Óptica Geométrica

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Óptica Geométrica
Dr. Edalmy Oliveira de Almeida
Sumário
1. Tipos de Imagens;
2. Espelhos Planos;
3. Associação de Espelhos Planos;
4. Espelhos Esféricos,
Óptica Geométrica
Óptica geométrica: É um ramo da óptica que é baseado principalmente na noção de
um feixe de luz . Esta abordagem simples permite a construção das imagens geométricas que
dão o seu nome.
Feixe de luz: é apenas um conjunto de raios luminosos.
Formação de imagens
Imagem: É a representação gráfica ou fotográfica de pessoa
ou de objeto; representação mental de um objeto, impressão,
etc.
Real: É obtida mediante o encontro dos próprios raios luminosos refletidos.
Virtual: Quando ela é formada pelo processo de prolongamento dos raios luminosos
refletidos.
Espelhos Planos
O
p
b
θ
i
θ
Espelho é uma superfície que reflete
um raio luminoso em uma direção definida em
vez de absorvê-la ou espalhá-lo em todas as
direções.
θ
θ a
OB É a distancia do espelho ao objeto.
Espelho
Ib  Ob
I
IB É a distancia da imagem ao espelho.
Os triângulos aOba e aIba têm um
Eq. 01
lado comum e três ângulos iguais e são portanto,
congruentes de modo que os lados horizontais
têm o mesmo comprimento.
Espelhos Planos
O
p
θ
b
θ
θ a
Espelho
i
θ
I
Por convenção, as distancias dos
objetos (p) são sempre consideradas positivas e
as distancias das imagens (i) são consideradas
positivas para imagens reais e negativas para
imagens virtuais. A Eq 01 pode ser escrita na
forma |i| = p ou
i  p
Eq. 02
Espelhos Planos
Apenas uma pequena parte do
espelho nas vizinhaças do ponto a (uma
parte menor que a pupila do olho) contribui
para a imagem.
raios
Fazemos o mesmo para os
que
partem
da
extremidade
inferior do objeto (no caso uma seta).
Associação de espelhos planos
N
Periscópio
360

0
1
Eq. 03
Se 3600 /α for par, a equação vale qualquer que seja a posição de p
entre os espelhos.
Se 3600 /α for ímpa, a equação vale para o objeto posicionado no
plano bissetor do ângulo α
Exemplo 1
Numa sala quadrangular, duas paredes formam um ângulo de 900 e estão espelhadas.
Nesse canto da sala, estão sentados numa mesa três rapazes e uma moça. Uma pessoa,
entrando nessa sala e olhando esse canto, verá, no total: a) quantas mulheres? b) quantos
homens?
a) Uma moça (objeto)
N
3600

1
3600
N
1
0
90
N  4 1
b)
1a rapaz x 3 imagens = 3 imagens
2ª rapaz x 3 imagens = 3 imagens
3ª rapaz x 3 imagens = 3 imagens
Total de = 9 imagens
N  3 imagens
3 imagens + 1 objeto = 4 mulheres
9 imagens + 3 objetos = 12 homens
Exemplo 2
Kareem Abdul-Jabbar tem 218 cm de altura. Que altura deve ter um espelho vertical,
para que ele possa se ver, por inteiro, nele?
(h) ponta da cabeça
(e) ponto dos olhos
(f) ponta dos pés
ab 
1
he
2
e
bc 
H  ab  bc
1
1
he  ef
2
2
1
H  he  ef 
2
H
1
ef
2
1
218cm 
2
H  109cm
H
Espelhos Esféricos
Espelho plano
Espelho côncavo
Espelho convexo
1. O centro de curvatura C faz parte da superfície do espelho e está na frente do espelho.
2. O campo de visão diminui com relação ao espelho plano.
3. Distância da imagem aumenta com relação ao espelho plano.
4. O tamanho da imagem aumenta com relação ao espelho plano.
Espelhos Esféricos
Espelho plano
Espelho côncavo
1. O centro de curvatura C está atrás do espelho.
2. O campo de visão aumenta com relação ao espelho plano.
3. Distância da imagem diminui com relação ao espelho plano.
4. O tamanho da imagem diminui com relação ao espelho plano.
Espelho convexo
Os Pontos Focais dos Espelhos
Esféricos
Espelho côncavo
Espelho convexo
O ponto F recebe o nome de ponto focal (ou foco) do espelho: a distância entre F e o
centro c do espelho é chamada de distância focal do espelho, é representada pela letra f.
Os Pontos Focais dos Espelhos
Esféricos
Côncavo
 Ponto focal real.
 Distância focal positiva.
1
f  r
2
Convexo
 Ponto focal virtual.
 Distância focal negativa.
Para manter a coerência com os sinais da distância focal, o raio r é considerado
positivo no caso de um espelho convexo.
Exemplo 3
A distância focal de um espelho esférico vale 20 cm. Qual é o seu raio de curvatura?
Como f = 20 cm
Sabemos que f = r/2 temos:
r
f 
2
r2f
r  2.20cm
r  40cm
Imagens Produzidas por Espelhos
Esféricos
As imagens reais se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto.
Enquanto as imagens virtuais se formam do lado oposto.
1 1 1
 
p i f
Eq. 04
Imagens Produzidas por Espelhos
Esféricos
Seja h a altura de um objeto e h` a altura da imagem correspondente. Neste caso a
razão h`/h é chamada de ampliação lateral de espelho é representada pela letra m
i
m
p
Eq. 05
Como localizar imagens Produzidas
por Espelhos Desenhando Raios
A imagem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos.
Exemplo 4
Um espelho convexo tem um raio de curvatura de 22 cm.
a) Se um objeto for colocado a 14 cm do espelho, onde estará sua imagem?
b) Qual é a ampliação lateral, neste caso?
a)
1 1
 
p i
1
f  r
2
1 1
 
p i
1
f
1
r
2
1 1 2
 
p i r
1
1
2
 
 14cm i  22cm
i  6,2cm
b)
i
p
 6,2cm
m
 14cm
m  0,44
m
Método gráfico para espelhos:
Podemos determinar as propriedades da imagem formada por um espelho usando um
método gráfico simples. Esse método consiste em encontrar o ponto de interseção de alguns
raios particulares que divergem de um ponto do objeto e que são refletidos pelo espelho.
Desprezando as aberrações, verificamos que todos os raios provenientes desse ponto do objeto e
que se refletem no espelho se interceptam no mesmo ponto. Sempre escolhemos um ponto do
objeto que não esteja situado sobre o eixo ótico. Os quatro raios geralmente desenhados com
mais facilidade são chamados de raios principais.
1. Um raio paralelo ao eixo, depois da reflexão, passa pelo foco F de um espelho côncavo ou
parece vir do foco (virtual) de um espelho convexo.
2. Um raio que passa pelo foco (ou que provem do foco) e refletido paralelamente ao eixo ótico.
3. Um raio passando pelo centro de curvatura C (ou cujo prolongamento atinge o centro de
curvatura) intercepta a superfície perpendicularmente e é refletido de volta em sua direção
inicial.
4. Um raio que passa pelo vértice V e refletido formando ângulos iguais com o eixo ótico.
Lentes delgadas:
Uma lente e um sistema ótico com duas superfícies refratoras. A lente mais simples
possui duas superfícies esféricas suficientemente próximas para desprezarmos a distância entre
elas (a espessura da lente). Chamamos esse dispositivo de lente delgada.
Uma lente como a mostrada na figura seguinte apresenta a propriedade de que todo
feixe paralelo ao eixo da lente que passa para o outro lado da lente converge para um ponto F2 e
forma uma imagem real nesse ponto. Tal lente e chamada de lente convergente.
Analogamente, os ponto que emanam do ponto F1 emergem da lente formando um
feixe paralelo. O ponto F1 e chamado de primeiro foco, o ponto F2 e o segundo foco e a
distância f (medida a partir do centro da lente) e chamada de distância focal. De modo análogo
ao espelho côncavo, a distância focal de uma lente convergente e definida como uma grandeza
positiva, e esse tipo de lente é também conhecida como lente positiva. Os centros de curvatura
das duas superfícies esféricas definem o eixo ótico. As duas distâncias focais f, possuem
sempre o mesmo valor para uma lente delgada, mesmo quando as curvaturas das superfícies
são diferentes.
Como no caso de um espalho côncavo, uma lente convergente pode formar uma
imagem de um objeto extenso. Na figura seguinte, o raio QA, paralelo ao eixo ótico antes da
refração, passa através do segundo foco F2. O raio QOQ' passa através do centro da lente sem
sofrer nenhum desvio porque as duas superfícies estão muito próximas e são praticamente
paralelas. Existe refração quando esse raio entra no material e quando sai dele, porem não existe
variação apreciável da sua direção.
Os dois ângulos α são iguais, portanto, os dois triângulos retângulos PQO e P'Q'O
são semelhantes e as razoes entre os lados correspondentes são iguais. Logo,
Também os ângulos β são iguais e os dois triângulos retângulos OAF2 e P'Q'F2 são
semelhantes. Assim,
Igualando as duas equações anteriores, dividindo por s' e reagrupando, obtemos a
relação objeto imagem para uma lente delgada
Essa analise também fornece a ampliação transversal m = y'/y para a lente
O sinal negativo mostra que, quando s e s' são ambos positivos, a imagem e invertida e
y e y‘ possuem sinais opostos.
As mesmas regras de sinais usadas para espelhos esféricos também são validas para
lentes delgadas. Em particular, considere uma lente com uma distancia focal positiva (lente
convergente). Quando um objeto esta além do primeiro foco F1 dessa lente (ou seja s > f), a
distancia da imagem s‘ e positiva; essa imagem e real e invertida. Um objeto colocado entre o
vértice e o primeiro foco de uma lente convergente (s < f), produz uma imagem com valor de s'
negativo; essa imagem e virtual, direita e maior do que o objeto.
A figura seguinte mostra uma lente divergente; um feixe de raios paralelos que incide
sobre a lente diverge depois da refração. A distancia focal de uma lente divergente e uma
grandeza negativa, e a lente também e chamada de lente negativa. Os focos de uma lente
divergente estão em posições invertidas em relação aos focos de uma lente convergente. O
segundo foco F2, de uma lente divergente e o ponto a partir do qual os raios que estavam
originalmente paralelos ao eixo parecem divergir depois da refração. O raios incidentes que
convergem para o primeiro foco, emergem da lente formando um feixe paralelo a seu eixo.
As equações da relação objeto-imagem e da ampliação transversal podem ser
aplicadas para qualquer tipo de lente, tanto no caso de lentes positivos quanto no caso de lentes
negativas. Qualquer lente mais espessa no centro do que nas bordas e uma lente convergente
com valor de f positivo; e qualquer lente mais fina no centro do que nas bordas e uma lente
divergente com valor de f negativo (desde que essas lentes estejam imersas em um material com
índice de refração menor que o índice de refração do material da lente). Essa afirmação pode ser
provada usando a equação do fabricante de lentes.
A equação do fabricante de lentes fornece uma relação entre a distancia focal f, o
índice de refração n do material da lente e os raios de curvatura R1 e R2 das superfícies da lente.
Para deduzir essa equação, usamos o principio de que a imagem formada por uma superfície
refletora ou refratora pode servir de objeto para outra superfície refletora ou refratora.
Para cada superfície refratora, podemos utilizar a relação objeto-imagem e obtemos as duas
seguintes relações:
Como em geral o primeiro e o terceiro material são o ar ou o vácuo, temos na = nc = 1.
O segundo índice de refração nb e o da lente que designamos por n. Substituindo esses valores e
a relação s2 = -s'1, obtemos
Método gráfico para lentes:
Podemos determinar a posição e o tamanho da imagem formada por uma lente delgada
mediante um método gráfico semelhante ao usado para espelhos esféricos. A interseção dos raios
principais, depois de eles terem passado através da lente, determina aposição e o tamanho da
imagem. Usamos a hipótese de que a distancia entre as superfícies da lente e desprezível. Os três
raios principais são:
1. Um raio paralelo ao eixo emerge da lente passando pelo segundo foco F2 de uma lente
convergente ou parece vir do segundo foco de uma lente divergente.
2. Um raio que passa pelo centro da lente não sofre nenhum desvio apreciável.
3. Um raio que passa pelo primeiro foco F1 (ou cujo prolongamento o atinge) emerge
paralelamente ao eixo ótico.
Lista de Exercícios (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12)
1. Uma vela com 4,85 cm de altura está a uma distância de 39,2 cm do lado esquerdo de um
espelho plano. Onde a imagem se forma e qual é sua altura?
2. A imagem de uma árvore cabe precisamente em um espelho plano com 4,0 cm de altura
quando o espelho é mantido a uma distância de 35,0 cm do olho. A árvore está a uma distância
de 28,0 m do espelho. Qual é a altura da árvore?
3. Um objeto com altura de 0,60 cm é colocado a uma distância de 16,5 cm do lado esquerdo de
um espelho côncavo que possui raio de curvatura igual a 22,0 cm. (a) Faça um diagrama dos
raios principais mostrando a formação da imagem. (b) Determine a posição, o tamanho e a
natureza (real ou virtual) da imagem. (c) Repita supondo o caso de um espelho convexo.
4. O diâmetro de Marte é de 6794 km e sua distância mínima até a Terra é de 5,58,107 km.
Quando Marte está a essa distância da Terra, qual o diâmetro da imagem de Marte formada por
um telescópio com um espelho esférico côncavo cuja distância focal é igual a 1,75 m?
5. Uma moeda é colocada junto ao lado convexo de uma concha de vidro delgada e esférica
com um raio de curvatura de 18,0 cm. Uma imagem da moeda de 1,5 cm de altura é formada
6,0 cm atrás da concha de vidro. Onde a moeda está localizada? Determine o tamanho,
orientação e natureza (real ou virtual) da imagem.
6. Uma dentista usa um espelho curvo para ver os dentes da parte superior da boca. Suponha que
ela queira uma imagem direita com uma ampliação de 2,0 quando o espelho está a 1,25 cm de
um dente. (Considere, neste problema, que o objeto e a imagem estão dispostos ao longo de uma
linha reta). (a) Que tipo de espelho (côncavo ou convexo) é necessário? Use um diagrama de
raios para decidir, sem fazer nenhum cálculo. (b) Qual deve ser a distância focal e o raio de
curvatura desse espelho? (c) Faça um diagrama dos raios principais para verificar sua resposta na
parte (b).
7. Um espelho de barbear côncavo possui raio de curvatura igual a 32,0 cm. (a) Qual é a
ampliação da face de uma pessoa que está a 12,0 cm à esquerda do vértice do espelho? b) Onde
se forma a imagem? Ela é real ou virtual? (c) Faça um diagrama dos raios principais mostrando a
formação da imagem.
8. Um grão de poeira está imerso em uma camada de gelo a uma distância de 3,50 cm abaixo da
superfície do gelo (n = 1,309). Qual é a profundidade aparente do grão quando observado
normalmente de cima para baixo?
9. Um pequeno peixe tropical está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28,0 cm e
cheio de água. Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador
na parte externa do aquário. Despreze os efeitos da parede fina do aquário esférico.
10. A extremidade esquerda de um longo bastão de vidro com diâmetro de 6,0 cm é uma
superfície hemisférica convexa com raio de 3,0 cm. O índice de refração do vidro é igual a 1,60.
Determine a posição da imagem quando um objeto é colocado no ar ao longo do eixo do bastão
para as seguintes distâncias à esquerda do vértice da extremidade curva: (a) distância infinita; (b)
12,0 cm; (c) 2,0 cm.
11. O bastão mencionado no exercício anterior é imerso em óleo (n = 1,45). Um objeto colocado
à esquerda do bastão sobre o eixo do bastão forma uma imagem a 1,20 m no interior do bastão.
A que distância da extremidade esquerda do bastão o objeto deve ser colocado para formar a
imagem?
12. A extremidade esquerda de um longo bastão de vidro com diâmetro de 8,0 cm e índice de
refração igual a 1,60 é uma superfície hemisférica côncava com raio igual a 4,0 cm. Um objeto
em forma de seta com uma altura de 1,50 mm é colocado ortogonalmente ao eixo do bastão a
uma distância de 24,0 cm à esquerda do vértice da superfície côncava. Determine a posição e a
altura da imagem da seta formada pelos raios paraxiais que incidem sobre a superfície côncava.
A imagem é direita ou invertida?
Análise
Observe a figura dos dois espelhos perpendiculares entre si.
Quando o observador levanta a mão direita, a Imagem 1, devida
à reflexão no Espelho 1, levanta a mão esquerda. O mesmo
ocorre com a Imagem 2. Ambas são imagens de reflexões
simples. Já a Imagem 3, formada pela dupla reflexão nos
espelhos 1 e 2, é mais interessante. Quando o observador levanta
a mão direita, a Imagem 3 também levanta a mão direita! Essa
imagem, portanto, corresponde à forma como outra pessoa vê o
observador. Se esse observador for você, essa imagem
corresponde ao modo como você é visto por outras pessoas.
A imagem formada por uma reflexão é "enantiomorfa" ao objeto
refletido. Para saber mais sobre esse assunto, veja nossa seção
sobre SIMETRIA (faça uma busca em nossa páginas). A imagem
formada por duas reflexões é enantiomorfa da primeira, logo,
volta a reproduzir fielmente o objeto.
O número de imagens nos 3 espelhos que formam um triângulo
equilátero é muito grande. É bem divertido a gente se ver de
muitas posições, ao mesmo tempo.
É bom arranjar uma forma de mover o caleidoscópio com alguma
facilidade para que ele aponte em direções variadas. Por
exemplo, ele pode ser posto sobre uma mesa giratória.