UNIDADE IV: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE

UNIDADE IV: MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
OBJETIVO DA UNIDADE:
- Entender a definição de medida de dispersão ou variabilidade;
- Saber calcular variância e desvio padrão;
- Conceituar intervalo padrão ou zona de normalidade;
- Identificar dados homogêneos e heterogêneos através do coeficiente de variação.
Já estudamos que um conjunto de valores pode ser sintetizado por meio de procedimento
matemático, como o cálculo da média, moda, mediana, quartis e percentis. No entanto, a
interpretação de dados estatísticos exige que se realize um número maior de estudos, além dos
estudados nas unidades precedentes. Torna-se necessário ter uma idéia de como se apresentam os
dados, qual a variação em torno da média, qual a concentração. Vejamos o seguinte exemplo:
Foram avaliados três grupos de executivos, cada um com cinco elementos, no que se refere
à criatividade e os testes mostraram os seguintes resultados:
Grupo A: - 5 5 5 5 5
Grupo B: - 3 4 5 6 7
Grupo C: - 1 2 5 7 10
Para representar cada grupo, podemos calcular a média e vamos verificar que os três
grupos têm a mesma média x = 5, entretanto observando a variação dos dados podemos perceber
que os grupos se comportam de forma diferente, apesar de todos terem a mesma média. Nesse
caso, a média ainda que considerada como um número que pode representar uma seqüência de
números, não pode destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os
valores que compõem o conjunto. Desse modo, precisamos efetuar outros procedimentos
matemáticos para caracterizar melhor os dados de cada grupo com o objetivo de tirarmos
conclusões qualitativas.
As medidas que mostram a variação dos dados de um conjunto são chamadas de Medidas
de Dispersão ou Variabilidade:
I) Medida de Dispersão Absoluta:
- Amplitude total;
- Desvio médio;
- Variância e desvio-padrão.
II) Medidas de Dispersão relativa:
- Coeficiente de variação de Pearson;
4.1 Medidas de Dispersão Absoluta
4.1.1 Amplitude Total ou Intervalo Total
O Símbolo da Amplitude Total é: AT
Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre os valores
extremos do conjunto observado:
AT  xMax  xMin
Exemplo 1: Calcular a amplitude total dos seguintes conjuntos de números:
A = {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
C = {-4, -3, -2, 3, 5}
Solução:
Para o conjunto A, temos: AT = 45 - 10 = 35
Para o conjunto B, temos: AT = 23 - 17 = 6
Para o conjunto C, temos: AT = 5 - (-4) = 9
Se os dados vierem dispostos em uma tabela de freqüências, com os valores agrupados em
classes, há duas formas de se definir a amplitude total:
Primeiro Método: AT = Ponto médio da última classe - ponto médio da primeira classe.
Segundo Método: AT = Limite superior da última classe - limite inferior da primeira classe.
Exemplo 2: Calcular a amplitude total dos valores dispostos na tabela 8.1.
Tabela 4.1 - Consumo de água do Bairro Santa Mônica /06
Classes
10 ├
20
20 ├
30
30 ├
40
40 ├
50
50 ├
60
60 ├
70
Fj
5
12
20
14
10
4
n = 65
Xj
15
25
35
45
55
65
Pelo primeiro método: AT = 65 - 15 = 50  AT = 50
Nesse método, os valores extremos são eliminados.
Pelo segundo método: AT = 70 - 10 = 60  AT = 60
4.1.2 Restrições ao uso da Amplitude Total
Embora a amplitude total seja a mais simples das medidas de dispersão, há uma forte
restrição ao seu uso em virtude de sua grande instabilidade, uma vez que ela leva em conta apenas
os valores extremos da série. Comparemos os conjuntos A e B do exemplo 1:
Tabela 4.2
Conjunto
A = {10, 12, 13, 15, 20, 25, 45}
B = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
Média
x = 20
x = 20
Amplitude Total: A
AT A = 35
AT
B
t
=6
A média aritmética de cada um desses conjuntos é igual a 20. Portanto, no que diz respeito
a uma medida de posição, ambos os conjuntos podem ser considerados idênticos. Ao calcularmos a
amplitude total, verificaremos que os valores do conjunto A apresentam maior dispersão. Todavia,
no cálculo da amplitude total não são levados em consideração os valores da série que se encontram
entre os extremos, o que poderia conduzir o analista a interpretações equivocadas. Muitas vezes,
um valor particularmente anormal poderá afetar de maneira acentuada a medida. O conjunto A, por
exemplo, apresenta o último valor (45) sensivelmente distante do penúltimo (25), fato que talvez
tenha provocado uma amplitude total de tal magnitude (35).
Além da insensibilidade aos valores entre os extremos anormais, a amplitude total é
sensível ao tamanho de amostra. Ao aumentar essa última, a amplitude total tende a aumentar,
ainda que não proporcionalmente. Finalmente, a amplitude total apresenta muita variação de uma
amostra para outra, mesmo que ambas sejam extraídas da mesma população.
Apesar dos inconvenientes dessa medida, os quais não justificam, na maioria das vezes, seu
uso, há situações especiais em que ela resulta satisfatória. É o caso, por exemplo, da amplitude da
temperatura em um dia ou no ano. Outra situação seria aquela em que os dados são raros ou
demasiadamente esparsos para justificar o emprego de uma medida mais precisa.
É importante acrescentar que, ao descrever uma série por uma medida de posição (média,
por exemplo) e de dispersão, se essa última for a amplitude total, é recomendável que se indiquem
os valores extremos da série.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine a amplitude total em cada um dos casos.
1. A12,15,25,32,45,18,36,19  AT  xMáx  xMin  45  12  AT  33
2. Tabela 4.2.1 Número de faltas dos acadêmicos da Turma A
Faltas
Acadêmicos
2
15
3
10
5
8
6
6
9
4
total
43
AT  9  2  7  AT  7
3. Tabela 4.2.2. Notas da atividade 1, dos acadêmicos da Turma A
Notas
Acadêmicos
3,8 ├ 4,8
5
4,8 ├ 5,8
6
5,8 ├ 6,8
12
6,8 ├ 7,8
15
7,8 ├ 8,8
5
total
43
Pelo primeiro método: AT = 8,3 – 4,3 = 4 AT = 4
Nesse método, os valores extremos são eliminados.
Pelo segundo método: AT = 8,8 - 3,8 = 5  AT = 5
4.2 Desvio Médio (Símbolo: Dm)
O desvio médio ou média dos desvios é igual à média aritmética dos valores absolutos dos
desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana.
4.2.1 Desvio Médio para Dados Brutos
Quando os valores não vierem dispostos em uma tabela de freqüências, o desvio médio
será calculado, de acordo com a definição, através do emprego de uma das seguintes fórmulas:
K
Dm 
x
i 1
i
f
k
Dm 
x
i 1
x
i
(1) desvio em relação à média aritmética.
i
 xmd

fi
(2) desvio em relação à mediana.
As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos dos desvios.
Exemplo: Calcular o desvio médio dos conjuntos de números apresentados no exemplo 1:
A= {10, 12, 13, 20, 25, 34, 45}
B= {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}
C= {-4, -3, -2, 3, 5}
Os dados necessários para o cálculo do desvio são:
10  12  13  20  25  34  45 159
e x mdA 

 22,71
7
7
17  18  19  20  21  22  23 140
e x mdB  20
xB 

 20
7
7
xA 
xC 
(-4)  (-3)  (-2)  3  5  1

 0,2 e
5
5
20
xmdC  2
É conveniente colocarmos os valores dispostos em uma tabela, considerando:
a) Desvio Médio do Conjunto A: onde temos
x  22,71 e
xmd  20
Tabela 4.3 - Elementos do Conjunto A
xi
( xi  x )
xi  x
( xi  xmd )
xi  xmd
10
12
13
20
25
34
45
10 – 22,71 = -12,71
12 – 22,71 = -10,71
13 – 22,71 = -9,71
20 – 22,71 = -2,71
25 – 22,71 = 2,29
34 – 22,71 = 11,29
45 – 22,71 = 22,29
12,71
10,71
9,71
2,71
2,29
11,29
22,29
10 – 20 = -10
12 – 20 = -8
13 - 20 = -7
20 – 20 = 0
25 – 20 = 5
34 – 20 = 14
45 – 20 = 25
10
8
7
0
5
14
25

= 61,71

= 69
Usando as fórmulas (1) e (2), chegaremos a:
Pela Média
7
Dm 
x
i 1
i
- 22,71
7

Dm= 10,24
71,71
 10,24
7
Pela Mediana
Dm = 9,86
7
Dm 
x
i 1
i
 20
7

69
 9,86
7
b) Desvio Médio do Conjunto B: onde temos
xi
( xi  x )
x  20 e
xmd  20
Tabela 4.4 - Elementos do Conjunto B
xi  x
( xi  x md )
xi  xmd
17
18
19
20
21
22
23
17 – 20 = -3
18 – 20 = -2
19 – 20 = -1
20 – 20 = 0
21 – 20 = 1
22 – 20 = 2
23 – 20 = 3
x
i
3
2
1
0
1
2
3
17 – 20 = -3
18 – 20 = -2
19 – 20 = -1
20 – 20 = 0
21 – 20 = 1
22 – 20 = 2
23 – 20 = 3
x
 x  12
i
3
2
1
0
1
2
3
 xmd  12
Neste caso, o desvio médio é igual, tanto quando calculado a partir da média como da
mediana, uma vez que x  xmd  20
Pela Média
7
Dm

=
i 1
x i - 20
Dm = 1,71

7
12
 1,71
7
Pela Mediana
7
Dm =
x
i 1
i
- 20
7

12
 1,71
7
c) Desvio Médio do Conjunto C: onde temos
x  0,2 e
xmd  2
Tabela 4.5 - Elementos do Conjunto C
xi  x
( xi  x md )
xi
( xi  x )
-4
-3
-2
3
5
(-4) – (-0,2) = - 3,8
(-3) – (-0,2) = -2,8
(-2) – (-0,2) = -1,8
3 – (-0,2) = 3,2
5 – (-0,2) = 5,2
x
i
3,8
2,8
1,8
3,2
5,2
-4 – (-2) = -2
-3 – (-2) = -1
-2 – (-2) = 0
3 – (-2) = 5
5 – (-2) = 7
 x  16,8
xi  xmd
x
i
2
1
0
5
7
 xmd  15
Pela Média
Dm =

x i  (-0,2)
5

16,8
 3,36
5

15
3
5
Pela Mediana
Dm =

xi  (-2)
5
Dm = 3,36
Dm = 3
Como ocorreu para o primeiro conjunto, o desvio médio neste caso é menor quando
tomado em relação à mediana do que em relação à média.
4.2.2 Desvio Médio para Dados Tabulados sem Intervalo de Classe
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, agrupados ou não em classes,
serão usadas as seguintes fórmulas:
k
Cálculo pela Média Dm 

i 1
xi  x . f i

fi
Onde X j representa um valor individual ou um ponto médio da classe.
k
Cálculo pela Mediana Dm 
x
i 1
i
 xmd . f i
f
i
Exemplo: Calcular o desvio médio em relação à média e em relação à mediana do número de
empregados por estabelecimentos comerciais conforme a tabela 4.6.
Tabela 4.6 Número de empregados por estabelecimentos comerciais
xi  4,71  f i
xi  5  f i
xi f i
Emp/estab
f
Fa
1
2
2
2
3,71.(2)=7,42
4.(2)=8
2
3
5
6
2,71.(3)=8,13
3.(3)=9
3
3
8
9
1,71.(3)=5,13
2.(3)=6
4
5
13
20
0,71.(5)=3,55
1.(5)=5
5
6
19
30
0,29.(6)=1,74
0.(6)=0
6
4
23
24
1,29.(4)=5,16
1.(4)=4
7
3
26
21
2,29.(3)=6,87
2.(3)=6
10
2
28
20
5,29.(2)=10,58
5.(2)=6
28
 xi f i  132
  48,58
  44
Inicialmente completamos a tabela 4.6 com a coluna da frequência acumulada Fa para o cálculo da
mediana e da coluna para xi f i para o cálculo da média. Após determinarmos os valores da median
e da média devemos colocar mais duas colunas para o cálculo do desvio com a média e com a
mediana.
Cálculo da média x  132  4,71
28
Para encontrarmos o valor do desvio em relação à média completamos a tabela com a coluna 5.
Cálculo do Desvio médio em relação à Média D  48,58  1,74
m
28
Cálculo da Mediana  Posição da mediana  f  28  14( posição)
2
2
Na coluna da Fa vemos que o elemento de ordem 14° está na classe 5, onde o valor de x é 5, ou
seja xmd  5
Para encontrarmos o valor do desvio em relação à mediana completamos a tabela com a coluna 6.
Cálculo do Desvio médio em relação à Mediana D  48  1,71
m
28
4.2.3. Desvio Médio para dados Tabulados com Intervalo de Classe.
Exemplo: Calcular o desvio médio dos valores representativos do consumo de energia elétrica (em
Kwh) de 80 usuários.
Tabela 4.7 - Consumo de energia elétrica de consumidores de Campo Grande/MS/06
Consumo (Kwh)
5
├ 25
fj
xj
x j fj
4
15
60
xi  x f i
64,5 x 4 = 258
xi  xmd f i
62,31 x 4 = 249,24
Fa
4
25 ├ 45
45 ├ 65
65 ├ 85
85 ├ 105
105├ 125
125├ 145
145├ 165
6
14
26
14
8
6
2
35
55
75
95
115
135
155
210
770
1950
1330
920
810
310

80
44,5 x 6 = 267
24,5 x 14 = 343
4,5 x 27 = 117
15,5 x 14 = 217
35,5 x 8 = 284
55,5 x 6 = 333
75,5 x 2 = 150
=6360
42,31 x 6 = 253,86
22,31 x 14 = 312,34
2,31 x 27 = 60,06
17,69 x 14 = 247,66
37,69 x 8 = 301,52
57,69 x 6 = 346,14
77,69 x 2 = 155,38
1970
10
24
50
64
72
78
80
  1926,2
Iniciamos com o cálculo da média e da mediana
6360
Média  x 
 79,5
80
40  24
Mediana  xmd  65 
 20  xmd  77,31
26
Completamos as tabelas com as diferenças e os produtos necessários para o cálculo do desvio
médio.
8
Cálculo pela média: Dm 
 x 79,5 f
i
i 1
80
i

1970
 Dm  24,63Kwh
80
8
Cálculo pela mediana: Dm 
 x 77,31 f
i 1
i
80
i

1926 ,2
 Dm  24,08 Kwh
80
Podemos observar novamente que o desvio médio, calculado com base na mediana, é
menor que o calculado com base na média aritmética.
Observações:
1. O desvio médio apresenta resultado mais vantajoso que as medidas de dispersão precedentes,
principalmente pelo fato de, em seu cálculo, levar em consideração todos os valores da distribuição.
2. O desvio médio, calculado levando-se em consideração os desvios em torno da mediana, é
mínimo, ou seja, é menor do que qualquer desvio médio calculado com base em qualquer outra
medida de tendência central.
3. Apesar de o desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de uma amostra não é tão
freqüentemente empregado como o desvio-padrão, o qual será estudado a seguir, pois este se
adapta melhor a uma ampla gama de aplicações. Além disso, o desvio médio não considera o fato
de alguns desvios serem negativos e outros positivos, pois essa medida os trata como se fossem
todos positivos, como valores absolutos. Contudo, será preferível o uso do desvio médio em lugar
do desvio-padrão, quando esse for indevidamente influenciado pelos desvios extremos.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine o desvio médio em cada um dos casos,
pela média.
1. A 12, 15, 25, 32, 18, 19
Para facilitar vamos colocar os valores em uma tabela:
xi
xi  25,25
12
15
18
19
13,25
10,25
7,25
6,25
25
32
0,25
6,75
44
  202
Dm 
44
 7,33
6
2. Tabela 4.2.1 Número de faltas dos acadêmicos da Turma A
Faltas
Acadêmicos
x f
x 4
i
2
3
5
6
9
total
15
10
8
6
4
43
i
i
30
30
40
36
36
172
2
1
1
2
5
xi  4 f i
30
10
8
12
20
80
Para o cálculo do Dm, precisamos da média, dos módulos dos desvios e do produto dos desvios
pela frequência, em seguida é só aplicarmos a fórmula:
k
Dm 

i 1
xi  x . f i

fi
Dm 
80
 1,86
43
3. Tabela 4.2.2. Notas da atividade 1, dos acadêmicos da Turma A
Notas
Acadêmicos
x
x f
x  6,51
i
3,8
4,8
5,8
6,8
7,8
├ 4,8
├ 5,8
├ 6,8
├ 7,8
├ 8,8
total
5
6
12
15
5
43
4,3
5,3
6,3
7,3
8,3
i
i
21,5
31,8
75,6
109,5
41,5
279,9
i
2,21
1,21
0,21
0,79
1,79
xi  6,51 f i
11,05
7,26
2,52
11,85
8,95
41,63
Para o cálculo do Dm, precisamos dos valores de xi , da média, dos módulos dos desvios e do
produto dos desvios pela frequência, em seguida é só aplicarmos a fórmula:
x
279,9
 6,51
43
k
Dm 

i 1
xi  x . f i

fi
Dm 
41,63
 0,97
43
4.3 Variância (Símbolo: S2)
Vimos que a Amplitude total e o Desvio Médio são medidas que se deixam influenciar
pelos valores extremos, que em grande maioria são devidos ao acaso.
A variância é uma medida que leva em consideração valores extremos e os valores
intermediários, isto é, expressa melhor os resultados obtidos. A variância relaciona os desvios em
torno da média, ou mais claramente, é a média aritmética dos quadrados dos desvios.
Variância de uma população:
 x
S 
2
i
 x
 d i2

n
n
2
Sendo:
S 2 = variância
x = valor da média aritmética
di = xi  x

n= f

i
Observação: É mais comum na estatística o trabalho com amostra e não com a população. Neste
caso o denominador passa a ser (n - 1) em vez de n, pois assim teremos uma melhora na estimativa
do parâmetro da população:
Variância de uma amostra:
S 
2
 x
 x
d i2


n 1
n 1
2
i
4.4 Desvio-padrão (Símbolo: S)
O desvio-padrão é a medida de dispersão mais usada, tendo em comum com o desvio
médio o fato de em ambos serem considerados os desvios com relação à média ( x ). Só que, no
cálculo do desvio-padrão, em lugar de serem usados os valores absolutos das discrepâncias ou
desvios, calculam-se os quadrados desses. O desvio-padrão não é senão uma média quadrática dos
desvios em relação à média aritmética de um conjunto de números, ou seja, é a raiz quadrada da
média aritmética dos quadrados dos desvios, tomados a partir da média aritmética.
4.4.1 Desvio-padrão de Dados Brutos
Seja o seguinte conjunto de números: X = {x1, x2,... xn}. O desvio-padrão ou a média
quadrática dos desvios ou afastamento em relação à média aritmética desse conjunto será definido
por:
n
S
d
i 1
 x
n
2
i
n
ou resumidamente: S 

i 1
 x
2
i
n
(x
 x)2
n
i


Exemplo: Calcular o desvio padrão do conjunto de números A 1,3,5,7
Vamos utilizar uma tabela para o cálculo do desvio padrão. Iniciamos calculando o valor da média.
x
1 3  5  7
4 x 4
4
Tabela 4.8. Cálculo do Desvio Padrão
xi
x
1
3
5
7
(1 - 4)2 = 9
(3 - 4)2 = 1
(5 - 4)2 = 1
(7 - 4)2 = 9
i
 4
2
(x
i
 4) 2  20
Aplicando a fórmula do desvio padrão temos:
S
20
 5  S  2,24
4
Observação: quando o desvio-padrão representar uma descrição da amostra e não da
população, caso mais freqüente em estatística, o denominador das expressões será igual a n - 1, em
vez de n. A razão desse procedimento reside no fato de que, utilizando o divisor (n - 1), obtém-se
uma estimativa melhor do parâmetro de população. Além do mais, apenas n - 1 das discrepâncias
(xi - x) são independentes, uma vez que essas (n - 1) discrepâncias determinam automaticamente a
n-ésima. Para valores grandes de n (n > 30) não há grande diferença entre os resultados
proporcionados pela utilização de qualquer dos dois divisores, n ou n - 1. Entretanto, daremos
preferência para a fórmula que proporciona uma estimativa mais justa do desvio-padrão da
população, ou seja:
 x
n
S
d
n
2
i
i 1

n 1
i 1
 x
2
i
n 1
4.4.2 Desvio-padrão de Dados Tabulados sem Intervalo de Classe
Quando os valores vierem dispostos em uma tabela de frequências, o cálculo do desviopadrão se fará através de uma das seguintes fórmulas:
Desvio padrão para dados populacionais
k
S
d
i 1
 x
k
2
i
fi
n

i 1
 x fi
2
i
n
Desvios padrão para dados amostrais
k
S
xi
d
i 1
 x
k
2
i
fi
n 1

i 1
i
 x fi
2
n 1
= valor isolado da variável, ou ponto médio da classe, se os valores vierem agrupados em classe.
Exemplo: Calcular o desvio padrão da tabela 4.9
Tabela 4.9 Número de faltas/mês dos funcionários da empresa Agro Sul / 08
N° de faltas / mês
f
x f
i
0
1
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
1
2
1
1
0
3
4
3
4
10
6
7
i
* pesquisa populacional

f  15
Inicialmente calculamos a média  x 
x
f i  37
i
x f
f
i

i
37
 2,47 faltas / mês
15
Em seguida, inserimos mais uma coluna na tabela 4.9 onde vamos fazer os cálculos necessários para
o cálculo do desvio padrão:
Tabela 4.10 Número de faltas/mês dos funcionários da empresa Agro Sul / 08
N° de faltas / mês
f
x f
( x  2,47) 2 f
i
0
1
2
3
4
5
6
7
* pesquisa populacional
SP 
(x  x)
f
i

4
3
2
1
1
2
1
1
f  15
2
x
i
i
0
3
4
3
4
10
6
7
( 0 - 2,47 ( 4 ) = 24,40
( 1 - 2,47 )2. ( 3 ) = 6,48
( 2 - 2,47 )2. ( 2 ) = 0,44
( 3 - 2,47 )2. ( 1 ) = 0,28
( 4 - 2,47 )2. ( 1 ) = 2,34
( 5 - 2,47 )2.( 2 ) = 12,80
( 6 - 2,47 )2.( 1 ) = 12,46
( 7 - 2,47 )2.( 1 ) = 20,52
79,72
f i  37
i
i
)2.
79,72
 5,31  2,3 S P  2,3
15
 SP 
Exemplo: Foi realizada uma pesquisa amostral para conhecer o número de filhos dos funcionários
da Empresa Coisas & Tal. Determine o desvio padrão da quantidade de filhos.
Tabela 4.11 Número de filhos/funcionários da empresa Cisas & Tal /08
N° de filhos /func
f
x f
(x  x)2 f
i
0
1
2
3
4
5
6
3
5
2
1
1
1
1
14
i
i
i
0
5
4
3
4
5
6
27
x f
f
27
 1,93 filhos / func
14
Em seguida, vamos completar na tabela, na próxima coluna com os desvios ao quadrado,
multiplicado pela frequência, obtendo assim a soma total para aplicarmos na fórmula.
Inicialmente calculamos a média  x 
i
i

Tabela 4.12 Número de filhos/funcionários da empresa Coisas & Tal /08
N° de filhos /func
f
x f
( x  1,93) 2 f
i
0
1
2
3
4
5
6
3
5
2
1
1
1
1
0
5
4
3
4
5
6
i
i
i
( 0 – 1,93 )2. ( 3 ) = 11,17
( 1 – 1,93 )2. ( 5 ) = 4,32
( 2 – 1,93 )2. ( 2 ) = 0,01
( 3– 1,93 )2. ( 1 ) = 1,15
( 4 – 1,93 )2. ( 1 ) = 4,28
( 5 – 1,93 )2. ( 1 ) = 9,42
( 6 – 1,93 )2. ( 1 ) = 16,56
* pesquisa amostral
 (x  x)
 f 1
SA 
14
2
46,91

14  1
 SA 
i
27
46,91
46,91
 3,61  1,9 S A  1,9
13
4.4.3 Desvio padrão de Dados Tabulados com Intervalo de Classes
Quando tivermos que calcular o desvio padrão para tabelas de dados tabulados com intervalos de
classes usaremos as mesmas fórmulas para dados sem intervalos de classes, utilizando para xi os
pontos médios de cada classe, seguindo com os mesmos procedimentos.
Exwmplo: Com dados da tabela a seguir, calcule o desvio-padrão da distribuição de frequências do
consumo de energia elétrica (Kwh) :
Tabela 4.13 Distribuição de freqüências do consumo de energia elétrica
Número de
Consumo
usuários
5 ├ 25
25├ 45
45├ 65
65├ 85
85├ 105
105├ 125
125├ 145
145├ 165
4
6
14
26
14
8
6
2

xi
xi f i
15
35
55
75
95
115
135
155
60
210
770
1950
1330
920
810
310
6360
fi
( xi  79,5) ( xi  79,5) 2 ( x i 79,5) 2 f i
- 64,5
- 44,5
- 24,5
- 4,5
15,5
35,5
55,5
75,5
4160,25
1980,25
600,25
20,25
240,25
1260,25
3080,25
5700,25
16641,0
11881,5
8403,5
526,5
3363,5
10082,0
18481,5
11400,5
80780
A média aritmética do consumo já foi calculada anteriormente:
x
x
fi
i
n
6360
 79,5
80

Cálculo do Desvio-padrão pela Fórmula Original :
 x
k
S
j 1

 x fj
n 1
 x
8
2
j

j 1
 79,5 f j
2
j
80  1

80780
 1022,53  S  31,98
79
O desvio-padrão do consumo de energia elétrica é 31,98 Kwh. Lembre-se que o desvio
médio já foi calculado, resultando em Dm = 24,63 Kwh.
Pratique resolvendo mais alguns exemplos: Determine o desvio padrão em cada um dos casos,
pela média.
1. A 12, 15, 25, 32, 18, 19
Para facilitar vamos colocar os valores em uma tabela:
xi
xi  25,25
xi  25,25
12
15
18
19
25
32
13,25
10,25
7,25
6,25
0,25
6,75
44
175,5625
105,0625
52,5625
39,0625
0,0625
45,5625
417,875
  202
2
Para o cálculo do desvio padrão precisamos elevar ao quadrado os desvios em relação á média
SP 
 (x  x)
f
2
417,88

44
 SP 
i
9,5  3,08 S P  3,08
2. Tabela 4.2.1 Número de faltas dos acadêmicos da Turma A
Faltas
Acadêmicos
x f
x 4
i
2
3
5
6
9
total
15
10
8
6
4
43
i
i
30
30
40
36
36
172
2
1
1
2
5
xi  4
xi  4 f i
2
2
4
1
1
4
25
60
10
8
24
100
202
Para o cálculo do Desvio padrão precisamos da soma dos quadrado dos módulos dos desvios
multiplicado pela frequência, em seguida é só aplicarmos a fórmula:
 x
k
S
j
j 1
x

2
 x
 4 f j
8
fj
n 1

j 1
2
j
202

42

43  1
4,81  S  2,19
3. Tabela 4.2.2. Notas da atividade 1, dos acadêmicos da Turma A
Notas
Acadêmicos
x
x f
x  6,51
i
3,8
4,8
5,8
6,8
7,8
├ 4,8
├ 5,8
├ 6,8
├ 7,8
├ 8,8
total
5
6
12
15
5
43
i
4,3
5,3
6,3
7,3
8,3
i
21,5
31,8
75,6
109,5
41,5
279,9
i
xi  6,51 f i
2,21
1,21
0,21
0,79
1,79
2
24,4205
8,7846
0,5292
9,3615
16,0205
59,1163
Para o cálculo do Desvio padrão precisamos da soma dos quadrado dos módulos dos desvios
multiplicado pela frequência, em seguida é só aplicarmos a fórmula:
 x
k
S
j 1
j
x
n 1

2
 x
8
fj

j 1
 6,51 f j
2
j
43  1

59,12
 1,41  S  1,19
42
4.5 Interpretação do desvio padrão
Neste item vamos apresentar duas regras para interpretação do desvio padrão:
1ª) Regra Empírica
Para qualquer distribuição amostral com média x e desvio padrão S, tem-se:
 O intervalo x  S , x  S contém entre 60% e 80% de todas as observações
amostrais. A porcentagem aproxima-se de 70% para distribuições fortemente simétricas,
chegando a 90% para distribuições fortemente assimétricas.






O intervalo x  2S , x  2S contém aproximadamente 95% das observações
amostrais para distribuições simétricas e aproximadamente 100% para distribuições com
assimetria elevada.
O intervalo x  3S , x  3S contém aproximadamente 100% das observações
amostrais, para distribuições simétricas.


2º) Teorema de Tchebycheff
Para qualquer distribuição amostral com media x e desvio padrão S, tem-se:
 O intervalo x  2S , x  2S contém, no mínimo, 75% de todas as observações
amostrais.
 O intervalo x  3S , x  3S contém, no mínimo, 89% de todas as observações
amostrais.




Observação: O intervalo padrão é definido por um conjunto de valores (ou uma região) em torno
da média aritmética, contidos num intervalo de amplitude “2S ” (duas vezes o desvio-padrão), ou
seja, -S (antes da média) e +S (depois da média). Conforme estudos matemáticos, essa região
engloba 68,26% dos valores da série ou dos dados pesquisados.
Gráfico da zona de Normalidade pg 80 da apostila atual
Exemplo: O restaurante “Sabor em kilo” fez um levantamento para saber o consumo médio e
obteve média de 580 g e o desvio padrão de 210 g, calcule:
a) a amplitude de intervalo da zona de normalidade;
b) a amplitude dos 95% centrais.
Solução:
a) Zona de normalidade: de
(x  S)
até
(x  S)
Sendo
x = 580 g e S = 210 g calcula-se o intervalo:
( x  S ) = 580 - 210 = 370 g
( x  S ) = 580 + 210 = 790 g
Assim, a zona de normalidade é de 370 g até 790 g. Isso representa que 68% dos clientes do
restaurante consomem entre 370 g e 790 g.
b) amplitude dos 95% centrais: ( x  2S ) de até ( x  2S )
( x  2S ) = 580 – 2.(210) = 160 g
( x  2S ) = 580 + 2.(210) = 1000 g
Assim, a amplitude dos 95% centrais é de 160 g até 1000. Essa amplitude indica que 95% dos
clientes consomem entre 160 g e 1000 g.
4.6 Intervalo Padrão ou Zona de Normalidade
Como pudemos estudar no item 4.5 sobre a interpretação do Desvio Padrão, o Intervalo Padrão ou
Zona de Normalidade engloba cerca de 68% da pesquisa realizada. Em muitos casos utilizamos o
intervalo padrão para especificar com maior precisão o que realmente pode ser considerado padrão.
Observamos esse fato nos exames de sangue que realizamos para saber se estamos dentro do
padrão. Temos sempre um valor mínimo e um valor máximo na normalidade. Isso é facilmente
percebido para vários fenômenos cotidianos
Exemplo: Consideremos o exemplo: Número de faltas por mês dos funcionários da Empresa
Coisas & tal agosto/08
Média calculada  x  2 faltas / func.
Desvio padrão  S P  2 faltas / func.
Para calcular o Intervalo padrão ou número padrão de faltas / mês dos funcionários usamos a
fórmula:
x S
P
; x  S P   2  2; 2  2  0; 4
Portanto, o número padrão de faltas por funcionários da Empresa Coisas&Tal é de 0 a 4.
Exemplo: Consideremos o exemplo: Número de filhos dos funcionários da Empresa Total/08
Média calculada  x  2 filhos / func.
Desvio padrão  S P  3 filhos / func.
Para calcular o Intervalo padrão ou número padrão de faltas / mês dos funcionários usamos a
fórmula:
x S
P
; x  S P   2  3; 2  3  0; 5
Portanto, o número padrão de filhos por funcionários da Empresa Coisas&Tal é de 0 a 5.
4.7 Coeficiente de Variação de Pearson
O desvio-padrão por si só não revela muita coisa. Assim, um desvio padrão pode ser
considerado pequeno para uma média e para outra é extremamente grande. Por exemplo, um
desvio-padrão de 40 pode ser considerado pequeno para uma média de 35, entretanto, se a média
for 4, este se torna muito grande.
Quando precisamos comparar duas ou mais séries de valores quanto à sua dispersão e
variabilidade e esses conjuntos estão expressos em grandezas diferentes é preciso dispor de outra
medida. Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou
variabilidade dos dados de maneira relativa ao seu valor médio. Essa medida que mede o grau de
concentração dos valores em torno da média é denominada de Coeficiente de Variação.
C.V . 
S
 100
x
onde S = desvio-padrão amostral e
x = média amostral
Podemos realizar interpretações do coeficiente de variação através de algumas regras empíricas:
Se: C.V < 15%
Se: 15% < C.V. < 30%
Se: C.V > 30%
tem-se baixa dispersão
tem-se média dispersão
tem-se elevada dispersão
Podemos classificar as distribuições em homogêneas ou heterogêneas da seguinte forma:
Distribuição homogênea: tem coeficiente da variação com baixa ou média dispersão (até 30% de
variação)
Distribuição heterogênea: tem coeficiente da variação com elevada dispersão (acima de 30% de
variação)
Exemplo . Na Empresa Carrefour, o salário médio dos homens é de R$ 1500,00 com desviopadrão de R$ 650,00 e o salário médio das mulheres é de R$ 1200,00 com desvio padrão de 580,00.
A dispersão relativa dos salários é maior para os homens?
x H  1500 e SH  650
Solução: Homens:
Mulheres
Para os homens:
Para as mulheres:
xM  1200
C.V . 
C.V . 
e SM  580
SH
650
 100 
 43,3%
xH
1500
SM
580
 100 
 48,3%
xM
1200
Os Salários das mulheres têm dispersão relativa maior que os salários dos homens. As duas
distribuições apresentam alta dispersão (C.V. > 30%).
LISTA DE EXERCÍCIOS 4.1 DA APOSTILA ATUAL
ATIVIDADE 4.1 DA APOSTILA ATUAL