Exercıcios Resolvidos de Teoria Eletromagnщtica Conte´udo

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:11
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı́sica Teórica
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
28 Corrente e Resistência
28.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
28.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
2
2
2
28.2.1
28.2.2
28.2.3
28.2.4
Corrente elétrica . . . . . . . .
Densidade de corrente . . . . .
Resistência e resistividade . . .
Energia e potência em circuitos
elétricos . . . . . . . . . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
2
2
3
6
jgallas @ if.ufrgs.br
(lista2.tex)
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28 Corrente e Resistência
E 28-3.
28.1 Questões
Uma esfera condutora isolada tem um raio de
cm.
Um
fio
transporta
para
dentro
dela
uma
corrente
de
Q 28-1.
A. Um outro fio transporta uma corrente de
No estado estacionário não pode existir nenhuma carA para fora da esfera. Quanto tempo levaria
ga livre no interior da superfı́cie fechada. Portanto, a para que o potencial da esfera sofresse um aumento de
taxa de variação da carga que entra (corrente que entra)
V?
deve ser exatamente igual à corrente que sai. Ou seSuponha que a carga na esfera aumente de
num
ao longo da superfı́cie externa
ja, a integral de
tempo
.
Então
neste
tempo
seu
potencial
aumenta
do corpo é igual a zero. Isto será sempre verdade, in, onde é o raio da esfera. Isto
dependentemente do número de condutores que entram de
significa
que
.
ou que saem da superfı́cie considerada. Como a Lei de
Porém
. Portanto
entra
sai
Gauss também pode ser aplicada no estado estacionário,
concluı́mos que o fluxo elétrico também não pode variar
através da superfı́cie externa do corpo.
entra
entra
sai
sai
m
V
Q 28-19.
F/m
A
A
Este aparente paradoxo possui solução trivial. Você
FGHH!H
FGHHH
-H
IE$
I +' I JIE$ 5KHL@MONP8 P
IE$%QHL@MON@P)I
IE$4"5K R 8SIT'
IT'U IER $ L@M N P#R I 5VZ[\ A 5VW:X 8]59:8Y59HHH !H 8 R 8
W: ;\ =_^ s :
não pode comparar situações diferentes, ou seja, você
deve especificar a(s) grandeza(s) que permanece(m)
constante(s) em cada situação concreta. Mantendo-se
fixo, a potência
varia de acordo com a relação
. Mantendo-se fixo, a potência
varia 28.2.2 Densidade de corrente
de acordo com a relação
. Caso ocorra uma
variação simultânea de e de , a potência só pode E 28-5.
ser determinada mediante o cálculo integral; neste caso,
ı́ons positivos duplamente carvocê não poderá usar nenhuma das duas relações ante- Um feixe contém
regados
por
cm
,
todos
movendo-se
para o norte com
riores.
velocidade de
m/s. (a) Quais são o módulo,
a direção e o sentido da densidade de corrente ? (b)
Podemos calcular a corrente total neste feixe de ı́ons?
28.2 Problemas e Exercı́cios
Em caso negativo, que informações adicionais são ne28.2.1 Corrente elétrica
cessárias?
E 28-1.
!BT`
^
ab
Uma corrente de A percorre um resistor de
durante minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos
elétrons passam através da secção transversal do resistor neste intervalo de tempo?
(a) A magnitude da densidade de corrente é dada por
c &
d@$eHf , onde d é o número de partı́culas por unidade
de volume, $ é a carga de cada partı́cula, e eHf é a velocidade de deriva das partı́culas. A concentração das
partı́culas é dg!hi` cm =j^kg!hil?nm m =_^ a carga
é $;,!#0T,!W59: ;oW=p?7A C 8qDrS: !H;o>=@?9A C, e a
velocidade de deriva é %\ b m/s. Portanto
c 5V!E\ ?9m m =j^8Y5srW:t!E\ =@?9A C8#uG%<- bSv wx
W: A/m :
(a) A carga que passa através de qualquer secção
transversal é o produto da corrente e o tempo. Como
minutos correspondem a
segundos, teC.
mos
(b) O número de elétrons é dado por
, onde é a magnitude da carga de um elétron. Portanto Como as partı́culas estão carregadas positivamente, a
C
C
densidade de corrente está na mesma direção do moelétrons.
vimento: para o norte.
"!#
$%&(')*+!%,-!#
$"/.10
0 .23$ 04657-!# 8 95 : ;<->=@?9A 8BDC>: E ?
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(b) A corrente não pode ser calculada a menos que a área e, portanto,
da secção transversal seja conhecida. Se o for, podemos
determinar a corrente total usando a equação
.
y c%z
. !Hn 0 e :
Para determinar este valor de . falta-nos apenas determinar a velocidade e . Para tanto, note que a massa de
uma partı́cula é dada por Q
v v , onde v é a mas-
E 28-7.
Um fusı́vel num circuito elétrico é um fio cujo objetivo
é derreter-se e, desta forma, interromper o circuito, caso sa do próton. Usando o fator de conversão do apêndice
a corrente exceda um valor predeterminado. Suponha F para passar MeV para Joules, temos:
que o material que compõe o fusı́vel se derreta sempre
que a densidade de corrente atingir
A/cm . Qual
o diâmetro do condutor cilı́ndrico que deverá ser usado
A?
para restringir a corrente a
Explicitando e substituindo os dados numéricos, obtemos o seguinte resultado
m/s. Note que
A magnitude da densidade de corrente é
nestes
cálculos
usamos
as
fórmulas
clássicas;
se você
, onde é o raio do fio. Portanto
desejar aplicar as fórmulas relativı́sticas, deverá consultar o Capı́tulo 42 do livro-texto. Substituindo este valor
na expressão de acima, encontramos facilmente:
S: 5sLpP 8
P
P|
}
c 3 {z ,5V!#8]57H: H!+\ =p?7^ 8 v e !
e
e;arW: HZ)%
$2!#0
.
.aW: T\ ^ partı́culas no feixe :

, o potencial solicitado é dado por
(c) Como a
!H10
!#0
#
!
;
\
H
:
H
E
!E\H: E<\-=@=p?9A ?7^
M Volts :
L c
~ [L 5KEW\:t Am A/m 8
H: Z+\ =m m :
O diâmetro é a!#P%arW: ;<->=m m.
P 28-14.
Um feixe estacionário de partı́culas alfa (
),
deslocando-se com energia cinética constante de
MeV, transporta uma corrente de
A. (a) Se o
feixe for dirigido perpendicularmente contra uma superfı́cie plana, quantas partı́culas alfa atingirão a su- 28.2.3 Resistência e resistividade
perfı́cie em segundos? (b) Num instante qualquer,
quantas partı́culas existem em
cm de comprimen- E 28-17.
to do feixe? (c) Qual foi a diferença de potencial necessária para acelerar cada partı́cula alfa, a partir do re- Um fio condutor tem diâmetro de mm, um comprimento de m e uma resistência de
. Qual é a
pouso, levando-a a uma energia de MeV?
resistividade do material?
(a) A corrente transportada é dada por
A área da secção transversal é
C/s. Uma vez que cada partı́cula transporta uma carga
igual a , o número de partı́culas que atingem a sum
m
perfı́cie em três segundos é dado por
S: !
r
!#
!#
!#0
!H
d
)a!>:tE>=j d !H '0 WE! :t!H\+H<: ;-\>=j4 =@i?9rA *!>: r#;<- ? partı́culas :
(b) Seja . o número de partı́culas existentes no comprimento g!H cm do feixe. A corrente é dada por
$' !H 0 . e #! 0- e.
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
!
# v z QL4P aL[5sW:tE\ =j^ 8 *
C>: T\ =_ :
Portanto, a resistividade é
\ z

5
#
;\ =j^ q8]! 5C>m: E<- =j m 8
!E\ =_` m :
E 28-18.
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N
Uma pessoa pode ser eletrocutada se uma corrente tão onde
é a resistência original. Portanto
pequena quanto mA passar perto do seu coração. Um
eletricista que trabalha com as mãos suadas faz um bom
contato com os dois condutores que está segurando. Se
a sua resistência for igual a
, de quanto será a
P 28-30.
voltagem fatal?
#
!HHH
Como a diferença de potencial
e a corrente
estão relacionadas por
, onde
é a resistência do eletricista, a voltagem fatal é
A
V.
W=_^ 8]5V!HH4q8,
E 28-19.
5VH
aZ;i&a#Th:
z
Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o
mesmo comprimento. O condutor é um fio sólido e
tem mm de diâmetro. O condutor é um tudo oco
de diâmetro interno de mm e de diâmetro externo de
mm. Quanto vale a razão entre as resistências
medidas entre as suas extremidades?
hh !
z
H! H
H: r

A resistência do condutor é dada por
Uma bobina é formada por
voltas de um fio de cobre n 16 (com diâmetro de
mm) isolado numa única
camada de forma cilı́ndrica, cujo raio mede
cm. Determine a resistência da bobina. Despreze a espessura
do material isolante.
onde
é o raio do condutor. Sendo e os raios interno
e
externo,
respectivamente, do condutor , temos
A resistência da bobina é dada por
, onde
para
sua
resistência
a equação
é o comprimento do fio, a resistividade do cobre, e
é a área da secção transversal do fio. Como cada volta
do fio tem comprimento
, onde é o raio da bobina,

-!
{z

z
!LpP
P
,5V!#8Y5V!#LpP8BD5V!#8]5V!#L8]5VW:X-! m8DW:t m :
Sendo P o raio do fio, a área da sua secção transversal
z
é ,LpP DL5VW: [o->=j^ m 8 H: rHr o>=j m .
Da Tabela 28-1 tiramos que a resistividade do cobre é
m. Portanto, finalmente,
H: HZE\W=_`
z
57H: HZE<- =j` m8Y59- HW:t m8 *
!>: h:
H: rHrE\ =_ m
E 28-27.
¡ F
pL P
P
P-¢ P-£

¡ :
L5KP £ R P ¢ 8
A razão procurada é, portanto,
R P ¢

P
£
P 59H: mm5VW8 :t R mmV5 W8 :t WW:¤:t!HC# arS:
\
mm
8
P 28-36.
Um fio cuja resistência é igual a
é esticado de tal
forma que seu novo comprimento é três vezes seu com- Quando uma diferença de potencial de
V é aplicada
primento inicial. Supondo que não ocorra variação na através de um fio cujo comprimento mede
m e curesistividade nem na densidade do material durante o jo raio é de
mm, a densidade de corrente é igual a
processo de esticamento, calcule o valor da resistência
A/m . Determine a resistividade do condutor.
do fio esticado.
Use
, onde
é a magnitude do campo
Como a massa e a densidade do material não mudam, elétrico no fio, é a magnitude da densidade de correnseu volume também permanece o mesmo. Se
repre- te, e é a resistividade do material. O campo elétrico é
sentar o comprimento original, o novo comprimento, dado por
, onde é a diferença de potencial
a área original da secção transversal, e a área da ao longo do fio e é o comprimento do fio. Portanto
nova secção transversal, então
e
e
W: r zN
z N z N
A nova resistência é
z z r N
N r
N

z
z
z
N N4a
N z N z N :
rN r

aZ z N N aZ N F
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H
: %-#m
c ¦
¥c
¥

¥§
c 5s 8
c

59- m8]57H: [ <V- m A/m )
W:t!E<- =_m m :
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s5 S: r;<- =j^ R W: WCT<- =_^ 8±<
² S: l!#%¬
S: r4¬:
P 28-41.
Quando uma barra metálica é aquecida, varia não só sua
resistência, mas também seu comprimento e a área de
sua seção transversal. A relação
sugere
que todos os três fatores devem ser levados em conta
na medida de em temperaturas diferentes. (a) Quais
são, para um condutor de cobre, as variações percentuais em , a quando a temperatura varia de grau
centı́grado. (b) Que conclusões podemos tirar daı́? O
coeficiente de dilatação linear do cobre é
por grau centı́grado.

z
{z
H:¤Ca->=_b
(b) A mudança percentual na resistividade é muito
maior que a mudança percentual no comprimento e na
área. Mudanças no comprimento e na área afetam a resistência muito menos do que mudanças na resistividade.
P 28-42.
Um resistor tem a forma de um tronco circular reto
(Fig. 28-20). Os raios da base são e e a altura é .
(a) Seja
a variação de temperatura e o coePara uma inclinação suficientemente pequena, podemos
ficiente de expansão linear do cobre. Então,
supor que a densidade de corrente é uniforme através
e
de qualquer seção transversal. (a) Calcular a resistência
deste objeto. (b) Mostre que sua resposta se reduz a
para o caso especial
.
I+¨
³ ´
©
I+ª
©IT¨
IE «© I+¨

59:tC+\ =_b 8qI+¨aD: +\ =jb
W: HSCh¬:
z
Agora, como sabemos que a área é proporcional a ,
qualquer que seja o valor da constante de proporcionalidade, temos sempre que
I z z H! IE *! I+ g!©«I+¨:

Como 5 FGF 8 , uma variação arbitrária de é
dada por
I ® I %¯  I+ ¯  zI z :


 {z obtemos
Da relação
facilmente que

 z F

 z§ F


 z R z R z:

Além disto, da Eq. 28-16, pg. 120, sabemos que
I °I+¨ , onde é o coeficiente de temperatura
da resistividade do cobre que, segundo a Tabela 28-1,
pg. 119, é dado por &: r;\W=_^ por grau. Portanto
I ¯ IE R I z z

5s ¯ © R !©y87I+¨
5s R ©«87I+¨
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]z
´±g³
(a) Em cada secção do cone circula uma mesma corc
rente , porém a densidade é diferente. Chamando de
µ a distância a partir da face superior do cone, podemos expressar o campo elétrico ¥ 5 µ 8 em cada secção
em função da corrente e usá-lo para achar a diferença
de potencial total através do cone. Então, a resistência
B
será .
c
Assumindo que a densidade de cada secção é uniforc z ¸LpP c , onde P
me podemos escrever [·¶
c
é o raio da secção. Sabemos ainda que ¸¥5 µ 8 .
µ

Portanto, aLpP ¥ 5 8 , de onde obtemos
¥5 µ 8& 5KLpP 8{:
O raio P cresce linearmente com a distância µ , de P%a³
para µ ¹ , até P<¹´ para µ º . Assim sendo, da
equação da reta que passa por estes pontos, encontramos
P>5 µ B8 g³ ¯ ´ R ³ µ
que, realmente, para µ a fornece Pg³ enquanto que
para µ 1 fornece PE,´ . Substituindo este valor de P
na expressão acima para o campo temos

¥ 5 µ 8B L¹» ³ ¯ ´ R ³ µS¼ = :
A diferença de potencial é então dada por
¾R ½o¿ ¥
N
R LÀ» ³
5 µ 8) µ
¯ ´ R ³ µ¼= µ

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L ´ R

L@³> ´ :
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¯ ´ R ³ µW¼ =p?>ÁÁ ¿
³
ÁN
³ »

¼
³ »³ R ´
´R ³
³ ³>´
A taxa de dissipação de energia térmica num resistor é
igual a
W quando a corrente é de A. Qual é o valor
da resistência envolvida?
ºJ Da fórmula
volvida é
r
obtemos que a resistência en-
-H 1H:XHqh:
r
Com isto tudo, segue facilmente que a resistência é
(b) Para
´qQ³
:
@L ³>´
E 28-48.
temos
z ÂL@³ !#

Uma diferença de potencial de
V é aplicada a um
aquecedor cuja resistência é de
, quando quente.
(a) A que taxa a energia elétrica é transformada em calor? (b) A centavos por kW h, quanto custa para operar esse dispositivo durante horas?
z F
@L ³
(a) A taxa de transformação de energia elétrica em
onde
é a área do cilindro ao qual o cone
calor
é
se reduz, coincidindo neste caso com a Eq. 28-15 da
pag. 119, como era de se esperar.
W
kW
1 -!HY D-!H
28.2.4 Energia e potência em circuitos elétricos
Z
centavos
kW Ã horas kW
hora
!H centavos :
C
Um estudande deixou seu rádio portátil de V e W
ligado das horas às horas. Que quantidade de carga
passou através dele?
Z
Y
:
(b) o custo de operação do dispositivo é
Custo
E 28-44.
² P 28-56.
A corrente que circulou no rádio era de
-!HH
Um aquecedor de
W é cosntruido para operar sob
V. (a) Qual será a corrente no aqueuma tensão de
cedor? (b) Qual é a resistência da bobina de aquecimenAmpères
to? (c) Que quantidade de energia térmica é gerada pelo
Portanto, a quantidade de carga que passou através do aquecedor em hora?
radio em horas é
(a) A corrente no aquecedor é
ZC aW:¤C
:
$%Q(') ZC V5 [irHH
H
segundos
8DY
kCoulombs
:
y -H !# D-W: C A :
(b) A resistência da bobina de aquecimento é
E 28-45.
C
Um determinado tubo de raios-X opera na corrente de
mA e na diferença de potencial de
kV. Que potência
em Watts é dissipada?

A potência dissipada pelo tubo de raios-X é
DQ gC+\ =j^ \5VH;\ ^ 8gHH W :
-
S: lC ,S: HhhÄ
-!H H - 59!H# -H8 -!# S: Hhh:
(c) A quantidade de energia térmica gerada é
¥,a
*')D-!#EirH4aS:t+<- J :
E 28-46.
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P 28-58.
#
H-
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Um aquecedor de Nicromo dissipa
W quando a
diferença de potencial aplicada é de
V e a tempeC. Qual será o valor da potência
ratura do fio é
dissipada se a temperatura do fio for mantida em
C
pela imersão num banho de óleo? A diferença de potencial permanece a mesma e o valor de para o Nicromo
a
C é
C.
H
HH
¡Å

[<->=_m
!#H
H
Seja
a resistência na temperatura mais alta (
)
e seja
a resistência na temperatura mais baixa
(
). Como a ddp é a mesma para as duas temperaturas, a potência dissipada na temperatura mais baixa
é
e, analogamente,
. Mas
, onde
.
Portanto
!#H ¿
T-
¡Å ¯
¿
¿
¿
(a) A carga $ acelerada em cada pulso é dada por
$Tg('B*W:tEo5sW:XW=_Y81E>=j` C. Portanto,
o número . de elétrons acelerados é
. $0 0 '
H:EE\<-W =_=p` ?7A CC
rW:X-!\ ?G? elétrons :
(b) A carga total que passa numa secção qualquer do feixe durante um intervalo de tempo é
, onde
é o número de pulsos por unidade de tempo e é a carga
em cada pulso. Assim, a corrrente média
por pulso é
Ç 1ad@$Ç
d
$
nÈ
Å TÅ -#¡Å
hÅ I+¨
I+¨aQ¨ R ¨ R H
¿
È Ç &d$4"5VHH w =p? 8]5V[<- =_` C8g!q A :
¿
¡Å
Å
¡Å ¯ hÅ +I ¨ Å ¯ IT¨
i 0 , onde é a
(c) A voltagem aceleradora é
energia cinética final de um elétron. Portanto
#
W
Q
H
:
¯ 5s \ =_m 8]5 R H8
# MeV a# M Volts :
0
-0
Com isto, a potência por pulso é
1Q aW:tE\5#;\ 8g!
P 28-60.
MW
F
Um acelerador linear produz um feixe pulsado de
elétrons. A corrente do pulso é de
A e a sua duração que é a potência de pico. A potência média por pulso
é de
s. (a) Quantos elétrons são acelerados por (i.e. por segundo) é
pulso? (b) Qual é a corrente média de uma máquina
operando a
pulsos por segundo? (c) Se os elétrons
W
kW
forem acelerados até uma energia de
MeV, quais
serão as potências média e de pico desse acelerador?
S:Æ-E
S: #
#
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È Q È H! +\ =j H;<-
-!# ² : r :
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