Apresentação - Aula 22

A Função Logaritmo Natural
Derivadas e Integral
Gráfico
CÁLCULO I
Aulas no 22: A Função Logaritmo Natural
Prof. Edilson Neri Júnior — Prof. André Almeida
Universidade Federal do Pará
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A Função Logaritmo Natural
1
A Função Logaritmo Natural
2
Derivadas e Integral
Propriedades dos Logaritmos
3
Gráfico
Derivadas e Integral
Gráfico
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Gráfico
Seja x > 0. Definimos a função logarı́tmica natural como sendo a função dada
pela medida da área abaixo da hipérbole y = 1t , entre t = 1 e t = x. Graficamente,
essa área é dada como abaixo:
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Como podemos entender a integral como a área abaixo de uma curva plana, então,
podemos escrever a definição de logaritmo natural como sendo:
Z x
1
dt
(1)
f (x) = ln x =
1 t
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Observação
Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x,
com x > 0.
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Observação
Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x,
com x > 0.
Observação
Note que se x > 0 então, a função f (x) > 0 e se 0 < x < 1 então f (x) < 0.
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Observação
Essa função está bem definida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x,
com x > 0.
Observação
Note que se x > 0 então, a função f (x) > 0 e se 0 < x < 1 então f (x) < 0.
Definição
Definimos o número e como sendo o número tal que f (e) = ln e = 1.
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Derivadas e Integral
Segue do Teorema Fundamental do Cálculo que para x > 0
Z x
d
d
1
1
0
f (x) =
(ln x) =
dt =
dx
dx 1 t
x
Gráfico
(2)
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Gráfico
Considerando a função g(x) = ln |x|, notamos que o domı́nio de g é R − {0}. E
utilizando a regra da cadeia, obtemos que
g 0 (x) =
1
x
Essa informação pode ser ampliada para casos em que o argumento do logaritmo
é uma outra função de x, como pode ser observado na seguinte proposição.
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Proposição
Seja f uma função positiva. Então
d
f 0 (x)
(ln f (x)) =
dx
f (x)
(3)
Se f 6= 0, não necessariamente positiva, temos que
f 0 (x)
d
(ln |f (x)|) =
dx
f (x)
(4)
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Observação
Uma primitiva para f (x) =
1
é F (x) = ln |x| + C
x
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Exemplo
Determine f 0 (x) sabendo que f (x) = ln sen 2 x.
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Exemplo
Determine f 0 (x) sabendo que f (x) = ln sen 2 x.
Exemplo
Considere as seguintes funções
f (x) = ln
x+1
x−1
x + 1
g(x) = ln x − 1
Determine suas derivadas de primeira ordem e seus respectivos domı́nios.
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Propriedades dos Logaritmos
Considere a, b > 0. Então
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Propriedades dos Logaritmos
Considere a, b > 0. Então
ln ab = ln a + ln b
(5)
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Propriedades dos Logaritmos
Considere a, b > 0. Então
ln ab = ln a + ln b
ln
1
= − ln a
a
(5)
(6)
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Propriedades dos Logaritmos
Considere a, b > 0. Então
ln ab = ln a + ln b
ln
ln
a
b
(5)
1
= − ln a
a
(6)
= ln a − ln b
(7)
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Propriedades dos Logaritmos
Considere a, b > 0. Então
ln ab = ln a + ln b
ln
ln
a
b
(5)
1
= − ln a
a
(6)
= ln a − ln b
(7)
ln an = n ln a
(8)
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Propriedades dos Logaritmos
Observação
Devemos tomar cuidado na aplicação da propriedade (8). Assim,
ln(x − 1)2 = 2 ln(x − 1)
é uma igualdade verdadeira apenas para x > 1. No entanto, como
(x − 1)2 = |x − 1|2 , então podemos fazer
ln(x − 1)2 = 2 ln |x − 1|
que é válida para todo x 6= 1. Portanto, é de extrema importância especificar o
domı́nio quando utilizar as propriedades para verificar a veracidade das igualdades
obtidas.
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Exemplo
√
Calcule a derivada da função f (x) = ln( x2 − 1 cos2 x).
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Exemplo
√
Calcule a derivada da função f (x) = ln( x2 − 1 cos2 x).
Exemplo
Seja g(x) = ln
x2 + 1
. Calcule g 0 (x).
x2 − 1
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Propriedades dos Logaritmos
Exemplo
Utilize a derivada logarı́tmica para derivar a função
f (x) = x2 (x3 − 1)(x2 + 1)
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Propriedades dos Logaritmos
Exemplo
Utilize a derivada logarı́tmica para derivar a função
f (x) = x2 (x3 − 1)(x2 + 1)
Exemplo
Utilize a derivada logarı́tmica para determinar a derivada da função
f (x) =
(x2 − 1)2 (x + 1)3
(x2 + 1)2
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Seja f (x) = ln x. Então, notamos que
Df = R∗+ ;
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Seja f (x) = ln x. Então, notamos que
Df = R∗+ ;
lim ln x = +∞ e lim+ ln x = −∞;
x→+∞
x→0
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Seja f (x) = ln x. Então, notamos que
Df = R∗+ ;
lim ln x = +∞ e lim+ ln x = −∞;
x→+∞
x→0
f é estritamente crescente;
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Seja f (x) = ln x. Então, notamos que
Df = R∗+ ;
lim ln x = +∞ e lim+ ln x = −∞;
x→+∞
x→0
f é estritamente crescente;
f possui concavidade para baixo;
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Seja f (x) = ln x. Então, notamos que
Df = R∗+ ;
lim ln x = +∞ e lim+ ln x = −∞;
x→+∞
x→0
f é estritamente crescente;
f possui concavidade para baixo;
ln 1 = 0
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Para traçarmos o gráfico de g(x) = ln |x|, notamos que
g é par;
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Para traçarmos o gráfico de g(x) = ln |x|, notamos que
g é par;
Se x > 0, a função g coincide com a função f (x) = ln x;
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Na próxima aula...
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