10 ROTACAO impre - Páginas Pessoais

Rotação
Deslocamento, velocidade e aceleração
angular
s  r
s

r
O comprimento de uma circunferência é 2πr que corresponde
um ângulo de 2 π rad (uma revolução)
 (rad ) 

180
 (deg ou graus)
Exemplo 60 
0

3
rad
Porque
há
a
diferença na posição
da largada, nesta
pista circular?
Velocidade angular
• A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é
chamado de velocidade angular
méd
 f  i



t f  ti
t
• A velocidade angular
instantâneaa é análoga a
velocidade linear
 d
  lim

t 0 t
dt
• Unidades: rad/s, rev/min ou RPM e ciclos/s
Exemplo 1
1.Um disco de cd está girando a 3000rev/min.
Qual é a velocidade em radianos por
segundo? (resp. 314rad/s)
Aceleração Angular
• A taxa de variação da velocidade com o tempo é chamada
de aceleração angular média
 méd


t
Aceleração instantânea
 d d 
  lim

 2
t 0 t
dt
dt
2
unidade: rad/s2
Movimento Rotacional com aceleração
Angular Constante
  0  t
Velocidade angular com aceleração constante
1 2
   0  0t  t
2
 2  02  2
Posição Angular para qualquer tempo
Equação de Torricelli para o movimento circular
Rastros da luz de uma roda gigante, em uma foto
de tempo de exposição longo.
Exemplo 2:
2. Um CD gira, a partir do repouso, até 500rev/min em 5,5s. (a) Qual
é a aceleração angular, considerando que seja constante? (b) Quantas
revoluções o disco realiza em 5,5s? (c) Qual é a distância percorrida
por um ponto posicionado a 6cm, medido a partir do centro do disco,
durante os 5,5s em que o disco gira até alcançar as 500rev/min?
Exemplo 3:
3. Um disco está girando em torno de seu eixo central como um
carrossel. A posição angular é dada por:
  10  6t  25t ,
2
com t em segundos, determine a velocidade angular e a
aceleração angular para t=2s.
Movimento Linear
v  v0  at
Movimento Rotacional
  0  t
1 2
x  x0  v0t  at
2
1 2
   0  0t  t
2
v  v  2ax
    2
2
2
0
2
2
0
Relação entre as equações lineares e angulares
s  r
ds
d
v
r
 r
dt
dt
v  .r
dv
d
at 
r
 r
dt
dt
at   .r
Relação entre as equações lineares e angulares
2
v
2
ac 
 r
r
A aceleração resultante é
a a a
2
2
c
2
t
Exemplo 4:
4. Um ponto na extremidade de um CD dista 6,0cm do seu eixo de
rotação. Encontre a velocidade tangencial , a aceleração tangencial e
a aceleração centrípeta desse ponto, quando o disco está girando com
uma velocidade angular constante de 300rev/min.
Exemplo 5:
5. Você está operando um Rotor, percebe que o ocupante está ficando
tonto e reduz a velocidade angular do cilindro de 3,4rad/s para
2,00rad/s em 20rev, com aceleração angular constante.
a) Qual a aceleração angular constante durante essa redução da
velocidade angular?
b) Em quanto tempo ocorre a redução da velocidade?
    2
2
2
0
  0  t
Energia Cinética Rotacional
A energia cinética de um corpo rígido que está girando em
torno de um eixo é a soma da energia cinética de cada uma
das partículas que coletivamente constituem o corpo. A
energia cinética da i-ésima partícula, com massa mi
1
2
Eci  mi vi
2
Somando todas as partículas e
usando vi  ri  , tem-se:
1

1
 1
Ec    mi vi2    mi ri 2 2    mi ri 2   2
2 i
2
 2 i



Momento de Inércia
O somatório do termo da direita é definido como
momento de inércia I do corpo rígido em torno do eixo
de rotação:
I   mi ri
2
Momento de Inércia
i
A energia cinética será então:
1 2
Ec  I 
2
Energia cinética de um objeto em rotação.
Exemplo 6
6. Um objeto é constituído de quatro
partículas de massa m=2kg que estão
conectadas por barras de massa
desprezível, formando um retângulo de
lado 2a e 2b. O sistema gira com
velocidade angular w=2rad/s, em torno
de um eixo no plano que passa pelo
centro, como mostrado, considere que
a=1m (a) Encontre a energia cinética
desse objeto usando as equações
I   mi ri 2
i
1 2
Ec  I 
2
Exemplo 7
7. Encontre o momento de inércia para o mesmo sistema
do exemplo anterior, considerando o eixo de rotação
paralelo ao primeiro, passando através de duas das
partículas(m1 e m3).
Cálculo do Momento de Inércia
• O momento de inércia em torno de um eixo é uma
medida de resistência inercial de um objeto para
sofrer movimento rotacional em torno desse
mesmo eixo.
Sistemas Discretos de Partículas - Aplica-se a equação
I   mi ri 2
i
Corpos Contínuos – considera-se o corpo composto de uma infinidade de
elementos de massa muito pequena e a soma finita da equação anterior,
transforma-se na integral:
I 
r
2
dm
Onde r é a distância radial medida do eixo
de rotação até o elemento de massa dm
Exemplo 8:
8. Encontre o momento de inércia de uma barra uniforme de
comprimento L e massa M em torno de um eixo
perpendicular à barra passando pelo seu centro de massa,
como mostra a figura.
Teorema dos Eixos Paralelos
Relaciona o momento de inércia em torno de um eixo
que passa através do centro de massa de um corpo com
o momento de inércia em torno de um eixo paralelo ao
primeiro.
I  I cm  Mh
2
Exemplo 9:
9. Encontre o momento de inércia de uma barra
uniforme de comprimento L e massa M em torno
de um eixo perpendicular à barra e posicionado
em sua extremidade usando o teorema dos eixos
paralelos. Considere que a barra tem espessura
desprezível.
I  I cm  Mh
2
Torque
O torque é o produto da
força pelo braço de
alavanca atuando no
corpo provocando o giro.
  Ft r  Frsen  F .d
Torque
A força F1 tende a girar o
corpo no sentido antihorário enquanto a força
F2 tende a girar o corpo no
sentido horário.
  
1
  2  F1.d1  F2 .d2
Segunda Lei de Newton para a Rotação
A direção da força aplicada num disco é importante para fazêlo girar:
Ft  mat
como at  r temos Ft  mr
multiplicando os dois lados por r, temos:
rFt  mr 2
 res,ext   ext  I
Exemplo 10:
10. Com a intenção de fazer algum exercício sem sair de casa, uma
pessoa fixou uma bicicleta em uma base, de forma que a roda traseira
pudesse girar livremente. Quando a bicicleta é pedalada, ela aplica
uma força pela corrente de 18N para a catraca a uma distância r=7cm,
fora do eixo da roda. Considere que a roda é um arco (I=MR2) de raio
R=35cm, e massa 2,4kg. Qual será a velocidade angular da roda após
5s?
  0  t  0  t
Exemplo 11:
11.Um objeto de massa m= 1,2kg é suspenso
por uma corda leve em torno de uma
roldana de massa M=2,5kg que tem raio R
= 30cm. A sustentação da roldana é feita
sem atrito, a corda não escorrega na
superfície da peça. Encontre a tração na
corda e a aceleração do objeto em queda e
a aceleração angular do disco. (I=MR2 /2)
O rolamento como uma combinação de
translação e rotação
A figura mostra como o rolamento suave pode ser
complicado: embora o centro se mova em linha reta,um
ponto da borda certamente não.
Corpos que Rolam
Para um corpo em rotação a energia cinética
1
relativa é
2
I cm 
2
Então, a energia cinética total de um
corpo em rotação é:
2
mvcm
1
Ec 
 I cm 2
2
2
Exemplo 12:
Uma bola de boliche com raio de 11cm e massa M=7,2kg está rolando sem deslizar
sobre uma superfície horizontal de retorno a 2m/s. Ao final da pista ela rola ainda sem
atrito para cima a uma altura h, antes de parar momentaneamente e rolar de volta para
baixo. Encontre h.
Exemplo 13:
13. Uma casca uniforme, de
massa M=6,00Kg e raio R, rola
suavemente, a partir do repouso,
descendo uma rampa inclinada de
30,00.
a) A bola desce uma distancia
vertical h=1,2m para chegar a
base da rampa. Qual é a
velocidade ao chegar à base da
rampa?
b) Quais são o módulo e a
orientação da força de atrito que
age sobre a bola quando ela
desce a rampa rolando?
Exemplo 14:
14. Uma casca esférica uniforme de massa M=4,5kg, e raio
R=8,5cm, pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma
corda de massa desprezível está enrolada no equador da casca
passa por uma polia de momento de inércia I=3.10-3 Kg.m2 e raio
r=5cm, e está presa a um pequeno objeto de massa m=0,6kg. Não
há atrito no eixo da polia e a corda não escorrega na casca nem na
polia. Qual é a velocidade do objeto ao cair 82cm, após ser
liberado do repouso? Use considerações de energia.
Exemplo 15:
15. Um aro com um raio de 3m e uma massa de 140kg rola sobre um
piso horizontal de modo que o seu centro de massa possui uma
velocidade de 0,150m/s . Qual é o trabalho que deve ser feito sobre o
aro para fazê-lo parar?
Exemplo 16:
16. Uma esfera sólida de peso igual a P = 35,58N sobe rolando um plano inclinado,
cujo ângulo de inclinação é igual a θ = 300 . Na base do plano, o centro de massa
da esfera tem uma velocidade linear de v0 = 4,88m/s .
a) Qual é a energia cinética da esfera na base do plano inclinado?
b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?
c) A resposta do item b depende do peso da esfera?
Exemplo 17:
17. Uma esfera homogênea, inicialmente em repouso, rola sem deslizar, partindo da
extremidade superior do trilho mostrado a seguir, saindo pela extremidade da
direita. Se H = 60m , h = 20m e o extremo direito do trilho é horizontal, determine
a distância L horizontal do ponto A até o ponto que a esfera toca o chão.