Conjuntos e Notações

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Conjuntos e Notações
1- Conjuntos Numéricos
(a) Números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, ... }
(b) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z
(c) Números Racionais
- São aqueles que podem ser expressos na forma de fração a / b, onde a e b
são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q ={ a / b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }
Assim como exemplo podemos citar o : –1/2, 1, 2,5 ,...
-Números decimais exatos são racionais, por exemplo:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10 ...
- Números decimais periódicos também são racionais, por exemplo:
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
(d) Números Irracionais
- São aqueles que não podem ser expressos na forma de fração a / b, com a e
b inteiros e b diferente de 0.
-São compostos por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:
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(e) Números Reais
- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
Resumindo:
2. Conceitos de Conjuntos
Notação de relação de elemento para conjunto


pertence
não pertence
Notação de relação de conjunto para conjunto





está contido
não está contido
está contido ou é igual
contém
contém ou é igual
Exemplo1: Descrição de conjuntos
(1) Os conjuntos abaixo são descritos por lista:
(a) S = {2, 5, 17,27}.
(b) S = { 0, 1, 2, 3, 4, .......}.
(2) Os conjuntos abaixo são descritos por propriedade:
(a) S = { x  x é um dos estados do Brasil }.
(b) S = { x  x   e x > 4}.
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Exemplo 2: Conjuntos Contáveis ou Discretos e Conjuntos não Contáveis
1- Conjuntos Contáveis ou Discretos (podem ser descritos por uma lista)
(a) S = {2, 5, 17,27}.
2- Conjuntos não Contáveis (não podem ser descritos por listas)
(a) S = { x  x   e x > 4}
(b) S = {x  x   e x > 4}.
(c) .
Exemplo 3: Conjuntos Finitos e Infinitos
(1) Conjuntos Finitos (possuem um número finito de termos)
(a) S = {2, a, 3, b, 4, c}.
(b) S = { x  x   e 4< x < 10}.
(2) Conjuntos Infinitos (possuem um número infinito de termos)
(a) S = { x  x   e x > 4 }.
(b) S = { 2, 4, 6, 8, .......}
Exemplo 4: Relação de pertinência ( de elemento para conjunto)
(a) Seja S = {2, 5, 17, 27}.
(1) 2  S.
(2) 2 + 5  S
(b) – 0, 84  Q.
(c)
2  Q.
Exemplo 5: Relação entre conjuntos (de conjunto para conjunto)
Sejam os conjuntos A = {1, 7, 9, 15}, B= {7, 9} e C ={ 7, 9, 15, 20} .As seguintes
proposições são verdadeiras :
(a) B  C
(b) B  A
(c) B  A
(d) A  C
(e)   C
Exemplo 6: Igualdade entre conjuntos
Os conjuntos A= {a, a, b, b} e B = {a, a, b} são iguais. Observe que todo
elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e vice-versa.
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Exemplo 7: Conjuntos de Conjuntos
Seja o conjunto S = {0, 1}. Então o conjunto das partes de S é dado por
(S) = { , {0}, {1}, {0, 1}}.
3. Álgebra dos Conjuntos
Notação da Álgebra dos Conjuntos


A’
A-B
AxB
união
interseção
complemento do conjunto A
conjunto diferença entre A e B
Produto cartesiano de A e B
Identidades básicas envolvendo conjuntos
U é o conjunto Universo
1a) A  B = B  A
2a) (A  B ) C =
A  (B  C)
3a) A  (B  C) =
(A  B)  (A  C)
4a) A   = A
5a) A  A’ = U
1b) A  B = B  A
2b) (A  B )  C =
A  (B  C)
3b) A  (B  C) =
(A  B)  (A  C)
4b) A  U = A
5b) A  A’ = 
comutatividade
associatividade
distributividade
elemento neutro
propriedade do
complemento
Exemplo 1: Álgebra de Conjuntos
Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Sejam A = {1, 2, 3, 5, 10}; B = {2, 4, 7, 8, 9} e C = { 5, 8, 10} subconjuntos de U.
Então:
(a) A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,10}.
(b) A  B = { 2 }.
(c) A – C = {1, 2, 3}.
(d) B’  A = {1, 3, 5, 6, 10}  {1, 2, 3, 5, 10} = {1,3,5,10}
(e) A’  (B  C)= {4, 6, 7, 8, 9}  { 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10} = {4, 7, 8, 9}.
Exemplo 2: Álgebra dos Conjuntos
Um programa de busca da internet tem o seguinte conjunto URL em seu banco
de dados:
A = {automóveis à venda} com subconjuntos
B= {carros usados}
C = {carros Ford}
D = {carros Volkswagem}
E= {modelos anteriores a 1995}
Você quer procurar todas as referências sobre carros usados, Ford ou
Volkswagem, modelo 1995 ou mais novos. A expressão que representa a sua
pesquisa em notação de teoria de conjuntos será:
(B  ( C  D))  E’
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Exemplo 3: Produto cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 9} e B = {x  Z 2  x < 5}.
Observe que B = {2, 3, 4}.
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (9, 2), (9, 3),
(9, 4)}.
4. Diagrama de Venn
Algumas representações de conjuntos em Diagrama de Venn
Notação:
A e B são conjuntos contidos no conjunto universo U.
U
A
Fig.1: B  A
B
Fig 2: A  B e B  A
(B é subconjunto próprio de A)
( A e B são conjuntos disjuntos)
Os conjuntos definidos nas figuras abaixo estão representados
na cor cinza:
Fig 3:
A é o complemento de A em U
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Fig 5: Complementar de A  B
Fig 4: A união B
Fig 5: Complementar de A  B
Fig 4: A interseção B
U
B-A
A
B
Fig 6: Conjunto Diferença B - A