∑ ∑ ∑ ∑

Revisão de Estatística
MÉDIA – É medida de tendência central mais comumente usada para descrever resumidamente uma
distribuição de freqüência.
MÉDIA ARIMÉTICA SIMPLES – São utilizados os valores do conjunto com pesos iguais.
n
X + X 2 + ... + X n
X= 1
=
n
∑X
i
i =1
n
MÉDIA ARIMÉTICA PONDERADA - São utilizados os valores do conjunto com pesos
diferentes.
n
p X + p 2 X 2 + ... + p n X n
=
Xp = 1 1
p1 + p 2 + ... + p n
∑p X
i
i
i =1
n
∑p
i
i =1
ALGUMAS PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
1. A soma algébrica dos desvios de um conjunto de números em relação à média aritmética é zero.
2. A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação à média aritmética é mínima.
3. Somando-se ou subtraindo-se um valor constante e arbitrário a cada um dos elementos de um
conjunto de números, a média aritmética fica somada ou subtraída por essa mesma constante.
4. Multiplicando ou dividindo cada elemento de um conjunto de números por um valor constante e
arbitrário, a média fica multiplicada ou dividida por essa constante.
MÉDIA MÓVEL - A média móvel permite prever futuras tendências e serve para calcular o valor
médio num determinado período. O cálculo da média móvel é similar a uma média clássica deslizante
num determinado período. A média móvel usa dados de um número predeterminado de períodos,
normalmente os mais recentes, para gerar sua previsão. A cada novo período de previsão, se substitui o
dado mais antigo pelo mais recente.
n
X + X 2 + ... + X n
=
XM n = 1
n
∑X
i =1
n
i
,
onde n é o número de períodos para o cálculo da média móvel.
MODA - É o valor mais freqüente se os dados são discretos. É o intervalo de classe com maior
freqüência se os dados são contínuos.
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MEDIANA – Ordenando-se os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à
amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana
e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
⇒ Se o nº de elementos é ímpar, a mediana é o elemento médio.
⇒ Se o nº de elementos é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
* Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
* A média aritmética é preferível, pois pode ser calculada a partir de dados brutos sem qualquer
ordenação ou agrupamento.
* Mediana e moda são preferíveis quando ocorrem classes com valores indefinidos.
* Mediana é preferível à média quando se está interessado em conhecer exatamente o ponto médio da
distribuição.
* Moda é a medida mais rápida.
Medidas de Dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados é o da determinação da
variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a
principal medida de dispersão: a variância.
VARIÂNCIA - Define-se a variância como sendo a medida que se obtém somando-se os quadrados
dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo-se pelo número de
observações da amostra menos um.
n
( X − X ) 2 + ( X 2 − X ) 2 + ... + ( X n − X ) 2
S2 = 1
=
n −1
∑ (X
i
− X )2
i =1
n −1
DESVIO-PADRÃO - Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se
exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão
com as mesmas unidades que os dados, toma-SE a raiz quadrada da variância e obtemos o desviopadrão:
S = S2
O desvio-padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior
será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio-padrão, que resultam imediatamente da definição, são: o desviopadrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.
Vale ainda ressaltar que são utilizadas as seguintes nomenclaturas para indicação destas indicações:
Para a População: Média >> µ Variância >> σ2 Desvio-Padrão >> σ
Para a Amostra: Média >> X Variância >> s2 Desvio-Padrão >> s
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Regressão Linear Simples – Método dos Mínimos Quadrados
A equação da reta de regressão é do tipo Y = a + bX + ε, onde:
⇒ Y é a variável dependente;
⇒ X é a variável independente;
⇒ a é o coeficiente linear, ou seja, é o ponto onde a reta de regressão intercepta a ordenada (o valor
de Y quando X = 0) e;
⇒ b é o coeficiente angular (tg θ)
Deseja-se ajustar a reta estimando-se os coeficientes a e b. O método dos mínimos quadrados
considera os desvios (ε) de Y em relação ao seu valor esperado, ou seja:
Y - a + bX = ε
Elevando-se ao quadrado esses desvios e aplicando-se o somatório, tem-se o critério Q:
n
n
Q = ∑ (Yi − a − bX i ) = ∑ ε 2
2
i =1
i =1
Estimativa de y a
partir da reta de
regressão
Par ordenado (x, y) real
Y
θ
Variável dependente
a
Desvio
ou erro
de y (ε)
Valor de x utilizado para
estimar y
X
Variável independente
Cálculo dos coeficientes pelo método dos mínimos quadrados
a=
Y–bX e b=
ΣXY - nXY
ΣX 2 - nX 2
Exemplo
Período
1
2
3
4
5
Y
264
116
165
101
209
X
2,5
1,3
1,4
1,0
2,0
3
Período
1
2
3
4
5
Total
Média
Y
264
116
165
101
209
855
171
X
2,5
1,3
1,4
1,0
2,0
8,2
1,64
b=
XY
660,00
150,80
231,00
101,00
418,00
1560,80
X2
6,25
1,69
1,96
1,00
4,00
14,90
Y2
69.696
13.456
27.225
10.201
43.681
164.259
1560,80 − 5 × (1,64) × (171)
= 109,23
14,90 − 5 × (1,64) 2
a = 171 − 109,23 × (1,64) = −8,37
Sendo assim, Y = −8,37 + 109,23 X
Coeficiente de Correlação de Pearson
Indica o grau em que uma equação linear descreve a relação entre duas variáveis. Varia entre -1 a 1, e
assume valor negativo quando X e Y são inversamente proporcionais e, positivo quando diretamente
proporcionais. Assume valor zero quando não há relação entre as duas variáveis.
r=
nΣXY - ΣX ΣY
[nΣX2 - (ΣX)2] x [nΣY2 - (ΣY)2]
Para o exemplo anterior r = 0,98.
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Distribuições de Probabilidade
Baseado em Bressan, Graça. Modelagem e Simulação de Modelos Computacionais, Escola Politécnica da Universidade
de São Paulo – Laboratório de Arquitetura e Redes de Computação, Capturado em 22/12/2005. Disponível em
http://www.larc.usp.br/conteudo/universo/pcs012/modsim03-distr.pdf
Distribuições Contínuas
Distribuição Uniforme
Função Densidade
Média: E(x) = (a + b) / 2
Variância: Var(x) = (b – a)2 / 12
Distribuição Exponencial
Uso mais comum: intervalos de tempo de chegada de clientes a um sistema, cuja chegada ocorre com
uma determinada taxa constante e intervalo de tempo até a falha de uma peça de um equipamento.
Função Densidade
Média: E(x) = β
Variância: Var(x) = β2
Para teoria das filas: Observar que β representa o intervalo médio de chegada. Também poderia ser
indicado, em lugar de β , o parâmetro λ = 1 / β que representa a freqüência de chegada.
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Distribuição Normal
Uso mais comum: erros de tipos diversos e valores que são a soma de grande número de outros
valores.
Função Densidade
Média: E(x) = µ
Variância: Var(x) = σ2
Distribuições Discretas
Distribuição Poisson
Função Densidade
Média: E(x) = λ
Variância: Var(x) = λ
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Roteiro para a Determinação da Distribuição de Freqüência
1 – Coletar os dados.
2 – Calcular a amplitude do ROL: R = Maior Valor Observado – Menor Valor Observado
3 – Calcular a quantidade de classes (Regra de Sturges): K = 1 + 3,3 log N, sendo N a quantidade de
observações da amostra.
4 – Calcular a amplitude do intervalo da classe: h = R / K
5 – Colocar nas duas primeiras colunas de uma tabela os limites inferior e superior de cada intervalo da
classe.
6 – Colocar em uma terceira coluna o valor médio de cada classe.
7 – Determinar e colocar em uma quarta coluna a freqüência das classes (Fi). Fi é a quantidade de
dados que estão contidos na classe.
8 – Calcular e colocar em uma quinta coluna a freqüência acumulada (Fa). Fa é a soma de todas as
observações inferiores ao limite superior de um dado intervalo de classe.
9 – Calcular e colocar em uma sexta coluna a freqüência relativa simples observada (Frso). Frso é a
relação entre freqüência da classe e a quantidade total de observações: Frso (%) = Fi / N.
10 - Calcular e colocar em uma sétima coluna a freqüência relativa acumulada observada (Frao). Frao
é a relação entre a freqüência absoluta e a quantidade total de observações: Frao (%) = Fa / N.
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