Resistência dos Materiais cap 03

Capítulo 3:
Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas
Coeficiente de Dilatação Térmica
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Tensões em Vasos de
Pressão de Paredes Finas
• Vasos de pressão cilíndricos.
• Vasos de pressão esféricos.
Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas
• As paredes finas deste tipo de construção de vasos
de pressão oferecem pequena resistência à flexão,
de modo que podemos considerar que os esforços
internos que atuam são tangenciais à superfície do
vaso.
Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas: Vasos Cilíndricos
• Consideremos um vaso cilíndrico de raio interno r e
parede de espessura t contendo um fluido sob
pressão.
• Seja um pequeno elemento de parede, de lados
relativamente paralelos e perpendiculares ao eixo do
cilindro:
• As tensões normais s1 e s2 são as tensões principais.
• A tensão s1 é chamada de tensão tangencial,
enquanto a tensão s2 é chamada de tensão
longitudinal.
Tensão tangencial
Tensão longitudinal
Tensão tangencial
• Seja uma porção da parede do vaso:
S
s1.t.Dx
p.(2r.Dx)
s1.t.Dx
S
Tensão longitudinal
• Seja uma porção da parede do vaso:
S
s2.(2p.r.t)
p.(p. r2)
Atenção: esta é uma
aproximação válida
somente porque t << r
S
Atenção: verifica-se que a
tensão tangencial s1 é o dobro
da tensão longitudinal s2.
Tensão de Cisalhamento
Através da aplicação do círculo
de Mohr (ainda não
ministrado, por isto não será
apresentado o
desenvolvimento aqui),
verifica-se que a tensão
cisalhamento máxima tmax tem
igual valor à tensão
longitudinal s2 :
Tensões em Vasos de Pressão de
Paredes Finas: Vasos Esféricos
• Consideremos agora um vaso esférico de raio interno
r e parede de espessura t contendo um fluido sob
pressão.
• Por razões de simetria, as tensões exercidas nas 4
faces de um pequeno elemento da superfície da
parede devem ser iguais:
• Para determinarmos o valor da tensão, passamos
uma seção pelo centro C do vaso de pressão,
considerando então o corpo livre constituído pela
porção do vaso e seu conteúdo localizados à
esquerda da seção:
• Somatório de forças em x é nulo:
Atenção: esta é uma
aproximação válida
somente porque t << r
S
Tensão de Cisalhamento
Através da aplicação do círculo
de Mohr (ainda não
ministrado, por isto não será
apresentado o
desenvolvimento aqui),
verifica-se que a tensão
cisalhamento máxima tmax tem
metade do valor da tensão
longitudinal s2 :
Exemplo 1
Seja um tanque de ar comprimido apoiado em 2 cavaletes como
ilustrado. O corpo cilíndrico do tanque foi construído em chapa
de aço de 10mm de espessura, enquanto que as calotas esféricas
das extremidades empregam chapas de 8mm de espessura.
Para uma pressão interna
de 1260kPa, determinar
(a) a tensão normal e a
tensão máxima de
cisalhamento na calota
esférica; (b) as tensões
tangencial e longitudinal
no corpo cilíndrico.
Ângulo de solda
Quando for ministrado o conceito de
círculo de Mohr, este ângulo poderá ser
usado para calcular as tensões na solda.
(a) Calota esférica:
p = 1260x 103Pa; t = 8 x 10-3m; r = 0,4m
(b) Corpo cilíndrico:
p = 1260x 103Pa; t = 10 x 10-3m; r = 0,4m
Coeficiente de Dilatação
Térmica
• Nas estruturas estudadas até este ponto,
consideramos que a temperatura permanecia
constante durante o tempo de carregamento. Agora
vamos considerar situações onde ocorrem variações
de temperatura.
• Seja uma barra AB, homogênea e de seção
transversal uniforme:
Superfície lisa
“sem atrito”
• Se aumentarmos a temperatura em DT, notamos que
a barra sofre um alongamento dT, o qual é
proporcional tanto à temperatura, como em relação
ao comprimento. Então:
a: coeficiente de
dilatação térmica
Neste caso não existem tensões
relacionadas com a deformação.
• Como DT, é expresso em unidades de temperatura, e
L e dT, em unidades de comprimento, o coeficiente
de dilatação térmica a é expresso em grau
centígrado elevado a -1 (poderia ser expresso em
qualquer outra unidade de temperatura).
•
•
•
•
L
dT
DT
a
[m]
[m]
[°C]
[°C-1] ou [1/°C]
• Vamos agora considerar que a barra AB de
comprimento L foi colocada entre 2 anteparos fixos,
não existindo tensões nesta condição inicial.
• Se elevada a temperatura DT, a barra deveria dilatarse, mas os anteparos impedem esta dilatação. Assim
sendo, passa a existir uma tensão interna
relacionada à dilatação.
P
P
Para determinar esta tensão,
determina-se a força P capaz
de deformar a barra de modo a
compensar a dilatação da
mesma, quando sob ação da
variação de temperatura:
Como a deformação anula a
dilatação, então:
Obs.: Esta equação somente é válida para barras
homogêneas, de seção transversal uniforme.
Exemplo 2
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando
a temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas
partes AC e CB da barra para a temperatura de -50°C.
Usar E = 200GPa e a = 12 x 10-6 /°C.
A=
400mm2
A = 800mm2
Obs.: como a temperatura decai
de +25°C para -50°C, a barra
sofre uma contração, e não uma
expansão.
300mm
300mm
O primeiro passo é determinar a variação de temperatura:
Dilatação dT correspondente ( L = 0,6m; a = 12 x 10-6 /°C )
A=
400mm2
A = 800mm2
O sinal negativo é indicativo
de que se trata de contração,
e não de dilatação.
300mm
300mm
Dilatação causada pela aplicação de uma força:
A=
400mm2
A = 800mm2
RB
300mm
300mm
A dilatação causada pela aplicação da força anula a contração:
A=
400mm2
A = 800mm2
RB
300mm
300mm
Encontrada a força, determina-se as tensões:
A=
400mm2
A = 800mm2
RB
300mm
300mm
Exercício 1
Um tanque esférico de gás tem
um raio interno de 1,5m. Se
está sujeito a uma pressão
interna de 300kPa, determine
a espessura requerida para
que a tensão normal máxima
não exceda 12MPa.
Resposta: 18,8 mm
Ex. 8-1 9th ed.
Exercício 2
Um tanque esférico de gás foi construído
empregando-se chapas de aço de 0,5
polegada. Se sujeito a uma pressão de
200psi, determine seu raio para que a
máxima tensão normal não exceda
15kpsi (15000 psi).
1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m
1 psi (libra por polegada quadrada) = 6894,76 Pa
Resposta: 75,5 pol. ou 1917,7 mm
Ex. 8-2 9th ed.
Exercício 3
O tanque do compressor da figura é sujeito a uma pressão
interna de 90 psi. Se o diâmetro interno do cilindro é de 22
polegadas, e a espessura da parede, 0,25 polegadas, determine
as tensões atuantes no ponto A.
Resposta: 3,96 kpsi e 1,98 kpsi ou 27,30MPa e 13,65MPa.
Ex. 8-4 9th ed.
Exercício 4
A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apoia no
cilindro BD de 30mm de diâmetro. Um parafuso de 22mm de
diâmetro passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma
porca simplesmente ajustada.
Continua...
Exercício 4
A montagem, feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma
tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é
aumentada para 50°C, enquanto o parafuso tem sua
temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas
condições as tensões no cilindro.
Barra AC: aço; E = 200GPa; a = 12 x 10-6 °C-1
Cilindro BD: latão; E = 105GPa; a = 18,8 x 10-6 °C-1
Resposta: 40,3MPa
Exercício resolvido 2.4 no livro texto 3ª. edição em português (biblioteca).
2014-T6 Alumínio
Exercício 5
12 pol.
304 aço inox
C 86100 Bronze
8 pol.
4 pol.
A montagem mostrada tem os materiais e dimensões como
indicado. O conjunto foi fixado à 50°F sem tensões internas.
Determine as tensões normais internas em cada material,
quando a temperatura subir a 110°F.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C86100, 17 x 10-6 °C-1; aço inox 304, 17
x 10-6 °C-1.
Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C86100, 103GPa; aço inox 304,
193GPa.
50°F = 10°C
110°F = 43,33°C
1 ft ou 1 pé = 0,3048 m
1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m
Resposta: 2,46 kpsi; 5,52 kpsi; 22,1 kpsi
17,0Mpa; 38,1MPa; 152,4MPa
ex. 4-69 9th ed.
Exercício 6
A barra AB de latão vermelho C83400 e a barra BC de alumínio
2014-T6 são conectadas por uma junta em B, e fixadas às
paredes. Ambas as barras tem área de seção transversal de
1,75pol2. Não há tensões quando a temperatura é de 50°F.
Determine (a) as tensões normais em cada barra quando a
temperatura subir para 120°F e (b) calcule o deslocamento da
junta B.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C83400, 18 x 10-6 °C-1.
Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C83400, 101GPa.
120°F = 48,89°C
Resposta: 9,77 kpsi; 0,611 x 10-3 polegadas
67,36Mpa; 0,0155mm
ex. 4-68 9th ed.
Fonte Bibliográfica
• Resistência dos Materiais
• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,
E. Russell; Editora Pearson
Nakron Books, 3a. Ed., 2010