O segredo de um cofre é constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 26 do alfabeto) seguidas de três algarismos distintos (escolhidos de 0 a 9). Sabendo-se que a letra da esquerda é uma vogal e que o último algarismo é par, qual é o número máximo de tentativas que devem ser feitas para abrir esse cofre? 62.As placas dos carros são formadas por 3 letras seguidas de quatro algarismos. Considere um estado no qual a primeira letra das placas pode ser L, M ou N. Determine: a) o total de placas possíveis para esse estado; b)a quantidade de placas formadas por letras e algarismos distintos. 63.O botão de um cofre tem os números 00, 01, 02, 03, 68.De quantas maneiras distintas podemos classificar os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta disputada por 10 ciclistas? 69.Uma bandeira tem 3 faixas verticais. ... , 99. O segredo dele é uma sequência de quatro números do botão. Assim, 15 – 11 – 18 – 97 ou 11 – 15 – 18 – 97 ou 00 – 00 – 43 – 62 são exemplos de segredos. Calcule o número total de possíveis segredos. a) Quantas são as possibilidades de pintá-la de 3 cores distintas escolhendo entre as 7 cores do espectro solar (vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil, violeta)? 64.Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma ban- b)E quantas bandeiras posso pintar se, além da condição do item a, a cor amarela precisar estar sempre presente? deira de 4 listras, cada uma de uma cor. De quantas formas isso pode ser feito? 65.Cinco pessoas entram em um ônibus onde há oito lugares vagos. Determine o número de modos dessas pessoas escolherem os lugares para se sentar. 42 70.Quantos são os números compreendidos entre 40 000 e 50 000 compostos por algarismos distintos escolhidos entre os algarismos de 1 a 9? Matemática 71.A placa de um carro é uma seqüência de 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantos carros podem ser emplacados usando-se apenas as vogais e sem haver repetição de letras e algarismos? 14 14 c) = 3x x + 6 72.Um clube tem 20 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras pode-se compor uma diretoria? 73.Calcule o valor de: 8 8 8 8 a) + + + ... + = 0 1 2 8 8 8 9 d) + = 6 7 x + 3 8 8 8 8 b) + + + ... + = 1 2 3 7 10 10 10 10 c) + + + ... + = 0 1 2 10 74.Resolva as equações abaixo: 8 8 a) = x 5 12 12 b) = x + 3 2x 75.(UNIFOR – CE) – A soma dos números binomiais 100 100 100 100 100 + + + + ... 0 1 2 99 + 100 igual a: a) ( é ) 211 b)( ) 2100 c) ( ) 1000 d)( ) 1002 e) ( ) 100100 76.Para preparar um suco, podemos escolher livremente as seguintes frutas: laranja, mamão, manga, morango, acerola, abacaxi e melão. Se podemos usar de uma a todas as frutas para fazer o suco, quantas maneiras existem para prepará-lo? 43 Caderno de Atividades 77.Tomando 8 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos? 80.Determine o termo independente de x no desen6 1 volvimento de + 2x 2 . x 81.No desenvolvimento de (1 + 2x2)6, determine o co78.Desenvolva os seguintes binômios: eficiente do termo em x8. a) (2x + y)4 = 82.Obtenha a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de: a) (2x + y)6 b)(x – 1)5 = 3 c) (3x² + 2y) = b)(3a – b)10 c) (2x – 3)50 4 1 d) x + = 2 d)(x – y)101 83.(UNIVALI – SC) – Desenvolvendo o binômio (x2 – 2)5 8 6 4 2 obtemos x10 + mx + 40x – 80x + 80x + n . 79.No desenvolvimento do binômio (x + 2y)8, determine: a) o 3.o termo; b)o termo central. 44 T2 Portanto, temos que m + n é: a) 48 b)42 c) –9 xd)–42 e) –48 T6 Matemática 84.(PUC – RS) – O termo independente de x no desen x 2 volvimento do binômio − 2 x 12 87.No desenvolvimento de (3x+13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes desses termos é igual a: a) ( ) 244 b)( ) 246 c) ( ) 248 d)( ) 250 e) ( ) 252 é: a) 232 b)326 c) 924 d)1 012 e) 1 214 88.O coeficiente de x2 no desenvolvimento de 85.Sabendo que a5 + C15a4b + C25a3b2 + C35a2b3 + C54 ab 4 + b5 = 1024 , pode-se dizer que (a + b)2 é igual a: a) ( ) 144 b)( )4 c) ( ) 36 d)( ) 64 1 2x − x a) ( b)( c) ( d)( e) ( 6 é: ) 15 ) 60 ) 160 ) 192 ) 240 e) ( ) 16 10 x 86.Desenvolvendo-se o binômio 2x 2 + , segun 2 do as potências decrescentes de x, o 6.o termo será: 105 10 x a) ( ) 4 105 14 b)( ) x 2 c) ( ) 252x15 d)( ) 210x15 e) ( ) 252x10 89.Marque ( V ) para as igualdades verdadeiras e ( F ) para as falsas: 2 8 = C10 a) ( ) C10 4 4 3 b)( ) C15 = C14 + C14 c) ( ) C64 = C36 + C16 0 2 9 d)( ) C10 + C110 + C10 + ... + C10 = 1 023 e) ( ) C90 − C19 + C92 − C93 + C94 − C95 + C96 − C79 + C98 − C99 = 0 45 Caderno de Atividades probabilidades 1.De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao aca- 3.Um número é escolhido ao acaso entre os 100 intei- so. Qual é a probabilidade de cada um dos eventos abaixo? a) Ocorrer dama de copas. ros de 1 a 100. Qual é a probabilidade de o número ser: a) múltiplo de 9? b)Ocorrer dama. b)múltiplo de 5 ou de 7? c) Ocorrer carta de naipe paus. d)Ocorrer dama ou rei ou valete. e) Ocorrer uma carta que não é um rei. 2.Um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de 1 a 20. Qual é a probabilidade do número escolhido ser: a) par c) múltiplo de 7, sabendo que é par? 4.Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de a bola: a) não ser amarela? b)primo b)não ser branca nem amarela? c) quadrado perfeito d)ímpar e quadrado perfeito 5.Dois dados são lançados e observados os números das faces de cima. Qual é a probabilidade de: a) ocorrerem números diferentes? e) ímpar ou quadrado perfeito 46 Matemática b)a soma dos números ser 7? c) a soma dos números ser 12? d) o produto ser menor ou igual a 12? 8.De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh positivo; 100, sangue tipo O; e 80, fator Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual é a probabilidade de seu sangue: a) ter fator Rh positivo? b)não ser tipo O? c) ter fator Rh positivo ou ser tipo O? 6.Jogando-se três dados, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4? 9.Numa turma de 50 alunos, fez-se uma pesquisa 7.Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia: 150, Economia; e 10, Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que ele: a) estude Economia e Engenharia? b)estude somente Engenharia? c) não estude Engenharia nem Economia? d)estude Engenharia ou Economia? para saber a preferência em relação às línguas Inglês ou Espanhol: 22 responderam preferir Inglês; 15, Espanhol; e 10, Inglês e Espanhol. Escolhendose ao acaso uma pessoa dessa turma, determine a probabilidade de ela: a) preferir apenas Inglês; b)não preferir nem Inglês nem Espanhol. 10.Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, qual é a probabilidade de que ele seja primo? 47 Caderno de Atividades 11.Um casal pretende ter exatamente três filhos. Determine a probabilidade de: a) nascerem dois meninos e uma menina; 14.(UFPR) – Uma urna contém 500 bolas, cada uma delas identificada por um número. Para essa identificação, foram utilizados todos os números da progressão aritmética (1, 3, 5, 7, ..., 999). Retirando-se aleatoriamente da urna uma única bola, calcule a probabilidade, em porcentagem, de que o número dessa bola tenha o algarismo das unidades igual a 3. 15.(UFPR) – Um experimento consiste em imprimir as b)que os três filhos sejam meninos; c) que as crianças sejam do mesmo sexo. 12.Uma prova é composta por 10 questões de múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, sendo apenas uma correta. Qual é a probabilidade de um aluno acertar todas as questões no “chute”? 13.Das 180 pessoas que trabalham numa empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, qual é a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não tenha nível universitário? letras A, B e C em ordem aleatória e sem repetição de qualquer uma das letras. Desse experimento, calcule a soma dos itens corretos: 01)A probabilidade de que todas as letras ocupem seu lugar próprio do alfabeto é 1/6. 02)A probabilidade de a letra A não ocupar seu lugar próprio do alfabeto é 2/3. 04)A probabilidade de que pelo menos uma das letras ocupe o seu lugar do alfabeto é 2/3. 08)O espaço amostral do experimento apresenta 3 elementos. 16)A probabilidade de que nenhuma das letras ocupe seu lugar próprio do alfabeto é 0,25. 16.Escreve-se a palavra PROBABILIDADE num pedaço de papel, recorta-se cada letra, dobra-se e elas são colocadas em uma urna. Depois disso, uma delas é retirada aleatoriamente. Calcule a probabilidade de a letra retirada ser: a) uma vogal; b)a letra D. 48 Matemática 17.Num grupo de pessoas, há homens e mulheres. São 19.Lançam-se dois dados honestos cujas faces estão torcedores do time A: 35 homens e 25 mulheres. Torcem para o time B: 10 homens e 10 mulheres. Não apreciam futebol: 5 homens e 15 mulheres. Escolhendo-se ao acaso um homem desse grupo, a probabilidade de que ele não goste de futebol é: a) 10% b)15% c) 20% d)5% e) 50% numeradas de 1 a 6 e observam-se os números das faces voltadas para cima. Sobre esse experimento, são feitas algumas afirmações que podem ser assinaladas como ( V ) verdadeiras ou ( F ) falsas: a) ( ) A probabilidade de a soma dos pontos ser 10 é menor que 10%. b)( ) É impossível que o produto dos pontos seja maior que 36. c) ( ) A probabilidade de a soma dos pontos ser 6 é a mesma que a de a soma ser 8. d)( ) A probabilidade de se obterem números iguais é a maior que a de a soma dos pontos ser igual a 7. e) ( ) A probabilidade de ocorrerem dois números primos é 1/6. 18.Em uma escola, trabalham 50 professores; 36 deles são do sexo masculino. Entre as mulheres, há 2 professoras de Matemática. Sorteia-se aleatoriamente um dos 50 professores. A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher que não é professora de Matemática é: a) 30% b)28% c) 26% d)24% e) 22% 20.Um baralho consiste de 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100. Anotações 49 Caderno de Atividades Anotações 50
