Prova do Nível 1
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Nível 1 Participante GABRIELA YUMI YAMAMOTO SHIRATORI MANOELA JACOMETO TEIXEIRA MATHEUS HENRIQUE S. DE CAMARGO PEDRO H. CORTEZ RICARDO APARECIDO DOS SANTOS JUNIOR BIANCA LIBERATO ROBERTO GABRIEL HENRIQUE DIASSOARES GABRIEL HENRIQUE DIASSOARES MATHEUS HENRIQUE M. CECILIO PEDRO AUGUSTO PERUGINI MAZARO VITOR ALEXANDRE FLORES BARBARA NAT. SINKOC DANIEL GRUENER LIMA ENAILE C. BERTI GABRIEL GARCIA GONÇALVES GIOVANNA KARLA MIRANDA REIS LUIS GUSTAVO PIERALISI CAÇADOR PEDRO HENRIQUE C. DOS SANTOS ALLANA OGUIDO DA COSTA ANA ELISA BERTOLIN DA SILVA BIANCA SALDANHA PINHEIRO BIANCA SALDANHA PINHEIRO BRUNO GIULIANE GOMES GABRIEL VARGAS ALVES FERREIRA GIOVANA DUARTE REIS LIGIA BERTOLINI LUCAS RYUITI TOMITA LUCAS ZANELA DELMASQUIO RAFAELA ALVES PEREIRA EDUARDA TANNOURI JERONYMO GUILIA LENHARO LEONARDO EDMUR DA SILVA LUIS FELIPE ROSSI LUIZ EDUARDO DE QUEIROZ MARIA EULALIA PAIVA MATHEUS MRTVI PEDRO MIGUEL B. DOS SANTOS Participantes classificados para a 2a fase Acertos 24 22 21 21 21 20 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 Escola PLATÃO Prisma Prisma SÃO DOMINGOS PLATÃO Prisma Prisma Pi PLATÃO OLIMPUS São José São José INTERATIVA SÃO DOMINGOS Prisma Mater Dei MATER DEI PLATÃO INTERATIVA São José SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ POLIVALENTE Mater Dei SÃO JOSÉ MATER DEI PLATÃO SÃO JOSÉ Ã É Prisma PLATÃO SÃO JOSÉ PLATÃO POLIVALENTE SÃO JOSÉ INTERATIVA PLATÃO Nível 2 Participante BEATRIZ THAYNARA DOS SANTOS BRUNA TREVIZAN BIANCHI MARIANA FOGADA OHYA RAFAEL VINICIUS PEDROSO AMANDA MARQUES ALVES BRENDA L. MARTINS DELMO LUIZ RIBEIRO NETO DELMO LUIZ RIBEIRO NETO JOÃO FELIPE C. GUIMARAES JULIANA HARUMI M. ISHIKAWA ANA CAROLINA ROBERTO DA ROCHA ELTON WAGNER Z. JUNIOR HENRIQUE GIACOMINI MARIA CAROLINA MINIKOWSKI LEMOS NAYARA DA SILVA RAFAEL BUENO DA SILVA YASMIM CANAZONI BORGES BEATRIZ MARQUES PINTO CAROLINE SIMÕES CAMPOS FLÁVIA SAMUELSON LUARA WESLEY CANDEU RAMOS LUARA WESLEY CANDEU RAMOS NATHÁLIA CARLESSO PEDRO CORBACAO SUHAILA SAID YAGO GREIPEL ADEMILSON ASSUNÇÃO GOMES DA SILVA BARBARA SPITZER BRUNO HENRIQUE SOUZA LEMOS GABRIEL DE OLIVEIRA MARQUES GABRIEL PERDIGÃO DUARTE GONÇALVES JOHANNES HOSP LUIZ GUSTAVO LIMA MARCUS FELIPE H. PEZOTTI RAFAEL DO NASCIMENTO VASQUES Q ROGÉRIO VALMOR BIDA MEZARI SEAN NAKAMURA SENA VITOR DAVANSO Participantes classificados para a 2a fase Acertos 24 23 21 21 20 20 20 19 19 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 Escola PLATÃO MATER DEI PLATÃO SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ MATER DEI MATER DEI SÃO JOSÉ INTERATIVA Glorinha MATER DEI NOSSA SENHORA DA GLÓRIA SÃO DOMINGOS NOSSA SENHORA DA GLÓRIA SÃO DOMINGOS SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ COBRA NOSSA SENHORA DA GLÓRIA SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ PLATÃO SÃO JOSÉ NOSSA SENHORA DA GLÓRIA SÃO DOMINGOS MATER DEI SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ Ã É MATER DEI SÃO MARCOS Platão PLATÃO PLATÃO SÃO JOSÉ Mater Dei Glorinha PLATÃO Nível 3 Participante CÉSAR I. D. MAESIMA ALEXANDRE F. V. MUZIO ANDRÉ TEIXEIRA DE LIMA BENEDITO KLYNSMANN D. C. BAGATINI LEONARDO ALVES MIGUEL LUIZ AUGUSTO C. SOUZA ALINE FERREIRA VELHO MUZIO ALINE FERREIRA VELHO MUZIO KARINA TIEMI KATO LEONARDO ZANELA DELMASQUIO ROGÉRIO YUKI SUZUKI VINICIUS DA ARRUDA BOLONHEZE VITOR ALEXANDRE M TEREZIO DAVID WILLIAM M. GUERRA EDUARDO H. T. FAVARETTO EDUARDO HENRIQUE GOMES GUARSIO ISADORA MARTINS DE SOUZA VANESSA YUKIE YAMANAKA ARTHUR CONTATO POLISELI CONNOR GLENN MCMAHAN JÉSSICA VERTUAN RUFINO JÉSSICA VERTUAN RUFINO KARINA KAWKA THAYLA ZAPPIELO DANILO TAKESHI EDUARDO HENRIQUE N. MANSON ERICA KOONO IVAN MATHEUS POPOWICZ LARISSA ANGELA PEREIRA DA SILVA LORENNA SOUZA COTA MARCOS VINICIUS TRAMONTIN USSO MICHELLE CURY DANILOW PEDRO HENRIQUE FAVARO TAMIRES MARIA DE S. MARTINS Participantes classificados para a 2a fase Acertos 25 23 23 23 21 21 20 20 20 20 20 20 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 Escola Ateneu Ateneu NOSSA SENHORA DA GLÓRIA São José SÃO DOMINGOS Platão At Ateneu Ateneu Platão SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ SÃO DOMINGOS SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ MATER DEI SÃO DOMINGOS COLEGIO PRISMA Ateneu Platão ANTONIO GARCEZ NOVAES SÃO JOSÉ SÃO JOSÉ SÃO DOMINGOS SÃO JOSÉ Platão MAE DO DIVINO AMOR MATER DEI NOSSA SENHORA DA GLÓRIA Ateneu SÃO JOSÉ SÃO DOMINGOS Prova do Nível 1 24 de outubro de 2010 Instruções para realização da prova 1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum problema, avise imediatamente o fiscal. 2. Para cada questão há apenas uma resposta correta. 3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão, preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta. 4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo participante. 5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não‐eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso. 6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões. 7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o preenchimento da folha de respostas (gabarito). 8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente a folha de respostas (gabarito). 2 1. Calculando 6 : obtemos: 3 a) 9 x b) 4 c) 1 d) 6 e) 5 Resolução 2 3 18 6 : 6. 9 3 2 2 2. O resultado de qual cálculo a seguir é ímpar? a) 7 8 b) 37 – 23 c) 9 36 d) 144 : 36 e) 17 61 x Resolução O número 17 x 61 = 1037 é ímpar. 3. Sendo A 23.32 e B = 12, qual é o resultado de a) b) c) d) e) A ? B 4 5 6 x 7 8 Resolução A 8.9 72 , B 12 então A 72 6 B 12 4. Um carro percorre 8 km com um litro de gasolina. Se o preço do litro de gasolina é de R$ 2,50, quantos reais são gastos com gasolina para fazer uma viagem de 400 km? a) R$ 12,50 b) R$ 25,00 c) R$ 50,00 d) R$ 125,00 x e) R$ 250,00 Resolução 400 50 2,50 125,00 8 5. Em uma primeira rodada de um torneio de tênis há 32 jogadores. Em cada partida dois jogadores se enfrentam; o vencedor passa à rodada seguinte e o perdedor é eliminado do torneio. Quantas partidas deverá ter o torneio até que se obtenha um vencedor? a) b) c) d) e) 16 21 27 31 x 64 Resolução Rodada Jogadores Partidas 1ª 32 16 2ª 16 8 3ª 8 4 4ª 4 2 5ª 2 1 Somando o número de jogos obtemos 31 partidas. 6. O mínimo múltiplo comum de dois números é 168 e o máximo divisor comum é 3. Qual é o produto entre esses dois números. a) b) c) d) e) 42 56 168 504 x 1512 Resolução O produto de dois números é igual ao produto de seu mmc pelo seu mdc. Assim, 3.168 = 504. 7. Raul está lendo um livro de 260 páginas. Ainda faltam 30% das páginas para ele terminar de ler o livro. Quantas páginas Raul já leu? a) 78 b) 94 c) 106 d) 182 x e) 220 Resolução 70 260 182 100 8. Carlos desenhou um tangram em uma malha quadriculada cujos quadradinhos possuem 2cm x 2cm de lado. Em seguida, recortou o desenho obtendo as sete peças do tangram. Qual é a área da figura abaixo sabendo‐se que ela foi construída com algumas peças desse tangram? a) b) c) d) e) 16 24 32 x 48 64 Resolução Cada triângulo correspondente a metade do quadrado tem área igual a 2cm2. Essa figura é formada por 16 triângulos. Assim, sua área é igual a 32cm2. 9. Uma folha de papel quadrada foi dobrada duas vezes como mostra a seqüencia de figuras abaixo. Os tracejados representam as marcas das dobras. Ao desdobrar a folha completamente, o aspecto da mesma será: e) a) c) b) d) Alternativa: e 10. Para fazer uma viagem de táxi paga‐se um valor fixo (bandeirada) mais um valor por quilômetro rodado. Sabendo que a bandeirada é R$ 3,00 e a cada quilometro rodado paga‐se R$ 0,15, com treze reais e cinqüenta centavos é possível fazer uma viagem de no máximo: a) 13 km b) 50 km c) 70 km x d) 90 km e) 110 km Resolução 13,30 – 3 = 10,50 10,50 : 15 = 70 2 11. Para construir um piso de concreto, Antônio utiliza 50kg de cimento para cada 2,50m de piso. Quantos 2 sacos com 50 kg de cimento serão necessários para que Antônio possa cobrir uma superfície de 300m ? a) 110 b) 112 c) 115 d) 120 x e) 125 Resolução 300 : 2,5 = 120 sacos 12. Um jogo é disputado em 4 tempos de mesma duração e 3 intervalos de 4 minutos cada um. O tempo total do jogo com os intervalos é de duas horas. Quantos minutos de duração tem cada tempo desse jogo? a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 27 x Resolução 4t + 12 = 120, então t = 27 13. Em um colégio, há apenas duas turmas de sexta série. Aplicada uma mesma prova de Matemática, a média da primeira turma foi 6,4, e a da segunda turma foi 5,8. Se, na primeira turma, há 30 alunos, e, na segunda, há 20 alunos, qual foi a média dos alunos da sexta série nessa prova? a) 6,10 b) 6,12 c) 6,14 d) 6,16 x e) 6,18 Resolução 30.6,4 20.5,8 192 116 6,16 50 50 14. Leia a seguinte descrição de uma seqüência de cálculos sobre um número. pensei em um número; subtraí 4 desse número; dividi o resultado por 5; multipliquei o novo resultado por 8 e encontrei 40. Em que número pensei? a) b) c) d) e) 20 29 x 30 32 36 Resolução x4 .8 40 8x 32 200 x 29 5 15. Um dado é construído de tal forma que a soma dos pontos marcados em quaisquer duas faces opostas somam 7. Entre as figuras acima podemos afirmar corretamente que: a) As figuras A e B não representam planificações de um dado b) Somente B representa a planificação de um dado c) Há três figuras que não representam planificações de um dado x d) As figuras B e D representam planificações de um dado e) Apenas as figuras B e E não representam planificações de um dado 16. Quando somamos um produto da tabuada do 4 com um produto da tabuada do 6, necessariamente obtemos um produto da tabuada do: a) 2 x b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Resolução 4a + 6b = 2.2.a + 2.3.b = 2(2a + 3b) 17. Um caixa eletrônico trabalha apenas com cédulas de 5 reais e de 10 reais. Se uma pessoa retirou 14 cédulas nesse caixa, num total de 110 reais, quantas cédulas de 10 reais no máximo ela recebeu? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 x Resolução O participante deve imaginar as quantidades que somadas resultam em 14 cédulas 9 cédulas de R$ 10,00 + 5 cédulas de R$ 5,00 = R$ 90,00 + R$ 25,00 = R$ 115,00 8 cédulas de R$ 10,00 + 6 cédulas de R$ 5,00 = R$ 80,00 + R$ 30,00 = R$ 120,00 18. Observe a tabela de preços de um estacionamento. Com base na tabela acima, é correto afirmar que não compensará pagar uma diária completa caso o carro fique no estacionamento por, no máximo: a) 3 horas x b) 4 horas c) 5 horas d) 6 horas e) 7 horas Resolução Primeira hora: 7,00 Segunda hora: 3,00 Terceira hora: 2,00 Quarta hora: 2,00 A partir da quarta hora o valor do estacionamento 14,00 já passa a ser maior que a diária 13,00, assim se o carro ficar por no máximo 3 horas não compensará seu proprietário pagar a diária uma diária. 19. Em uma fila, a vigésima primeira pessoa ocupa o lugar central. Quantas pessoas há nessa fila? a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 x e) 40 Resolução Se ela ocupa o lugar central, então a vinte pessoas antes e vinte depois. Assim, 21 + 20 = 41. 20. A seqüência de figuras a seguir foi obtida colorindo alguns quadrados de uma malha quadriculada. Mantendo esse padrão qual será a quantidade de quadrados brancos da figura VI? a) 81 b) 96 c) 101 d) 120 e) 145 x Resolução Nível de dificuldade: 3 Figura Lado I II III IV V VI 3 5 7 9 11 13 Quadrados coloridos 4 8 12 16 20 24 Quadrados brancos 5 17 37 65 101 145 Área do quadrado (em quadradinhos) menos o número de quadradinhos coloridos. 21. O cubo abaixo foi construído de maneira que: a face oposta a preta é preta; a face oposta a cinza é branca; há duas faces de cada cor (branca, cinza e preta). Observe o reflexo desse cubo em um espelho. Sabendo que a pilha abaixo foi construída com três cubos idênticos ao cubo acima, em qual item não há o reflexo verdadeiro da pilha no espelho? Alternativa: c 22. Considere os algarismos 0, 1, 2, 3, 5, 6 e 9. Seja A o maior número de 4 algarismos diferentes formados a partir desses algarismos. Seja B o menor número de três algarismos formado a partir desses algarismos. Qual é o valor de A – B? a) 9553 x b) 9530 c) 9551 d) 9542 e) 9552 Resolução A= 9653 B=100 A‐B= 9653‐100 = 9553 23. Três de cada oito moradores de um condomínio são do sexo feminino. Sabendo que nesse condomínio há doze moradores do sexo feminino, então o número de moradores do sexo masculino é igual a: a) 12 b) 20 x c) 24 d) 30 e) 36 Resolução Feminino 3 12 Masculino 5 x 3 5 x 20 12 x 24. Quantos palitos no máximo devem ser retirados da figura abaixo para obter quatro triângulos eqüiláteros iguais? Resolução a) b) c) d) e) 3 4 5 6 x 7 25. Observe o polígono ABCD representado no plano cartesiano abaixo. Quais serão as coordenadas relativas respectivamente aos vértices A, B, C e D ao rotacionar essa figura 1800 em torno do ponto O? a) (1, 1), (1, 1) , (4, 3) e (1, 1) b) (2, 1), (3, 4), (4, 1) e (4, 6) c) (1, 1), (3, 6), (1, 3) e (1, 3) d) (1, 1), (1, 1), (1, 1) e (4, 3) e) (1, 1), (4, 3), (1, 1) e (1, 1) x 26. Suponha que para calcular a nota final dessa prova fossem contabilizados quatro pontos a cada questão que o participante da Maratona acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o participante errasse. Caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele teria errado? a) 15 b) 18 x c) 20 d) 22 e) 25 Resolução 4x – (30 – x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18 27. Observe a quantidade de triângulos que há em cada linha da configuração abaixo. Seguindo esse padrão, quantos triângulos deverá ter a décima linha dessa configuração? a) 64 b) 128 c) 256 d) 512 x e) 1024 Resolução l1 20 ,l2 21 ,l3 22 l10 29 512 28. A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir. Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C? a) 1, 4 e 8 x b) 2, 3 e 5 c) 4, 5 e 6 d) 1, 3 e 9 e) 1, 6 e 5 Dessa adição resulta a seguinte equação: 3(ABC) BBB 3(100A 10B C) 100B 10B B B 100A C 27 Como A, B e C são números inteiros compreendidos entre 0 e 9 essa equação só é válida para A = 1, B = 4 e C = 8. 29. Em uma caixa há 12 bolas brancas e 18 bolas vermelhas. Quantas bolas brancas devem ser acrescentadas nessa caixa de maneira que as bolas brancas passem a representar a metade do total de bolas da caixa? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 x e) 7 Resolução 12 x 1 x6 30 x 2 30. Ana, Bruna, Cecília, Dora e Elisa são cinco meninas. Na tabela abaixo, os sinais de “+”, “–” e “=” significam que a menina indicada na linha é, respectivamente, maior, menor ou da mesma altura que a menina indicada na coluna. Ao analisar a tabela, conclui‐se que a) Bruna é a mais alta b) Elisa é a mais alta c) Dora é a mais baixa d) Cecília é a mais baixa x e) Ana tem a mesma altura de Dora Resolução: análise da tabela. Prova do Nível 2 24 de outubro de 2010 Instruções para realização da prova 1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum problema, avise imediatamente o fiscal. 2. Para cada questão há apenas uma resposta correta. 3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão, preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta. 4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo participante. 5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não‐eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso. 6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões. 7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o preenchimento da folha de respostas (gabarito). 8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente a folha de respostas (gabarito). 1. A expressão 20 16 4 2 1 é equivalente a: 8 3 8 2 b) 12 13 c) 8 11 x d) 8 1 e) 6 a) Resolução 1 4 1 1 1 1 1 11 1 1 16 8 4 8 4 8 8 2. Observe o polígono ABCD representado no plano cartesiano abaixo. Quais serão as coordenadas relativas respectivamente aos vértices A, B, C e D ao rotacionar essa figura 1800 em torno do ponto O? a) b) c) d) e) (1, 1), (1, 1) , (4, 3) e (1, 1) (2, 1), (3, 4), (4, 1) e (4, 6) (1, 1), (3, 6), (1, 3) e (1, 3) (1, 1), (1, 1), (1, 1) e (4, 3) (1, 1), (4, 3), (1, 1) e (1, 1) x n 3. A expressão 23 2 2 pode ser escrita na forma Am de tal maneira que m, n e A sejam primos. Nesse caso os valores de n, m e A são respectivamente: a) b) c) d) e) 2, 3 e 2 x 3, 2 e 2 3, 3 e 2 2, 2 e 3 2, 2 e 2 Resolução 1 2.2 2 3 22 3 3 2. 2 2 3 2 2.2 3 3 3 2.2 6 2 2 23 , assim n = 2, m = 3, A = 2 4. Três de cada oito moradores de um condomínio são do sexo feminino. Sabendo que nesse condomínio há doze moradores do sexo feminino, então o número de moradores do sexo masculino é igual a: a) b) c) d) e) 12 20 x 24 30 36 Resolução 12 3 3h 36 96 3h 60 h 20 h 12 8 5. A é um conjunto numérico com 11 elementos. A média aritmética dos elementos de A é 6. Qual é a média aritmética de A se adicionarmos o número 12 a esse conjunto? a) b) c) d) e) 5 5,5 6 6,5 x 7 Resolução S 6 S 66 11 66 12 78 6,5 12 12 6. Em uma primeira rodada de um torneio de tênis há 32 jogadores. Em cada partida dois jogadores se enfrentam; o vencedor passa à rodada seguinte e o perdedor é eliminado do torneio. Quantas partidas deverá ter o torneio até que se obtenha um vencedor? a) b) c) d) e) 16 21 27 31 x 64 Resolução Rodada Jogadores Partidas 1ª 32 16 2ª 16 8 3ª 8 4 4ª 4 2 5ª 2 1 Somando o número de jogos obtemos 31 partidas. 7. Uma pesquisa com duzentas pessoas concluiu que três quartos delas são esportistas e dois quintos dos esportistas praticam natação. O número de pessoas que praticam natação é: a) b) c) d) e) 40 50 60 x 70 80 Resolução 3 Esportistas: 200 150 4 2 Natação: 150 60 5 8. Para fazer uma viagem de táxi paga‐se um valor fixo (bandeirada) mais um valor por quilômetro rodado. Sabendo que a bandeirada é R$ 3,00 e a cada quilômetro rodado paga‐se R$ 0,15, com treze reais e cinqüenta centavos é possível fazer uma viagem de no máximo: a) 13 km b) 50 km c) 70 km x d) 90 km e) 110 km Resolução 13,30 – 3 = 10,50 10,50 : 15 = 70. 9. Carlos desenhou um tangram em uma malha quadriculada cujos quadradinhos possuem 2cm x 2cm de lado. Em seguida, recortou o desenho obtendo as sete peças do tangram. Qual é a área da figura abaixo sabendo‐se que ela foi construída com algumas peças desse tangram? a) b) c) d) e) 16 24 32 x 48 64 Resolução Cada triângulo correspondente a metade do quadrado tem área igual a 2cm2. Essa figura é formada por 16 triângulos. Assim, sua área é igual a 32cm2. 10. Se, em uma cidade, todos os torcedores do Grêmio são do sexo masculino, mas nem todos homens são torcedores do Grêmio, e todos torcedores do Atlético são mulheres, mas nem todas as mulheres são torcedoras do Atlético, então, nessa cidade: a) existem homens que torcem pelo Atlético b) há mais de um homem que não torce pelo Grêmio c) existe pelo menos uma mulher que torce pelo Grêmio d) ninguém torce por outro time e) há pelo menos duas pessoas que não torcem nem pelo Grêmio, nem pelo Atlético x Resolução Assim, há pelo menos um homem que não torce para o Grêmio e pelo menos uma mulher que não torce para o Atlético. Logo, duas pessoas. 11. Observe a quantidade de triângulos que há em cada linha da configuração abaixo. Seguindo esse padrão, quantos triângulos deverão ter a décima linha dessa configuração? a) b) c) d) e) 64 128 256 512 x 1024 Resolução l1 20 ,l2 21 ,l3 22 l10 29 512 12. Em determinada hora do dia, um prédio projeta uma sombra de 15 m no solo, enquanto uma ripa de madeira de 2 m, perpendicular ao solo, projeta uma sombra de 120 cm. Nessas condições, qual a altura do prédio? a) 9 m b) 18 m c) 36 m d) 30 m e) 25 m x Resolução h 200 1500.200 h h 25m 1500 120 120 13. O mínimo múltiplo comum de dois números é 168 e o máximo divisor comum é 3. Qual é o produto entre esses dois números. a) b) c) d) e) 42 56 168 504 x 1512 Resolução O produto de dois números é igual ao produto de seu mmc pelo seu mdc. Assim, 3.168 = 504. 14. O comprimento AB do retângulo ABCD é o dobro de sua altura AD. Os pontos E, F e G são respectivamente os pontos médios dos lados AD, AB e CD. A razão entre a área do triângulo EFG e do retângulo ABCD é: a) b) c) d) e) 0,2 0,25 x 0,5 2 4 Resolução h2 2 2 h . 1 1 0,25 2h2 2 2h2 4 15. No gráfico abaixo está representada a quantidade de alunos por idade de uma turma de 60 alunos. Qual alternativa representa melhor a média de idades desses alunos? a) b) c) d) e) 16 anos e 10 meses 17 anos e 1 mês 17 anos e 5 meses x 18 anos e 6 meses 19 anos e 2 meses Resolução 16.10 17.23 18.20 19.5 20.2 1046 17,43 60 60 16. Suponha que para calcular a nota final dessa prova fossem contabilizados quatro pontos a cada questão que o participante da Maratona acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o participante errasse. De acordo com essa hipótese caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele acertou? a) b) c) d) e) 15 18 x 20 22 25 Resolução 4x – (30 – x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18 17. Henrique escreveu a seqüência de números naturais de 1 a 170. Quantos algarismos Henrique escreveu? a) b) c) d) e) 399 401 402 x 403 404 Resolução 1 a 9 9 números 9 algarismos 10 a 99 90 números 90.2 = 180 algarismos 100 a 170 71 números 71.3 = 213 algarimos Assim, 9 + 180 + 213 = 402 algarismos 18. Qual é o algarismo das unidades da potência 32009 ? a) b) c) d) e) 1 3 x 6 7 9 Resolução 30 1 Percebe‐se que os números tem um ciclo de 4 em 4 potências, assim 31 3 32 9 33 27 34 81 35 243 2009 500 e sobra resto 9, logo 4 32009 3500.38.31 , como 3500 ,38 são iguais a 30 , pois 500 e 8 divididos por 4 (ciclo) possuem restos 0, então 32009 possui o mesmo algarimos das unidades que 31 3 . 19. Hoje a idade de João é a metade da idade de sua mãe. Há quatro anos, a idade de João era a terça parte da idade de seu pai. Se a soma das idades atuais dos três é 100 anos, quantos anos o pai de João tem a mais que sua mãe? a) 8 b) 10 x c) 12 d) 13 e) 15 Resolução M J 2 M 2J P4 P 3J 8 J 4 3 J P M 100 J 2J 3J 8 100 6J 108 J 18 M 36 P 46 P M 46 36 10 20. Cada figura que aparece na malha abaixo representa um número e figuras iguais representam números iguais. Ao lado das linhas e das colunas da malha, são indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas representadas pelas letras X, Y e Z. Nas condições dadas qual é o valor da soma X + Y + Z? a) b) c) d) e) 15 16 17 x 18 19 Resolução 1Q 1C 1T 7 2Q 1C Y 4Q 3C 2T 17 2T 1Q Z X Y Z 4Q 3C 2T 17 2Q 1T 4 2C 1Q X 1Q 2C 6 21. Em uma calculadora como a que aparece ao lado é possível calcular a raiz quadrada de um número digitando o número e, em seguida, apertando a tecla . Se digitarmos o número 16 nessa calculadora e apertarmos a tecla duas vezes seguidas será calculada a raiz de 16 e, em seguida, a raiz quadrada da raiz de 16. Digitando o número 3969 e teclando 10 vezes a tecla valor próximo de: obtemos um a) 1024 63 b) 512 3969 c) 3969 d) 512 63 x e) 63512 3969 Resolução 10 1 3969 2 3 4 1 2 1024 .7 3 .7 2 1 512 512 63 22. O plano cartesiano abaixo está quadriculado e cada lado do quadradinho mede 1 unidade. Uma formiga partiu do ponto A = (0,0) e percorreu a poligonal sugerida na figura. Se ela terminou seu caminho no ponto B = (5,5), o comprimento total da poligonal é igual a: a) b) c) d) e) 48 64 100 x 121 144 Resolução (1, 1) 1 + 1 + 2 = 4 (2, 2) 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16 (3, 3) 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 = 36 (4, 4) 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 = 64 (5, 5) 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10 = 100 23. Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoção: 3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia desse mesmo produto. Cada caixa contém 1 litro. Comprando‐se 11 caixas desse leite, a quantidade máxima, em litros, que pode ser consumida é: a) b) c) d) e) 13 14 15 16 x 17 Resolução Consume 9 e troca as vazias por 3 cheias, ficando com 5 cheias; Consome 3 e troca por 1 cheia, ficando com 3 cheias; Consome 3 e troca por 1 cheia, ficando com 1 cheia Consome 1 cheia e não troca mais. 24. Duas pessoas estão sentadas frente a frente e entre elas há um dado cuja soma dos pontos de quaisquer duas faces opostas é igual a 7. Cada uma vê três faces do dado. Entre as faces que as duas pessoas vêem há a face superior que é vista por ambas. Uma pessoa vê nove pontos, a outra 15 pontos. Quantos pontos tem a face que está em contato com a mesa? a) b) c) d) e) 2 x 3 4 5 6 Resolução 7 7 2S 9 15 2S 24 14 2S 10 S 5 Como a superior é igual a cinco, a face que toca a mesa é 2. 25. Observe a seqüência de figuras a seguir. As figuras a partir da segunda são obtidas realizando os seguintes passos: dividi‐se cada segmento da figura anterior em três partes iguais; constrói‐se um triângulo eqüilátero cuja base corresponde ao terço central obtido no passo anterior; exclui‐se a base de cada triângulo construído no passo anterior. Veja o processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1. Sabendo que a figura inicial é um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 81cm, qual é o perímetro da quinta figura dessa seqüência? a) 16cm b) 64cm c) 81cm d) 192cm e) 256cm x Resolução 1 Perímetro: 768. 256 3 Figura Lado (cm) Lados (quant) 1 27 3 2 27 3 12 3 27 9 48 4 1 192 5 1 3 768 26. Um tanque tem capacidade máxima para x litros de água. Nesse tanque há duas torneiras, uma delas, quando aberta completamente, leva 4h para enchê‐lo com água. A outra, quando completamente aberta, leva 3h para completar a metade do tanque com água. Quanto tempo é necessário para que as duas torneiras abertas completamente no mesmo instante encham o tanque? a) b) c) d) e) 2h 10min 2h 24min x 2h 25min 2h 30min 2h 40min Resolução Torneira Fração do tanque a cada hora A B 1 4 1 6 1 1 32 5 4 6 6 12 5 12 1: 2,4 12 5 4 2,4h 2h .1h 2h 24min 10 27. A figura a seguir é formada por 4 pequenos triângulos. Em cada um dos pequenos triângulos há um número oculto. O número indicado abaixo de cada figura a seguir representa a soma dos números ocultos pelos triângulos sombreados. O número que está no triângulo central é: a) b) c) d) e) 9 11 13 x 15 17 Resolução Sejam os seguintes números abaixo de cada triângulo sombreado: Somando os números abaixo de cada pequeno triângulo sombreado obtemos: 3(a + b + c + d) = 42 + 37 + 48 + 44 Ou seja, 3(a + b + c + d) = 171. Assim, a + b + c + d = 57 Subtraindo dessa soma os números ocultos pelos triângulos sombreados da última figura, obtemos: a + b + c + d – (a + b + d) = 57 – 44 c = 13 28. Em que instante após as 14h e antes das 15h, o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas de um relógio formam um ângulo de 61o ? a) b) c) d) e) 14h 17min 14h 18min 14h 20min 14h 21min 14h 22min x Resolução Ângulo do ponteiro pequeno: x Ângulo do ponteiro grande: 60o x 12 x x 60o 61o 12 x x 121o 12 121o.12 x 132o 11 Cada minuto no relógio corresponde a um giro de 6 do ponteiro dos minutos, então 132 : 6 = 22 min, logo, são 14h 22min. 29. O ponto P é interior ao retângulo ABCD e tal que med(PA) = 3cm, med(PB) = 4cm e med(PC) = 5cm. Qual é a medida de PD? a) 2 b) 2 3 c) 3 d) 3 2 x e) 3 Resolução Traçando por P paralelas aos lados do retângulo, temos a situação da figura abaixo. Usando o teorema de Pitágoras quatro vezes. m2 n2 9 p2 q2 25 Somando, m2 n2 p2 q2 9 25 x2 16 34 x 3 2 30. Em uma rua, há apenas 4 casas: uma amarela, uma verde, uma branca e uma azul. Cada uma delas tem um número diferente, todos com apenas 1 algarismo. Um lado da rua é destinado somente para casas cujos números são pares. De maneira análoga, o outro lado destina‐se tão somente às casas com números ímpares. Sabe‐se que: as casas branca e verde ficam de lados opostos da rua; o número da casa amarela é o produto dos números das casas branca e verde; o número da casa azul corresponde à soma dos números das casas branca e verde; o número da casa amarela é uma unidade maior do que o número da casa azul. É correto afirmar que o número da casa: a) b) c) d) e) verde é 1 branca é 2 x verde é 2 azul é 5 x amarela é 5 Resolução Am = B.V A = B + V Am = A + 1 O número da casa amarela é par, pois é o produto dos números das casas branca e verde. O número da casa azul é ímpar, pois é a soma de um número ímpar com um número par. Azul Amarela Am = B . V 1 2 ‐‐‐‐ 3 4 ‐‐‐‐ 5 6 2 . 3 7 8 ‐‐‐‐ Azul: 5 Amarela: 6 Assim, os números das casas são: Branca: 2 Verde: 3 As alternativas b e d são corretas. Observação: a questão apresentou 2 alternativas por engano cometido na elaboração. Prova do Nível 3 24 de outubro de 2010 Instruções para realização da prova 1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum problema, avise imediatamente o fiscal. 2. Para cada questão há apenas uma resposta correta. 3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão, preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta. 4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo participante. 5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não‐eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso. 6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões. 7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o preenchimento da folha de respostas (gabarito). 8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente a folha de respostas (gabarito). 1. Em uma sala de aula, a razão entre o número de meninas e de meninos, é de 3 . A porcentagem de 2 meninos na sala de aula: a) b) c) d) e) 25% 30% 33% 38% 40% x Resolução m 3 3 m h h 2 2 h h h 2 0,4 40% m h 3h h 5h 5 2 2 2. A figura abaixo representa uma pilha de cubos, todos iguais, cuja aresta de cada um corresponde a 3 m. Quanto vale, em metros cúbicos, o volume da pilha de cubos? a) b) c) d) e) 104 162 270 x 324 351 Resolução V 3m 3m 3m 27m3 10.V 10 27m3 270m3 3. Um número N, ao ser dividido por 7, deixa resto 5. Dividindo‐se N + 4 por 7, o resto obtido é a) b) c) d) e) 2 x 3 5 7 9 Resolução quociente : q N: 7 N 7q 5 resto: 5 N 4 7q 5 4 7q 9 quociente : q+1 (N 4): 7 (7q 9) : 7 resto: 2 0,444... é igual a: 4. a) b) c) d) e) 0,222... 0,333... 0,444... 0,555... 0,666... x Resolução 0,4444444... 4 2 4 0,666.... 9 3 6 5. A seqüência de números inteiros positivos abaixo foi escrita de maneira que todo número múltiplo de três ou terminado com o algarismo três foi substituído por A. 1, 2, A, 4, 5, A, 7, 8, A, 10, 11, A, A, 14, ... Dos próximos dez números dessa seqüência, a quantidade de números que será convertida em A é igual a: a) b) c) d) e) 3 4 5 x 6 7 Resolução Os dez próximos números dessa seqüência são: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 e 24. Dentre eles serão substituídos por A os seguintes números: 15, 18, 21, 23 e 24. Logo, serão substituídos 5 números. 6. Para fazer uma viagem de táxi paga‐se um valor fixo (bandeirada) mais um valor por quilômetro rodado. Sabendo que a bandeirada custa R$ 3,00 e a cada quilometro rodado paga‐se R$ 0,15, com treze reais e cinqüenta centavos é possível fazer uma viagem de no máximo: a) b) c) d) e) 50 km 70 km x 90 km 93 km 110 km Resolução 13,30 – 3 = 10,50 10,50 : 15 = 70 7. Suponha que para calcular a nota final dessa prova fossem contabilizados quatro pontos a cada questão que o participante da Maratona acertasse e, menos um ponto, a cada questão que o participante errasse. Caso um participante responda todas as questões e obtenha 60 pontos, quantas questões ele teria errado? a) b) c) d) e) 15 18 x 20 22 25 Resolução 4x – (30 – x) = 60 4x + x = 60 + 30 5x = 90 x = 18 8. Um comerciante comprou uma mercadoria com 5% de desconto em seu valor de custo. Quando revendeu obteve um lucro de 15% sobre o valor que pagou. Qual seria sua porcentagem de lucro se ele não tivesse obtido desconto na compra e efetuasse a venda pelo mesmo valor que vendeu? a) b) c) d) e) 15% 14,25% 4,25% 9,25% x 15,25% Resolução Valor sem desconto: x Valor da compra: x – 0,05x = 0,95x Lucro: 0,95x.0,15 = 0,1425x Preço de venda: 0,95x + 0,1425x = 1,0925x Assim, o lucro seria de 9,25%. 9. Ao calcular as áreas A1 , A2 e A3 dos círculos C1 , C2 e C3 respectivamente, João percebeu que A1 A 2 A 3 7 . 2 Sendo os raios como indicados na figura, qual é o valor de x ? a) b) c) d) e) 0,5 1 1,5 x 2 2,5 Resolução Nível de dificuldade: 2 7 (x 1)2 x2 2 (4x2 4x 3) 0 3 1 x1 e x2 2 2 10. O gráfico abaixo apresenta o número de visitantes a um museu nos trintas dias de uma exposição de espadas antigas. Podemos afirmar corretamente que: a) b) c) d) e) No primeiro dia houve mais de 100 visitantes No nono dia houve 75 visitantes Houve 525 visitantes nos 30 dias de exposição No sétimo dia houve mais de 50 visitantes x Houve 4270 visitantes nos 30 dias de exposição Resolução No sétimo dia houve mais de 50 visitantes, pois o menor número de visitantes por dia foi 75. 11. Ana encontrou uma máquina que duplica a quantia de dinheiro depositada. Após executar essa operação a máquina cobra uma taxa de R$ 10,00 e retorna o restante para o depositante. Ana inseriu certa quantia nessa máquina e a mesma realizou o procedimento, duplicou o valor, cobrou R$ 10,00 pelo serviço e retornou o restante para Ana. Não satisfeita, Ana inseriu na máquina o valor que a máquina retornou na primeira operação. Ainda não satisfeita, Ana inseriu o total recebido da máquina mais uma vez. Porém, executando o processo normalmente, a máquina não devolveu quantia alguma. Qual foi a quantia inicial que Ana inseriu na máquina? a) b) c) d) e) R$ 5,00 R$ 8,75 x R$ 10,00 R$ 15,00 R$ 7,50 Resolução Depósito 8x – 70 = 0 x = 8,75 Retirada x 2x – 10 2x – 10 4x – 30 4x – 30 8x – 70 12. Na figura abaixo ABCD é um quadrado de lado a maior que 1cm. Os círculos de centro F e G possuem raios de medida 1cm e estão respectivamente inscritos nos triângulos ABC e ACD. A medida do lado do quadrado ABCD em centímetros é: a) 4 cm b) (2 2) cm x c) 2 2 cm 4 cm d) e) 3 2 cm Resolução 2x2 4 x2 2 x 2 11 2 2 2 13. Em uma sala há homens adultos, mulheres adultas e crianças. Se todos os homens adultos fossem retirados da sala, as mulheres adultas passariam a representar 80% dos que ficaram na sala. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres adultas, os homens adultos passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total de pessoas na sala, as crianças correspondem a: a) b) c) d) e) 12,5% x 17,5% 20% 22,5% 25% Resolução homens : h Sejam mulheres : m crianças: c m 0,8(m c) m 0,8m 0,8c 0,2m 0,8c m 4c h 0,75(h c) h 0,75h 0,75c 0,25h 0,75c h 3c c c c 1 0,125 12,5% h m c 3c 4c c 8c 8 14. Em uma calculadora como a que aparece ao lado é possível calcular a raiz quadrada de um número digitando o número e, em seguida, apertando a tecla . Se digitarmos o número 16 nessa calculadora e apertarmos a tecla duas vezes seguidas será calculada a raiz de 16 e, em seguida, a raiz quadrada da raiz de 16. Digitando o número 3969 e teclando 10 vezes a tecla valor próximo de: obtemos um a) 1024 63 b) 512 3969 c) 3969 d) 512 63 x e) 63512 3969 Resolução 10 1 2 3969 34.72 1 1024 32.7 1 512 512 63 15. Em certa cidade, o preço de uma corrida de táxi é formado por duas parcelas: uma fixa, chamada de bandeirada, e outra proporcional à distância percorrida. O preço da bandeirada aumentou de 20% e o preço do quilômetro rodado aumentou de 10%, o que fez com que uma corrida que custava R$ 10,00 passasse a custar R$ 11,50. Quanto passará a custar uma corrida que custava R$ 26,00? a) R$ 28,60 b) R$ 29,10 x c) R$ 29,60 d) R$ 29,60 e) R$ 31,20 Resolução b a bandeirada Sejam v o preço variável b v 10 1,2b 1,1v 11,50 0,1b 1,1b 1,1v 11,50 0,1b 1,1.10 11,50 b 5 Assim, 26 5 21, passará a ser 6 21.1,1 29,10 16. Sejam a função do segundo grau f(x) x2 1 e b IR . Considere os números a1 f(b 1) f(b), a2 f(b 2) f(b 1), ..., an f(b n) f(b n 1) com n IN . Calcule o valor de a1000 . a) 2001 2b b) 1999 2b x c) 2001 b d) 1999 b e) 4000 2b Resolução a1000 f(b 1000) f(b 1000 1) a1000 (b 1000)2 1 (b 1000 1)2 1 a1000 (b 1000)2 (b 1000)2 2(b 1000) 1 a1000 2b 2000 1 a1000 2b 1999 17. Observe a seqüência de figuras a seguir. As figuras a partir da segunda são obtidas realizando os seguintes passos: dividi‐se cada segmento da figura anterior em três partes iguais; constrói‐se um triângulo eqüilátero cuja base corresponde ao terço central obtido no passo anterior; exclui‐se a base de cada triângulo construído no passo anterior. Veja o processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1. Sabendo que a figura inicial é um triângulo eqüilátero de perímetro igual a 81cm qual é o perímetro da quinta figura dessa seqüência? a) 16cm b) 64cm c) 81cm d) 192cm e) 256cm x Resolução Figura Lado (cm) Lados (quant) 1 27 3 2 27 3 12 3 27 9 48 4 1 192 5 1 3 768 1 Perímetro: 768. 256 3 18. Adicionando a soma, a diferença e o produto de dois números inteiros positivos x e y obtemos 100. Sabendo‐se que x < y, é possível afirmar corretamente que y e x são respectivamente: a) b) c) d) e) 1 e 100 50 e 2 25 e 4 5 e 20 23 e 4 x Resolução x y Temos que (x y) (x y) xy 100 (2 y)x 100 (2 + y).x y x 100.1 98 1 50.2 48 2 25.4 23 4 20.5 18 5 19. Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 28 dias. Após 3 dias, o barco recolhe 2 náufragos. Se o consumo diário de água por pessoa se mantiver o mesmo, podemos afirmar corretamente que a reserva acabará em: a) b) c) d) e) não mais de 15 dias não menos de 21 dias não menos de 19 dias x menos de 15 dias mais de 20 dias Resolução Pessoas 7 7 9 Dias 28 25 y y 7 25 9 7.25 y 9 y 19,44 20. Um tanque tem capacidade máxima para x litros de água. Nesse tanque há duas torneiras, uma delas, quando aberta completamente, leva 4h para enchê‐lo com água. A outra, quando completamente aberta, leva 3h para completar a metade do tanque com água. Quanto tempo é necessário para que as duas torneiras abertas completamente no mesmo instante encham o tanque? a) b) c) d) e) 2h10min 2h24min x 2h25min 2h30min 2h40min Resolução Torneira A B 1 1 32 5 4 6 6 12 5 12 1: 2,4 12 5 4 2,4h 2h .1h 2h 24min 10 Fração do tanque a cada hora 1 4 1 6 21. Em que instante após as 14h e antes das 15h, o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas de um relógio formam um ângulo de 61o ? a) b) c) d) e) 14h 17min 14h 18min 14h 20min 14h 21min 14h 22min x Resolução Ângulo do ponteiro pequeno: x Ângulo do ponteiro grande: 60o x 12 x x 60o 61o 12 x x 121o 12 121o.12 x 132o 11 Cada minuto no relógio corresponde a um giro de 6º do ponteiro dos minutos, então 132 : 6 = 22 min, logo, são 14h 22min. 22. Quantos algarismos são necessários para escrever todos os números inteiros positivos de n algarismos? a) 10 b) 9.n.10n1 x c) 90n1.n d) 100n e) nn Resolução Algarismos Números Quantidade 1 1 a 9 10 2 10 a 99 90.2 = 9.2.10 3 100 a 999 900.3 = 9.3.102 4 1000 a 9999 9000.4 = 9.4.103 n 9.n.10n – 1 23. No ponto médio de cada lado do triângulo retângulo ABC (retângulo em B) foi construída uma circunferência. A de centro E passa por A e C, a de centro F passa por A e B e a de centro G passa por B e C. Sabendo que BC mede x e AB tem a dobro da medida de BC, qual é a área da parte hachurada dessa figura? a) 2x2 x b) 2x2 5 c) x2 2 8 5 2 x d) 8 e) 5x2 4 Resolução A T : área do triângulo A : área do círculo de centro no ponto E E Sejam AF : área do círculo de centro no ponto F A G : área do círculo de centro no ponto G AF A G A x2 4x2 5x2 2 AT E AT x2 x 2x2 2 2 2 2 24. Na figura abaixo aparece um tabuleiro 3 x 3 com furos. Observe. Nesse tabuleiro são colocados sete pinos brancos e um preto. O canto diagonalmente oposto ao pino preto fica vago como mostra a figura. O objetivo do jogo consiste em movimentar o pino preto para o buraco inicialmente vago. Um pino branco ou preto, a cada movimento, pode ser deslocado na horizontal ou na vertical para um espaço livre adjacente, mas nunca na diagonal e não é permitido saltar outro pino qualquer que seja sua posição. Qual é a quantidade mínima de movimentos nos pinos para deslocar o pino preto para a casa inicialmente vaga? a) b) c) d) e) 4 8 11 13 x 14 Resolução O pino deve realizar o seguinte caminho. E para atingir cada ponto são necessários a seguinte quantidade de movimentos. 25. Quando três artesões A, B e C, trabalham juntos, confeccionam uma rede em x horas. Se trabalhassem sozinhos, A confeccionaria a rede em x + 1 horas, B confeccionaria em x + 6 horas e C em 2x horas. Quantas horas os três levam juntos para confeccionar três redes? a) b) c) d) e) 1h 2h x 3h 4h 5h Resolução Em uma hora, A, B e C, trabalhando sozinhos, fariam fariam 1 1 1 , , da tarefa, respectivamente. Trabalhando juntos x 1 x 6 2x 1 da tarefa. Logo, x 1 1 1 1 x 1 x 6 2x x 1 1 1 1 x 1 x 6 x 2x 2x 7 1 x2 7x 6 2x 3x2 7x 6 0 2 Essa equação possui duas raízes: 3 e . 3 2 .3 2 3 26. A, B e C representam algarismos distintos na adição a seguir. Entre as alternativas abaixo qual delas apresenta respectivamente os algarismos relativos a A, B e C? a) b) c) d) e) 1, 3 e 9 2, 3 e 5 4, 5 e 6 1, 4 e 8 x 1, 6 e 5 Resolução Dessa adição resulta a seguinte equação: 3(ABC) BBB 3(100A 10B C) 100B 10B B 100A C B 27 Como A, B e C são números inteiros compreendidos entre 0 e 9 essa equação só é válida para A = 1, B = 4 e C = 8. 27. Na lanchonete Havaí Lanches há a seguinte promoção: 2 sucos, 3 salgados e 1 doce: R$ 9,50 1 suco, 2 salgados e 2 doces: R$ 7,00 Sabendo que o preço do doce é dado por um número inteiro, qual é o preço de um suco? a) b) c) d) e) R$ 1,00 R$ 1,50 R$ 2,00 x R$ 3,50 R$ 4,50 Resolução Fazendo preço do suco x, preço do salgado y e preço do doce z, obtém o seguinte sistema 2x 3y z 9,5 x 2y 2z 7 Cuja solução é dada por x = 4z – 2 e y = 4,5 – 3z. Como o valor de z é um número inteiro a única possibilidade é z = 1. Portanto x = 2. Resposta c. 28. Na figura abaixo, as retas r e s são perpendiculares e se interceptam em O. Os arcos de círculos AB, BC, CD e DA medem 60 e possuem como centros os pontos O1, O2, O3 e O4 respectivamente. Sabendo que o raio de cada arco mede 1 cm e que O1, O2, O3 e O4 estão a uma mesma distância de O, determine a área da região hachurada: a) 2 3(1 3) 2 cm x 3 b) 2 1 3 2 cm 3 c) 2 3 3 2 cm 3 d) 2 3(1 3) 2 cm 3 e) 2 1 3 3 2 cm 3 Resolução .12 12 3 3 2 3 3 6 4 6 4 12 Logo, a área hachurada é igual a: 2 3 3 2 3 3 2 3(1 3) S 12 4 1 12 3 3 A 29. Sejam x,y IR tais que 0 x 0,25 e 2,75 y 3 , então podemos afirmar corretamente que: 1 a) x.y y b) x x c) x y 43 y x 1 d) e) x3 .y2 121 x 1024 Resolução Primeiramente vamos escrever 0 x a) Tomando x 1 11 e y 3 , e com isso analisar cada opção. 4 4 1 11 1 11 11 4 1 1 . Falsa. e y temos xy . 4 4 16 11 11/ 4 y 4 4 b) Se x < 1 então x x . Falsa. c) y x 31/ 4 4 3 . Falsa. d) y x 11 1 11 1 4 1 3 1 . Falsa. 4 4 4 4 4 3 2 1 121 121 1 1 11 e) x3 .y2 . . . Verdadeira. 64 16 1024 5 4 4 30. Sabe‐se que 105 218 106 e que 104 39 105 , então a quantidade de algarismos do número 17280300 está compreendida entre: a) b) c) d) e) 200 e 400 600 e 800 1000 e 1200 1200 e 1400 x 1400 e 1600 Resolução Temos que 17280 27.33.5 26.33.10 , logo 100 100 Mas, 101200 105.104.103 218.39.103 186.105.103 101400 17280300 26.33.10 300 218.39.103 100 Logo, a quantidade de algarismos de 17280300 está compreendida entre 1200 e 1400.
