Gênio da Matemática – Régis Cortes

Gênio da Matemática – Régis Cortes
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ÍNDICE
1 – Matemática básica ................................................................................................ 03
2 – Função Exponencial ............................................................................................. 23
3 – Função Logarítmica .............................................................................................. 26
4 – Polinômios............................................................................................................. 32
5 – Progressão Aritmética (PA) ................................................................................. 39
6 – Progressão Geométrica (PG) ............................................................................... 42
7 – Geometria Plana.................................................................................................... 45
8 – Geometria Espacial............................................................................................... 56
9 – Trigonometria ....................................................................................................... 64
10 – Geometria Analítica ............................................................................................ 76
11 – Fatorial ................................................................................................................. 91
12 – Análise Combinatória ......................................................................................... 92
13 – Probabilidade ...................................................................................................... 96
14 – Conjuntos Numéricos ......................................................................................... 103
15 – Domínio................................................................................................................ 105
16 – Funções ............................................................................................................... 106
17 – Binômio de Newton ............................................................................................ 109
18 – Matrizes Determinantes e Sistemas .................................................................. 112
19 – Sistemas..............................................................................................................116
20 – Função Modular....................................................................................................118
21 – Números Complexos .......................................................................................... 122
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“A matemática é muito importante para a vida, apesar de muitos não
concordarem.
O simples fato de alguém dizer “eu odeio matemática” muitas vezes
significa “eu não sei matemática”.
Você sabia que, aos 20 anos de idade, depositando apenas R$ 60,00
mensalmente, com juros de 1,2 % ao mês, em uma aplicação financeira qualquer,
você terá aos 65 anos mais de três milhões de reais ao se aposentar!
Nunca tenha ódio da matemática, pois ela é muito importante para
todos nós.
Aprenda Matemática e use-a durante toda a sua vida! Pense nisso,
esta poderá ser a primeira lição do curso e a mais importante
Faça desse ano operações matemáticas: some conhecimento,
diminua as tristezas, multiplique o amor e divida tudo isso comigo."
Prof. Regis Cortês
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MATEMÁTICA BÁSICA
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
1) -8. { 5 - [4 . 3 - (2 + 1 ) ] - 1} =
2) ( 3).5
( 6).( 2)
( 4)
[1
( 2
3)] =
3) O valor de 20. { -30 : [ 3 . ( 20 -15 )] } =
Respostas: 1) 40 2) -12 3) -40
FRAÇÕES
a/b , onde a e b
eb
0.
- As frações onde o numerador é menor do que o denominador são chamadas de frações
próprias.
Ex:
1
3 13
;
;
2
7 25
- As frações onde o numerador é maior do que o denominador são chamadas de frações
impróprias.
Ex:
3
9 27
;
;
2
7
4
- As frações em que o numerador é divisível pelo denominador também são chamadas de
frações aparentes.
Ex:
2 14 27
;
;
2
7
9
- As frações onde o numerador e o denominador não podem ser simplificadas são chamadas
de frações
irredutíveis.
Ex:
3
9 27
;
;
2
7
4
OPERAÇÕES FRACIONÁRIAS
Na adição e subtração de frações com mesmo denominador, devemos manter o
denominador e somar ou subtrair os numeradores.
a c a+c
+ =
, onde b
b b
b
0.
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Na adição e subtração de frações com denominadores diferentes, devemos reduzir as
frações ao mesmo denominador ( M. M. C. ) para ajustar os denomina-dores e poder
depois, somá-las ou subtrai-las.
a c
a.d + c.b
+ =
, onde b 0 e d 0 .
b d
b.d
A multiplicação entre frações é o produto dos numeradores sobre o produto dos
denominadores.
a c a.c
. =
onde b 0 e d 0
b d b.d
A divisão entre frações é o produto da primeira pelo inverso da segunda.
a
c
a d
a.d
:
=
.
b
d
b c
b.c
1) O valor da expressão 1
a)
b)
c)
d)
e)
1
5
1
3
:
3
5
1
15
é:
23/8
2
1
2/15
1/15
2) A expressão 2
1
4
2
0,5
5
3
1
2
1
3
2
5
é igual a:
a) 7/10
b) 1
c) 0
d) – 1
e) – 7/10
3) O valor da expressão
a b
para a
1 a b
1
eb
2
1
é:
3
a) 5/6
b) 1
c) 0
d) – 1
e) – 5/6
4) Se A
x
y
xy
, x
2
e y
5
1
, então A é igual a:
2
a) 1/2
b) 1
c) 0
d) - 1
e) – ½
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5) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu produto é 15. O valor da soma
a)
b)
c)
d)
e)
1
A
1
é
B
1/5
1/3
1/2
3
5
Respostas: .1) b; 2) d; 3) b; 4) e; 5) e
RADICIAÇÃO
Define-se como raiz de índice n de um número a, ao número x tal que x elevado a n resulta a.
na
xn
x
a
REPRESENTAÇÃO
na
x , onde
a
radicando
n
índice do radical
x
raiz n ésima de a
radical
Em todo radical cujo índice é um número par, a raiz considerada é sempre positiva.
Exemplos:
a)
3
27 =3
b)
25 =5
c)
2
4 » não existe
d) - 25 =-5
• Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica,
quando n=4 chama-se raiz quarta, etc.
Na expressão n a ; n chama-se índice; a chama-se radicando e
chama-se radical.
PROPRIEDADES:
1)
2)
3)
4)
a
b
n
n
an b
m n
a
n
am
n
a
n
b
n
ab
mn
=a
a
m/n
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Exercícios:
1) O valor da expressão numérica
3
1 38
9
16
4
é:
a) 3/19
b) 1/19
c) 1/5
d) 3/7
e) 4/7
2) A expressão com radicais 8
a) 4 2
b) 2 2
c)
2
d) – 2 2
e) – 4 2
3) 13
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 25
7
2
18 2 2 é igual a:
4 é igual a:
3
2
4) 64 é igual a:
a) 16
b) 64
c) 128
d) 256
e) 512
5) Simplificando
a) 21/4
b) 21/2
c) 2
d) 2 - 1/2
e) 2 - 1/4
[(23)1/2 ]1/6, obtemos:
6) A expressão 10
a) 0
b) 10
c) 45
d) 90
e) 100
10
10
10 é igual a raiz quadrada de:
8
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7) Racionalizando o denominador da fração
a)
b)
c)
d)
e)
2 3
5
3
, obtém- se:
15 + 3
15 - 3
18
15 - 3
15 - 3
8) Qual é o valor da expressão
3
1
3
1
3
1
3
1
a) 8
b) 4
c) 0
d) – 4
e) – 8
9) O valor de
a) 2
3
3
8
2 2
é:
22
3
b) 2 6 . 2 2
c) 2
d) 4
e) 8
10) Considere as desigualdades abaixo .
I . 44 88
II.
0,5
2
2
0,5
III. 2 –3 < 3 – 2
Pode–se afirmar que
a) é verdadeira apenas a desigualdade I.
b) é verdadeira apenas a desigualdade II.
c) é verdadeira apenas a desigualdade III.
d) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
e) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
11) (UFRGS) - O quadrado do número
a) 4.
b) 5.
2+
c) 6.
3 +
2−
3é
d) 7.
e) 8.
Respostas: 1) a ; 2) c ;3)b ;4) e ;5) a; 6)d; 7) a; 8) b;9) d; 10) b; 11)
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POTENCIAÇÃO
Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos:
Definição:
a.a.a
an
n fatores
a1
a
a0
1
a
n
1
an
Propriedades:
a m .a n
am
an
a m .b m
am
bm
am
am
n
n
(a.b) m
a
b
m
(am)n = amn
Exemplos:
1) 2³=2.2.2=8
5) a 4 .a 6
a10
2) 101
10
6)
24
23
3) 10 0
1
24
21
3
4) 2
2
2
1
22
1
4
7) 22.32 = (2.3)2 =62=36
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Exercícios:
1)
a) 25 =
b) (-2)5 =
c) –2 5 =
d) -3 4 =
e) (-5)2 =
f) (4/5)3 =
g) (0,5)2 =
h) -2 -2 =
i) (-2)-2 =
j) (3/5)-3 =
l) ( -11/9 )-1 =
m) 80 =
2) O valor da expressão
a)
b)
c)
d)
e)
3 1
5 1
2 1
é:
15/16
16/15
1/16
1/15
16
3) O valor de
a) – 16/17
b) – 17/16
c) – 4/17
d) 16/17
e) 17/16
[2-1 - (-2)2 + (-2)-1] / [22+2-2]
é:
4) Simplificando a expressão [29:(22.2)3]-3, obteremos:
a) 8
b) 1/8
c) 1
d) –1/8
e) – 8
5) A expressão
1
x
1
y
1
, para
x
y
0,
é equivalente a:
a) 1
b) x + y
c)
x
x-y
d)
x y
x-y
e)
xy
x
y
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6) A expressão 2 x
2
2x
2
é igual a:
a) 4
b) 2
c) 1
d) 2 x
e) 2 2x
7)Efetuando a divisão e x : e x 2 , teremos:
a) e2
b) 1/2
c) e
d) 1
e) e -2
8) Dentre as relações abaixo, a que está incorreta é
a) (+1) - 0 = 1
b) 32 + 42 = ( 3 + 4 )2
c) 1/2+ 1/2 = 2/2
d) 32 + 42 = 52
e) 0 - (-1) = 1
9)
a)
b)
c)
d)
e)
1
a n.
an
2n
a
n
é igual a :
a –4n
a –2n
1
a2n
a4n
Respostas:
2) b; 3) a; 4) c; 5) e; 6) e; 7) a; 8) b; 9) c
RACIONALIZAÇÃO
Existem frações cujo denominador é irracional. Como:
1
2
,
1
2 1
,
2
2
3
Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de
denominador racional.
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• O denominador é da forma
1º Caso:
denominador por b .
1
Ex:
1
2
2
.
a
b . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o
2
2
2
2
2º caso: • O denominador é da forma a n b m onde n>2. Neste caso, devemos multiplicar o
numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do
radicando igual ao índice do radical.
Ex:
2
3
2
» Fator racionalizante =
Logo:
2
3
2
3
2
2
.
3
22
3
22
3
23
2.3 2 2
2
3º Caso:
• O denominador possui uma destas formas:
b ou
a
a b
Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de
denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois
quadrados.
*Conjugado:
Expressão
a
b
a
Exs:
1)
2)
1
3
1
2
2
2 1
3
2
Conjugado
.
b
3
3
2
2 1
.
2 1 2 1
2
2
3
2
3 2
3
a
b
a
b
2
2 2 2
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NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Exercícios
1) Simplificando a expressão
a)
b)
c)
d)
e)
10 -6
10-2
1
10 2
10 6
2) O valor da expressão
a)
b)
c)
d)
e)
6 10 3 10 4 108
10 –7
10-3
10 - 1
1
10
6 10 1 104
10 3 105
10 104
obteremos:
é:
3) A representação decimal de (0,01)3 é:
a) 0,01
b) 0,001
c) 0,0001
d) 0,00001
e) 0,000001
6,02 .10 21
6 0,2 .10 20
é igual a :
602 .1 019
a) 602
b) 60,2
c) 6,02
d) 2
e) 101. 10 -4
4)
5)A expressão
2
0,001 2.0,01 3.1000 3
0,04
é igual a
a) 5.1010
b) 5.102
c) 10
d) 5.10-3
e) 5,10-10
6) UFRGS A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de
aproximadamente 38.45 . 512 quilômetros. A notação científica desse número é
a) 9,5 . 1010
b) 0,95 . 1012
c) 9,5 . 1012
d) 95 . 1012
e) 9,5 . 1014
Respostas: 1) b; 2) b; 3) e; 4) d; 5) b; 6) c
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PRODUTOS NOTÁVEIS
Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo
das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes. A fim de economizar tempo e não
ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a
multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
(a + b).( a – b ) = a² - b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo,
mais o quadrado do segundo. (a + b)² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo
segundo, mais o quadrado do segundo.
(a – b)² = a² - 2ab + b²
Existem muitas outras fórmulas:
(a + b) ³ = a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
(a – b )³ = a³ - 3 a²b + 3ab² - b³
FÓRMULA DE BHÁSKARA:
x
b
x
2a
b
b2
2a
4ac
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
b2 4ac
a=3, b=-7 e c=2
49 4.3.2
49 24
25
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Substituindo na fórmula:
x
x
7
b
2a
7 5
6
2 e
25
2.3
x
7 5
6
7 5
6
2
6
1
3
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2)
V={1/3 , 2}
-x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
b2
4ac = 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
x
Substituindo na fórmula de Bháskara:
4 0
» x=2
2
V
2
Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais.
3) 5x²-6x+5=0
b2
a=5 b=-6 c=5
=0
4ac = (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não
Note que
possui nenhuma raiz real.
Logo: V
» vazio
Propriedades:
0
Duas raízes reais e diferentes
0
Duas raízes reais e iguais
0
Nenhuma raiz real
Relações entre coeficientes e raízes:
Soma
b
a
Pr oduto
c
a
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
x² - Sx + P = 0
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Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
Solução: Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b
a
S
4
P
c
a
3
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
b
a
S
3
P
c
a
4
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
S
b
a
0
P
c
a
4
REGRA DE TRÊS
01) Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimi-lo, empregando os
mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias?
02) Uma árvore de 4,2m de altura projeta no solo uma sombra de 3,6. No mesmo instante;
uma torre projeta uma sombra de 28,80m. Qual a altura da torre?
03) Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram necessários 20
caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia,
quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
04) Vinte homens podem arar um campo em seis dias, trabalhando 9h por dia. Quanto tempo
levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia?
05) Com 4 kg de algodão pode-se tecer 14 metros de fazenda com 0,8m de largura. Quantos
kg são necessários para produzir 350m com 1,2m de largura?
06) Um ciclista percorreu 150 km em dois dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias
faria uma viagem de 400 km pedalando 4 horas por dia?
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07) (ENEM) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de
carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais
de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso,
o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão
do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na
experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode
carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado
com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não
ultrapassar a carga máxima do caminhão?
08) (ENEM) Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às
seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se
que cada gota d’agua tem volume de 0,2 mL.Qual foi o valor mais aproximado do total de
água desperdiçada nesse período, em litros?
09) (ENEM) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava
dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada
2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do
remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de
10) (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros.
Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou
uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar
para atingir o ponto mais alto da rampa é
Respostas 1) 250 2) 33,60 3) 16
4) 18
5) 150 6) 4 7) 480 8) 1,4 L 9) 12kg 10) 5,6
PORCENTAGEM, ACRÉSCIMO E DESCONTO
07) Calcule:
a) 15% de $3.000
b) 32% de 1500
c) 40% de 180 kg
08) Num concurso com 200 candidatos, 170 foram aprovados. A quantos por cento
corresponde o número de candidatos aprovados?
09) Uma loja comercial oferece, nas compras acima de $5.000, um desconto de 5%. Quanto
um cliente pagará por uma compra de $35.000?
10) Um pai resolveu presentear seus filhos, distribuindo entre eles $12.000. Desta quantia,
Tiago recebeu 40%, Rodrigo 35% e Vanessa 25%. Quanto recebeu cada um de seus filhos?
18
Gênio da Matemática – Régis Cortes
11) 12% dos moradores de uma cidade são estrangeiros. Qual é a população dessa cidade,
sabendo que o número de estrangeiros é 2.400?
12) Uma mercadoria que custava $ 50 teve um aumento de 35%. Qual o novo preço da
mercadoria?
13) Qual o preço original de uma mercadoria que após um aumento de 15% passou a custar
$103,50?
14) Uma loja resolve liquidar o estoque remarcando todas as mercadorias com um desconto
de 40%. Se uma mercadoria custa $ 80 qual será o seu preço nessa liquidação?
15) Após sofrer um desconto de 5% no seu preço, uma blusa passou a custar $ 9.500. Qual
era o seu preço antes do desconto?
16) No 1o dia de um certo mês , uma ação estava cotada a $ 10. Do dia 1o até o dia 8 do
mesmo mês, ela sofreu um aumento de 10%. Do dia 8 até o dia 15, sofreu uma queda de 5%.
Qual era a cotação dessa ação no dia 15 daquele mês?
17) A medida do lado de um quadrado sofre um aumento de 10%. Em quantos por cento
aumenta a área do quadrado?
18) Os aumentos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único aumento de?
19) ENEM O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um
mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em
15% do lucro obtido com a venda das ações. Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um
lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o
valor de
20) ENEM Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou
os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os
clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10%
sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava
R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso
esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar
a compra, em reais, seria de
Gabarito
7) a) $ 450 b) 480 c) 72kg 8) 85% 9) 33.250 10) $ 4.800, $ 4.200 e $ 3.000 11) 20.000
habitantes 12) $ 67,50 13) $ 90 14) $ 48 15) $ 10.000 16) $ 10,45 17) 21% 18) 56%
19) R$ 1200,00 20) R$ 4,00
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19
Gênio da Matemática – Régis Cortes
EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
1) (UFRGS) O preço de um bem de consumo é R$100,00. Um comerciante tem o lucro de
25% sobre o preço de custo desse bem. O valor do preço de custo é:
(a) R$25,00
(b) R$70,50
(c) R$75,00
(d) R$80,00
(e) R$125,00
2) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve
reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no
mesmo patamar do início do semestre, o salário, já reajustado em 20%, deveria, ainda, sofrer
um reajuste de:
(a) 10%
(b) 12%
(c) 16%
(d) 20%
(e) 32%
3) (UFRGS) Uma loja instrui seus vendedores para calcular o preço de uma mercadoria, nas
compras com cartão de crédito, dividindo o preço à vista por 0,80. Dessa forma, pode-se
concluir que o valor da compra com cartão de crédito, em relação ao preço à vista,
representa:
(a) um desconto de 20%
(b) um aumento de 20%
(c) um desconto de 25%
(d) um aumento de 25%
(e) um aumento de 80%
4) (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina
(água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é:
(a) 90g
(b) 94g
(c) 97g
(d) 98g
(e) 100g
5) (UFRGS) Uma mercadoria que custa R reais sofre um desconto de 60%. Um aumento de
60% sobre o novo preço fará com que a mercadoria fique custando, em reais:
(a) 0,36 R
(b) 0,40 R
(c) 0,60 R
(d) 0,64 R
(e) R
6) (UFRGS) Considerando uma taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de
preços em 2 meses será de:
(a) 2%
(b) 4%
(c) 20%
(d) 21%
(e) 121%
7) (UFRGS) Aumentando-se a medida da base de um retângulo em 10% e a medida da altura
em 20%, a área desse retângulo aumenta de:
(a) 20%
(b) 22%
(c) 30%
(d) 32%
(e) 40%
20
Gênio da Matemática – Régis Cortes
8) (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área cresce:
(a) 14%
(b) 14,4%
(c) 40%
(d) 44%
(e) 144%
9) (UFRGS) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um total de 30 mil reais. Pouco
tempo depois, vendeu-os por 28 mil reais, ganhando 10% na venda de um deles e perdendo
10% na venda do outro. Quantos reais custou cada carro?
(a) 15.500 e 14.500
(b) 10.000 e 20.000
(c) 75.000 e 22.500
(d) 6.500 e 23.500
(e) 5.000 e 25.000
10) (PUCRS) Um aluno que realizou dois vestibulares acertou, no primeiro, 60% das questões
propostas em Matemática e no segundo 75%. A taxa de variação correspondente à melhora
de seu desempenho nessa disciplina foi de:
(a) 25%
(b) 20%
(c) 18%
(d) 15%
(e)12%
11) (ULBRA) Um lojista compra de seu fornecedor um artigo por x reais (preço de custo) e o
revende com um lucro de 50%. A seguir, ao fazer uma liquidação ele dá, aos compradores,
um desconto de 35% sobre o preço de venda desse artigo. Pode-se afirmar que esse
comerciante tem, sobre x, um:
(a) prejuízo de 2,5%
(b) prejuízo de 15%
(c) lucro de 2,5%
(d) lucro de 10 %
(e) lucro de 15%
12) (Unisinos) Um comerciante pagou R$ 30,00 por um artigo. Ele pretende colocar uma
etiqueta de preço nesse artigo de modo a poder oferecer um desconto de 10% sobre o preço
de etiqueta e ainda ter um lucro de 20% sobre o preço de custo. Que preço deve marcar a
etiqueta?
(a) R$ 40,00
(b) R$ 39,60
(c) 39,00
(d) R$ 36,00
(e) R$ 32,40
13) (Unisinos) A quantidade de lixo de uma certa cidade tem aumentado em 3% ao ano.
Essa quantidade, a cada ano, constitui uma progressão:
(a)aritmética de razão 0,3
(b) aritmética de razão 1,3
(c) geométrica de razão 1,3
(d) geométrica de razão 1,03
(e) geométrica de razão 0,03
21
Gênio da Matemática – Régis Cortes
14) (PUCRS) Um certo refresco é feito adicionando-se quatro partes de água para uma parte
de essência de frutas. Se a quantidade de água é dobrada e a de essência é quadruplicada,
então a porcentagem de essência na nova mistura é:
(a) 30%
(b) 33 1/3%
(c) 50%
(d) 60 2/3%
(e) 80%
15) (PUCRS) Em uma fábrica com 100 empregados, 1% é do sexo masculino. O número de
mulheres que devem ser dispensadas para que a quantidade de homens represente 2% do
total é:
(a) 1
(b) 2
(c) 49
(d) 50
(e) 51
16) (PUCRS) Se x% de y é 20, então y % de x é igual a:
(a) 2
(b) 5
(c) 20
(d) 40
(e) 80
17) (ESPM) Numa loja, um objeto custa R$ 100,00 à vista. Uma pessoa compra esse objeto
em duas parcelas iguais de R$60, 00, pagando a primeira parcela no ato da compra e a
segunda parcela trinta dias depois. Os juros cobrados por essa loja foram a uma taxa mensal
de:
(a) 50%
(b) 40%
(c) 30%
(d) 20%
(e) 10%
18) (PUCRS) O valor de venda de um produto é R$ 33,00, estando aí incluído um imposto de
10%. Este imposto é, em reais,
(a) 3,00
(b) 3,30
(c) 3,33
(d) 10,00
(e) 30,00
19) (ENEM) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês ela perdeu 30%
do total do investimento e no segundo mês recuperou 20% do que havia perdido. Depois
desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação.
A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
Gabarito
1. d 2. a 3. d 4. e 5. d 6. d 7. d 8. d 9. e 10. a
11. a 12. a 13. d 14. b 15. d 16. c 17. a 18.a 19. R$ 5000,00
Operações de compra e venda
Lucro e Prejuízo
O que é e como calcular lucro
De modo geral, podemos dizer que houve lucro quando o preço de venda supera o preço de
compra. Portanto, lucro é a diferença entre o valor de venda e o valor de compra.
Preço de custo + lucro = preço de venda.
Preço de custo – prejuízo = preço de venda.
Como calcular:
Com lucro
Pv = Pc (1+ i)
Com Prejuizo Pv = Pc (1- i)
22
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Exercícios
1) (PUC) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um
ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:
2) Uma mercadoria é vendida por 64,2 R$ e deu um lucro de 7%. Quanto custou a mercadoria
3) Vendi uma mercadoria por 300,00R$ com um prejuizo de 40% sobre o preço de custo.
Quanto paguei pela mercadoria?
4) Comprei uma mercadoria por 3500,00R$ e vendi por 4700,00R$. Qual a taxa de lucro
obtida?
5) Uma mercadoria é vendida por 200,00R$. Qual o preço de compra se elafoi vendida com:
a) Prejuizo de 10%
b) Lucro de 10%
Gabarito
1) 80,00 R$
2) 60,00 R$
3) 500,00 R$ 4) 38% 5) a) 222,22R$ b) 181,8R$
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1) DEFINIÇÃO: a função f : R
R dada por f (x) = ax com a
exponencial de base a e definida para todo x real.
2) GRÁFICOS
1 e a > 0 é denominada função
y = ax
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23
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Represente graficamente as funções:
a) y = 5x
b) y = (1/3)x
c) y = (4/3)x
d) y = 7-x
e) f (x) = (5/16)-x
f) f (x) = (0,3)x
g) y = - 2 . 3x
h) y = - 2 (1/3)x
i) y = - 3x
3) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS: chama-se equação exponencial toda equação que contém
variáveis no expoente.
1º Caso (Testes de Vestibular)
1. (1/8)x = 128
a) 2/3
b) -4/3
c) -7/3
d) 1/3
e) 5/3
2. 49x =
a) -1/5
b) 2/3
c) 3/2
d) -3/10
e) 4/5
2
3. 2 𝑥 −4𝑥−5 = 1
a) 2 ; 6
b) 3 ; -2
c) 2 ; 4
d) -1 ; 3
e) -1 ; 5
4. 1/125 = 625x
a) -3/4
b) 2/3
c) 1/9
d) -4/8
e) 7/3
5. b x
a) 9
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
3
3
7. 5x = X 25
a) 2
3
b)
2
c)
d) 3
e) 1
bx
5
1 / 343
6. 8x - 9 = 16x / 2
a) 27
b) 15
c) 12
d) 3
e) 7
8. 27 x 1
a) 1/3
b) 2/5
c) 6/5
d) -1
e) 1
9x
24
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09) 0,2x = (1/125)x - 6
a) 3
b) 5
c) 2
d) 9
e) 1
10) 10 . 2
a) -3
b) 3
c) -3 ; 3
d) 2
e) 2 ; -2
2
x -4
= 320
2º Caso (mais de dois termos sem somatório no expoente)
11. 8 . 2x + 4 - 4 . 2x = 68
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12. 22x - 5 . 2x + 4 = 0
a) 0 e 1
b) 3
c) 0 e 2
d) 3 e 1
e) 2
13. 9x + 3 = 4 . 3x
a) 0 ; 2
b) 0 ; 1
c) 2
d) 3
e) 4
14. 510x - 10 . 55x - 5 = -30
a) 1/3
b) 2
c) -1
d) -2
e) 1/5
3º Caso (mais de dois termos com somatório no expoente)
15. 3x + 1 + 3x - 2 - 3x - 3 + 3x - 4 = 750
a) -2
b) -1
c) 5
d) 3
e) 12
16. 3x + 2 - 27 = 6 . 3x
a) 0
b) 3
c) 1
d) -2
e) 2
17. (UFRGS) 2x-1 > 128.
Os valores permitidos para X são:
a) {XЄR|x 6}
b) {XЄR|x 8}
c) {XЄR|X>8}
d) 2, 3
e) 0, 8
18. Sabendo que 3x - 32 - x = 8, calcule o
valor de (15 - x2).
a) 11
b) 21
c) 31
d) 41
e) 51
19.
20.
3
x-2
2x
. 5 = 15
3x + 1
.3
-1
2
10
3
x-2
= 1024
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21. (ITA) Seja α um número real, com 0 < α < 1. Assinale a alternativa que representa o
conjunto de todos os valores de x tais que:
2x
a)
b)
c)
d)
e)
1
]– ,0]
]– ,0[
] 0, 2 [
]– ,0[
] 2, + [
2x2
1
[ 2, +
] 2, +
[
[
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO: o logaritmo de um número real e positivo “b” na base “a” positiva e diferente de
1, é o número “x” ao qual se deve elevar a para se obter b.
b = ax
log a b = x
1)b
0
• Condição de existência: 2)a 0
3)a 1
1- Conseqüências da definição
1) log a 1 = 0
2) log a a = 1
3) log a am = m
4)
a loga b
=b
OBS: No sistema decimal ou sistema de base 10 é comum omitir a base na representação:
log 10 x = log x
LEMBRE - SE:
log 10 = 1
log 100 = 2
log 1000 = 3
log 10000 = 4
log 0,1 = -1
log 0,01 = -2
log 0,001 = -3
log 0,0001 = - 4
26
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Testes de vestibular:
1. log 2 x = 7
a) 72
b) 54
c) 128
d) 40
e) 102
2. log 1/3 x = 2
a) 1/9
b) 1/3
c) 1/5
d) -3/2
e) -1/4
3. log x 27 = 3
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
4. log x 125/8 = 3
a) 2
b) -7/5
c) 12
d) 5/2
e) 2/3
5. log 3 1/9 = x
a) -1
b) -2
c) -3
d) -4
e) -5
6. log 4 1/32 = x
a) 2/5
b) 5/2
c) -5/2
d) -2/5
e) 0
7. log
a) 2
b) 3/2
c) 1/4
d) -1
e) 0
2
8
x
9. log 5 (3x + 1) = 2
a) 1
b) 7
c) 9
d) 8
e) 2
8. log 0,01 = - x
a) 2
b) -1
c) -2
d) 5
e) 1
10. log 3 (5x - 7) = 0
a) 2/5
b) 4/5
c) 7/5
d) 8/5
e) 1
11. (UFRGS) Se log 2 x = 3/2 quais as afirmações que são verdadeiras
a) x é racional
b) x é irracional
c) 2 < x < 3
a) somente a
b) a e b
c) b e c
d) a, b e c
e) somente c
12. (UFRGS) O conjunto solução da inequação log 1/3 x < 2 é
a) {x R / x > 2}
b) {x R / x < -5}
c) {x R / x > 1/9}
d) {x R / x > 0}
e) {x R / x < 0}
27
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Propriedades logarítmicas:
1) log A . B = log A + log B
2) log A/B = log A - log B
3) log AB = B . log A
Testes de Vestibular :
13. log 5 x - log 5 2 = 2
a) 20
b) 50
c) 60
d) 80
e) 100
14. log2 (3x - 1) + log2 x = 1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
15. log 5 x - 2 . log 5 4 = 1
a) 30
b) 40
c) 60
d) 80
e) 90
16. log 4 x + log 4 (x - 5) = log 4 3 + log 4 23
a) 3
b) 4
c) 5
d) 8
e) 10
17. log 3 (x2 - x - 6) = log 3 4 + log 3 (x - 3)
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) { }
18. (log 3 x)2 - log 3 x - 6 = 0
a) 27
b) 1/9
c) 1/3
d) 1/3 ; 1/9
e) 27 ; 1/9
19. (PUCRS) Se log 2 = a e log 3 = b, então o valor de x em 8x=9 é
20. (PUCRS) Se o par (x1, y1) é solução do sistema de equações:
2x
3.2
16. log y
x
10 log y
0
x
, então 1
y1
19
?
21. (PUC) Se log 5 = x e log 3 = y , então log 375 é :
a) y + 3x
b) y + 5x
c) y - x + 3
d) y - 3x + 3
e) 3 (y + x)
28
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Uma das conseqüências da definição:
A log A
B
log A B
22.
AZ
Z
AZ
b
AlogAB = B
logo:
4log47
23.
8log8x . 8log84x = 1
24. 5log43 . log54
Mudança de Base: até o momento em todas as propriedades utilizadas as bases eram
iguais, quando isto não ocorrer devemos aplicar a operação Mudança de Base .
log b a = log c a
log c b
25. (UFRGS) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4. O log 2 6 é:
a) 7/3
b) 1/3
c) -2/
d) -1/3
e) 2
26. Efetue o produto log 32 . log 25 . log 53
Gráficos da função logarítmica
f (x) = log a x
CRESCENTE
DECRESCENTE
base a > 1
base 0 < a < 1
29
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27) (UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função
real de variável real x, dada por
f (x) = log 1/2 x , é
(A)
(B)
(D)
(E)
(C)
O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a 1/2, ou seja, sendo um valor
entre 0 e 1 só pode ser um logaritmo decrescente.
Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa
A corta o eixo x no ponto 1.
Resposta correta, letra A.
Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos
os eixos estará seu gráfico. Veja a figura ao lado.
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30
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28) (UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação
f (x) = log a x e a curva T, o conjunto solução da equação f (x) = log b x . Tem-se
(A) a < b < 1
(B) 1 < b < a
(C) 1 < a < b
(D) b < a < 1
(E) b < 1 < a
Os dois gráficos representam logaritmos
crescentes, ou seja, ambas as bases são
maiores do que 1. Ficamos então entre as
alternativas B e C.
Devemos então saber qual a relação entre a e
b. Como a curva S está mais próxima dos eixos
x e y do que a curva T, então sua base é maior
(a > b).
Portanto, resposta correta, letra B.
29) (ITA) Considere a equação em x ax + 1 = b1/x, onde a e b são números reais positivos, tais
que ln b = 2 ln a maior que 0. A soma das soluções da equação é
a) 0.
b) –1.
c) 1.
d) ln2.
e) 2
2
3
4
19
log
log
... log
30) (UFRGS) A soma log
é igual a
3
4
5
20
A0 –log 20.
b) –1.
c) log 2.
d) 1.
e) 2.
Respostas:
01)c 02)a 03)b 04)d 05)b 06)c 07)b 08)a 09)d 10)d 11)c 12)c 13)b 14)a 15)d
17)e 18)e 19) 2b/3a 20) 3c 10 /10 21)a 22) 7 23)1/2 24)3 25)a 26)1
27))resolvida 28)resolvida 29)b 30)b
16)d
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31
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Uma curiosidade da Química:
pH=-log[H]
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida,
básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] = 10-2mol/l. Assim,
concluímos que pH=-log10-2 = 2. Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o
pH<7.Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes
ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química,
na biologia e em demais matérias.
POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO:
Toda função definida pela relação P(x) = ax n + bx n - 1 + cx
denominada função polinomial ; onde a , b , c ... são os coeficientes.
n - 2
+.... + zxo
é
2) VALOR NUMÉRICO:
O valor numérico de um polinômio P(x) p/ x = a é o número que se obtém substituindo
“x” por “a”.
Se P(a) = 0 o número “a” é denominado raiz ou zero da função.
3) POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
A condição necessária para que dois polinômios sejam iguais é que os coeficientes dos
termos correspondentes sejam iguais.
Aplicação:
(PUCRS)
a) –2
Se
b) –1
– x – 14
x2 + 3x- 4
c) 0
=
d) 1
A +
B , então A + B é :
x–1
x+4
e) 2
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32
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4) TEOREMA DO RESTO (Dalambert) :
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo Binômio ax + b é igual a P(-b/a)
Dalambert (aplicação):
1) Determine k para que o polinômio P(x)=kx3+2x2+6x-2 seja divizivel por x+3
2)O valor de m para que o resto da divisão do polinômio P(x) = mx3 – 5x2 + 8 por x+1 seja 3 é
5) DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
A(x)
B(x)
Q(x)
R(x)
Q(x) . B(x) + R(x) = A(x)
A(x) = dividendo
Q(x) = quociente
B(x) = divisor
R(x) = resto
6) SOMA DOS COEFICIENTES DE UM POLINÔMIO:
Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x) , basta calcular o valor
numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1).
7) NÚMERO DE RAÍZES DE UM POLINÔMIO
(UFRGS) Um polinômio de coeficientes reais tem termo independente nulo, é divisível por
x2 – 1 e tem 2 – i como raiz de multiplicidade 3. O conjunto de valores que o seu grau n pode
assumir é :
a) n N / n 2
d) n N / n 8
b) n N / n 5
e) n N / n 9
c) n N / n 6
Propriedades importantes:
P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos
então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b.
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue
dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini.
Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também
será raiz.
Exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são
os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo,
por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5
raízes.
33
Gênio da Matemática – Régis Cortes
P4 - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz
de grau de multiplicidade k.
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de
multiplicidade 10.
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com
ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4).
Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
P5 - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a
unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .
P6 - Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas
igual ao menor expoente da variável.
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas.
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
P7 - Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0 , então
ela pode ser escrita na forma fatorada :
a . (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever
(x+1). (x-2). (x-53)= 0 que desenvolvida fica: x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0. (verifique!).
Relações de Girard - Albert Girard (1590-1633).
Para uma equação do 2º grau, da forma ax2 + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes
relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2:
x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .
Para uma equação do 3º grau, da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0, sendo x1, x2 e x3 as
raízes, temos as seguintes relações de Girard:
x1 + x2 + x3 = - b/a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
x1.x2.x3 = - d/a
Exemplos:
a) P(x) = 2x4 + 3x2 - 7x + 10
S = P(1) = 2 + 3 - 7 + 10 = 8.
b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x156 + x?
Ora, substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que 1156 = 1).
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34
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Gráficos de polinômios
Grau par
Grau impar
Extremidades iguais
Extremidades diferentes
a<0
a>0
Determine o gráfico das funções
a) P(x) = 3 (x -1)2 . (x + 2)
b) P(x) = x3 – 4x2 + 3x
c) Determine a equação dos gráficos abaixo
-3
2
-2
5
-1
1
4
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Resolvendo equações pela forma fatorada
1) x3+x=0
2) x3-x2-4x+4=0
3) x3+3x2+x+3=0
4) x4+5x3-4x2-20=0
5)x3+2x2+x+2=0
Exercícios e Testes de Vestibular :
1. Determine o valor numérico do polinômio
P(x) = 3x2 - 2x + 5 para x = -1.
2. (UFRGS) - O polinômio
p(x) = ax4 + 3x3 - 4x2 + dx - 2,
com a 0,admite
1 e -1 como raízes. Então a e d valem:
3. Dado P(x) = 13x7 + x3 - 15 encontre P(0).
4. (PUC) - O complexo 1 - i é raiz da
equação x4 - 2x3 - 2x2 + 8x - 8 = 0. As
outras raízes são
a) -2, 2 e i
b) 2, 3 e 1 + i
c) -2, 2 e 1 + i
d) 0, 2 e 1 + i
e) -i, i e 1 + i
5. Determine o valor de k , de modo que 3 seja
polinômio raiz do polinômio P(x) = x3 - kx+ 1
6. Determinar m , n , p de modo que o
P(x) = (m + 1) . x2 - px + n seja identicamente nulo.
7. Sendo (m - n).x2 - (n - 1).x + p
m , n e p.
8 (UFRGS) - Se a = x + y, b = x - y
2
2
c = 𝑥 . 𝑦, onde x e y são números reaise
tais que x.y > 0 , então uma relação entre
a2, b2 e c2 é
a) a2+ b2-c2 =0
b) a2-b2-c2 =0
c) a2+b2+c2 =0
d) a2 - b2 + c2 = 0
e) a2 = b2 = c2
0, obter
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Gênio da Matemática – Régis Cortes
9. Calcular m , n e p para que os polinômios P(x) = (m + n)x2 - 5x + p - 3 e
Q(x) = 3x2 + (n - 3)x + 7 sejam idênticos.
10) (UFRGS)- Se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x),
então
a)p(b) / q(a) =1.
b)p(a) . q(b) =1.
c)p(a) + q(b) =1.
d)p(b) . q(a) =0.
e)p(a) + q(b) =0.
11. Sabendo que -3 é raiz de
P(x) = x3 + 4x2 - ax + 1 , calcular o
valor de a.
12. (3x3 - 2x + 8x2 + 3)
13. (10x3 - x + 1)
14. (2a5 - 5a - 9a3)
(2x2 + 5)
15. (x8 - 4x + 3x7 - 12)
17.Determinar o resto da divisão do polinômio
x9 - 3x5 + x - 1 pelo binômio x - 2.
21.
x−2
x2 + x
≡
A
x+1
+
B
X
(1 + 2a2)
16. (5a3b2x - 20a4bx3 - 15a3b2xy)
(x + 3)
19. (UFRGS) O valor de a para que
(a2 - 1)x4 + (a2 - a - 2)x3 + ax2 + x-4
seja polinômio do 2o grau.
(3 + x)
(5a2b)
18.Calcular m de modo que x5 - (m + 1)x3 - 5
seja divisível por x + 1.
20) Sabendo que 2 é raiz da equação
x3 + 2x2 -13x + 10 = 0, determine o conjunto solução
o valor de A - B é
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22. (UFRGS) Na figura abaixo está representado o gráfico de um polinômio de grau 3.
y
3
2
1
-1
-2
1
2
-1
3
x
A soma dos coeficientes desse polinômio é
a) 0,5.
b) 0,75.
c) 1.
d) 1,25.
e) 1,5.
23. (UFRGS) Sabendo-se que i e –i são raízes da equação x4 – x3 – x – 1 = 0, as outras
raízes são
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
2
1
3
2
1
5
2
1
6
2
1
7
2
e
e
e
e
e
1
2
2
1
3
2
1
5
2
1
6
2
1
7
2
.
.
.
.
.
24. (UFRGS) Considere o gráfico abaixo.
y
50
40
30
20
10
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-10
1
2
3
4
5
x
-20
-30
-40
-50
Esse gráfico pode representar a função definida por
a) f(x) = x3 + 5x2 – 20x.
b) f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20.
c) f(x) = x4 + 5x3 – 20x – 4.
d) f(x) = x4 + 5x3 – 4x – 20.
e) f(x) = x4 + 5x3 – 4x2 – 20x.
38
Gênio da Matemática – Régis Cortes
25. (ITA) A soma das raízes da equação 2x4 - 3x3 + 3x - 2 = 0 é:
26. (UFRGS) Sabendo-se que o polinômio x4 + 4x3 + px2 + qx + r é divisível por
x3 + 3x2 + 9x + 3, segue que p é igual a
a) 3.
b) 6.
c) 9.
d) 12.
e) 15.
27. (UFRGS) A soma dos coeficientes do polinômio (x2 + 3x – 3)50 é
a) 0.
b) 1.
c) 5.
d) 25.
e) 50.
28. (PUCRS) O menor grau possível de um polinômio de coeficientes reais que possui
como raízes 1 – 3i e 5 é
a) 1
b) 3
c) 5
d) 2
e) 4
Respostas : 01) 10 02) a = 6 e d = -3 03) -15 04) -2, 2 e 1 + i 05) 28/3 06) -1 ; 0 ; 0 07) 1 ;
1 ; 0 08) b 09) 5 ; -2 ; 10 10)e; 11) -10/3 12) 3x2 - x + 1 13) 5x 14) a3 - 5a 15) x7 - 4 16)
abx - 4a2x3 - 3abxy 17) 417 18) 5 19) -1 20) 1 ; 2 ; -5 21) 5 22)b 23)c 24)e 25)3/2 26)c
27)b 28)b
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência numérica em que cada termo , a partir do segundo é
igual ao anterior somado com um no fixo , chamado razão.
2) REPRESENTAÇÃO de uma P.A de “n” termos
(a1 , a2 , a3 , . . . , an)
a2 - a1 = a3 - a2 = . . . = an - an - 1 = r (razão)
Onde n é o no de termos , a1 é o primeiro termo e an é o último termo , temos :
an = a1 + (n - 1) . r
3) SOMA DOS TERMOS :
S = (a1 + an) . n
2
4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM
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Gênio da Matemática – Régis Cortes
Testes de Vestibular :
1. O décimo primeiro termo da PA (5 , 9 , ...)
2. Numa PA , a1 = 10 , r = 7. Calcular a13 .
a) 26
b) 42
c) 72
d) 94
e) 96
a) 20
b) 25
c) 35
d) 40
e) 45
3. Numa PA de 10 termos , os extremos valem
5 e 32. Calcular a razão.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4. Numa PA o quinto termo é 26 e o oitavo
termo vale 2 , a razão é:
a) -4
b) -6
c) -8
d) -10
e) -12
5. A expressão geral de uma PA é
an = 5n + 3 , determinar
a) Os dois primeiros termos.
b) Razão.
c) O 23º termo.
6. Os valores de x e y na PA (-7 , x , 11 , y)
a) 2 ; 10
b) 2 ; 20
c) 1 ; 4
d) 1 ; 10
e) 4 ; 10
7. Sendo (a , b , c , d) uma PA e b = 2d, os
valores de a e c são respectivamente ?
a) 2d e 3d
b) 3d/2 e d
c) d e 2d
d) 3d/2 e 2d
e) 5d/2 e 3d/2
8. O próximo termo da PA (x - 1, 3 + 2x,
4x + 6 , ...) é ?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
9. As medidas de um lado de um triân gulo são expressas por : x + 1 ; 2x ; x2 - 5
e estão em PA nesta ordem.
O perímetro do triângulo mede ?
a) 24
b) 30
c) 34
d) 40
e) 44
11) Os dois primeiros termos da PA cuja
soma dos n primeiros termos é n2 + 4n
para todo n são respectivamente :
a) 2 e 5
b) 5 e 7
c) 7 e 9
d) 9 e 11
e) 1 e 3
10) A soma dos termos de uma PA onde to dos os termos são positivos (x2+6, 5x+5, 5x2) é
a) 15
b) 20
c) 25
d) 45
e) 50
12) (UFRGS)-As medidas do lado, do perímetro e da área de um triângulo equilátero
são, nessa ordem, números em progressão a ritmética. A razão dessa progressão é
a) 20 3 / 3
b) 20
c) 4 3 / 3
d) 20 3
e) 40 3
40
Gênio da Matemática – Régis Cortes
13. A soma do quarto termo com o oitavo é 48. A diferença do sétimo com o terceiro é 12.
Determine o quarto termo.
a) 10
b) 14
c) 16
d) 17
e) 18
14. Em uma PA temos a4 + a15 = 805 e a1 + a9 = 598 , a razão vale ?
15. O primeiro termo de uma PA é 4 e a soma dos 10 primeiros é 80. A razão vale ?
16. Determinar a soma dos nos compreendidos entre 201 e 427 que são múltiplos de 5.
17. Interpolando 5 meios aritméticos entre
2 e 8 2 a razão é ?
18. Inserindo 4 meios aritméticos entre 3 e 33 a razão é ?
19.(ITA) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos
internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo
mede, em graus ? Dica Si=(n-2).180
a. ( ) 120
b. ( ) 130
c. ( ) 140
d. ( ) 150
e. ( ) 160
20. (PUCRS) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a
segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$ 400,00, a primeira possui
a) R$ 200,00
b) R$ 180,00
c) R$ 150,00
d) R$ 120,00
e) R$ 100,00
21. (ENEM) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a
Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A
primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete
cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é
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Gênio da Matemática – Régis Cortes
Respostas : 01) e 02) d 03) c 04) c 05) a) a1 = 8 , a2 = 13 ; b) r = 5 ; c) 118 06) b 07) e
08) c 09) a 10) d 11) b 12) c 13) e 14) 23 15) 8/9 16) S = 14175 ; n = 45 17)7 2 / 6 18)
6 19)e 20)a 21) 24
4) SEGUÊNCIA DE SEGUNDA ORDEM
an = a1 (primeira ordem) + Sn-1(segunda ordem)
Exemplos
1) Qual o 200 termo (2, 5, 11, 20,32,...)
2) Qual é o último termo da vigésima linha
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
3) Qual o total de quadrados da figur 20.
4) (UFRGS) Considere a disposição de números abaixo.
1
2
4
7
11
.
.
5
9
2) 782
10
13
.
.
.
. . linha
. .é
O primeiro elemento da quadragésima
a) 777.
b) 778.
e) 781.
Gabarito
1) 210
6
8
12
.
3
14
.
.
15
.
.
.
.
.
.
.
c) 779.
d) 780.
3) 761 4) e
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42
Gênio da Matemática – Régis Cortes
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
1) DEFINIÇÃO : é uma seqüência de números não nulos , em que cada termo posterior , a
partir do segundo , é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado de razão da
progressão.
2) REPRESENTAÇÃO de uma PG de “n” termos
(a1 , a2 , a3 , . . . , an)
𝐚𝟐
𝐚𝟏
=
𝐚𝟑
𝐚𝟐
=
𝐚𝟒
𝐚𝟑
= .... =
𝐚𝐧
𝐚𝐧−𝟏
= q(razão)
Onde n é o número de termos , a1 é o primeiro termo , an é o último termo , temos :
an = a1 . qn - 1
3) SOMA DOS TERMOS da PG finita
Sn = a1 . (qn - 1)
q-1
4) SOMA DOS TERMOS da PG infinita
Sn =
a1
1-q
5) PRODUTO DOS TERMOS
P = ( a1 . an )n / 2
Testes de Vestibulares
01) O décimo termo da PG (1/81, 1/27, 1/9,...) 02) Numa PG de 6 termos onde o primeiro é 1/8 e a razão é 4 , o último termo vale
4
a) 3
a) 27
b) 35
b) 43
6
c) 3
c) 25
d) 37
d) 47
8
e) 3
e) 29
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43
Gênio da Matemática – Régis Cortes
03) Numa PG o primeiro termo é 1/243 , o último é 9 e a razão vale 3. Calculando o número de termos , encontramos :
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
04) O quinto termo de uma PG crescente é
162 e o terceiro termo é 18 , o primeiro
termo e a razão valem :
a) 1 e 2
b) 2 e 3
c)3e4
d) 4 e 5
e) 5 e 6
05) Os valores a , b , c na PG ( 2 , a , b , c ,
4 2)
06) Se M = 41.42.43.44. ... .4n, então n M
é igual a
a) 2n + 1
b) 2n
c) 2n - 1
d) 2n - 2
e) 2-n
07) Calcule a soma dos 12 primeiros termos
da PG (1 , 2 , 4 , . . . )
08) Qual o limite da soma da PG (1 , 1/3 ,
1/9 , . . .)
a) 2
b) 3
c) 3/2
d) 4
e) 5
09) A soma dos infinitos termos da PG
(2a + 2 , (2a + 2)/a2 , (2a + 2)/a4 , . . .)
a) a2
b) 2a2
c) (a - 1)/a2
d) (2a2)/(a - 1)
e) a2 - 1
10) Na PG ilimitada decrescente (5 2 ....)
onde Lim n
Sn = 5 , a razão vale :
a) 3
11) Os três primeiros termos da PG valem :
2x + 1 , x 11 e 4. A razão vale :
a) 3
b) 2
c) 3
d) 1
e)2 3 /3
12) Dada a PG (1 , ( 2 + 5)/ 17 , . . .) .
O limite da soma de seus termos será :
b) 2
c) 2 - 1
d) 1 - 2
e) 3 / 2
44
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13) Na PG temos
Calcule a1 e q.
a5 + a3 = 360;
a6 + a4 = 1080
14)(PUCRS-2003)A razão da PG cuja
soma é 0,343434... é :
a) 1/1000
b) 1/100
c) 1/10
d) 10
e) 100
15) A seqüência numérica (a, a2, a3, a4, ...) é decrescente; logo, "a" está no conjunto
a) (-∞,-1 )
b) (-1,0)
c) (1,+ ∞)
d) (0,1)
e) {-1,1}
Respostas : 01) b 02) a 03) b 04) b 05) 2 ; 2 2 ; 4 06) a 07) 212 - 1 08) c 09) d 10) d
11) e 12) 17 (12 + 2 ) / 142 13) a1 = 4 ; q = 3 14) b 15)d
GEOMETRIA PLANA
Segmentos congruentes: Dois
segmentos ou ângulos são
congruentes quando têm as
mesmas medidas.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus
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45
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Círculo
Hexágono regular
ap = L
A = CxR/2
A = 2 RxR/2
R
3 /2
A = R2
A = 6 L2 3 / 4
C=2 R
ap
Triângulos
Ângulos de um triângulo
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. (fig. 24)
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo tem medida igual à soma das medidas dos dois
ângulos internos não adjacentes a ele. (fig. 25)
Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B'
são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo
vértice. Asim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o
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46
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Como calcular a altura em função do lado?
A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.
47
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Qual é a relação entre o lado do triângulo e o raio da circunferência circunscrita ?
O ponto O é o circuncentro, o ortocentro e também o baricentro, logo dista do vértice 2 /
3 da altura.
Qual é o valor do apótema do triângulo equilátero ?
Chamamos de apótema ao segmento de reta que une o circuncentro ao ponto médio de
um lado.
O seu valor é 1 / 3 da altura ou seja a metade do raio R
Como calcular o raio da circunferência inscrita?
O raio da circunferência inscrita é igual ao apótema.
48
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Qual é o valor da área do triângulo equilátero?
A área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as
mesmas medidas.
Testes de Vestibular :
1. Calcular a altura de um triângulo equilátero
de lado 2 3
2. Determinar a área de um triângulo equilátero de lado 4.
a) 6
a) 3
b) 5
b)2 3
c) 4
c)3 3
d) 3
d)4 3
e) 2
e)5 3
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3. Calcular o lado de um triângulo eqüilátero 4. A área de um triângulo eqüilátero é 8 3 m2.
inscrito num círculo de 2cm de raio.
Calcular o lado deste triângulo.
a) 3
a) 4 2
b) 2
c) 3
d) 1
e) 4
3
5. Qual o apótema de um quadrado de
6 cm de lado
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
7. Qual o apótema de um quadrado
num círculo de 4cm de raio ?
a) 1
b) 2 2
c) 2
d) 3 2
e) 3
9. Qual é a área de um hexágono regular
de 4cm de lado ?
a) 24 3
b) 2
c) 2
d) 3
e) 7
6. Qual a área de um quadrado
cuja diagonal mede 10cm.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
8. Calcular a área de um quadrado inscrito
inscrito num círculo de 4 m2 de área.
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
10. Determine o apótema de um hexágono
regular de lado 8.
a) 2 3
b) 24
b) 3 3
c) 3
d) 12
e) 12 3
c) 4
d) 3
e) 4
11. Qual a área de um hexágono regular
inscrito num círculo de raio 3cm ?
a) 9 3
12. Sendo o apótema de um triâng. equilát.
2m, determine a área do círculo circunsc.
a) 16 m2
b) 27 3 / 2
c) 27/2
d) 12 3
e) 12
b) 16m2
c) m2
d) 12 m2
e) 7 m2
3
2
2
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50
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13. Os lados de um retângulo de área x2 - x medem x - 4 e 2x + 3. O perímetro deste
retângulo é ?
14) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaixo:
a)
b)
40º
70º
c)
d)
6m
10
m
15) Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilétro dado é um quadrado.
a)
b)
c)
a
a
a
16) Calcule a área da superfície sombreada.
a)
b)
a
c)
a
a
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51
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17) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD
têm lado medindo 2cm.
a)
D
C
A
B
b)
D
C
A
B
c)
D
C
A
B
18) Determine a área da região sombreada.
a)
b)
10
10
10
10
5
5
5
5
19) (ENEM) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da
humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste
na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a
uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o
processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma
peça. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos
lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em?
20) (ENEM) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados
entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter
fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o
cano de raio maior.
Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para √3.
O valor de R, em centímetros, é igual a
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21) (ENEM) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os
lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela
que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é
Respostas : 01) d 02) d 03) b 04) a 05) c 06) e 07) b 08) c 09) a 10) c 11) b 12) a
a) 25π m2, 10π m
13) c 14)
14)
a) 4π m2
15)
a)
(4
).a 2
b) 36π m2, 12π m
b) 7π m2
2).a 2
2
(4 ).a 2
b)
2
b)
(
c)
c) 30m2
(4
17)
18)
d2
, πd
4
d) 18m2
).a 2
4
4
2
(
2).a
( 2).a 2
a)
c)
2
4
(8 )
a)
cm2 b) 2(π - 2) cm2
c) (4 - π) cm2
2
25
a) 100(4 - π) b)
(2 3 - π)
19) 36% 20)74
2
16)
c)
21) 8
Lei dos Senos e Cossenos
1. (Regis) - A figura que segue mostra o triângulo ABC em que AC = 20dm. A medida de AB,
em dm, é:
d) 20
2
2
2
3
e) 10
3
a) 20
b) 15
c) 10
A
45
B
30
o
o
C
2. (Regis) - Sen 105o é igual a :
a)
2 +
6
b)
6 -
2
2
c)
6 -
d)
6
2
e)
2
2 +
2 +
6
4
4
53
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3. (Regis) - O valor de x no triângulo abaixo é :
a) 18 3
b) 15
c) 12
d) 12
e) 10
2
3
45
30
o
12
o
2
3
x
4. (Regis) - A medida do lado x, no triângulo que segue, é expressa por :
a) a 2
b) a 3
a
x
c) a
5
d) a
6
7
e) a
60
o
3a
5. (PUCRS) – O valor de 4sen 15o é :
a) 2
6
b) 2
c)
2 -
6 + 2
6 - 2
d)
6
e)
6. (PUCRS) – A medida do lado AB na figura é :
a) 5
3
c) 10 2
d) 12 2
e) 15 2
b) 5
A
B
75
o
60
o
r = 10
C
7. (UFRGS) – Na figura,
de B a C é :
a) 10
/ 6 radianos,
=
/ 12 radianos e AC mede 15
2 . A distância
B
b) 10
c) 15
6
d) 15
2
3
e) 15
=
A
C
2
15
8. (PUCRS) – Se num triângulo ABC são conhecidos m (CÂB) = 30o, m (AB) = 8
(BC) = 8m, então o lado AC mede, em metros :
a) 24 ou 12
c) 12 ou 6
b) 16 ou 8
d) 4
3m e m
e) 4
3
9. (UFRGS) – Os lados de um paralelogramo medem cada um 3cm, e o menor ângulo que
eles formam mede 60o. A medida, em cm da maior das diagonais deste paralelogramo é :
a) 3 3
c) 3 2
e) 5
b) 3
2-
3
d)
2+
3
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54
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10. (UFRGS) – Na figura abaixo a = 14, b = 10 e c = 6. A medida do ângulo
A
é:
o
a) 150
o
b) 120
o
c) 90
o
d) 60
o
e) 30
b
c
a
11. (UFRGS) – O segmento AB é uma corda do círculo de centro 0 e diâmetro 12, com o
ângulo A0B medindo 150o. A área do triângulo A0B é :
a) 9
c) 9 3
e) 36
2
b) 9
d) 18
12. (PUCRS) – O triângulo isósceles, cuja base mede 60 cm e os ângulos da base 30 o cada
um, tem perímetro igual a :
a) 20 3 + 60
d) 100 3
b) 40
3 + 60
c) 40
6 + 60
6
e) 100
13. (UFRGS) – Na figura AB = 3 e BC = 2. A cossesc
a) 2 3 / 3
B
b)
c)
d) 2
e) 3
2
3
30
A
é:
o
C
14. (PUCRS) – No triângulo ABC são conhecidos os lados a e b e o ângulo C. A área do
triângulo é igual a :
a) a . b
2
b) a . b
2senC
c) a . b
2cosC
d) a . b . sen C
2
e) a . b . cos C
2
A
c
b
B
C
a
Gabarito: 1)a 2)e 3)d 4)e
5)e 6)c 7)c 8)b 9)a 10)b 11)a 12)b 13)e 14)d
Teorema de Tales nos triângulos
Traçando uma reta p paralela a s passando pelo vértice A, temos um feixe de retas
paralelas, que corta duas transversais.
Pelo teorema de Tales:
55
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que cruza os outros dois lados, divide
esses dois lados em segmentos de reta proporcionais.
Exemplo 1
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos
segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
Resposta: AB = 5 e
BC = 6
Exemplo 2
Determine o valor de x na figura a seguir:
Resposta:
x=10
GEOMETRIA ESPACIAL
2p = perímetro da base (soma de todos os lados) e h = altura
Fórmula para todos os prismas:
Al = área lateral
At = área total
V = volume
Al = 2p . h
At = Al + 2Ab
V = Ab . h
56
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Prisma triangular Prisma quadrangular
Base:Triângulo
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Base:Pentágono
Base:Hexágono
Base:Quadrado
Fórmula para todas os pirâmides:
PIRÂMIDE
g = apótema da pirâmide ; ap = apótema da base
g
g2 = h2 + ap2
h
ap
Al = p . g
triangular
base:triângulo
At = Al + Ab
V=
𝐀𝐛 .𝐡
𝟑
quadrangular
pentagonal
hexagonal
base:quadrado
base:pentágono
base:hexágono
57
Gênio da Matemática – Régis Cortes
CONE
g2 = R2 + h2
V = Ab . h/3
Ab = R2
Al = Rg
At = Ab + Al
g = 2R quando o cone é eqüilátero
Corte ou Secção transversal
L/l = H/h AB/Ab = (H/h)2
V/v = (H/h)3
CILINDRO
Al = 2 Rh
At = Al + 2Ab
Ab = R2
V = Ab . h
g = 2R (cilindro equilátero)
58
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ESFERA
A = 4 R2
V = 4 R3 / 3
TRONCO DE PIRÂMIDE
A área lateral desse
tronco são 6 trapézios!
Exercícios e Testes de Vestibular :
01) Qual a área lateral, total e o volume de um prisma quadrangular regular cuja aresta da
base mede 5cm e a altura 12cm ?
02) A base de um prisma hexagonal regular está inscrita num círculo de diâmetro 8cm; sua
altura mede 10cm. Calcular a área lateral e o volume deste sólido.
03) A base de um prisma triangular regular está inscrita em um círculo de raio 3 . Sabendo
que a altura desse prisma mede 8cm , calcular a área lateral e o volume deste sólido.
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59
Gênio da Matemática – Régis Cortes
04) (PUCRS)A razão entre as arestas de dois cubos é 1/3. A razão entre o volume do maior e
do menor é :
a) 1/9
b) 1/3
c) 3
d) 9
e) 27
05)(UFRGS)Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido em 10%, a largura é reduzida
em 5% e a altura é aumentada em 15%, então o volume :
a) não se altera.
b) aumenta em 0,75%.
c) se reduz em 0,75%.
d) aumenta em 1,675%.
e) se reduz em 1,675%.
06) Calcular a área lateral de uma pirâmide triangular regular cujo apótema mede 8cm e o
lado da base mede 5cm.
07) Calcular as áreas lateral e total do tetraedro regular cuja aresta lateral mede
3 .
08) Determinar a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de 12cm de altura e cuja
aresta da base mede 18cm.
09) Calcular o volume de uma pirâmide hexagonal regular de 20cm de altura e cuja aresta da
base mede 6cm.
10) (PUCRS) Um gaúcho retira toda a erva-mate de uma caixa de forma cúbica, totalmente
cheia, de 6 cm de aresta interna para fazer seu chimarrão. Sabendo que a erva-mate ocupa
2/3 de sua cuia, o volume desta, em cm3, é
a) 72
b) 216
c) 288
d) 324
e) 648
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60
Gênio da Matemática – Régis Cortes
11) (UFRGS) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a
elevação do nível da água em 1,5 cm.Se o raio da base do cilindro mede 5cm, o volume do
sólido é de
a) 6,5 p cm3
b) 10 p cm3
c) 15 p cm3
d) 25 p cm3
e) 37,5 p cm3
12) (PUCRS) Um cilindro reto e um cone circular reto têm o mesmo raio da base, medindo
3m, e a mesma altura , medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é
13) Calcular a área lateral de um cone de revolução de 4cm de altura e 6cm de diâmetro da
base.
14) Calcular o volume e a área total de um cone equilátero de 3cm de raio.
15) (UFRGS) Considere uma esfera inscrita num cubo. Dentre as alternativas abaixo, a
melhor aproximação para a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é :
a) 2/5
b) 1/2
c) 3/5
d) 2/3
e) 3/4
16) (UFRGS) A área de uma esfera é m2. Calcular o raio da esfera.
17) (UFRGS) - O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B . Se o raio da
esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede
18) (UFRGS) Uma esfera de 10cm de raio é interceptada por um plano. A distância do plano
ao centro da esfera sabendo que a área da intersecção é 9 cm2 é:
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61
Gênio da Matemática – Régis Cortes
19) (ITA) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e altura 10 m. A que distância do
vértice devemos cortá-la por um plano paralelo à base de forma que o volume da
pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide original?
a) ( ) 2 m.
b) ( ) 4 m.
c) ( ) 5 m.
d) ( ) 6 m.
e) ( ) 8 m.
20) (ENEM) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países
orientais.
.
Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de
a) pirâmide b) semiesfera
c) cilindro
d) tronco de cone
e) cone
21) PUCRS) Se V é o volume do cone circular reto de raio R e altura R e W é o volume da
semi-esfera de raio R, então a relação W/V é
a) 1/4
b) 2
c) 3/4
d) 1
e) 4/3
22) (ENEM) A figura seguinte representa um salão de um clube onde estão destacados os
pontos A e B.
Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. Afim de instalar
um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser
levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e
do teto.
O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido
por meio da seguinte representação no plano:
a)
b)
c)
d)
e)
62
Gênio da Matemática – Régis Cortes
23)UFRGS Observe abaixo as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um
hexágono regular; a base da outra é um triângulo equilátero.
Se os retângulos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, então a razão dos volumes da
primeira e da segunda caixa é:
1
a) 2
2
b) 2
3
c) 1
d) 2
e) 2
24 (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com
diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
25 (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de
resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento,
como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se
colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm 3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
Respostas: 01) 240 ; 290 ; 300 02) 240cm2 ; 240 3 cm3 03) 72cm2 ; 18 3 cm3; 04) e;
05) e; 06) 60cm2; 07) 9 3 / 4 ; 3
15 14) 27 ; 9 3
23)d 24) a 25) c
15 ) b
3
08) 540cm2 09) 360 3 10) d 11) e 12) 8/5 13)
16) 0,5m
17) 5 18) 91
19)c
20)e
21)b
22)e
TRIGONOMETRIA
63
Gênio da Matemática – Régis Cortes
A palavra TRIGONOMETRIA é formada por 3 radicais gregos : TRI (três) , GONO (ângulos) e
METRIA (medida). Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos ; sua
aplicação se estende a outros campos da atividade humana como a eletricidade , a mecânica
, a acústica , a música etc.
Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto fundamental da trigonometria circular e são
importantes devido à sua periodicidade pois elas podem representar fenômenos naturais
periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som,
a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Função seno
Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno
do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou
y=sen(x).
Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o
eixo OY.
Propriedades da função seno
1. Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim
Dom(sen)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 𝜋. Para todo x em R e para todo k
em Z:
sen(x) = sen(x+2 𝜋 ) = sen(x+4 𝜋) =...= sen(x+2k 𝜋)
A função seno é periódica de período fundamental T=2 𝜋.
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo
de medida 2 𝜋.
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64
Gênio da Matemática – Régis Cortes
4. Sinal:
Intervalo
[0, 𝜋 /2] [𝜋 /2, 𝜋] [𝜋,3 𝜋 /2] [3 𝜋 /2,2 𝜋]
Função seno positiva positiva negativa
negativa
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, 𝜋 /2]
[𝜋 /2, 𝜋]
[𝜋,3 𝜋 /2] [3 𝜋 /2,2 𝜋]
Função seno crescente decrescente decrescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramente contido na faixa do plano
situada entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < sen(x) < 1
7. Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
sen(-x) = -sen(x)
Função cosseno
Dado um ângulo de medida x, a função cosseno é a relação que associa a cada x em R o
número real cos(x).
Esta função é denotada por f(x)=cos(x) ou y = cos(x).
Gráfico: O segmento Ox, que mede cos(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo
horizontal OX.
65
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Propriedades da função cosseno
1. Domínio: A função cosseno está definida para todos os valores reais, assim
Dom(cos)=R.
2. Imagem: O conjunto imagem da função cosseno é o intervalo I={y em R: -1 < y < 1}
3. Periodicidade: A função é periódica de período 2 . Para todo x em R e para todo k
em Z:
cos(x)=cos(x+2 )=cos(x+4 )=...=cos(x+2k )
A função cosseno é periódica de período fundamental T=2 .
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cosseno positiva negativa negativa
positiva
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, /2]
[ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cosseno decrescente decrescente crescente crescente
6. Limitação: O gráfico de y=cos(x) está inteiramente contido na faixa do plano situada
entre as retas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:
-1 < cos(x) < 1
7. Simetria: A função cosseno é par, pois para todo x real, tem-se que:
cos(-x) = cos(x)
Função tangente
Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1) /2 onde k está em Z, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função
tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x).
f(x) = tg(x) = sen(x) / cos(x)
Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).
66
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Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de - /2), a
função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente
angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai
ficando mais distante do eixo OX.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em
Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k }
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais,
assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de
/2+k , onde k pertence a Z
tan(x)=tan(x+ )=tan(x+2 )=...=tan(x+k )
A função tangente é periódica de período fundamental T= .
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na
mesma ordem em que se apresentam.
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função tangente positiva negativa positiva
negativa
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k /2, k
inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de
(2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a tangente está
definida, tem-se que:
tan(x)=-tan(-x)
67
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Função cotangente
Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1) onde k é um inteiro, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função
cotangente como a relação que
associa a cada x real, a cotangente
de x, denotada por:
cos(x)
f(x)=cot(x)=
sen(x)
Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).
Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de (ou - ),
podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra damente, pois a reta
que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se
tornando muito longe.
Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma
temos
+k , onde k em Z,
Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1) }
2. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais,
assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de
+k , onde k em Z
cot(x)=cot(x+ )=cot(x+2 )=...=cot(x+k )
A função cotangente é periódica de período fundamental 2 .
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4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cotangente positiva negativa positiva
negativa
5. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos
pontos x=k , k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima
de k /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:
cot(x)=-cot(-x)
Função secante
Como a secante não existe para arcos da forma (2k+1) /2 onde k em Z, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função
secante como a relação que associa a este x real, a secante de x, denotada por sec(x).
1
f(x)=sec(x)=
cos(x)
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
Quando x assume valores próximos de /2 ou de 3 /2, cos(x) se aproxima de zero e a
fração 1/cos(x) em valor absoluto, tende ao infinito.
Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k , onde k em
Z, temos :
Dom(sec)={x em R: x é diferente de (2k+1) /2}
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da secante, temos que sec(x) < -1 ou
sec(x) 1, assim o conjunto imagem da secante é dado pelos conjuntos:
Im(sec)={y emR: y < -1
ou
y
1}
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3. Periodicidade A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de
+k , onde k em Z
sec(x)=sec(x+2 )=sec(x+4 )=...=sec(x+2k ),
por este motivo, a função secante é periódica e seu período é 2 , podemos então
completar o gráfico da secante, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em
que se apresentam.
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função secante positiva negativa negativa
positiva
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função secante crescente crescente decrescente decrescente
6. Limitação: A função secante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de
(2k+1) /2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é par, pois para todo x onde a secante está definida,
tem-se que:
sec(x)=sec(-x)
Função cossecante
Como a cossecante não existe para arcos da forma k
onde k em Z, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definir a função
cossecante como a relação que associa a este x real, a cossecante de x, denotada por csc(x)
1
f(x) = csc(x) =
sen(x)
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Gráfico: O segmento OU mede csc(x).
Quando x assume valores próximos de 0, ou de 2 , sen(x) se aproxima de zero e a fração
1/sen(x) em valor absoluto, tende ao infinito. Propriedades
1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma k , onde k em Z,
temos
Dom(csc)={x em R: x diferente de k }
2. Imagem: Para todo x pertencente ao domínio da cossecante, temos que csc(x)<-1
ou csc(x)>1, assim o conjunto imagem da cossecante é dado pelos conjuntos:
Im(csc)={y em R: y < -1
ou
y > 1}
3. Periodicidade: A função é periódica e seu período é 2
Para todo x em R, sendo x diferente de k ,
onde k em Z
csc(x)=csc(x+ )=csc(x+2 )=...=csc(x+k )
por este motivo, a função cossecante é
periódica e seu período é 2 , podemos então
completar o gráfico da secante, repetindo os
valores da tabela na mesma ordem em que
se apresentam.
4. Sinal:
Intervalo
[0, /2] [ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante positiva positiva negativa
negativa
5. Monotonicidade:
Intervalo
[0, /2]
[ /2, ] [ ,3 /2] [3 /2,2 ]
Função cossecante decrescente crescente crescente decrescente
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6. Limitação: A função cossecante não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima
de k , a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A função secante é ímpar, pois para todo x onde a cossecante está
definida, tem-se que:
csc(x)=-csc(-x)
0º
30º
45º
60º
90º
sec
cos
tg
cotg
sec
cossec
Lembre-se:
sen α = cateto A / hipotenusa
sen β = cateto B / hipotenusa
cos α = cateto B / hipotenusa
cos β = cateto A / hipotenusa
As funções trigonométricas são na realidade medidas referentes a um determinado ângulo
dentro ou fora da circunferência de raio 1.
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1) sen2x + cos2x = 1
2)
4) tgx = senx / cosx
sec2x = 1 + tg2x
3) cossec2x = 1 + cotg2x
5) cotgx = cosx / senx = 1 / tgx
6) secx = 1 / cosx
7) cossecx = 1 / senx
ADIÇÃO DE ARCOS
8) sen (a
b) = sena . cosb
senb . cosa
9) cos (a
b) = cosa . cosb
sena . senb
10) tg (a
b) =
RELÓGIO (angulo entre
ponteiros)
 = 60h – 11m
2
tga tgb
1 tga . tgb
Sendo: h=horas e
m=minutos
Obs. Na multiplicação de arcos ex: sen 2a podemos usar as mesmas fórmulas da adição sen
(a+a)
Exercícios e Testes de Vestibular :
01) Transformar para graus :
a) /3
b) 3
c) 5 /6
d) 4 /3
02) Transformar para radianos :
a) 120o
b) 210o
c) 45o
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03) Sendo cosx = -
2 /2 e
< x < 3 /2 , calcule :
a) senx
b) tgx
c) secx
d) cossecx
e) 1 - cos2x
f) 1 - sen2x
04) Sendo cosx = -
3 /2 e
a) senx
05) (UFRGS) Se tan? = 3 e 0
a) 1/10
b) 3 /10
c) 3/10
d) 10 /10
e) 1
< x < 3 /2, calcule :
b) tgx
?
c) cotgx
900 , então o valor de cos ? é
06) (UFRGS) Os valores de x que satisfazem simultaneamente as igualdades: secy =
tgy = (1 + x)/2 são :
x 2e
07) (UFRGS) O valor máximo de 3 - cosx no intervalo [3 /2 ; 2 ] é :
08) (UFRGS) Os valores que m pode assumir para que exista o arco x satisfazendo a
igualdade senx = m - 4, são ?
09) (UFRGS) Sendo secx = -
7 /2 , determinando o cosx encontramos.
Redução ao 1o quadrante :
10) sen( /2 + ) =.
11) cos( /2 + ) =.
12) tg( /2 + ) =
13) sec(3 /2 + ) =.
14) sen(3 /2 + ) =
15) cos(3 /2 + ) =
16) tg(3 /2 - ) =.
17) cossec(3 /2 - ) =
18) sen( + ) =
74
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19) cos( + ) =.
20) tg( + ) =
21) cos( - ) =
22) sec( - ) =.
23) tg( - ) =
24) cos(- ) =
25) cos210o =.
26) sen1290o =
27) sen120o =
28) cos150o =.
29) tg 315o =.
30) sec135o =
31) sen1920o
32) (UFRGS) A expressão
sen ( + x) . cos ( /2 + x)
cos (3 /2 + x)
para x = 45o é :
33) (UFRGS) O valor da expressão tg ( + ) . cos ( - ) para
sec
= /3rd é :
Faça o esboço do gráfico de cada função e determine sua imagem , domínio e período :
34) f (x) = sen2x
35) f (x) = senx/2
36) f (x) = 5 . sen2x/3
37) f (x) = -1 + 3 . senx
38) y = - senx
39) y = - cosx
40) y = - 3 + 2cosx
41) y = 2 - 3cosx
42) (UFRGS) - Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de /12rad, o ponteiro
maior percorre um arco de
43) (UFRGS) - Considere as afirmativas abaixo.
I. tan 92o = - tan 88o
II. tan 178o = tan 88o
III. tan 268o = tan 88o
IV. tan 272o = - tan 88o
Quais estão corretas?
a) Apenas I e III.
b) Apenas III e IV.
c) Apenas I, II e IV.
d) Apenas I, III e IV.
e) Apenas II, III e IV.
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44) (PUCRS) O conjunto solução da equação tan(x) = sec(x)
a) IR
b) { /2}
c) {- 2, /2}
d) {x IR | x= /2+k , k Z }
e) { }
43) (UFRGS) - período da função definida por f(x) = sen 3x −
em [ 0, /2 ] é
π
2
é
Respostas : 01) 60o , 540o , 150o , 240o 02) 2 /3 , 7 /6 , /4 03) - 2 / 2 , 1 , - 2 , - 2 , 1/2
, 1/2 04) -1/2 , 3 / 3 , 3
05) d 06) 3 , -1 07) 3 08) 3 m 5 09) -2 7 /7 10)
cos 11) -sen 12) -cotg 13) cossec 14) -cos 15) sen 16) cotg 17) -sec 18) sen 19) -cos 20) tg 21) -cos 22) -sec 23) -tg 24) cos 25) - 3 /2 26) -1/2
27) 3 / 2 28)- 3 /2 29) -1 30)- 2 31) 3 /2 32) 2 / 2 33) - 3 /4 34) P = ; Im = [-1 , 1]
; D = R 35) P = 4 ; Im = [-1 , 1]; D = R 36) P = 3 ; Im = [-5 , 5] ; D = R 37) P = 2 ; Im = [-4
, 2]; D = R 38) P = 2 ; Im = [-1 , 1]; D = R 39) P = 2 ; Im = [-1 , 1]; D = R 40) P = 2 ; Im = [5 , -1] ; D = R 41) P =2 ; Im = [-1 , 5] ; D = R 42) rad 43) d 44)e 45)b
GEOMETRIA ANALÍTICA
Foi com o francês René Descartes , filósofo e matemático que surgiu a geometria analítica.
1. O PLANO CARTESIANO
Bissetriz dos quadrantes pares
Y ( eixo das ORDENADAS )
Bissetriz dos quadrantes
ímpares
2º QUADRANTE
1º QUADRANTE
(-,+)
( +, + )
x ( eixo das ABSCISSAS )
3º QUADRANTE
4º QUADRANTE
( -, - )
( +, - )
Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eixos e a intersecção entre
eles são denominados, respectivamente, eixo das abscissas ( x ), eixo das ordenadas ( y ) e
origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas.
A reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes
ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares.
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Observações:
I. Os pontos pertencentes ao eixo 0x possuem ordenadas nulas.
P Є 0x
P = ( x, 0 )
II. Os pontos pertencentes ao eixo 0y possuem abscissas nulas.
P Є 0y
P = ( 0, y )
III. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à
ordenada e vice-versa.
A Є bi
A = ( a, a )
IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas
opostas e vice-versa.
B Є bp
02. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
B = ( b, -b )
B
yb
dAB
ya
yb - ya
A
xb – xa
xa
xb
Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a
medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidade. Sendo A(xa, ya) e
B(xb, yb), aplicando Pitágoras temos:
d2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)2
Ex: (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1
b) 0
c) 1 ou 13
d) -1 ou 10
e)2 ou 12
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03. PONTO MÉDIO
Sendo A(xa, ya), B(xb, yb) e M( xM, yM ) o seu ponto médio, temos:
yB
B
M
yM
yA
A
A
xA
M
xM
xA
2
xB y A
,
yB
2
XB
M é o ponto que divide o segmento AB ao meio.
EXERCÍCIOS
01. Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as
extremidades do segmento AB, seu ponto
médio é:
a) (4, 8)
b) (2, 4)
c) (8, 16)
d) (1, 2)
e) (3, 4)
02. Sendo A(-5, 2) uma das extremidades
do segmento de reta AB e M(-2, 4) o seu
ponto médio, o ponto B vale:
a) (1, 6)
b) (2, 12)
c) (-5, 4)
d) (-2, 2)
e) (0, 1)
04. ÁREA DE UM TRIÂNGULO, QUADRADO...
Consideramos um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) a sua área é
dada por:
B(xB, yB)
C(xC, yC)
A(xA, yA)
1 xA
2 yA
xB
xC
A=
xA
yB
yC
yA
xA
yA
1 xB
2 xC
yB
xA
yA
yC
ou
A=
EXERCÍCIOS
03. Calcular a área do triângulo de vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).
a) 16
b) 4
c) 10
d) 12
e) 8
78
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04. Calcular a área do quadrilátero de vértices A(1,3), B(5,1), C(6,5) e D(3,7).
a) 17
b) 34
c) 10
d) 6
e) 8
05. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Sendo A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou
estão alinhados, se e somente se:
C(xC, yC)
B(xB, yB)
A(xA, yA)
xA
yA
xB
yB
xC
yC
xA
yA
0
ou
xA
xB
xC
xA
yA
yB
yC
yA
0
EXERCÍCIOS
06. O valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
a) 0
b) 10
c) 3
d) 12
e) -4
07. Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se:
a) k = 11
b) k = 12
c) k = 13
d) k = 14
e) k = 15
06. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
É toda equação do tipo y = ax + b, onde “a” é chamado de coeficiente angular (ou
declividade) e “b” é chamado de coeficiente linear.
2
a
3
2x y 1 0
a 2
1
y 2x 3
b
b
3
3
Exemplos:
y
a 5
5x 1
b 1
5x
4y
0
a
b
5
4
0
79
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07. COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
O coeficiente angular de uma reta é um número real “a” que representa a sua
inclinação ( ).
Por definição, temos que:
a = tg
Reta inclinada para a direita
Reta inclinada para esquerda
x
x
é agudo
a>0
é obtuso
a<0
Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos:
a=
yB
xB
yA
xA
ou
a=
y
x
Observação: “b” é a ordenada do ponto onde a reta intersecciona o eixo y.
EXERCÍCIOS
08. Os coeficientes angular e linear da reta 3y - 2x + 12 = 0 são respectivamente:
a) 2/3 e 4
b) 3/2 e 12
c) -2/3 e -12
d) 2/3 e -4
e) -3/2 e 4
09. A reta da figura abaixo tem como coeficiente angular e linear, respectivamente:
a) 1/2 e -2
b) 2 e -1/2
c) -1/2 e -2
4
d) -2 e -1/2
-2
e) 1/2 e -1/2
10. Determine a equação reduzida da reta:
a) y = x + 3
b) y = -x + 3
c) y = 2x+6
3
d) y = x – 3
e) y = - 3x + 2
3
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80
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11. Determine a equação geral da reta
a) x – 2y - 8 = 0
b) 2x + y – 2 = 0
c) 4x – 2y – 4 = 0
d) x – y + 2 = 0
e) x – y + 4 = 0
8
-4
12. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)
a) 4x + 3y + 1= 0
b) 3x + 4y + 1= 0
c) x + y + 3 = 0
d) x + y – 4 = 0
e) x – y – 1 = 0
08.PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o
sistema formado pelas suas equações.
EXERCÍCIOS
13. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: 2x + 5y – 9 = 0 e s: y = - 2x – 3.
a) (-3, 3)
b) (2, -2)
c) (5, 22)
d) (1, 2)
e) (3, 4)
14. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: y = 2x - 6 e s: y = 3x + 2.
a) (-8, -22)
b) (1, 2)
c) (4, -10)
d) (5, 6)
e) (-4, 12)
09. EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS
As retas não-verticais que passam por P(x0 ,y0) são dadas pela equação:
EXERCÍCIOS
15. Obtenha a equação da reta que por P e tem declividade a.
a)
P(2, 3); a = 2
b)
P(-2, 1); a = -2
c)
P(4, 0); a = -1/2
16. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação .
a)
P(2, 8) e = 45º
b)
P(-4, 6) e = 30º
c)
P(3, -1) e = 120º
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81
Gênio da Matemática – Régis Cortes
10. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS
RETAS PARALELAS
a1
b1
a2
b2
PARALELAS DISTINTAS
EXERCÍCIOS
17. Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam
paralelas.
a) 1
b) 2
c) - 3
d) – 6/3
e) 8/3
18.
Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 0.
a) 2x – y + 9 = 0
b) 2x – 3y – 15 = 0
c) 3x + 2y – 15 = 0
d) x – 2y + 9 = 0
e) 3x – 2y + 15 = 0
19.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0.
a) y = 2x – 3
b) y = 4x – 10
c) y = - x + 15
d) y = x + 5
e) y = - 4x +5
RETAS PERPENDICULARES
Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações:
(r) y = a1x + b1
(s) y = a2x + b2
Para essas retas, temos a seguinte possibilidade:
a1
1
a2
PERPENDICULARES
82
Gênio da Matemática – Régis Cortes
EXERCÍCIOS
20. Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam
perpendiculares.
a) 1
b) 6
c) -10
d) 15
e) 5
21. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de
equação x + 3y - 12 = 0.
a) y = -2x – 1
b) y = x + 4
c) y = 3x + 2
d) y = -x + 5
e) y = - x – 12
22. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
a) y = - 2x + 13
b) y = 2x – 13
c) y = x + 1
d) y = 13x + 2
e) y = x – 4
11. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
A distância entre o ponto e a reta (r) Ax + By + C = 0 é dada pela seguinte expressão:
P(xP, yP)
d
d Pr
Ax0
By 0
A2
C
B2
EXERCÍCIO
23. Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
a) 32
b) 10
c) 8
d) 4
e) 2
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83
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12. CIRCUNFERÊNCIA
EQUAÇÃO REDUZIDA
Consideremos uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio R, teremos:
P(x, y)
yC
R
R2 = (XB – XA)2 + (YB –YA)2
xC
EXERCÍCIOS
24. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
a)
C (3,5)
R
2
b)
C (0,0)
R
7
25. Escreva a equação reduzida da circunferência de raio 12 e concêntrica com a
circunferência
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 64. Qual é a área da coroa circular determinada por essas duas
circunferências?
26. Determine a equação da circunferência de centro em (3, 5) e raio igual a 4.
a) x2 + y2 – 2x – 8y + 1 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 2y + 1 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
e) x2 + y2 +-6x – 10y + 18 = 0
EQUAÇÃO GERAL
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Condições para ser circunferência:
1. A = B ≠ O ( coef. de x2 = coef. y2)
Coordenadas do centro:
(-D/2 ; -E/2)
2. C = 0 ( não pode aparecer xy )
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84
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3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real )
Raio: R2 = XC2 + YC2 - F
Exercícios
27. Determine a equação geral da
circunferência de centro C(3, 5) e raio R
igual 4.
a) x2 + y2 + 10x + 6y - 18 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 8y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 6x - 10y + 18 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 4 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 8y - 27 = 0
28. Determine o centro e o raio da
circunferência x2 + y2 – 10x + 4y - 20 = 0 ,
respectivamente:
a) (-2,5) e 7
b) (5,2) e 5
c) (2,2) e 2
d) (3,4) e 1
e) (5,-2) e 7
b) 4u.a.
c) 8u.a.
d) 16u.a.
e) 32u.a.
30. Determine o valor de k para que a
x 2 y 2 4x 2 y k 0
equação
represente uma circunferência:
a) k > 5
b) k < 5
c) k > 10
d) k < 15
e) k = 20
31. Escreva a equação da circunferência
de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5x +
12y – 10 = 0
a) x2 + y2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) x2 + y2 + 12x + 38y - 1 = 0
c) x2 + y2 – 8x + 15y + 1 = 0
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 7 = 0
e) x2 + y2 + 2x – 11y - 8 = 0
29. Calcule a área de um quadrado
inscrita
na
circunferência
2
2
x
y 4x 6 y 3 0
a) 2u.a.
POSIÇÕES RELATIVAS
PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Para uma circunferência de centro C(Xc,Yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos
o seguimento de reta PC com R.
Há três casos possíveis:
1º) Se dPC = R, então P pertence à circunferência.
2º) Se dPC > R, então P é externo à circunferência.
3º) Se dPC < R, então P é interno à circunferência.
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85
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Interno
Pertence
Externo
P
P
P
dPC < R
dPC > R
dPC = R
Exercícios
2
Ex:. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência ( x 2)
a) externo
b) interno
c) pertence
d) centro
e) n.d.a
( y 4) 2
9
RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Se substituirmos o valor de uma das variáveis (x ou y) da reta na equação da circunferência,
obteremos uma equação do 2º grau (na outra variável).
Calculando o discriminante ( ) da equação obtida, poderemos ter:
1º) Se > 0, então a reta será secante à circunferência (2 pontos de interseção).
2º) Se = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção).
3º) Se < 0, então a reta é externa à circunferência (não existe ponto de interseção).
Secante
>0
Tangente
Externa
=0
<0
EXERCÍCIOS
31. Determine a posição relativa da reta x – y + 1 = 0 em relação ao círculo
x 2 y 2 4x 1 0
a) secante
b) tangente
c) externa
d) n.d.a.
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86
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DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C2 e raio R2,
compararemos o seguimento de reta C1C2 e R1 + R2.
Há três possibilidades:
1º) Se dC1C2 = R1 + R2, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção).
2º) Se dC1C2 > R1 + R2, então as circunferências são externas (não existe ponto de
interseção).
3º) Se dC1C2 < R1 + R2, então as circunferências são secantes (2 pontos de interseção).
Tangentes
Secante
dC1C2 = R1 + R2
Externas
dC1C2 < R1 + R2
dC1C2 > R1 + R2
EXERCÍCIO
Qual a posição relativa entre as circunferências
2
2
y 2 6 x 10 y 9 0
( ) x
e
( )x
a) tangente
b) secante
c) externas
d) coincidentes
e) n.d.a.
y2
2x 4 y 4
0.
Exemplos importantes:
1)Qual a equação da circunferência de raio 4 e C(3, 5)?
2) O centro é a origem e o diâmetro é 10, qual sua equação?
3) (x-9)2 + (y+3)2 =7
4) x2 + y2 - x + 2y - 1 = 0
Centro e raio?
5) 4x2 + 4y2 -8x +16y -16 =0
Centro e raio?
6) Qual a equação?
3
c
5
87
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7) Qual a equação?
5
-5
c
8) Qual o gráfico da equaçã: x2 + y2 =36
Respostas:
1-a; 2-a; 3-e; 4-a; 5-b; 6-e; 7-d; 8-a; 9-b; 10-a; 11-b; 12-a; 13-a;
14- a) y=2x-1; b) y=-2x-3
) y=-x/2 + 2 ; 15- a) y=x+6 b) y= 3 x/3 c) y=- 3 x+3 3 1; 16-e; 17-b; 18-b; 19-e 20-c; 21-a; 22-d; 25-e; 26-c; 27-e; 28-e; 29-b; 30-a; 31-b
Exercícios importantes:
01) Calcule a distância entre os pontos A(-3 , 1) e B(3 , 9).
02) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de extremos
A(-5 , 0) e B(1 , 4).
03) Calcule a área do triângulo de vértices A(-6 , 3) ; B(2 , 9) ; C(2 , 3).
04) (PUC) -A área do polígono ABCD, onde A(2, 2), B(6, 6), C(4, 8) e D(0, 6) são
seus vértices, é
Calcular o coeficiente angular das retas abaixo :
y
05)
45
r
y
3
06)
r
1
o
x
x
-3
y
07)
2
y
08)
r
-2
120o
x
x
-4
88
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09) Determine o coeficiente angular e linear da reta :
y
o
135
x
-2
10) Encontre a equação reduzida e geral da reta :
y
5
3
x
11) (UFRGS) - Considere a figura abaixo. Uma equação cartesiana da reta r é
y
o
30
0
1
r x
12) Encontre o ponto de interseção das retas : 3x - y - 8 = 0 e x + y - 4 = 0.
13) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (0 ,4) e é perpendicular a reta de
equação y =-x/2 + 10.
14) Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(-3 , 2) e é paralela a reta de equação
3x - y + 7 = 0.
15)(UFRGS) Considere o gráfico de y = f(x) abaixo :
y
Então o gráfico de y = x . f(x) é:
1
x
0
3
16) Qual é a distância entre o ponto P(2 , 3) e a reta de equação 4x + 3y - 12 = 0.
89
Gênio da Matemática – Régis Cortes
17) Calcule a distância entre a origem e a reta 6x + 8y - 24 = 0.
18)(PUC)- A área da região limitada pelos gráficos de x2 + y2 = 16 e x2 + y2 =1 é
a) 15 u.a.
.
b) 15 u.a.
c) 255 u.a.
d) 255 u.a
e) 3 u.a.
19) Determine a equação da circunferência de centro C(5 , 2) e que é tangente ao eixo das
abscissas.
20) Determine a equação da circunferência de centro (3 , 4) e que passa pela origem.
21) Qual é a equação da circunferência de centro na origem e que é tangente a reta de
equação x + 2 = 0.
22) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação
x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0.
23) Qual é o diâmetro da circunferência x2 + y2 - 4x - 9 = 0.
24) Encontre a equação da circunferência de centro C(1 , 2) e que passa pelo ponto P(4 , 6)
Verifique se as equações a seguir determinam uma circunferência :
25) 3x2 + 3y2 + 12x + 6y - 20 = 0
26) x2 + y2 - 10x + 6y + 40 = 0
27) (PUCRS) Um ponto situado em um plano onde está um referencial cartesiano se desloca
sobre uma reta que passa pela origem e pelo centro da circunferência de equação
x2 + (y – 1)2 = 1. A equação dessa reta é
a) y = x +1
b) y = x
c) y = 1
d) x = 1
e) x = 0
90
Gênio da Matemática – Régis Cortes
28) (UFRGS) Os pontos de interseção do círculo de equação (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 com os
eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
29) (ENEM) Certo município brasileiro cobra a conta de água de seus
depende do consumo mensal em m3 . Se um morador pagar uma conta de R$ 19,00, isso
significa que ele consumiu?
Respostas : 01) 10; 02) (-2 , 2); 03) 24; 04) 18; 05) 1; 06) 2/5; 07) - 3 ; 8) -2;
09) a = -1; b = -2; 10) y = -5x/3 + 5 ; 5x + 3y - 15 = 0; 11 ) y = ( 3 / 3) - ( 3 x / 3);
12) (3 , 1) 13) y = 2x + 4; 14) y=3x+11; 16)1; 17) 2,4; 18)a;
19) x2 + y2 - 10x - 4y + 25 = 0; 20) x2 + y2 - 6x - 8y = 0 21) x2 + y2 - 4 = 0; 22) C(3 , -1) ; R
= 2; 23) 2 13 ; 24) x2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0 25) sim; 26) não; 27)e; 28)b 29) 17 m3
ANÁLISE COMBINATÓRIA
FATORIAL
DEFINIÇÃO : sendo n um número inteiro , maior que 1(um) , define-se fatorial de n, e indicase n! à expressão.
n! = n (n - 1) . (n - 2) . . . . . 3 . 2 . 1
onde n
N e n>1
Definições especiais
0! = 1
1! = 1
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1
7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
1o EXEMPLO (PUC)
2o EXEMPLO (UFRGS)
Se
(n - 1)!
= 1 , então n é igual a
Se n é um número natural qualquer maior
(n + 1)! - n!
81
que 1, então n! + n - 1 é divisível por :
a) 13
a) n - 1
b) 11
b) n
c) 9
c) n + 1
d) 8
d) n! - 1
e) 6
e) n!
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91
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Exercícios e Testes de Vestibular :
1. (x + 1)! = 56
(x - 1)!
6. O valor de n na equação
A n, 3 = 4.A n, 2 é :
a) 2
d) 5
2. (x + 2)! = 20
x!
b) 3
e) 6
c) 4
7. (UFRGS) – O valor de p na equação
3.
x!
= 45
2!(x - 2)!
4. (PUCRS)
A soma das raízes da equação
(x + 1)! = x2 + x é
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
p
p
5. O valor de p, em A 8 = 24 . C8 , é :
a) 4
b) 6
c) 8
d) 12
e) 24
Respostas: 5) a
6) e
a) 12
d) 6
A p; 3 = 12
C p; 4
b) 9
e) 5
c) 8
8. (PUCRS) – Se A x, 4 – 4A x, 3 = 0,
então x é igual a :
a) 1
b) 2
d) 4
e) 7
c) 3
7) e 8) a
ANÁLISE COMBINATÓRIA
PERMUTAÇÃO é o tipo de agrupamento ordenado em que cada grupo entram todos os
elementos.
Os grupos diferem pela ORDEM
Pn = n!
ARRANJO : é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente do outro pela ORDEM ou
pela NATUREZA dos elementos.
A n,p =
n!
(n - p)!
Exemplos:
1) Quantos nos de 3 algarismos podemos formar com os significativos? --------------2) Quantos nos de 3 algarismos distintos formamos com os significativos? -------------3) Quantos nos de 3 algarismos distintos formamos com os decimais? ------------------4) Quantos nos de 5 algarismos distintos formamos com os nos ímpares? -------------92
Gênio da Matemática – Régis Cortes
5) Quantos nos ímpares de 3 algarismos distintos formamos com os significativos? -6) Quantos anagramas têm as palavras PUCRS e ARARA? ---------------------------------
DICA : Algarismos significativos {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
Algarismos decimais {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}
COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela
naturesa dos elementos.
EXEMPLO : Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com 10 alunos de uma
classe ?
Cn,p =
n!
(n - p)! p!
Testes de vestibular ARRANJO e PERMUTÇÃO
1. Quantos números de 4 algarismos
escritos com os algarismos 0, 1 , 2 , 4 , 6 ,
distintos teremos com algarismos decimais?
7,9?
a) 2234
a) 90
b) 4536
b) 80
c) 5000
c) 70
d) 4000
d) 50
e) 6436
e) 30
2. Quantos números tem três algarismos
distintos com somente os algarismos
ímpares ?
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
3. Quantos números pares de 4 algarismos
distintos existem com os algarismos
significativos ?
a) 2144
b) 1344
c) 2280
d) 4538
e) 4500
4. Quantos números entre 400 e 900 há
que não tem algarismos repetidos e são
5. Quantos são os números compreendidos
entre 2000 e 3000 formados por algarismos
distintos escolhidos entre 1 e 9 ?
a) 640
b) 430
c) 336
d) 429
e) 315
6. Considerando todos os números de 6
algarismos distintos que podem ser
formados com os algarismos
1, 2, 3, 4, 6, 7, 9: quantos são pares e
quantos são ímpares ?
7. Com algarismos significativos quantos
números de 3 algarismos distintos são
divisíveis por 5 ?
a) 15
b) 25
93
Gênio da Matemática – Régis Cortes
c) 34
d) 46
e) 56
8. Quantos números de 3 algarismos
distintos
podemos
formar
com
os
algarismos decimais sem os repetir de
modo que :
a) comecem por 1;
16.
(UFRGS) Permutando-se os
algarismos 1, 2, 3, 4 e colocando os
numerais obtidos em ordem de valores
crescentes, a posição ocupada pelo número
3.214 é :
a) 15o lugar b) 18o lugar
c) 16o lugar
d) 40o lugar
e) 34o lugar
b) comecem por 2 e terminem por 5.
COMBINAÇÂO
9. Com 25 letras e 10 algarismos quantas
placas de motos de 2 letras e 3 algarismos
podemos formar:
a) podendo repetir os símbolos ;
b) não podendo repetir os símbolos.
1) Numa reunião de 7 rapazes e 6 moças,
quantas comissões com 3 rapazes e 4
moças podemos formar?
a) 425
b) 525
c) 600
d) 650
e) 675
10. O número de anagramas da palavra
“PUCRS” é?
a) 70
b) 80
c) 100
d) 120
e) 140
11. Quantos anagramas tem a palavra
“PUCRS” que começam por “p” e terminam
por “s”.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
e) 8
Difíceis:
12. De quantas maneiras 5 pessoas podem
ocupar os lugares de um carro sabendo
que:
a) todos sabem dirigir;
b) apenas um sabe dirigir;
c) somente dois sabem dirigir.
13. Quantos anagramas tem a palavra
matemática?
14.
Quantos anagramas tem a palavra
chuva que não possuem as vogais juntas?
15.
O número de anagramas da palavra
CORTÊS que não possuem as consoantes
juntas é?
2. Uma urna contém 12 bolas das quais 7
são pretas e 5 brancas.De quantas
maneiras podemos tirar 6 bolas da urna das
quais duas são brancas ?
a) 150
b) 250
c) 350
d) 450
e) 550
3. Numa sala de 15 alunos tem 6 meninas.
Queremos fazer uma comissão de 7 alunos
de ambos os sexos, em quantas comissões
há no máximo 3 meninas ?
4. Quantas diferentes diagonais tem um
hexágono?
a) 9
b) 12
c) 14
d) 16
e) 19
5. Sobre uma reta marcam-se 5 pontos e
sobre outra paralela a primeira marcam-se
8 pontos. Quantos triângulos podem-se
traçar unindo-se quaisquer destes pontos ?
94
Gênio da Matemática – Régis Cortes
a) 180
b) 200
c) 220
d) 240
e) 260
9. Numa sala há oito moças e dez rapazes,
de quantos modos podemos formar
comissões de 3 pessoas :
a) indistintamente;
6. (UFRGS) – Num jogo de loto, qualquer
subconjunto
00; 01; 02;....;98; 99 com cinco
elementos é chamado de quina. O número
de quinas distintas possíveis de serem
obtidas com elementos sem algarismos
repetidos é :
a) C90,5
b) C99,5
c) C100,5 – 10
d) A90,5
e) A100,5 – 10
7. Numa sala há 10 pessoas se
cumprimentando. Quantos apertos de mãos
foram dados ?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
8. Após uma reunião houve 15 apertos de
mãos
sabendo
que
todos
se
cumprimentaram, qual o número de
pessoas ?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
b) com uma moça.
10. De um grupo de 5 pessoas , de
quantas maneiras distintas podemos
convidar 1 ou mais pessoas para jantar ?
a) 29
b) 31
c) 34
d) 36
e) 39
11. (ITA) Considere 12 pontos distintos
dispostos no plano, 5 dos quais estão numa
mesma reta. Qualquer outra reta do plano
contém, no máximo, 2 destes pontos.
Quantos triângulos podemos formar com os
vértices nestes pontos?
a. 210
b. 315
c. 410
d. 415
e. 521
12. (PUCRS) De seis alunos sorteados,
dois serão escolhidos para representar a
escola em um evento acadêmico. O número
de comissões que podem ser formadas é
a) 6
b) 12
c) 15
d) 24
e) 30
Respostas :
Arranjo e Permutação:
01) b 02) e 03) b 04) a 05) c 06) 2160 pares e 2880 ímpares 07) e
08) 72; 8; 09) 625000 ; 432000 10) d 11) c 12) a) 120 ; b) 24 ; c) 48 13) 151200 14) 72
15) 576 16) a
Combinação:
1) b 2) c; 3) C9,6 . C6,1 + C9,5 . C6,2 + C9,4 . C6,3
9) a) 816 ; b) 360; 10) b 11)a
12)c
4) a 5) c 6) a
7) c
8) a
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95
Gênio da Matemática – Régis Cortes
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Definição
Se , num fenômeno aleatório , o número de elementos do espaço amostral é n (U) e o
número de elementos do evento A é n (A) , então a probabilidade de ocorrer o evento A é o
número P (A) , tal que :
P(A) = n(A)
n(U)
Exercícios
01)No lançamento de um dado , determine a probabilidade de obter :
a) o número 2;
b) um número par;
c) um número múltiplo de 3;
R:16,66%
R:50%
R:33,33%
02) De um baralho com 52 cartas tiram-se, sucessivamente, sem reposição, duas cartas.
Determine a probabilidade dos eventos :
a) as duas cartas são “damas” ;
R:1/221
b) as duas cartas são de “ouros”.
R:1/17
03) No lançamento simultâneo de dois dados , um branco e um vermelho , determine a
probabilidade dos seguintes eventos :
a) os números serem iguais ;
R: a) 16,66%
b) a soma dos nos é igual a 9.
R: b) 11,11%
04) De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade
de que a carta seja : a) uma dama.
R: a) 1/13
b) uma dama de paus.
R: b) 1/52
c) uma carta de ouros.
R: c) 1/4
05) Uma urna contém 40 cartões, numerados de 1 a 40. Se retirarmos ao acaso um cartão
dessa urna , qual a probabilidade de o no escrito no cartão ser um múltiplo de 4 ou de 3 ?
R: 50%
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Gênio da Matemática – Régis Cortes
06) Considere o lançamento de dois dados. Determine :
a) a probabilidade de obter um total de 7 pontos ;
b) a probabilidade de não obter um total de 7 pontos.
R: a) 1/6
R: b) 5/6
07) Seja A o evento : retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas.
Calcule P(A) e seu complementar
08) No lançamento de um dado , determine a probabilidade de obter :
a) o número 1 ;
b) um número primo ;
c) um número divisível por 2 ;
d) um número menor que 5 ;
e) um número maior que 6.
09) Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso , qual
a probabilidade de que seu número seja :
a) par;
b) ímpar;
c) par e menor que 15;
d) múltiplo de 4 ou 5.
R: a)1/2 b)1/2 c)7/30 d)2/5
10) Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual a probabilidade de que apareça coroa nas quatro
vezes ?
R:1/16
11) Qual é a probabilidade de um casal ter somente 4 filhos e todos do sexo feminino ?
R : 1/16
12) No lançamento de uma moeda de um dado , qual a probabilidade de obtermos coroa e
um número menor que 3 ?
R:1/6
13) Tira-se ao acaso uma carta de um baralho. Qual a probabilidade de: a)a carta ser um rei
e carta de copas b) ser uma figura de ouro ou de copas?
R: a)1/52 b)3/26
14) (ITA) Retiram-se 3 bolas de uma urna que contém 4 bolas verdes, 5 bolas azuis e 7
bolas brancas. Se P1 é a probabilidade de não sair bola azul e P2 é a probabilidade de
todas as bolas saírem com a mesma cor, então a alternativa que mais se aproxima de P1 +
P2 é
a) 0,21..
b) 0,25..
c) 0,28.
d) 0,35
e) 0,40
R:e
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Gênio da Matemática – Régis Cortes
15) (ITA) Em um jogo da Mega Sena em que a cartela tem 60 dezenas disponíveis, a
probabilidade de voce acertar os 6 números sorteados, escolhendo apenas 6 dezenas da
cartela é de uma chance para cada:
a) 100 mil b) 1 milhão c) 5 milhões d) 50 milhões e) 1 bilhão
16) (PUCRS) Duas moedas são jogadas simultaneamente. A probabilidade de uma dar cara
e a outra coroa é de?
R:1/2
17) (ENEM) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B,
durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:
A loja sorteará um brinde entre os compradores do
produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os
dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
R:1/20
Testes de Vestibular Probabilidade
1. (Unesp) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas
numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de
cada equipe para exame anti-doping. Os jogadores da primeira equipe são representados
por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por
bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada
urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas
restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números
iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de:
a) 0,09.
b) 0,1.
c) 0,12.
d) 0,2.
e) 0,25.
2. (Fuvest-gv) No jogo da sena seis números distintos são sorteados dentre os números
1, 2,....., 50. A probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam
ímpares vale aproximadamente:
a) 50 %
b) 1 %
c) 25 %
d) 10 %
e) 5 %
3. (Unesp) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de um
pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois vértices consecutivos é:
a) 1/2
b) 4/5
c) 1/5
d) 2/5
e) 3/5
4. (Unesp) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que
suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:
a) 1/6
b) 4/9
c) 2/11
d) 5/18
e) 3/7
98
Gênio da Matemática – Régis Cortes
5. (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas
ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de
que ambas sejam brancas vale:
a) 1/6
b) 2/9
c) 4/9
d) 16/81
e) 20/81
6. (Fatec) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela
permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a
probabilidade dele ser um número ímpar é
a) 1
b) 1/5
c) 2/5
d) 1/4
e) 1/5
7. (Fei) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas
são retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas serem da mesma cor é:
a) 13/72
b) 1/18
c) 5/18
d) 1/9
e) 1/4
8. (Fei) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos
alunos. Cento e vinte responderam "sim" a ambas; 300 responderam "sim" à primeira; 250
responderam "sim" à segunda e 200 responderam "não" a ambas. Se um aluno for escolhido
ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido "não" à primeira pergunta?
a) 1/7
b) ½
c) 3/8
d) 11/21
e) 4/25
9. (Puccamp) O número de fichas de certa urna é igual ao número de anagramas da palavra
VESTIBULAR. Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a probabilidade
de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais estarem juntas é
a) 1/5040
b) 1/1260
c) 1/60
d) 1/30
e)
1/15
10. (Uel) Num baralho comum, de 52 cartas, existem quatro cartas "oito". Retirando-se duas
cartas desse baralho, sem reposição, qual a probabilidade de se obter um par de "oitos"?
a) 1/2704
b) 1/2652
c) 1/1352
d) 1/221
e) 1/442
11. (Uel) Uma urna tem 100 cartões numerados de 101 a 200. A probabilidade de se sortear
um cartão dessa urna e o número nele marcado ter os três algarismos distintos entre si é de
a) 17/25
b) 71/100
c) 18/25
d) 73/100
e) 37/50
12. (Unirio) Considerando-se um hexágono regular e tomando-se ao acaso uma de suas
diagonais, a probabilidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de:
a) 1/9
b) 1/6
c) 1/3
d) 2/9
e) 2/3
13. (Fatec) Numa eleição para prefeito de uma certa cidade, concorreram somente os
candidatos A e B. Em uma seção eleitoral votaram 250 eleitores. Do número total de votos
da uma dessa seção, 42% foram para o candidato A, 34% para o candidato B, 18% foram
anulados e os restantes estavam em branco. Tirando-se, ao acaso, um voto dessa urna, a
probabilidade de que seja um voto em branco é:
a) 1/100
b) 3/50
c) 1/50
d) 1/25
e) 3/20
14. (Mackenzie) Numa urna são colocadas 60 bolas iguais, numeradas de 1 a 60. A
probabilidade de sortearmos, sucessivamente, com reposição, 3 bolas com números que
são múltiplos de 5, é:
a) 8 %
b) 0,8 %
c) 0,08 %
d) 0,008 %
e) 0,0008 %
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99
Gênio da Matemática – Régis Cortes
15. (Unirio) Joga-se um dado três vezes consecutivas. A probabilidade de surgirem os
resultados a seguir, em qualquer ordem, é:
a) 1/216
b) 1/72
c) 1/36
d) 1/18
e) 1/3
16. (Mackenzie) Numa competição de tiro ao alvo, a probalidade de um atirador A errar é 8%
e a de um atirador B errar é o dobro. Ocorridos 200 tiros, 100 para cada atirador, e tendo
havido erro num dos tiros, a probabilidade do mesmo ter sido dado por A é:
a) 1/5
b) 1/3
c) 3/4
d) 1/2
e) 1/6
17. (Cesgranrio)
Em cinco cartões numerados de 1 à 5, escolhemos ao acaso um desses cartões. A
probabilidade de que o logaritmo na base 2 deste número seja número natural é de:
a) 0
b) 1/5
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
18. (Mackenzie) No lançamento de 4 moedas, a probabilidade de ocorrerem duas caras e
duas coroas é:
a) 1/16
b) 3/16
c) 1/4
d) 3/8
e) 1/2
19. Retirando-se duas cartas de um baralho, sem reposição, qual a probabilidade de sair
duas cartas de ouro?
a) 5,88%
b) 17,67%
c) 20,67%
d) 23%
e) 26%
20. (Mackenzie) As oito letras da expressão "BOA PROVA" são escritas, uma em cada
etiqueta de papel. A probabilidade das letras serem sorteadas, sem reposição, uma após a
outra, formando essa frase é:
a) 1/8!
b) 2/8!
c) 8%
d) 4/8!
e) 8/8!
21. (Uff) Em uma bandeja há dez pastéis dos quais três são de carne, três de queijo e quatro
de camarão. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposição, dois pastéis desta bandeja,
a probabilidade de os dois pastéis retirados serem de camarão é:
a) 3/25
b) 4/25
c) 2/15
d) 2/5
e) 4/5
22. (Unirio) Numa urna existem bolas de plástico, todas do mesmo tamanho e peso,
numeradas de 2 a 21, inclusive e sem repetição. A probabilidade de se sortear um número
primo ao pegarmos uma única bola, aleatoriamente, é de:
a) 45%
b) 40%
c) 35%
d) 30%
e)
25%
23. (Uerj) Os números naturais de 1 a 10 foram escritos, um a um, sem repetição, em dez
bolas de pingue-pongue. Se duas delas forem escolhidas ao acaso, o valor mais provável da
soma dos números sorteados é igual a:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
24. (Ufrn) "Blocos Lógicos" é uma coleção de peças utilizada no ensino de Matemática. São
48 peças construídas combinando-se 3 cores (azul, vermelha e amarela), 4 formas
(triangular, quadrada, retangular e circular), 2 tamanhos (grande e pequeno) e 2 espessuras
(grossa e fina). Cada peça tem apenas uma cor, uma forma, um tamanho e uma
espessura.Se uma criança pegar uma peça, aleatoriamente, a probabilidade dessa peça ser
amarela e grande é
a) 1/12
b) 1/6
c) 1/3
d) 1/2
100
Gênio da Matemática – Régis Cortes
25. (Fatec) Jogam-se dois dados, exatamente iguais e sem vícios, ambos tendo as faces
numeradas de 1 a 6. A probabilidade de se obter a soma dos números nos dois dados igual
a 5 é:
a) 1/6
b) 0,1
c) 0,4
d) 0,111...
e) 4%
26. (Fgv) A área da superfície da Terra é aproximadamente 510 milhões de km2. Um satélite
artificial dirige-se aleatoriamente para a Terra. Qual a probabilidade de ele cair numa cidade
cuja superfície tem área igual a 102 km2?
a) 2 . 10-9
b) 2 . 10-8
c) 2 . 10-7
d) 2 . 10-6
e) 2 . 10-5
27. (Fgv) Um recipiente contém 4 balas de hortelã, 5 de morango e 3 de anis. Se duas balas
forem sorteadas sucessivamente e sem reposição, a probabilidade de que sejam de mesmo
sabor é:
a) 18/65
b) 19/66
c) 20/67
d) 21/68
e) 22/69
28. (Puc-rio) De sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3 representantes.
Qual a probabilidade de você fazer parte da comissão?
a) 1/10.
b) 1/12.
c) 5/24.
d) 1/3.
e) 2/9.
29. (Puc-rio) As cartas de um baralho são amontoadas aleatoriamente. Qual é a
probabilidade de a carta de cima ser de copas e a de baixo também? O baralho é formado
por 52 cartas de 4 naipes diferentes (13 de cada naipe).
a) 1/17.
b) 1/25.
c) 1/27.
d) 1/36.
e) 1/45.
30. (Fgv) Uma caixa contém 1.000 bolinhas numeradas de 1 a 1.000. Uma bolinha é
sorteada. A probabilidade de a bolinha sorteada ter um número múltiplo de 7 é:
a) 0,139
b) 0,140
c) 0,141
d) 0,142
e) 0,143
31. (Fgv) Um lote com 20 peças contém 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peças desse lote,
sem reposição, a probabilidade de que todas sejam NÃO DEFEITUOSAS é:
a) 68/95
b) 70/95
c) 72/95
d) 74/95
e) 76/95
32. (Mackenzie) Sorteado ao acaso um número natural n,1´n´99, a probabilidade de ele ser
divisível por 3 é:
a) 2/3
b) 1/3
c) 1/9
d) ½
e) 2/9
33. (Fgv) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 brancas. Três bolas são sucessivamente
sorteadas, sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas brancas é:
a) 1/15
b) 1/20
c) 1/25
d) 1/30
e) 1/35
34. (Ufpe) Formando três pares, aleatoriamente, com Joaquim, Pedro, Carlos, Maria, Joana
e Beatriz, qual a probabilidade de Joaquim e Carlos formarem um par?
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,3
d) 0,4
e) 0,5
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101
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Resposta:
1. [b]; 2. [b]; 3. [a]; 4. [d]; 5. [a]; 6. [c]; 7. [c]; 8. [d]; 9. [d]; 10. [d]; 11. [c]; 12. [c];
13. [b]; 14. [b]; 15. [d]; 16. [b]; 17[c]; 18. [d] 19. [a]; 20. [d]; 21. [c]; 22. [b]; 23. [c];
24. [b]; 25. [d]; 26. [c] ; 27. [b]; 28. [a]; 29. [a] 30. [d]; 31. [a]; 32. [b]; 33. [d]; 34. [b]
35. [c]
Probabilidade do Método Binomial
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a
mesma em cada lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos
em n tentativas, é obtida pelo termo geral do Binômio de Newton:
Exemplo:
Um dado é jogado 9 vezes qual a probabilidade de sair o número 4 cinco vezes?
P(A)= C9,5 . (1/6)5 . (5/6)4
Exercícios
1) (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares
aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de
fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos
defeituosos?
a) 2 × (0,2%)4
b) 4 × (0,2%)2
c) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2
d) 4 × (0,2%)
e) 6 × (0,2%) × (99,8%)
2) Um dado é jogado 7 vezes . Qual a probabilidade de sair o número 5 quatro vezes?
3) Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual a probabilidade de sair cara 5 vezes?
4) Uma senhora teve 10 filhos, 5 homens e 5 mulheres. Qual a probabilidade de sua filha
tendo também 10 filhos sair com as mesmas quantidades de filhos homens e mulheres da
mãe?
5) Uma prova é constituida de 10 exercícios em forma de testes com 5 alternativas. Se um
aluno "chutar" todas, qual a probabilidade de acertar 6 questões?
6) Qual é a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?
102
Gênio da Matemática – Régis Cortes
CONJUNTOS E FUNÇÕES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
INTRODUÇÃO : conjunto dá uma idéia de coleção. Assim toda coleção de objetos , pessoas
, animais , coisas constitui um conjunto.
Os objetos que formam um conjunto são denominados ELEMENTOS.
- Pertinência
x
A
(lê-se : x pertence a A)
x
A
(lê-se : x não pertence a A)
“ ” e “ ” são símbolos utilizados na relação elemento conjunto. Ex : 2
- Subconjuntos
ou
Os símbolos
Ex : {1 , 2}
{3 , 4 , 5}
,
A
B
(lê-se A está contido em B)
B
A
(lê-se B contém A)
{1 , 2 , 3}
,
são utilizados para relacionar conjunto com conjunto
{1 , 2 , 3 , 4}
{3 , 4}
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS :
1) UNIÃO : é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a “A” ou a “B”.
A B (lê-se : A união B)
Ex : A = {0 , 1 , 2} ; B = {2 , 3}
A
B = {0 , 1 , 2 , 3}
2) INTERSECÇÃO : é o conjunto de elementos que são comuns a A ou B
A
B (lê-se : A intersecção B)
Ex : A = {1 , 2 , 3 , 4} ; B = {3 , 4 , 5 , 6}
A
B = {3 , 4}
3) DIFERENÇA DE CONJUNTOS : é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não
pertencem a B.
A - B (lê-se A menos B)
4) COMPLEMENTAR
CAB = A - B = complementar de B em relação a A
Ex : B = {2 , 3}
A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4}
CAB = A - B = {0 , 1 , 4}
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103
Gênio da Matemática – Régis Cortes
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) NATURAIS (
) = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}
2) INTEIROS ( Z ) = {... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ...)
3) RACIONAIS ( Q ) = são todas as frações positivas negativas , nos inteiros.
obs : os números com dízima periódica (ex : 0,333... , 0,252525...) são nos racionais pois
para eles existe a fração geratriz : 0,333 = 3/9
0,2525... = 25/99
Q = {x / x = a/b , com a
Z , b
Z e b
0}
Resumindo nos racionais são todas as frações de números inteiros.
4) IRRACIONAIS : são os números com decimais infinitos não periódica.
Ex :
2 = 1,41421.... ;
3 = 1,73205....
5) REAIS : resultam da união dos números racionais com números irracionais.
INTERVALOS: qualquer subconjunto dos nos reais.
Representação Geométrica Representação Algébrica
{x R / a < x b}
a
b
forma de conjunto
]a ; b] ou (a ; b]
forma de intervalo
Exercícios :
01) Determine se é F ou V :
a) 3
{1 , 2 , 3} ( )
b) 2
d) 8
{8 , 5} ( )
e) {7}
{{2} , {7}} ( )
h) {1}
{1 , 2 ,3} ( )
g) {2}
{1 , 2 , 3} ( )
j) {5 , 4 , 3} {1, 3 ,4 ,5} ( )
n)
q) {2}
{1 , 2 , 3} ( )
{{1} , {2}} ( )
{1 , 5} ( )
l) {2 , 5}
{1 , 3 , 5} ( )
o) {5 , 6 , 8}
r) {1}
{5 , 6} ( )
{{1}} ( )
c) 4
f) {3}
{2 , 6} ( )
{1 , 2 , 3} ( )
i) {2}
{{2}} ( )
m) {6 , 7}
{6 , 7 , 8} ( )
p) {5 , 3}
{1} ( )
s) 2
{1 , 2 , 3} ( )
02) Determine por extensão os conjuntos :
a) {x
N* / x < 5}
b) {x
N / -2
x < 9}
c) {x
Z* / -2
x < 2}
104
Gênio da Matemática – Régis Cortes
d) {x
Z / x2 = 64}
03) Se
Z / x2 - 4x - 5 = 0}
e) {x
A = {1 , 3 , 5 , 7 , 9};
D = {2 , 3};
B = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}; C = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7};
E = {0 , 1} , então calcule :
a) A
B
b) A
e) B
E
f) A - A
D
c) A
E
d) A
g) A - C
C
h) CBC
04) Escreva os seguintes intervalos na forma de conjuntos e representa-os numa reta
numerada.
a) [1 ; 3]
b) [2 ; 5]
c) (3 ; 4)
d) (-6 ; 8]
e) (2 ; + )
f) [3 ; + )
g) (- ; 1]
05) Escreva os conjuntos na forma de intervalos :
a) {x
R/1
x
2}
b) {x
R / 2 < x < 5}
c) {x
R/2
d) {x
R/4<x
9}
e) {x
R/x
f) {x
R / x < 1}
3}
x < 10}
6) Numa escola de 630 alunos, 350 estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 estudam
as duas disciplinas (Mat e Fís).
a) Quantos alunos estudam apenas Mat?
b) Quantos alunos estudam apenas Fís?
c) Quantos alunos estudam Mat ou Fís?
d) Quantos não estudam nenhuma disciplina?
e) Quantos estudam apenas uma disciplina?
7) Numa pesquisa, 100 pessoas liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais
(A e B) e 110 não liam nenhum jornal. Quantas pessoas foram consultadas nessa pesquisa?
8) Numa pesquisa de consumo feita em uma cidade, verificou-se que foram consumidos
dois produtos, S e P. Qual é o numero de pessoas consultadas
Produto
S
P
SeP
Nenhum dos dois
Número de consumidores
210
180
50
40
105
Gênio da Matemática – Régis Cortes
9) Em uma campanha de vacinação de idosos um posto de saúde foram aplicadas as
seguintes vacinas: (1) Gripe, (2) Pneumococos e (3) Antitetânica
Qual o númesro de pessoas vacinadas?
Vacina
(1)
(2)
(3)
(1) e (2)
(1) e (3)
(2) e (3)
(1), (2) e (3)
Número de vacinados
300
200
150
50
80
70
30
Respostas : 01) a)V b)F c)V d)F e)V f)F g)F h)V i)V j)F l)F m)V n)V o)V p)F q)F r)F s)F ;
03) a){0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 7 , 9} b){1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9} c){0 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9}
d){3 , 5 , 7}; e){0 , 1} f)
g){1 , 9} h){0 , 1} 6) a) 260 b) 120 c) 470 d) 160 e)380
7) 340 8) 380 9) 480
FUNÇÕES
DEFINIÇÃO : sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B , essa
relação f é uma função de A e B quando a cada elemento x do conjunto A está associada
um e um só elemento y do conjunto B.
Pode-se escrever : f : A
Ex
A
I1
I2
I3
B (lê-se : f é uma função de A em B)
B
m1
m2 m4
m3 m5
Para ser função todos os indio devem lançar sua flecha ,
porém não pode lançar duas flechas ao mesmo tempo,
DOMÍNIO , IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
Sejam os conjuntos A = {0 , 1 , 2} e b = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5} , vamos considerar a
função f : A
B definida por y = x + 1 ou f (x) = x + 1
B
A
0
1
2
1 0
2 4
3 5
D = {0 , 1 , 2}
Im = {1 , 2 , 3}
Contradomínio = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5}
OBS : Domínio também é chamado Campo de Definição ou Campo de Existência.
TIPOS DE FUNÇÃO
1) Função Par
f (x) = f (-x)
2) Função Ímpar
f (x) = -f (-x)
106
Gênio da Matemática – Régis Cortes
3) Função Crescente
x1 < x2
e
f (x1) < f (x2)
4) Função Decrescente
x1 < x2
e
f (x1) > f (x2)
5) Função Composta
Seja f (x) = x + 2 e
g (x) = 3x2 - 1
Ao colocarmos a função g (x) no lugar da variável “x” da função f (x) estamos compondo a
função fog ou f (g(x)) (lê-se : f composta com g).
6) Função Inversa
É indicada por f -1. Define uma correspondência contraria , isto é , de y para x.
Exercícios e Testes de Vestibular :
01) (Mack-SP)- Se f (x - 1) = x2 , então o valor de f (2) é :
a) 1
b) 4
c) 6
d) 9
e) impossível de calcular com a informação dada.
02)(UFRGS)Se p é um número real, a equação x2 + x + 1 = p possui duas raízes reais
distintas se, e somente se :
a) p > 3/4
b) p < 3/4
c) p > 4/3
d) p > 0
e) p é um número real qualquer.
03) (PUC ) - A determinação por compreensão do conjunto A = [ a ; b ] é
a) {x
/a x b}
b) {x Z / a x b}
c) {x Q / a x b}
d) {x R / a x b}
e) { x C / a x b}
04) (FEI-SP)- Qual das seguintes curvas não representa função ?
a) y
b)
c)
d)
e)
y
y
y
0
0
x
0
x
0
x
y
0
x
x
05) (PUCRS) - Se f (x) = logx, então f (1/x) + f (x) é igual a
a) 10
b) f (x2)
c) - f (x)
d) 1
e) 0
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107
Gênio da Matemática – Régis Cortes
06) (PUC-SP)- Qual das funções a seguir é par ?
a) f (x) = 1/x2
b) f (x) = 1/x
c) f (x) = x
d) f (x) = x5
e) n.d.a
07) (UFRGS)- O gráfico da função f(x) = x2 + px + 1 intercepta o eixo das abcissas
em dois pontos distintos, se e somente se
a) p -2
b) p 0
c) -2 p 2
d) p 0 ou p 2
e) p -2 ou p 2
08) Seja A função definida por f (x) = x2 - 9. A imagem e o domínio da função é ?
09) (UEL-PR) Seja a função f (x) = ax3 + b. Se f (-1) = 2 e f (1) = 4 , então a e b valem :
a) -1 e -3
b) -1 e 3
c) 1 e 3
d) 3 e -1
e) 3 e 1
10) (UFP-RS)- Qual o domínio de y = x2 - 7x + 10 ?
2x + 7
a) R - {-7/2}
b) (-7/2 , + )
c) [-7/2 , + ]
d) (2 , 5)
e)
11) (Cescem-SP)- Se f (x) = a + 1 e g (z) = 2z + 1 , então g (f (x)) vale :
a) 2a + 2
b) a + 4
c) 2a - 3
d) 2a + 3
e) a + 3
12) (Mack-SP)- Sejam f dada por f (x) = 2x - 1 e g dada por g (x) = x + 1. Então g(f (2)) é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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108
Gênio da Matemática – Régis Cortes
13) (Mack-SP)- Dadas as funções f , g e h , de R em R , definidas por
f (x) = 3x, g (x) = x2 - 2x + 1 e h (x) = x + 2 , então h(f (g(2))] é igual a :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14) (Fatec-SP)- Sejam f : R
Reg:R
R , funções definidas por f (x) = x - 4t e
2
g (x) = x - t. Se f (g(1)) = 16 , então t é igual a :
a) 5
b) 3
c) 0
d) -3
e) -5
15) (FCC-SP)- A função inversa da função f (x) = 2x - 1 é :
x+3
a) f -1(x) = x + 3
2x - 1
-1
b) f (x) = 2x + 1
x-3
-1
c) f (x) = 1 - 2x
3-x
-1
d) f (x) = 3x - 1
x-2
-1
e) f (x) = 3x + 1
2-x
16) Quais das seguintes relações são funções :
a)
b)
c)
-4
16
-4
2
-4
4
4
4
2
4
-2
1 -2
2
1 -3
2
2
0
-2
-1
-2
2
d)
3
2
1
0
-4
4
-2
2
2
2
3
1
17) Determine a inversa das funções :
a) f (x) = x + 3
b) f (x) = (2x - 5) / (x + 1)
18) A partir do gráfico , determinar o domínio e a imagem :
a) y
b) y
c) y
5
3
3
3 7
x
x
d) y
e)
y
x
f) y
3
x
não é função
x
x
109
Gênio da Matemática – Régis Cortes
19) Sendo f (x) = x2 + x e g (x) = x + 2 , determinar :
a) fog
b) gof
c) g(3)
d) f (g(2))
e) g(f (-1))
20) (ENEM) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema
a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão
T(t) = − t 2/4 + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é
liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 ºC.Qual o tempo mínimo
de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
20) (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam,
respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a
comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser
representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda
de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do
produto.A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o
preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
Respostas : 01) d 02) a 03) d 04) d 05) e 06) a 07) e
08) Im = [-9 ; + [ ; D = R
09) c
10) b 11) d 12) d 13) e 14) d 15) e
-1
-1
16) b e d
17) a) y = x - 3 ; b) y = (5 + x) / (2 - x)
18) a) D =]3 ;7] ; I = ]3 ;5] ,
b) D = R+ ; I = R+ , c) D = R+ ; I = {3} , d) D = R* ; I = R* , D = R ; I = ]- ;3] ;
19) a) x2 + 5x + 6 ; b) x2 + x + 2 ; c) 5 ; d) 20 ; e) 2
20) 38 min 21) 11
DOMÍNIO DAS FUNÇÕES
Definimos o domínio D como: o conjunto de todos os valores possíveis da variável
independente x.
Quando definimos uma função , o domínio D , que é o conjunto de todos os valores
possíveis da variável x, pode ser dado explícita ou implicitamente.
- Se é dado f (x) = 2x - 3 , sem explicitar o domínio , está implícito que x pode ser qualquer
número real
x-2
com exceção do “2” pois 1/0 não é definido.
- Se é dado f (x) =
x − 2 , sem explicitar o domínio , está implícito que x - 2 pode ser
qualquer número real não negativo ou seja : x - 2 0 ou x -2
pois raiz de número
negativo não está definido.
110
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Exercícios:
01) Determine o domínio das equações:
a) f (x) = (4x + 9) / (-2x + 5)
b) f (x) = 3 − 4x + 7x − 35
02) Determine o domínio das inequações:
a) (-x + 5) (2x + 7)
b) 4x + 9
-2x + 5
0
g) 2x + 3 < 1
x+2
h) x2 - 3x - 10
x+4
0
0
i) (x2 - x - 12) (x + 8) > 0
x-4
c) Determine o domínio da função
f(x) = (x + 3) (−x − 5) (2x + 11)
d) x (2x + 13) (-x - 5) < 0
e) -2x + 7
4x + 5
0
x
-2x + 3
0
f)
j) (UFRGS) O domínio da função real de
variável real definida por
f (x)
(1 x)(3 x) é o intervalo
a) ( - , -3].
b) [-3, -1).
c) (-3, 0).
d) [-3, 1].
e) [1,+ ).
Respostas: 01) a) D = R - {5/2} b) D = {x R x 3/4} 02) a) D = {x R x -7/2 ou x
5} b) {x R -9/4 x < 5/2} c) {x R -11/2 < x < -5 ou x > -3} d) {x R -13/2 < x < -5
ou x > 0} e) {x R -5/4 < x 7/2} f) {x R x 0 ou x > 3/2} g) {x R -2 < x < -1}
h) {x R x < -4 ou -2 x 5 i) {x R x < -8 ou x > -3} j)d
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111
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MATRIZES
DEFINIÇÃO : são tabelas de nos reais utilizados em quase todos os ramos da ciência e da
engenharia.
- Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por matrizes.
- São utilizadas na estatística , economia , física etc.
1) Matriz Identidade ou Matriz Unidade : é uma matriz quadrada em que os elementos da
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero.
1
I2 =
0
1
I3 = 0
0
0
1
0 0
1 0
0 1
2) Matriz Inversa : A . A-1 = I
3) Matriz Transposta (At) : troca-se ordenadamente as linhas pelas colunas.
4) Matriz Simétrica : A = At
5) Cofator Adjunto :
Ex :
Cij = (-1) i + j . Det Mij
3 1 −2
A = 4 −1 2
0 3
1
6) Multiplicação de Matrizes :
C1,3 = (-1)1 + 3 .
4 −1
0 3
A x B (linha da A x coluna da B)
Tipos de matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o
número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz
por An.
Exemplos:
Matriz triangular
112
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo
da diagonal principal são nulos (iguais à zero).
Exemplos:
Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na
matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá
estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas,
temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.
Matriz diagonal
A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e
baixo da diagonal principal são nulos.
Matriz identidade ou unidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero).
Podemos representar esta matriz por In.
Matriz nula
Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz
nula m x n por 0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n.
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113
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Matriz linha
É toda matriz que possui apenas uma linha. Numa matriz linha m x n, m = 1.
Matriz coluna
É toda matriz que possui apenas uma coluna. Numa matriz coluna m x n, n = 1.
DETERMINANTES
PROPRIEDADES :
1) Duas filas paralelas e proporcionais originam determinante zero.
2) Det A = Det At
3) O determinante muda o sinal quando se troca de posição 2 filas paralelas.
4) Quando se multiplica uma fila por um número , o determinante fica multiplicado por esse
número.
Exercícios e Testes de Vestibular :
01) Calcule A . B sendo A =
02) (UFRGS) - Se A =
1
2
−1
−2
−1 −2 3
3 e B=
4
1 2
4
1
1
, então A2 é a matriz
−1 −1
0
03) Dadas as matrizes A = −6
5
B = At
2 4
3 y
1 2
0
e B= x
4
−6 5
3 1
8 z
calcule x, y e z p/ que
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114
Gênio da Matemática – Régis Cortes
04) Determinar x e y tal que :
x-2
-5
7
y+2
=
y+2
-5
7
-x + 2
4
5
6
−1 2 5
05)(PUCRS)Dadas as matrizes A= −1 2
1 e B= 0
1 1 , a segunda linha da
3 −2 −6
−1 −3 0
matriz 2AB é :
a) -1 3 2
b) 0 4 2
c) 0 2 1
d) 0 -3 -3
e) 0 -6 -6
06) Sendo Aij = 3i + j2 e (Aij)i x j com (Aij) 3 x 3 construa a matriz.
07)(UFRGS)Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então o valor de det 2A é :
a) 5 b)10 c) 20 d) 25 e) 40
i + j , se i < j
08) Construa a matriz Aij quadrada de ordem 3 onde: Aij = 3i , se i = j
i - j , se i > j
09) Determine a inversa da matriz A =
10) Se
a 1
3 2
.
=
−2 b
1 4
5
−5
7
9
1 3
2 4
Calcule a + b.
11) Calcule o determinante da matriz
2
3
0
2
3
3
2
3
3
3
0
2
12) Calcule o determinante da matriz :
2
−1
0
−1
3 1
2 3
0 4
2 −1
2
3
0
3
4
5
0
1
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115
Gênio da Matemática – Régis Cortes
13) (PUC)Se A =
a
2 1
−4 −2
1 2
,B =
e C=
, então det (A+B)t . (B+C)t é igual
0 −1
5 −2
3 4
a) -256
b) 256
c) 96
d) -66
e) 66
3 1
14) Calcule os cofatores C13 , C21 , C33 da matriz : A = 4 −1
0 3
1 0 0
15) (UFRGS)-Na igualdade matricial x 1 0
y x 1
a) -2
b) -1
c) 0
16)(PUCRS)
senx
cosx
0
O determinante da matriz
1
1
2 = 1 , o valor de x + y é
3
1
d) 1
senx cotg
cosx −1
senx tgx
a) 0
b) 1
c) sen x + cos x
d) sen2x
e) ( sen x + cos x )2
17) O elemento C22 da matriz C = AB,
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22
−𝟗 −𝟒
Respostas: 01) 𝟏𝟎 −𝟏
𝟏𝟕 𝟔
−𝟏
𝟏𝟐
𝟓
02)
𝟒
06) 𝟕
𝟏𝟎
𝟑
08) 𝟏
𝟐
𝟑
𝟔
𝟏
13) d
𝟕 𝟏𝟐
𝟏𝟎 𝟏𝟓 07) c
𝟏𝟑 𝟏𝟖
14)12,-7,-7
15 )b
1
A= 5
−1
2 3 4
6 7 8
0 0 1
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
𝟒
𝟓
𝟗
09)
−2
2
1
03)
𝟐
𝟏
e) 2
é
7
8
B=
5
4
2,8e2
1
1
0
0
2
1
é?
0
1
04) x = 2 ; y = -2
𝟑/𝟐
10) 5 11) -12 + 5
−𝟏/𝟐
6
05) e
12) -112
16)b 17) a
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116
Gênio da Matemática – Régis Cortes
SISTEMAS
Discussão
0
Se
possível e determinado
solução única
x= y= z=0
possível e indeterminado
infinitas soluções
=0
x
0
y
0
z
0
impossível
sem solução
1) (ITA) O sistema linear não admite solução se e somente se o número real b for igual a
bx + y = 1
by + z = 1
x + bz = 1
a) –1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) –2.
2) (UFRGS) Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 e satisfaz
p(1) = - 1, p(2) = - 2 e p(3) =-1, é correto afirmar que a soma de suas raízes é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
3)05(UFRGS) – O conjunto solução do sistema
2x + y + 3z = 0
3x – 2y + z = 0 é:
x – 3y – 2z = 0
a) ( 1, 1, -1) .
b) constituído apenas pela solução nula.
c) vazio.
d) finito, mas constituído por mais de uma solução.
e) infinito.
4) O sistema linear
quando:
a) m 0 e m -1
b) m -1 e m 1
c) m = -1 ou m = 1
x + y + z = 2 é compatível e determinado
x – y + mz = 0
mx + 2y + z = 3
d) m 0 e m 1
e) m = 0 ou m = 1
117
Gênio da Matemática – Régis Cortes
5) (PUCRS) Para que o sistema
24x+2y = 8m
, onde x e y são variáveis, tenhasolução, o
2x + y = 6n
valor de n deve ser:
a) m / 4
c) 4m / 3
b) m
d) 2m
e) 4m
6) (PUCRS) Os valores reais de a e b, para que o sistema
3x + ay + 4z = 0
x + y + 3z = −5 ,seja
2x − 3y + z = b
compatível e indeterminado, é:
a) a = -2, b 5
b) a = -2, b = 5
c) a -2, b = 5
7) (PUCRS) O sistema
d) a -2, b R
e) a R, b 5
3x + my = n
x + 2y = 1
admite infinitas soluções se e somente se o
valor de m – n é:
a) 9
b) 6
c) 3
d) 1
Respostas - sistemas: 1) a
e) 0
2) e 3) e 4) d 5) e 6) b 7) C
FUNÇÃO MODULAR
A função modular f : R -> R é definida por f (x) = |x|, se:
|x| = x , se x > 0
-x , se x < 0 , portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças:
f (x) = x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0.
Equação modular A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0
e |x| = a, então x = a ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.
Exemplos: 1) Resolver |3x – 2| = 2
|3x – 1| = 2 -> 3x –1 = 2 -> x = 1, ou
3x –1 = -2 ->x = -1/3
Resposta: S = {1, -1/3}
2) Resolver:
|2x – 1| = |x + 3|
2x – 1 = - x – 3 -> x = -2/3
|2x – 1| = |x + 3| ->
2x – 1 = x + 3 -> x = 4
Resposta: S = {4, -2/3}
118
Gênio da Matemática – Régis Cortes
Gráfico: Para construir o gráfico da função modular procedemos assim:
1º passo: construímos o gráfico da função onde f(x)> 0
2º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de – f(x) (“rebate” para o outro
lado na vertical).
3º passo: une-se os gráficos
Exemplos:
f(x) = |x|
f(x) = |x – 2|
f(x) = |x2 – 4|
Inequação
modular
|x| > a : x < -a ou x > a
|x| < a : -a < x <a
Exemplos:
1) Resolver a inequação: | x – 1| < 4
| x – 1| < 4 -> -4 < x – 1 < 4
-3 < x < 5
Resposta: S = {x Є R| -3 < x < 5}
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119
Gênio da Matemática – Régis Cortes
2) Resolver a inequação: | 2x – 3| > 7
| 2x – 3| > 7-> 2x – 3 < -7 -> x < -2
2x – 3 > 7 -> x > 5
Resposta: S = {x Є R| x < -2 ou x > 5 }
Testes de vestibular
1) (UFRGS)
|x2+x-1| < 1
2) (UFRGS)
|3x+2 | > 5
3) (UFRGS)
O domínio da função
4) (ENE)
f(x)= 2
x 1
|1-3x| < 5
5) (UFRJ)
| 1 – 4x/5 | > 3
6) (PUCRS) 3 < | 2x-1|
5
Respostas: 1) (-2 ; -1) U (0 ; 1)
4)(-4/3 ; 2)
2)(5) (-
; -7/3) U (1 ; + )
; -5/2)U (5 ; + )
3) [-1 ;3]
6)[-2;--1) U (2;-3]
Fazer os gráficos das funções modulares
7) y = | x-3|
8) y = |x2-1|
120
Gênio da Matemática – Régis Cortes
BINÔMIO DE NEWTON
Tp + 1 = Cn , p . ap . x n - p
Exercícios:
01) Faça o desenvolvimento (x + 7) 4
08) No binômio (2x2 + 3x)6 , determinar
termo médio.
02) O oitavo termo do desenvolvimento de
(x + 3)12.
03) Determine o quarto
desenvolvimento (x2 + 3/x)6.
termo
do
04) (PUCRS) - Se o terceiro termo do
desenvolvimento de (a + b)n é 21.a5.b2,
então o sexto termo é
09) Calcule o termo independente
(1/x + x )9.
10) Calcule o termo independente
(2/x2 - 3x)6.
11) No desenvolvimento do binômio
(3x2 + 1/x)9 o termo independente de x é ?
05) O termo médio do desenvolvimento
(2x3 + 3y)6 é ?
12) No binômio (ax - 1)6 , qual o valor de “a”
para que o quinto termo seja 60x2 ?
06) O termo médio do desenvolvimento
(3x + y3)8 é ?
13) O termo em x4 no desenvolvimento
(2x3 + 1/x)8 é ?
07) O termo médio do desenvolvimento
(x2/2 - 2 / x )8 é ?
14) O termo em x3 no desenvolvimento
( x - a2/x)15 é ?
Respostas: 01) C4 , 0 . x4 . 70 + C4 , 1 . x3 . 71 + C4 , 2 . x2 . 72 + C4 , 3 . x1 . 73 + C4 , 4 . x0 . 74 02)
C12 , 7 . x5 . 37 03) 540 . x3 04) 21 . a2 . b5 05) 4320y3 . x9 06) 5670y12 . x4 07) 70x6 08)
4320x9 09) 84 10) 4860 11) 2268 12) 2 13) 448x4 14) -455 . a6 . x3 15)165 3 75
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121
Gênio da Matemática – Régis Cortes
NÚMEROS COMPLEXOS
1) Vamos admitir , a existência da equação x2 + 4 = 0
x=
−4
quadrado é -1.
sem solução Para que a equação fosse possível criou-se um no cujo
i2 = -1
Portanto
x=
−4=
−1 . 4 =
i2 . 4 =
2i
2) Forma Algébrica
Z = a + bi
com a , b R
- o no “a” é a parte real de Z
- o no “b” é a parte imaginária de Z
3) Conjugado ( Z )
Z = a + bi
Z = a - bi
4) Potências de i
Resto
iRESTO
0
1
2
3
i0
i1
i2
i3
Valor da
Potência
1
i
-1
-i
5) Módulo e Argumento de um número complexo.
y
b
= Argumento (ângulo)
x
= módulo de Z
a
cos = a /
sen = b /
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122
Gênio da Matemática – Régis Cortes
6) Forma Trigonométrica
Como a = cos .
e
Z = a + bi
e
b = sen .
e substituindo a e b
Z=
( cos + isen )
Z = cos .
Zn=
n
+ sen .
.(cos n .
.i
+ i . sen n . )
Exercícios e Testes de Vestibular :
01) Determinar o valor de k para que o número z = (k - 3) + 6i seja imaginário puro.
02) Determinar os valores de m para que o número complexo z = 6 + (m 2 - 9)i seja um no
real.
03) Determinar o conjugado de z = 4 + 5i.
04) Determinar z
, tal que 5z + z = 12 + 16i.
05) Dado z = 2 + i obtenha z.
i
06)(PUC)- Os números i e 2i são raízes de um polinômio p(x) de grau n e coeficientes
inteiros. O valor de n é
a) igual a 1
b) igual a 2
c) menor ou igual a 3
d) menor ou igual a 4
e) maior ou igual a 4
07) (UFRGS) - Se
a) w2 + z2 = 0.
b) w + z = 0.
c) w2 - z2 = 0
d) w - z = 0.
e) w4 + z4 = 0.
w = cos 30o + i sen 30o e z = cos 120o + i sen 120o, então
08) Qual o resultado de i126 ?
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123
Gênio da Matemática – Régis Cortes
3 + i e fazer sua representação
09) Determinar o módulo e o argumento do complexo z =
geométrica.
10) Passar para a forma trigonométrica o número complexo z = 1 +
3
i
11) Passar para a forma algébrica o número complexo z = 2 (cos /6 + i . sen /6).
12) (UFRGS) O ângulo formado pelas representações geométrica dos números complexos
z
3 i e z4 é
a)
b)
c)
d)
6
4
3
2
.
.
.
.
e) .
Respostas : 01) 3 02) -3 , 3 03) z = 4 - 5i 04) z = 2 + 4i 05) 1 - 2i 06)e
07) a 08) -1 09) módulo = 2 , argumento = = /6 y
/6
y
3
x
3
10) z = 2 (cos /3+isen /3)
Testes de Vestibular
01) (UFRGS) O número complexo
o mesmo que:
a) –5
b) –5i
c) 5i
d) 5 i
e) –5
i
1
25 é
x
11) z = 3 + i
12)d
02. (UFRGS) O valor de i26 é
a) –i
b) i
c) –1
d) 1
e) 0
03. (PUCRS) As partes real e imaginaria do
complexo a + bi são, respectivamente,
a) a e bi
b) a e b
c) a e i
124
Gênio da Matemática – Régis Cortes
d) b e a
e) a e –bi
04. (UFRGS) Sendo a e b reais, o número
z = (a+bi) . (1 + i) não é real se e somente
se
a) a -b
b) a b
c) b 0
d) a = -b
e) a = b
05. (PUCRS) O produto (x – 3i) . (3 + xi),
em que i é a unidade imaginaria, é um
número real, se x é igual a:
a) 2
b) 3
c) 0
d) 2
e) 3
06. (PUCRS) Tem-se (a + bi) . (2 + i) = 1+ 3i
se e somente se
a) a = 2 e b = -2
b) a = 1 e b = 3
c) a =1 e b = -1
d) a = -1 e b = 1
e) a = 1 e b = 1
07. (UFRGS) O produto de 2 + bi pelo seu
conjugado é 13, com b
R. Os possíveis
valores de b são:
a) 0
b) 2
c) 3
3
d)
e) 13
i
08. (UFRGS) O quociente
é igual a:
i 1
a) i
b) –i
1 1
i
c)
2 2
1 1
i
d)
2 2
1 1
i
e)
2 2
09. (PUCRS) Se u e v são reais que
satisfazem a igualdade 5i – 3 (u –vi) + 2i
(u+vi) = 0, onde i é a unidade imaginaria,
então u + v é igual a:
a) –6
b) –5
c) –1
d) 1
e) 5
10. (PUCRS) Se z = 3 –4i
a) 9 + 16i
b) 9 – 16i
c) –7 + 24i
d) –7 –24i
e) 7 – 24i
C, então, Z² é
11. (PUCRS) Se (2 + 2i) . (a + bi) = -2 + 18i,
então |a-b| é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 16
12. (PUCRS) Se (a + bi) . (1 + i) = 10, então
a + b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 10
13. (PUCRS) O inverso de (2 + i ) é:
2 i
a)
4
2 i
b)
5
c) 2 – i
2 i
d)
4
2 i
e)
5
14. (UFRGS) Se Z = a + ai, com a
então Z4 vale:
a) 2a4
b) 4a4
c) 8a4
d) –4a4
e) a4 + a4i
R,
125
Gênio da Matemática – Régis Cortes
15. (UFRGS) A potência [(1+i)²+(1-i)²]205 é
igual a:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
16. (UFRGS) A soma da parte real com o
i
coeficiente da parte imaginaria de
i
1
1 i
é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
17. (PUCRS) Se a + bi = 3 4i e a,b > 0,
então os valores de a e b são,
respectivamente:
a) 2 e 1
b) 1 e 1
c) 2 e 3
d) 3 e 2
e) 1 e 2
x
x
18. (UFRGS) Se x = 2 i, então
é:
1 x 3
a) –2
2 2 2
i
b)
3
3
c) 2 + 2i
d) 2 + 2 2 i
e) 2 - 2 2 i
19. (PUCRS) As raízes da equação
x² - 2x + 2 = 0 são:
a) 2 2i
b) 1 2i
c) 2 i
d) 1 i
e) –2 2i
20.(UFRGS) O inverso multiplicativo do
número complexo 1+ 2i é:
a) 1 – 2i
b) 2 – i
2 i
c)
5 5
1 2i
d)
5 5
1 2i
e)
5 5
21. (UFRGS) O quociente de –4
por
3 + 2i
3 + i é:
5 3i 3
2
2
b) –2
c) –10 + 6i 3
a)
3i 3
2
i
e) –3 2
d)
3
22. (UFPEL) O valor da expressão
(2 i) 101.(2 i) 50
é:
( 2 i) 100.(i 2) 49
a) 5
b) 5i
c) 5
d) –5i
e) –5
23. (PUCRS) O produto do número
complexo 2 – 3i pelo seu conjugado é:
a) 13
b) 1
c) –5
d) –13i
e) –5 – 12i
24. (PUCRS) A equação Z² = 5Zi, onde Z
C, tem por solução:
a) {5i}
b) {0,5i}
c) {0,-5i}
d) {-5, 5i}
e) {-5,5}
25. (PUCRS) Para que o numero complexo
–1 + bi seja raiz da equação x² + 2x +q = 0,
o valor de q deve ser:
a) 1 + 4b – b²
b) 1 + 4b + b²
c) 1 + b²
d) 1 – b²
e) –1 – b²
26. (UCS) O conjunto solução da equação
Z² - 2Z+5=0 é:
a) {-1 +2i, -1 – 2i}
b) {1 + 2i, 1 – 2i}
126
Gênio da Matemática – Régis Cortes
c) {-2 + 5i, -2 – 5i}
d) {2i, - 2i}
e) {1 + I, 1 – 1}
27. (UCS) O valor de m, para que 1 – 3i
seja raiz da equação x² - 2x + m = 0, é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
28. (UCS) O conjugado de (1 + i) . (1 – i) é:
a) –2
b) 2 + i
c) 2
d) 2 –i
1 i
e)
1 1
29. (UCS) Efetuando
3i( 1 i) 2
, obtemos:
( 1 i) 2
a) i
b) –3i
c) 3i
d) –i
e) 3
30. (UFRGS) As raízes da equação
x² - 4x + 13 = 0 são:
a) –1 e 5
b) 2 3i
c) inexistentes
d) múltiplas
e) irracionais
3 i
3 i
31. (PUCRS) A expressão
é
3 i
3 i
igual a:
a) 0
b) 1
c) i
d) 3
e)
3i
32. (UCS) O conjugado do complexo
3 i
Z=
é:
2 i
a) 1 + i
b) 2 + i
c) 1 – i
3 i
d)
2 i
3 i
e)
2 i
33. (UCS) O valor de (1 - i)68 é:
a) –234
b) -268
c) 234
d) 268
e) 2i34
34. (UCS) Efetuando 3i (4 – i)², obtém-se:
a) –24 + 45i
b) –24 – 51i
c) 24 + 45i
d) 24 + 51i
e) 69i
35. (UCS) A potencia i4n + 3, n
a:
a) 1
b) –1
c) i
d) –i
e) 3
Z, é igual
36. (UCS) Para que (2a + 3i) . (2 – i) seja
um imaginário puro, o valor de a deve ser:
a) zero
b) 4/3
c) 3
d) 3/4
e) -3/4
37. (UCS) Calculando i18- i15 + i27 + i40,
obtém-se:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
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127
Gênio da Matemática – Régis Cortes
38. (PUCRS) A expressão (1 – i)² é igual a:
a) zero
b) –2i
c) 2i
d) 2 + 2i
e) 2 – 2i
39. (UFRGS) O valor de (1 + i)4 é:
a) –2
b) –4
c) i
d) 2i
e) 4i
40. (PUCRS) A expressão (2 – 3i) . (x + 2i)
é um numero real, se o valor de x é:
4
a)
3
1
b)
3
4
c)
3
d) –2
e) 3
2 3i
41. (PUCRS) O conjugado de
é:
2i
a) 6 – i
3
i
b)
2
3
i
c) 2
3
i
d)
2
e) –6 + i
42. (PUCRS) Desenvolvendo e reduzindo
os termos semelhantes do complexo (2 – i)5
obtém-se:
a) 19 – 4i
b) –38 – 4i
c) 38 + 4i
d) –9 + 4i
e) uma expressão diferente das anteriores
43. (PUCRS) Na equação x²+bx+c=0, b e c
são reais. Se o número 1 – 4i é raiz desta
equação, podemos afirmar que:
a) –1 + 4i também é raiz
b) b e c são números irracionais
c) b = 2 e c = 17
d) b = -2 e c = 17
e) b e c são iguais.
44. (UFRGS) A raiz x da equação
a² x – b = 0, para a = 1 + i e
b = 2 – i., é:
a) –0,5 – i
b) –0,5 + i
c) 0,5 – i
d) 0,5 + i
e) –1 –2i
45. (UFRGS) O valor de ( 3 + i)6 é:
a) 64 – 64i
b) –64i
c) 64i
d) –64
e) 64
46. (PUCRS) Para que (a + 3) + (3b –a)i
seja igual ao conjugado de 2a - 3i, o valor
de a + b é
a) –2
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
47.(PUCRS) Se (x + yi).(2 – i) =20, então x
+ y é igual a
a) 8
b) 10
c) 12
d) 18
e) 20
2
48) (IMEC) i i é igual a
a) –1
b) 1
c) i
d) –i
e) n.d.a
128
Gênio da Matemática – Régis Cortes
GABARITO:
0
x
d
d
b
a
0
1
2
3
4
1
c
a
a
e
b
2
c
a
e
c
e
3
a
e
a
a
d
4
a
d
b
c
a
5
b
c
c
d
d
6
e
c
b
e
e
7
c
a
e
e
c
8
c
b
c
b
d
9
c
d
b
b
x
COORDENADAS POLARES
COORDENADAS POLARES DE UM PONTO
P(R,θ)
r
θ
distância da origem ao ponto p
Ângulo formado por R com o sentido positivo do eixo das abscissas
Transformação de Coordenadas Polares em Coordenadas Cartesianas
HIPOTENUSA
R
No triângulo retângulo da figura temos: CATETO ADJACENTE
X
CATETO OPOSTO
Y
cos = X
R
X = R . cos
P ( R,
)
sen = Y
R
Y= R . sen
P ( R.cos , R.sen )
129
Gênio da Matemática – Régis Cortes
EXEMPLOS:
Obtenha as coordenadas cartesianas dos pontos a seguir, representados por suas
coordenadas polares.
1) A (2, 60o)
2) C (6, 11 rad)
6
TESTES
1) (ITA)O ponto P(4, 3 /4 rad) está representado por suas coordenadas polares, as
coordenadas cartesianas desse ponto são:
a) (2, 2 2 )
b) (-2, 2 2 )
c) ( -2 2 , 2 2 )
d) ( -2 2 , 2)
e) ( -4 2 , 4 2 )
2) A distância entre os pontos A e B cujas coordenadas polares são A(6,
) e B(12, 2 ), é:
3
3
a) 18 2
b) 3
c) 6
d) 6 3
e) 18
7
3) ( FUVEST ) - A área do triângulo cujas coordenadas polares dos vértices são P1 (4, /4),
P2 (2, ) e P3 (6, 7 /4) é:
a) 5 2
b) 17 2
c) 5 2 + 24
d) 5 2 + 12
e) 10 2 + 12
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130
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mais para você realmente entender, aprender e dominar os
conceitos essenciais para você gabaritar qualquer prova de
Matemática que encontrar pela frente em qualquer Vestibular
ou ENEM que for prestar?
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