Mini Teste 3

Considere a equação diferencial
3xy + y 2 + (x2 + xy)
dy
=0
dx
(1)
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(x).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = 1.
Sendo
M(x, y) = 3xy + y 2
N(x, y) = x2 + xy
e
tem-se
∂M/∂y = 3x + 2y
e ∂N/∂x = 2x + y
⇒ ∂M/∂y 6= ∂N/∂x
pelo que se onclui que a equação não é exacta. Assumindo a existência de um factor
integrante µ(x) (como é sugerido, a equação
µ(x)(3xy + y 2 ) + µ(x)(x2 + xy)
dy
=0
dx
é exacta, pelo que
i
i
∂ h
∂ h
µ′ (x)
1
2
2
µ(x)(3xy + y ) =
µ(x)(x + xy) ⇔
=
∂y
∂x
µ(x)
x
Confirma-se que existe factor integrante só dependente de x, e resolvendo a equação
conclui-se que µ(x) = x.
dy
=0
Nova Equação: 3x2 y + y 2 x + (x3 + x2 y) dx
Redeifnindo,
M(x, y) = 3x2 y + y 2x
e
N(x, y) = x3 + x2 y
têm derivada contı́nua em R2 e ∂M/∂y = 3x2 + 2xy = ∂N/∂x para todos x, y ∈
R2 .
Cálculo de Φ: Assim
∂Φ ∂Φ = (M, N)
,
∂x ∂x
⇒
Φ(x, y) = x3 y +
x2 y 2
+ c, c ∈ R
2
Resolução da Equação:
3xy + y 2 + (x2 + xy)
dy
dy
= 0 ⇔ 3x2 y + y 2 x + (x3 + x2 y)
=0
dx
dx
x2 y 2
x2 y 2
d 3
x y+
+ c = 0 ⇔ x3 y +
=k
⇔
dx
2
2
Resolução do PVI:
Substituindo x = 1 e y = 1 obtem-se k = 3/2, pelo que
2x3 y + x2 y 2 = 3
define a solução do PVI. Resolvendo em ordem a y obtemos que a solução do
PVIé dada por
√
−x2 + x4 + 3
y(x) =
x
definida em I =]0, ∞[.
Considere a equação diferencial
2xy 2 − y + x
dy
=0
dx
(2)
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(y).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = −1.
Sendo
M(x, y) = 2xy 2 − y
tem-se
e
N(x, y) = x
∂M/∂y = 4xy − 1 e ∂N/∂x = 1
⇒ ∂M/∂y 6= ∂N/∂x
pelo que se onclui que a equação não é exacta. Assumindo a existência de um factor
integrante µ(y) (como é sugerido, a equação
µ(y)(2xy 2 − y) + µ(y)x
dy
=0
dx
é exacta, pelo que
i
i
∂ h
µ′ (y)
2
∂ h
µ(y)(2xy 2 − y) =
µ(y)x ⇔
=−
∂y
∂x
µ(y)
y
Confirma-se que existe factor integrante só dependente de y, e resolvendo a equação
conclui-se que µ(y) = y −2 .
Nova Equação: 2x −
1
y
+
x dy
y 2 dx
=0
Redeifnindo,
M(x, y) = 2x −
1
y
e
N(x, y) =
x
y2
têm derivada contı́nua em U = R2 \ {(x, y) : y = 0} e ∂M/∂y = − y12 = ∂N/∂x
para todos x, y ∈ U.
Cálculo de Φ: Assim
∂Φ ∂Φ = (M, N)
,
∂x ∂x
⇒
Φ(x, y) = x2 −
x
+ c, c ∈ R
y
Resolução da Equação:
2xy 2 − y + x
dy
1
x dy
= 0 ⇔ 2x − + 2
=0
dx
y y dx
d 2 x
x
⇔
x − + c = 0 ⇔ x2 − = k
dx
y
y
Resolução do PVI:
Substituindo x = 1 e y = −1 obtem-se k = 2, pelo que
x2 −
x
=2
y
define a solução do PVI. Resolvendo em ordem a y obtemos que a solução do
PVIé dada por
x
y(x) = 2
x −2
√ √
definida em I =] − 2, 2[.
Considere a equação diferencial
1 + y 3 + xy 2
dy
=0
dx
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(x).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = 1.
(3)
Considere a equação diferencial
6xy + 5(x2 + y)
dy
=0
dx
(4)
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(y).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = −2.
Sendo
M(x, y) = 6xy
N(x, y) = 5(x2 + y)
e
tem-se
∂M/∂y = 6x e ∂N/∂x = 10x
⇒ ∂M/∂y 6= ∂N/∂x
pelo que se onclui que a equação não é exacta. Assumindo a existência de um factor
integrante µ(y) (como é sugerido, a equação
µ(y)6xy + 5µ(y)(x2 + y)
dy
=0
dx
é exacta, pelo que
i
i
∂ h
µ′ (y)
2
∂ h
µ(y)(2xy 2 − y) =
µ(y)x ⇔
=−
∂y
∂x
µ(y)
3y
Confirma-se que existe factor integrante só dependente de y, e resolvendo a equação
conclui-se que µ(y) = y 2/3 .
dy
Nova Equação: 6xy 5/3 + 5(x2 y 2/3 + y 5/3 ) dx
=0
Redeifnindo,
M(x, y) = 6xy 5/3
e
N(x, y) = 5(x2 y 2/3 + y 5/3 )
têm derivada contı́nua em R2 e ∂M/∂y = −10xy 2/3 = ∂N/∂x para todos x, y ∈
R2 .
Cálculo de Φ: Assim
∂Φ ∂Φ = (M, N)
,
∂x ∂x
⇒
Φ(x, y) = 5x2 y 2/3 +
15 8/3
y + c, c ∈ R
8
Resolução da Equação:
6xy + 5(x2 + y)
dy
dy
= 0 ⇔ 6xy 5/3 + 5(x2 y 2/3 + y 5/3 )
=0
dx
dx
15
d 2 2/3 15 8/3
5x y + y + c = 0 ⇔ 5x2 y 2/3 + y 8/3 = k
⇔
dx
8
8
Resolução do PVI:
Substituindo x = 1 e y = −2 obtem-se k =
25
√
3
2
4
, pelo que
√
3
x2 y 2/3 + 3y 8/3 = 20 4
define a solução do PVI. Atendendo a que N(x0 , y0 ) = N(1, −2) = −5 6= 0 o
Teorema da função Implı́cita garante a existência de uma função de derivada
contı́nua, s(x), tal que
√
3
x2 y 2/3 + 3y 8/3 = 20 4 ⇔ y = s(x)
para x numa vizinhança de x0 = 1. s(x) será a solução do PVI.
Considere a equação diferencial
1 + y 3 + xy 2
dy
=0
dx
(5)
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(x).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = 1.
Sendo
M(x, y) = 1 + y 3
N(x, y) = xy 2
e
tem-se
∂M/∂y = 3y 2
e ∂N/∂x = y 2
⇒ ∂M/∂y 6= ∂N/∂x
pelo que se onclui que a equação não é exacta. Assumindo a existência de um factor
integrante µ(x) (como é sugerido, a equação
µ(x)(1 + y 3) + µ(x)xy 2
dy
=0
dx
é exacta, pelo que
i
i
µ′ (x)
∂ h
∂ h
2
3
2
⇔
µ(x)(1 + y ) =
µ(x)xy
=
∂y
∂x
µ(x)
x
Confirma-se que existe factor integrante só dependente de x, e resolvendo a equação
conclui-se que µ(x) = x2 .
dy
Nova Equação: x2 (1 + y 3 ) + x3 y 2 dx
=0
Redeifnindo,
M(x, y) = x2 (1 + y 3)
e
N(x, y) = x3 y 2
têm derivada contı́nua em R2 e ∂M/∂y = −3x2 y 2 = ∂N/∂x para todos x, y ∈ R.
Cálculo de Φ: Assim
∂Φ ∂Φ = (M, N)
,
∂x ∂x
⇒
Φ(x, y) =
x3 (1 + y 3)
+ c, c ∈ R
3
Resolução da Equação:
1 + y 3 + xy 2
dy
dy
= 0 ⇔ x2 (1 + y 3 ) + x3 y 2
=0
dx
dx
d x3 (1 + y 3)
+ c = 0 ⇔ x3 (1 + y 3 ) = k
⇔
dx
3
Resolução do PVI:
Substituindo x = 1 e y = 1 obtem-se k = 2, pelo que
x3 (1 + y 3 ) = 2
define a solução do PVI. Resolvendo em ordem a y obtemos que a solução do
PVIé dada por
r
2
3
−1
y(x) =
x3
definida em I =]0, ∞[.
Considere a equação diferencial
y + (y 4 − 3x)
dy
=0
dx
(6)
1. Verifique que a equação não é exacta.
2. Determine um factor integrante da forma µ(y).
3. Determine a solução da equação que verifica y(1) = 2.
Sendo
M(x, y) = y
N(x, y) = y 4 − 3x
e
tem-se
∂M/∂y = 1 e ∂N/∂x = −3
⇒ ∂M/∂y 6= ∂N/∂x
pelo que se onclui que a equação não é exacta. Assumindo a existência de um factor
integrante µ(x) (como é sugerido, a equação
µ(y)y + µ(y)(y 4 − 3x)
dy
=0
dx
é exacta, pelo que
i
i
∂ h
∂ h
µ′ (y)
4
4
µ(y)y =
µ(y)(y − 3x) ⇔
=−
∂y
∂x
µ(y)
y
Confirma-se que existe factor integrante só dependente de y, e resolvendo a equação
conclui-se que µ(y) = y −4 .
dy
Nova Equação: y −3 + (1 − 3xy −4 ) dx
=0
Redeifnindo,
M(x, y) = y −3
e
N(x, y) = 1 − 3xy −4
têm derivada contı́nua em U = R2 \{(x, y) : y = 0} e ∂M/∂y = −3y −4 = ∂N/∂x
para todos x, y ∈ U.
Cálculo de Φ: Assim
∂Φ ∂Φ = (M, N)
,
∂x ∂x
⇒
Φ(x, y) = xy −3 + y + c, c ∈ R
Resolução da Equação:
y + (y 4 − 3x)
dy
dy
= 0 ⇔ y −3 + (1 − 3xy −4)
=0
dx
dx
d −3
xy + y + c = 0 ⇔ xy −3 + y = k
⇔
dx
Resolução do PVI:
Substituindo x = 1 e y = 2 obtem-se k =
18
,
8
xy −3 + y =
pelo que
18
8
define a solução do PVI. Atendendo a que N(x0 , y0 ) = N(1, 2) = 13 6= 0 o
Teorema da função Implı́cita garante a existência de uma função de derivada
contı́nua, s(x), tal que
xy −3 + y =
18
⇔ y = s(x)
8
para x numa vizinhança de x0 = 1. s(x) será a solução do PVI.