PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO

TEORIA DOS JOGOS
Primeira Lista de Exercícios – 2º semestre de 2007
Professor: Antônio Marcos Hoelz Ambrózio
Monitor: Christiam Gonzáles
1ª Lista de Exercícios - Gabarito
1ª questão
Solução:
a) EN= {(D,D)}
Cooperar (C)
Desertar (D)
Cooperar (C)
(x,x)
(z,y)
Desertar (D)
(y,z)
(w,w)
Não é eficiente de Pareto,, pois C,C daria maiores ganhos para ambos.
Jogador 1
b) EN= {(D,D), (C,C)}
Cooperar (C)
(x,x)
(y,z)
Desertar (D)
(z,y)
(w,w)
Cooperar (C)
Cooperar (C)
(x,x)
Desertar (D)
(y,z)
Ambos (D,D) e (C,C) são eficientes de Pareto.
Desertar (D)
(z,y)
(w,w)
Jogador 1
Cooperar (C)
Desertar (D)
Apenas (C,C) é eficiente de Pareto.
c) EN= {(D,D), (C,C)}
Jogador 1
d) EN= {(D,C), (C,D)}
Jogador 1
Cooperar (C)
Desertar (D)
Cooperar (C)
(x,x)
(y,z)
Desertar (D)
(z,y)
(w,w)
Ambos (D,C) e (C,D) são eficientes de Pareto. Não seria possível aumentar os
ganhos de um jogador sem reduzir os ganhos do outro.
e) Vamos calcular os ganhos esperados
Para o Jogador 1 , se ele pensa que 2 jogara C com probabilidade q
VC= q.x + (1-q).z
VD= q.y + (1-q).w
Como y>x>w>z, independente do jogador 2, o jogador 1 sempre terá uma ganho
esperado maior jogando D
Para o Jogador 2 , se ele pensa que 1 jogara C com probabilidade p
UC= p.x + (1-p).z
UD= p.y + (1-p).w
Como y>x>w>z, independente do jogador 1, o jogador 2 sempre terá uma ganho
esperado maior jogando D .
Assim , a possibilidade de jogar estratégias mistas não altera os EN.
Note que no caso (a) a estratégia C é estritamente dominada para cada jogador, e
logo não pode ser jogada com probabilidade positiva em nenhum EN.
2ª questão
Solução:
a)Temos que D e B são estritamente dominadas por C. Sendo assim, podemos escrever este
jogo da seguinte forma:
Jogador 1
Jogador 2
A
S
3,6
M
1,0
T
0,2
P
-1,2
C
4,4
2,2
6,4
2,3
Agora podemos perceber que M e P são estritamente dominadas por S. Portanto,
apenas as estratégias S, T, A e C sobrevivem à Eliminação Iterada de Estratégias
Estritamente Dominadas (EIEED).
Jogador 1
Jogador 2
A
C
S
3,6
4,4
T
0,2
6,4
b) O jogo fica o seguinte:
Jogador 1
Jogador 2
A
C
S
3,6
4,4
T
0,2
6,4
É fácil perceber que (S,A) e (T,C) são os equilíbrios em estratégias puras. Para encontrar os
equilíbrios em estratégias mistas devemos encontrar as funções de reação dos jogadores.
Considere que Ps é a probabilidade do jogador 1 jogar S e Pa é a probabilidade do jogador
2 jogar A. Para o jogador 1 temos que:
E[S | Pa] = 3.Pa + 4.(1-Pa) e
E[T | Pa] = 6.(1-Pa)
Logo, a função de reação do jogador 1 será:
Ps = 1, se Pa > 2/5
Ps e (0,1), se Pa = 2/5
Ps = 0, se Pa < 2/5
Para o jogador 2 temos:
E[A | Ps] = 6.Ps + 2.(1-Ps) e E[C | Ps] = 4
Logo, a função de reação do jogador 2 será:
Pa = 1, se Ps > 1/2
Pa e (0,1), se Ps = 1/2
Pa = 0, se Ps < ½
Graficamente temos:
Temos, portanto, um equilíbrio em estratégias mistas, onde Ps = ½ e Pa = 2/5.
Nenhum equilíbrio foi eliminado pela EIEED, pois todo EN sobrevive a EIEED.
3a Questão
Solução:
(i)
leilão de primeiro preço
( 5 , 3 , 1 ) não é EN. Dado que o jogador 2 colocou 3 (ou melhor, se o jogador
1 espera que o jogador 2 coloque 3), o jogador 1 pode dar o lance de 4, levar o
objeto e aumentar seu payoff. De fato, a melhor resposta do jogador 1 se este
espera que o jogador 2 irá oferecer 3 é dar também um lance de 3.
(2 , 2 , 2 ) não é EN. O jogador 2 poderia dar o lance de 2R$ e 1 centavo , levar
o objeto e ficar com um payoff de 0.99. Há, portanto, incentivo para o 2º
jogador desviar. Uma curiosidade surge se o espaço em que estivermos
trabalhando for discreto e os lances não puderem ser feitos com centavos. Nesse
caso, a situação configuraria um EN. O jogador 3 não leva o objeto, e qualquer
desvio tal que ele passe a ganhar implicaria em pay-off negativo. Para o jogador
2, colocar 1, 2 ou 3 não faz menor diferença, já que se nos dois primeiros casos
ele não leva o objeto, no terceiro ele leva mas fica com payoff zero. Não há
incentivo a desviar portanto. Para o jogador um que leva o objeto por causa do
critério de desempate, não vale a pena aumentar o lance e diminuir seu payoff
( 0 , 0 , 10 ) não é EN, dado que 1 e 2 colocaram 0, o jogador 3 teria preferido
colocar qualquer valor maior que zero e menor que 1.
(ii) leilão de segundo preço
( 5 , 3 , 1 ) é EN. Jogador 1 paga o segundo lance que é de 3, colocar qq valor
até 3 não afeta o seu pagamento e menor que 3 implica na perda do objeto. Já os
demais jogadores não estão levando o objeto, e em qualquer desvio tal que um
deles passe a levar o objeto, o lance precisaria ser maior do que 5, o que levaria
a payoffs negativos.
( 2 , 2 , 2 ) não é EN. Jogador 1 ganha o objeto, dado crenças sobre o lance de
equilíbrio dos demais, com qualquer lance menor que 5 espera deixar de ganhar
e logo não quer se desviar. E por um raciocínio análogo ao caso acima o jogador
3 não tem incentivo a desvio unilateral: não está levando o objeto, e em
qualquer desvio passe a levá-lo, incorre em um payoff negativo. Entretanto, o
jogador 2 pode dar qualquer lance maior que 2 , de 1 milhão talvez, levar o
objeto e pagar menor do que sua valorização.
( 0 , 0 , 10 ) é EN. 3 leva o objeto e paga zero. Já 1 ou 2 para passarem a levar o
objeto deveriam dar lance maior ou igual a 10 (e dado a crença de que 3 dá
lance de 10 devem esperar pagar esse valor), o que não é lucrativo.
4ª questão
Solução:
a) Sa = Sb = Sc = {A,B,C}
b) Se o jogo possuísse apenas 2 alternativas e 2 jogadores, sua solução seria trivial:
Montaríamos uma matriz 2x2 e resolveríamos o problema da maneira tradicional. Com 3
alternativas e 3 jogadores, a matriz passa a ser tridimensional, da forma 3x3x3. Como é
extremamente difícil desenhar o cubo com todos os payoffs, podemos escrever,
analogamente, 3 matrizes 3x3, a primeira supondo que o jogador 3 joga A,
que na
segunda joga B e que na terceira joga C.
Jogador 3
B
C
Jogador 2
Jogador 2
Jogador 2
C
A
2,0,1 2,0,1 2,0,1
B
2,0,1
1,2,0
2,0,1
C
2,0,1
2,0,1
0,1,2
A
B
C
A
2,0,1
1,2,0
2,0,1
B
1,2,0 1,2,0 1,2,0
C
2,0,1
1,2,0
0,1,2
A
Jogador 1
B
Jogador 1
Jogador 1
A
A
B
C
A
2,0,1
2,0,1 1,0,2
B
2,0,1
1,2,0
C
0,1,2
0,1,2 0,1,2
0,1,2
Os equilíbrios são (A,A,A), (A,B,A), (B,B,B), (C,C,C) e (A,C,C)
5ª questão
Solução:
a) Considerando que os consumidores irão comprar na firma mais próxima cada firma vai
querer estar mais próxima que a outra do maior número possível de consumidores. Assim
sendo, cada uma vai querer o “pedaço” maior da cidade linear de comprimento l. Ou seja,
sendo x a posição da firma 1 e y a posição da firma 2, caso y <l/2 a melhor resposta da
firma 1 é escolher x=y+Caso y>l/2 então a melhor estratégia da firma 1 é escolher x=y-
Por simetria, a firma 2 tem o interesse de fazer o mesmo. Então as firmas irão convergir
para x=y=l/2, onde a firma que desvia a partir desse ponto, dado a posição da outra, irá
atender menos consumidores, e logo este será o EN.Neste ponto as duas terão probabilidade
igual de vender para cada consumidor.
Graficamente:
b) No caso de três firmas, novamente elas irão buscar se localizar a fim de maximizar o
número de vendas. Nessa situação, assim como no caso (a), nenhuma circunstância onde
haja uma firma sozinha numa posição pode constituir equilíbrio (se as três estão em posição
diferente, com certeza a primeira e a última terão incentivo a se aproximar da do meio, e
dado uma sozinha e duas juntas a que está sozinha ganha se aproximando da posição das
outras duas). E as três firmas na mesma posição também não pode ser equilíbrio, porque
nessa situação cada uma conquista em média 1/3 do mercado, e se uma desviar, dado a
posição das outras, conquistará (pelo menos) metade do mercado. Não há EN em
estratégias puras.
6ª questão
Solução:
a) No caso do duopólio, cada firma irá definir a quantidade a ser produzida, de forma a
maximizar seu lucro, considerando que a firma concorrente também o fará.
Curva de demanda inversa P(Q) = 200 – 3Q
P(q) = 200 – 3(q1+q2)
Lucro1= (200 – 3(q1+q2))* q1 - 20 q1= (200- 20) q1 + 3 q12 +3 q1*q2
Max de lucro => Derivando e igualando a zero
q1=(180 -3 q2)/6
Como as firmas produzem um bem homogêneo e os custos marginais são iguais: q1=q2
q1=(180 -3 q1)/6 =>q1=20,
Q= q1+q2= 40,
p=200 – 3(q1+q2) = 80,
Lucro1= Lucro2= (p-c)*20=(80-20)*20=1200
b)
p(q) = 200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5)
Lucro1= (200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5))* q1 - 20 q1
Max de lucro => Derivando e igualando a zero
q1=[180 -3 (q2 + q3+q4 + q5)]/6
Como as firmas produzem um bem homogêneo e os custos marginais são iguais
q1=q2= q3=q4= q5
q1=[180 -3 (4q1)]/6 =>q1=10
Q= q1+q2 + q3+q4 + q5= 50,
p= 200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5) = 50,
lucro=300
No caso de 2 firmas, o preço de equilíbrio é de R$ 80.
No caso de 5 firmas, o preço de equilíbrio é de R$ 50.
No caso de concorrência perfeita => p=custo marginal = 20
O preço se reduz à medida que sobe o número de firmas no mercado. O menor valor
possível para o preço é equivalente ao custo marginal de produção ( lucro=zero)
c) No equilíbrio, a quantidade que cada firma produzirá, no caso de 2 firmas ou no caso de
5 firmas, não necessariamente é a quantidade que maximiza o lucro agregado no mercado.
Pois no equilíbrio, cada firma irá produzir sua melhor resposta à decisão que ela espera que
sua(s) concorrente(s) escolha(m).
A resposta encontrada no item (a), a produção de equilíbrio q=20, assegura para cada firma
um lucro R$1200. No caso das firmas estarem impedidas de fabricar mais que 15 unidades,
elas terão um lucro = 2700/2= 1350. Portanto esta restrição aumenta os lucros de um
duopólio.
É fácil de ver a razão de q2= q1==15 não seria um equilíbrio (a não ser no caso de limite de
capacidade de produção). Suponha que a firma 1 produza q1=15. A firma 2 teria interesse
em se desviar para, por exemplo, produzir q2=16, pois seu lucro aumentaria=>
P(31)=200 – 93= 107 e Lucro2= (87)*16= 1392
No caso de um mercado com 5 firmas, a produção de equilíbrio de cada firma é de 10
unidades, abaixo da restrição de capacidade. A alternativa de uma firma produzir no
intervalo ( 10 , 15] , enquanto as demais produzem 10, reduz seu lucro.
Por exemplo, seja q2 = q3=q4 = q5= 10 e q1==11
P(51)= 200 –153=47 e Lucro1= (27)*11=297 <300
Assim, as firmas não terem interesse em se desviar da produção de equilíbrio.
q1=q2 = q3=q4 = q5 =10.
A solução de equilíbrio Cournot-Nash não precisa ser a de maximização dos lucros
conjuntos, da mesma forma que o equilíbrio de Nash para o caso do “dilema do prisioneiro”
não é Pareto Eficiente.
7ª questão
Solução:
a) Firmas em um conluio se comportam como se todas fossem uma única monopolista.
Curva de demanda inversa P(Q) = 16 – Q
Lucro= (16 - Q)* Q – 4Q
Max de lucro => Derivando e igualando a zero
14-2Q=0 => Q=6
Como os bens são homogêneos, ambas as firmas produziram a mesma quantidade, ou seja,
a metade da quantidade do monopólio, no caso serão 3 unidades e o lucro seria de 18 u.m.
(unidades monetárias).
b) Resolvendo o problema de cada firma:
Firma 1:
Curva de demanda inversa P(Q) = 16 – Q
P(q) = 16 – (q1+q2)
Lucro1= (16 – (q1+q2))* q1 - 4 q1 - M = (16-4) q1 - q12 -q1*q2 - M
Max de lucro => Derivando e igualando a zero
q1=(12 - q2)/2
Analogamente para a firma 2,
Teremos que ambas irão resolver o problema usando a correspondência de melhor resposta
da outra; resolvendo:
q1=q2 =4
Lucro1 = Lucro2 = 8*4 - 4*4 – M = 16 – M
c) A firma que cumprir o acordo irá produzir 3 unidades, assim o problema da outra firma
será resolver o problema de maximização considerando que a outra firma produzirá 3
unidades.
Max Lucro=(16-(3+q))q-4q
Derivando e igualando a zero => 2q=9 => q=9/2
Q=15/2 => P=17/2
Assim, o lucro da firma que cumprir será de 13,5 e a da outra será de 20,25-M.
d)
Escrevendo o jogo na forma matricial, teríamos:
Cumprir
Não Cumprir
Para M=0, e resolvendo:
Cumprir
Não Cumprir
(18;18)
(13,5;20,25-M)
(20,25-M;13,5) (16-M;16-M)
Cumprir
Não Cumprir
Cumprir
(18;18)
(20,25;13,5)
Não Cumprir
(13,5;20,25)
(16;16)
Assim, o único equilíbrio de Nash existente nesse modelo caso M=0 será onde as
estratégias de ambas as firmas escolherão não cumprir o contrato, (observe que cumprir o
contrato é uma estratégia estritamente dominada).
e) O menor valor de M que possibilite sustentar um EN onde ambas as firmas cumprem o
contrato é quando a firma fica indiferente entre escolher cumprir ou não o contrato caso a
outra firma cumpra o contrato, ou seja quando os payoffs das duas opções são equivalentes.
U(C│C) ≥ U(NC│C)
18 ≥ 20,25 - M
M ≥ 2,25
Assim , o menor valor de M é 2,25 um.
8ª questão
a) O objetivo de ambas as firmas é maximizar os lucros, mas as suas estratégias se baseiam
nos preços a serem oferecidos. Assim, temos que se estamos na condição em que P1=P2=c,
então, para cada jogador ele pode: 1) aumentar seu preço, mas isso o faria perder todo o
mercado para a outra firma, assim, não tem incentivo a desviar; 2) abaixar o seu preço de
forma a tomar todo o mercado da outra firma, mas então estaria operando com preço abaixo
do seu custo e incorreria em prejuízo, também não sendo razoável. Assim, P1=P2=c
constitui um EN para esse modelo.
b)
i) A firma com o menor preço pode melhorar aumentando um pouco o seu preço e com isso
poderá reduzir o seu prejuízo. Não pode ser EN.
ii) P1 = c < P2.
A firma 1 pode aumentar um pouco seu preço, passando assim a ter lucro. Não é EN
iii) P1 > P2 > c. A firma 1 não captura um único consumidor. Se baixasse seu preço para
P= c+conquistaria o mercado todo e teria lucro positivo. Não é EN.
iv) P1 = P2 > c. Se os preços são tais que ambas as firmas dividem o mercado com lucro
positivo, podem diminuir um pouco o preço, com isso quem diminuir fica com todo o
mercado e aumenta o lucro. E se ambas as firmas não conseguem demanda aos dados
preços, se uma baixasse seu preço para P= c+conquistaria o mercado todo e teria lucro
positivo. Não pode ser EN.
c) Verdadeiro, as estratégias de equilíbrio de cada jogador são fracamente dominadas pelas
demais estratégias em que o preço seja maior que c (porém menor que a) : por exemplo p/ o
jogador 1, qualquer preço P*1 no intervalo (c,a) domina fracamente P1 = c, uma vez que se
o jogador 2 colocar um preço maior que P*1 o jogador 1 captura o mercado e tem lucro
positivo, se P1=P2 divide o mercado ainda com lucro positivo e se P2<P*1 ele perde o
mercado e tem lucro zero (o mesmo que recebe no EN). Mas note que não há estratégia
estritamente melhor do que colocar p1=p2=c. Repare que essa estratégia p*1 não é
estritamente dominante, pois como visto quando p*1>p2>c temos o mesmo payoff ( zero)
para a firma 1 do que se colocasse p1=p2=c.
9ª questão
Solução:
Caso (i): A demanda máxima não alcança a restrição de produção de cada firma. As
funções de ganho são:
i 
 pi  c 200  pi  se pi < pj;
 pi  c 200  pi  se p = p ;
2
0, se pi > pj
i
j
Em termos de equilíbrio de Nash, se uma firma estabelece p>c, a melhor
resposta da outra firma é colocar um preço um pouco menor p´= p- >c e
capturar todo o mercado, com lucro maior que o obtido quando o mercado era
dividido. A melhor resposta da primeira firma diante do p’ da concorrente é
abaixar seu preço para p’’=p’->c. Esse processo continua até que p*i = p*j=c.
Esse é o único EN do jogo, pois o agente que aumentar o preço não vende nada
e a escolha de p<c implica prejuízo.
Caso (ii) Vamos supor que a firma i estabeleça pi < pj. Se o preço estabelecido for acima de
R$ 100, a firma captura todo o mercado. Abaixo de p=R$ 100, a demanda do mercado será
superior a 100 e a firma estará limitada a sua restrição de capacidade.
Se a firma i colocar um preço menor que R$100, mesmo que a firma j coloque pi<pj ela
venderá parte de sua produção pois haverá uma demanda residual.
Em termos de equilíbrio, p*i = p*j=10, não é equilíbrio. Vamos supor que i mantenha seu
preço pi = 10, e a firma j aumente seu preço para R$11. A firma j venderá 89 unidades e
terá um lucro de R$89, ao invés de zero no caso de pj = 10. O lucro da firma que elevou seu
preço é maior do que da que manteve preço=custo marginal. O par de preços (10,10) não é
a melhor resposta ao outro e vice-versa. Logo p*i = p*j=10, não é equilíbrio de Nash.
10ª questão
Solução:
F
a)
G
E
(0,-10)
NF
(20, -20)
(20-15, 90-20-10) (20-15, 90-20)
Não há equilíbrio de Nash em estratégia pura.
Em estratégia mista
Para o jogador 1 :
Supondo que a probabilidade da firma fiscalizar seja q
Ganho esperado para jogar G
Ganho esperado para jogar E
q.0 + 20( 1-q)
q.(20-15) + (20-15)( 1-q)= 5
Para 1 ficar indiferente entre jogar G e E
=> q= 3/4
Para o jogador 2:
Supondo que a probabilidade do trabalhador gazetear é p
Ganho esperado para jogar F
-10.p + (90-20-10)( 1-p)
Ganho esperado para jogar NF
-20.p + (90-20)( 1-p)
Para 2 ficar indiferente entre jogar F e NF
=> p= 1/2
b)
O único equilíbrio é em estratégias mistas. No equilíbrio, a empresa estará indiferente entre
fiscalizar e não fiscalizar. O ganho da empresa varia segundo w.
Ganho de F
=-h.p + (v-w-h)( 1-p) onde h= custo de fiscalização e v= valor do bem
Considerando que por definição os ganhos esperados de F e NF são iguais:
-hp+ (v-w-h)(1-p) = -wp + (v-w)(1-p)
Logo, p=h/w
Substituindo p no ganho de F:
-h2/w +(v-w-h)( 1- h/w) ,
maximizando em relação a w => w= hv => w =30
Para a firma, o ganho esperado com w =20 é F= -10.(1/2) + 60.(1/2)= 25
o ganho esperado com w =30 é F= -10.(1/3) + 50.(2/3)= 30
Ou seja, nesse caso um aumento salarial aumenta também os lucros da firma (uma vez que
reduz a freqüência em que a firma deve fiscalizar). Esse tipo de idéia está por trás dos
modelos de salário de eficiência, que permitem explicar a nível macro fenômenos como a
existência de desemprego em equilíbrio.
11ª questão
Solução:
a)
Jogadores: trabalhador 1 e trabalhador 2
Estratégias: Mandar currículo para a firma 1 e mandar currículo para a firma 2
Preferências: V(p1,p2,p3,...,pn,c1,c2,...cn)
Jogo na forma normal:
Trabalhador 2
Trabalhador1
Firma 1
Firma 1 (1/2)u(2)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(2)+(1/2)u(0)
Firma 2
u(4) ; u(2)
Firma 2
u(2) ; u(4)
(1/2)u(4)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(4)+(1/2)u(0)
b)
Um agente será avesso ao risco quanto ele preferir o valor esperado de uma loteria
com certeza do que a própria loteria. Isto é, quando (1/2)u(4)+(1/2)u(0) < u(2).
Ele será neutro ao risco quanto for indiferente entre o valor esperado de uma loteria
com certeza e a própria loteria. Isto é, quando (1/2)u(4)+(1/2)u(0) = u(2).
Analogamente, ele será amante ao risco quando (1/2)u(4)+(1/2)u(0) > u(2).
c)
Neste
caso,
estaríamos
considerando
que
(1/2)u(4)+(1/2)u(0)
=
u(2)
e
(1/2)u(2)+(1/2)u(0) = u(1). Logo, o jogo ficaria com o seguinte formato:
Trabalhador1
Trabalhador 2
Firma 1
Firma 2
Firma 1
u(1) ; u(1)
u(2) ; u(4)*
Firma 2
u(4) ; u(2) *
u(2) ; u(2) *
É fácil perceber que este jogo possuirá três equilíbrios de Nash, (Firma 1, Firma 2),
(Firma 2, Firma 1) e (Firma 2, Firma 2).
d)
Agentes amantes ao risco:
Neste caso, temos que (1/2)u(4)+(1/2)u(0) > u(2). Logicamente (1/2)u(2)+(1/2)u(0)
< u(2) < u(4). Agora podemos encontrar facilmente os equilíbrios de Nash.
Trabalhador 2
Trabalhador1
Firma 1
Firma 1 (1/2)u(2)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(2)+(1/2)u(0)
Firma 2
u(4) ; u(2)
Firma 2
u(2) ; u(4)
(1/2)u(4)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(4)+(1/2)u(0)*
Portanto, teríamos apenas um equilíbrio, onde os dois tentariam trabalhar na firma
que paga mais.
Agentes avessos ao risco:
Neste caso, temos que (1/2)u(4)+(1/2)u(0) < u(2) e (1/2)u(2)+(1/2)u(0) < u(2) <
u(4). Logo teremos:
Trabalhador 2
Trabalhador1
Firma 1
Firma 2
Firma 1 (1/2)u(2)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(2)+(1/2)u(0)
Firma 2
u(4) ; u(2) *
u(2) ; u(4) *
(1/2)u(4)+(1/2)u(0) ; (1/2)u(4)+(1/2)u(0)
Temos, portanto, dois equilíbrios, o (Firma 1, Firma 2) e o (Firma 2, Firma 1).
12ª questão (Barganha)
Solução:
A estratégia de cada jogador consiste em escolher uma demanda si entre 0 e 1. Como o
payoff será 0 para qualquer valor em que s1+s2 > 1, os dois jogadores irão tentar escolher
parcelas que não ultrapassem esse limite caso possam ganhar algum valor maior que 0 sem
ultrapassa-lo. Para o jogador 1, o máximo que ele consegue do dólar é 1-s2 para todo s2.
Para o jogador 2 o raciocínio é simétrico. Ou seja, cada jogador irá escolher tudo o que
sobrar do dólar dado a expectativa sobre o que o outro pedirá na sua parcela: s1+s2=1.
Além disso, se um jogador espera que não sobre nada dada a demanda do outro (ou seja,
espera que o oponente demande tudo), sua melhor resposta é pedir qq coisa, e nesse caso
outro EN possível é (1,1). O conjunto de EN é:
EN = { (s1,1-s1), 0  s1  1 e (1,1) }.
13ª questão (Cournot com custos marginais diferentes)
Solução:
P(Q)=a-Q
Cmg1ccCmg2
Firma 1
Max (a-q1-q2)q1 –c1q1
q1
Supondo solução interior: d(1)/d(q1) = (a-c1) -2q1 –q2 =0  q1= (a-c1-q2)/2
Raciocínio análogo p/ firma 2:
q2= (a-c2–q1)/2
Substituindo q2 em q1:
q1=(a-c1)/2 –[(a-c2–q1)/2]/2, encontrando
q1=(a+c2-2*c1)/3 e
q2=(a+c1-2*c2)/3
Primeiramente concluimos dessas funções que quanto maior o custo marginal da outra
empresa maior é a produção da primeira empresa e vice-versa.Quanto maior o custo
marginal de uma empresa menor a produção dela mesma.E quanto maior o mercado
(representado pelo “a”) maior a produção das duas empresas. Recapitulando, qto maior
cmg1 menor q1 e maior q2, qto maior cmg2 menor q2 e maior q1.
Agora, considerando que
0 < ci < a/2 para as duas firmas,
0 < 2ci < a ,
Como
qi= (a -2ci + cj)/3 e a-2ci>0 => qi>0
O equilíbrio será {(a+c2-2*c1)/3 ; (a+c1-2*c2)/3}.
Se mudarmos para c1<c2 e 2*c2>a+c1
Teremos que 0> a+c1 – 2*c2
Mas q2= (a + c1 -2*c2)/3<0 e nenhuma empresa pode produzir uma quantidade negativa,
ou seja, esse valor está fora do espaço estratégico.Assim sendo ela irá escolher q2 =0.O que
acontece é que a empresa é tão mais ineficiente que a outra que o mercado não é grande o
suficiente para que ela produza.E a empresa 1?
Da equação que relacionava q1 e q2
q1= (a-c1-q2)/2, substituindo q2=0
q1= (a-c1)/2 que é a quantidade de monopólio.
A empresa 1 é tão mais eficiente que vira monopolista nesse mercado.