Mackenzie 2005 - Grupos II e III

TIPO DE PROVA: A
Questão 1
No primeiro semestre deste ano, a produção
de uma fábrica de aparelhos celulares aumentou, mês a mês, de uma quantidade fixa.
Em janeiro, foram produzidas 18 000 unidades e em junho, 78 000. Se a fábrica exporta
30% de sua produção mensal, o total de aparelhos celulares exportados nos meses de
março e abril foi:
a) 32 400
b) 30 600
c) 24 500
d) 26 200
e) 28 800
alternativa E
Como durante 6 meses a produção aumentou,
mês a mês, uma quantidade fixa, as quantidades
produzidas formam uma PA de 6 termos, onde
a1 = 18 000 e a6 = 78 000.
Desta forma, como a fábrica exporta 30% de sua
produção mensal, o total de aparelhos celulares
exportados nos meses de março e abril é dado
por 30% ⋅ (a3 + a4 ) = 30% ⋅ (a1 + a6 ) = 0,3 ⋅
⋅ (18 000 + 78 000) = 0,3 ⋅ 96 000 = 28 800.
Questão 2
Do total de despesas de uma escola, 3% são
reservados para comprar lâmpadas, 27%
para comprar papel e 12% para comprar material de limpeza. Um aumento de 10% no
preço de cada um desses produtos resulta
num aumento de k% no total das despesas
relativas a eles. O valor de k é tal que:
a) 0 ≤ k < 1
b) 1 ≤ k < 3
c) 3 ≤ k < 5
d) 5 ≤ k < 8
e) 8 ≤ k < 10
ver comentário
Há várias interpretações possíveis para o problema:
• Um aumento de 10% nos produtos resulta em
um aumento de 10% sobre o valor total das despesas relativas a eles. Teríamos k = 10;
• Seja x o total de despesas da escola antes do
aumento. Como 42% dessas despesas aumentaram em 10%, o total de despesas da escola au-
mentou em 10% ⋅ 0,42x = 0,042x. Assim, as despesas relativas a lâmpadas, papel e material de
limpeza aumentaram para 0,42x + 0,042x =
= 0,462x, de modo que o novo percentual que essas despesas representam do total passa a ser
0,462x
≅ 44,3% , um aumento de aproximada1,042x
mente 44,3 − 42 = 2,3 pontos percentuais ou
44,3 − 42
≅ 5,5% na porcentagem do total de
42
despesas da escola. Teríamos k = 5,5 ou k = 2,3.
Questão 3
Um programa computacional, cada vez que é
executado, reduz à metade o número de linhas verticais e de linhas horizontais que
formam uma imagem digital. Uma imagem
com 2048 linhas verticais e 1024 linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas
verticais e 128 linhas horizontais. Para que
essa redução ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
alternativa A
Como o número de linhas verticais foi reduzido de
2 048 para 256, o número de horizontais de 1 024
3
128
256
⎛1 ⎞
para 128 e, ainda,
=
=⎜ ⎟ , o
⎝2 ⎠
1 024
2 048
programa foi executado k = 3 vezes.
Questão 4
⎛1 x⎞
⎛ 2 1⎞
Dadas as matrizes A = ⎜
⎟eB= ⎜
⎟, a
⎝5 1⎠
⎝4 x⎠
soma das raízes da equação det (A × B) = −28
é:
4
11
5
3
11
d) −
e)
b)
c) −
a)
5
3
11
11
5
alternativa E
det (A × B) = −28 ⇔ det A ⋅ det B = −28 ⇔
⇔ (1 ⋅ 1 − 5 ⋅ x)(2 ⋅ x − 4 ⋅ 1) = −28 ⇔
⇔ 5x 2 − 11x − 12 = 0
A soma das raízes da equação dada é
−11 11
.
−
=
5
5
matemática 2
Questão 5
Questão 7
Um polinômio p(x) tem resto A, quando dividido por (x − A), e resto B, quando dividido
por (x − B), sendo A e B números reais. Se o
polinômio p(x) é divisível por (x − A) ⋅ (x − B),
então:
a) A = B = 0
b) A = B = 1
c) A = 1 e B = −1
d) A = 0 e B = 1
e) A = 1 e B = 0
Na figura, quaisquer que sejam α e β, senθ é
sempre igual a:
a
2a
alternativa A
b
Sendo p(x) divisível por (x − A) ⋅ (x − B ), p(x) é divisível por x − A e x − B . Logo o resto das divisões de p(x) por x − A e x − B é 0, ou seja,
A = B = 0.
a) cos β
d) cos α
q
b) sen 2α
e) cos 2β
c) sen 2β
alternativa D
Questão 6
Da figura:
Considere o esboço do gráfico da função
y = p(x) = (x − a) ⋅ (x − b) ⋅ (x2 − 2x + c).
Sendo i a unidade imaginária, é correto afirmar que uma das raízes complexas de p(x) é:
α + β = 90o
2 α + β + θ = 180o
⇔
α + β = 90o
α + θ = 90o
Assim, sen θ = sen(90o − α) = cosα.
Questão 8
Uma estação E, de produção de energia elétrica, e uma fábrica F estão situadas nas mar1
km.
gens opostas de um rio de largura
3
Para fornecer energia a F, dois fios elétricos a
ligam a E, um por terra e outro por água, conforme a figura. Supondo-se que o preço do metro do fio de ligação por terra é R$ 12,00 e que
o metro do fio de ligação pela água é R$ 30,00,
o custo total, em reais, dos fios utilizados é:
a) 2 − i
d) 1 + 2i
b) 1 + i
1
e) 1 − i
2
c)
1
−i
2
alternativa D
Do gráfico, −2 e −1 são raízes de p(x) e p(0) = 10.
Assim, p(x) = (x − ( −2))(x − ( −1))(x 2 − 2x + c) =
= (x + 2)(x + 1)(x 2 − 2x + c) e p(0) = 10 ⇔
⇔ (0 + 2)(0 + 1)(0 2 − 2 ⋅ 0 + c) = 10 ⇔ c = 5 .
Logo as raízes complexas de p(x) são −2, −1 e as
raízes de x 2 − 2x + 5 , que são1 + 2i e1 − 2i .
a) 28 000
d) 18 600
b) 24 000
e) 25 000
c) 15 800
matemática 3
alternativa A
você não sabe qual é o dígito do meio. A probabilidade de você acertar o número da polícia, em até duas tentativas, é:
19
1
2
19
1
a)
b)
c)
d)
e)
49
10
5
20
19
alternativa B
1
No triângulo retângulo ABF, tg 60 = 3 ⇔
AB
1
1
2
km. Logo AE = 1 −
km e
=
⇔ AB =
3
3
3
Considerando
as
restrições
dadas,
há
1 ⋅ 10 ⋅ 2 = 20 números possivelmente corretos.
Como podemos fazer até 2 tentativas, a probabili2
1
dade pedida é
.
=
20
10
o
Questão 11
2
2
⎛ 1 ⎞
2
⎛1 ⎞
km.
⎜ ⎟ +⎜
⎟ =
⎝3 ⎠
⎝ 3 ⎠
3
Como o preço do metro do fio 1 é R$ 12,00 e o
preço do metro do fio 2 é R$ 30,00, o custo total
2
⎛2
⎞
dos fios utilizados é ⎜ ⋅ 12 +
⋅ 30 ⎟ ⋅ 1 000 =
⎝3
⎠
3
= R$ 28.000,00.
AF =
Questão 9
Se x e y são as medidas dos ângulos agudos
de um triângulo retângulo, tais que
cos2 x = 3cos2 y, então a diferença y − x é igual
a:
b) 30o
c) 45o
d) 60o
e) 75o
a) 15o
alternativa B
Como x e y são as medidas dos ângulos agudos
de um triângulo retângulo:
Em um campeonato de futebol, cada time
participante jogou 15 vezes, tendo, um time
A, um aproveitamento de 60% dos pontos
que disputou. Nesse campeonato, a pontuação final de cada time foi obtida considerando-se 3 pontos por vitória e 1 ponto por empate. Se o time A sofreu 2 derrotas, então o número de empates desse time foi:
a) 5
b) 8
c) 7
d) 6
e) 9
alternativa D
Sendo x o número de empates do time A, o total
de vitórias é15 − 2 − x = 13 − x .
O aproveitamento nos 15 jogos disputados foi de
60
60%, o que equivale a
⋅ 15 ⋅ 3 = 27 pontos.
100
Assim, (13 − x) ⋅ 3 + x ⋅ 1 = 27 ⇔ x = 6 empates.
Questão 12
cos 2 x = 3 cos 2 y ⇔ cos 2 x = 3 sen 2 x ⇔
⇔ 1 − sen 2 x = 3 sen 2 x ⇔ sen 2 x =
1
⇔
4
1
⇔ x = 30o
2
Logo y = 90o − 30o = 60o e a diferença entre y e
x é 60o − 30o = 30o .
⇔ sen x =
Questão 10
Numa emergência, suponha que você precise
ligar para a polícia, sabendo que o número a
ser ligado tem 3 dígitos. Você sabe que o primeiro dígito é 1 e o terceiro é 0 ou 2, mas
O número N de bactérias de uma cultura é
dado, em função do tempo t, em horas, por
N(t) = 105 ⋅ 24t . Supondo log2 = 0,3, o tempo
necessário para que o número inicial de bactérias fique multiplicado por 100 é:
a) 2 horas e 2 minutos
b) 2 horas e 12 minutos
c) 1 hora e 40 minutos
d) 1 hora e 15 minutos
e) 2 horas e 20 minutos
alternativa C
O número inicial de bactérias é obtido para t = 0,
ou seja, N(0) = 105 ⋅ 2 4 ⋅ 0 = 105 bactérias.
matemática 4
Assim, adotando a aproximação log 2 ≅ 0,3 , o
tempo t necessário para que o número inicial de
bactérias fique multiplicado por 100 é:
105 ⋅ 2 4t = 100 ⋅ 105 ⇔ log 2 4t = log 100 ⇔
2
2
⇔t =
≅
= 1h40min
4 log 2
4 ⋅ 0,3
Questão 13
O valor real de x, tal que log 2x − log 5x − x − 1 =
= 0, pertence ao intervalo:
(Obs: Admita log 2 = 0,3)
1⎤
⎡ 3
⎤
⎡
b) −1, −
a) −
, −1
2 ⎦⎥
⎣⎢ 2
⎦⎥
⎣⎢
⎡ 1
⎤
c) −
,0
⎢⎣ 2
⎥⎦
⎡1
⎤
e)
,1
⎢⎣ 2
⎥⎦
⎡ 1⎤
d) 0,
⎢⎣ 2 ⎥⎦
alternativa B
log 2 x − log 5 x − x − 1 = 0 ⇔
10
⇔ x ⋅ log 2 − x ⋅ log
− x −1 = 0 ⇔
2
⇔ x ⋅ log 2 − x(log 10 − log 2) − x − 1 = 0 ⇔
⇔ (2 log 2 − 2)x = 1 ⇔
1
⇔x =
2(log 2 − 1)
Adotando a aproximação log 2 ≅ 0,3,
1
5
que pertence ao intervalo
x ≅
=−
2(0,3 − 1)
7
1⎤
⎡
.
−1; −
⎢⎣
2 ⎥⎦
Questão 15
A caixa d’água reserva de um edifício, que
tem capacidade para 25 000 litros, contém,
em um determinado dia, 9 600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros
de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte,
800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de
cada dia. O número de dias necessários para
que a caixa atinja a sua capacidade total é:
a) 11
b) 13
c) 14
d) 12
e) 10
alternativa A
As quantidades de litros de água fornecidos por
dia formam uma progressão aritmética de primeiro termo a1 = 400 e razão r = 200.
Logo, sendo n o número de dias necessários para
que a caixa atinja sua capacidade total,
(400 + 400 + (n − 1)200)n
9 600 +
= 25 000 ⇔
2
⇔ n 2 + 3n − 154 = 0 ⇔ n = −14 ou n = 11 ⇔
⇔ n = 11.
Questão 16
Na figura, os números complexos z e w têm
módulos iguais. Sendo i a unidade imaginária, o produto z ⋅ w é igual a:
w
Questão 14
Se x e y são números reais positivos, tais que
4
−2
= 81
⎪⎧ x ⋅ y
, então o produto x ⋅ y é igual
⎨ 2
−4
⎪⎩ x ⋅ y
= 729
a:
1
1
a) 3
b)
d)
c) 3 3
e) 3
3
9
alternativa B
x 4 ⋅ y −2
81
=
⇔
729
x 2 ⋅ y −4
1
1
.
⇔ (xy) 2 =
⇔ xy =
9
3
Como x, y ∈R +∗ ,
1
z
2
a) 4 + 3i
d) −4 − 3i
b) 4 − 3i
e) −4 + 3i
c) 3 + 4i
alternativa E
O vetor que representa w no plano complexo
pode ser obtido através de uma rotação de 90o ,
no sentido anti-horário, do vetor que representa z.
Assim, w = zi .
Logo z ⋅ w = (2 + i) ⋅ (2 + i) ⋅ i = −4 + 3i .
matemática 5
Questão 17
Questão 18
Na figura, se a equação da reta r é
3x + y − 4 = 0, a área do triângulo ABC é:
Uma reta passa pelos pontos (π, 0) e (0, b),
sendo que o seu coeficiente angular é a raiz
de um polinômio de grau 1 com coeficientes
inteiros e não nulos. Então, necessariamente, b é um número:
b) inteiro ímpar.
a) inteiro par.
d) racional negativo.
c) racional positivo.
e) irracional.
alternativa E
a) 240
b) 220
c) 200
d) 260
e) 280
alternativa A
Considere a figura a seguir:
y
C
O coeficiente angular da reta que passa pelos
b −0
b
pontos (π; 0) e (0; b) é
=− .
0 −π
π
Um polinômio de grau 1 com coeficientes inteiros
e não nulos é da forma mx + n; m, n ∈ Z +∗ . Assim,
b
⎛ b⎞
raiz do polinômio, m ⋅ ⎜ − ⎟ + n = 0 ⇔
sendo −
⎝ π⎠
π
nπ
.
⇔b =
m
n
é racional
Como m e n são inteiros não nulos,
m
nπ
não nulo e, portanto, sendo π irracional, b =
é
m
irracional.
Questão 19
B
0
A
x
D
Na figura, ABCD é um paralelogramo cujo
lado BC é tangente, no ponto B, à circunferência de diâmetro AD = 6. A área da região
assinalada é:
r
Como a equação da reta r é 3x + y − 4 = 0, as
coordenadas dos pontos B e D são (0; 4) e
⎛4
⎞
⎜ ; 0 ⎟ , respectivamente.
⎝3
⎠
Já que BO é altura do triângulo ABD, retângulo em
4
B, BO 2 = AO ⋅ OD ⇔ 4 2 = AO ⋅
⇔ AO = 12 .
3
Sendo AC // BO, ∆ABC ~ ∆DOB pelo caso AA e
2
área ABC
4 2 + 12 2
área ABC
⎛ AB ⎞
=⎜
⇔
=
⎟ ⇔
2
4
⎝ OD ⎠
área DOB
⎛4⎞
⋅4
⎜ ⎟
3
⎝3 ⎠
2
⇔ área ABC = 240.
a) 11
b) 12
c) 9
d) 8
alternativa C
e) 10
matemática 6
Seja O o centro da circunferência. Como BC é
tangente à circunferência no ponto B e BC // AD,
BO é perpendicular à base AD. Logo os segmentos circulares AB e BD são congruentes.
Assim, a área pedida é igual à área de BCD, ou
área (ABCD) AD ⋅ BO 6 ⋅ 3
seja, igual a
=
=
= 9.
2
2
2
Questão 20
Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide
triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma,
um sólido de volume:
a)
14
3
b)
11
5
c)
18
5
d)
20
3
e)
16
5
alternativa D
Como AC é perpendicular a BC e CD, então AC é
altura da pirâmide ABCD relativa à base BCD.
Removendo-se do cubo da figura a pirâmide
ABCD, obtém-se um sólido de volume igual ao
volume do cubo menos o volume da pirâmide
1 2 ⋅2
20
ABCD, ou seja, 2 3 −
.
⋅
⋅2 =
3
2
3