Matemática Básica 08 Função Logarítmica

Matemática Básica 08
1.
Função Logarítmica
Introdução
Um caminhão custa R$100.000,00 e sofre uma desvalorização de 10% por ano de uso. Depois de
quanto tempo o valor do veículo será igual a R$20.000,00?
Nestas condições, a cada ano que passa, o valor do caminhão fica sendo 90% do que era um ano
atrás. Então:
 Após 1 ano de uso, 90% de R$100.000,00 = R$90.000,00
 Após 2 anos de uso, 90% de R$90.000,00 = R$81.000,00
 Após 3 anos de uso, 90% de R$81.000,00 = R$72.900,00 e, assim por diante...
 O valor em R$ evolui, ano a ano, de acordo com a sequência:
100.000; (0,9)*100.000;
(0,9)2*100.000; (0,9)3*100.000; ... (0,9)x*100.000


2.
onde x indica o número de anos de uso.
Para responder à pergunta feita, deve-se resolver a equação
(0,9)x * 100000 = 20000, ou seja (0,9)x = 0,2, que é uma equação esponencial.
No estudo de equações exponenciais, só tratamos de situações em que podíamos
reduzir as potências à mesma base. Quando temos que resolver eqauções do tipo
acima, temos que recorrer aos LOGARITMOS.
Definição de Logaritmo
O logaritmo de um numero real e positivo N, na base b, positiva e diferente de 1, é o numero x ao
qual se deve elevar b para se obter N. Abrevia-se logaritmo por log.
log b N = x
onde:



bx = N
b é base do logaritmo
N é o logaritmando
x é o logaritmo
Exemplos:
Os casos acima são simples..... Há casos, como os indicados abaixo, cujas soluções não são tão
simples!
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Exercício resolvido:
3.
Convenções
4.
Representações
5.
Condições de existência do logaritmo
log b N = x
bx = N
onde:
 b é base do logaritmo
 N é o logaritmando
 x é o logaritmo
 N > 0, para que haja solução!
 0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1, para que haja solução!
(1) O que aconteceria se a base do logaritmo fosse igual a 1?
Por exemplo, log 1 N = x
1x = N. O valor de N seria obrigatoriamente 1.
(2) O que aconteceria se o logaritmando N fosse um número negativo?
Por exemplo, log 2 -3 = x
2x = -3. Não haveria solução.....
(3) O que aconteceria se a base e o logaritmando fossem iguais a 1?
Por exemplo, log 1 1 = x
1x = 1. O valor de x seria obrigatoriamente 1.
Daí, as restrições acima serem importantes!!!!!!
6.
Consequências
Sejam b, N e x números reais com N > 0 e 0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1.
Da definição de logaritmo:
(1) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0, pois log b 1 = 0
b0 = 1
(2) O logaritmo da base b na própria base é sempre igual a 1, pois log b b = 1
b1 = b
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(3) A potência da base b e expoente log b N é igual a N, assim... blogbN = N
Justificativa:
log b N = x
bx = N . Daí que blog b N = bx = N
log 3
Portanto, 2 2 = 3; 5log 2 4 = 4 e assim por diante.....
EXERCÍCIOS
1) Calcular log3 81 .... lê-se logaritmo de 81 na base 3
Solução: log3 81 = x
3x = 81
3x = 34
x=4
2) Calcular logb 81 = 4 .... Determinar o valor da base b.
Solução: b4 = 81
b = ±4√81
b = ±3
Analisando a condição de existência dos logaritmos, a base b tem que ser > 0. Logo, só vale b = 3 e
b = -3 é descartada.
3) Calcular o valor de x em log2 x = 3 (le-se “log de x na base 2”):
Solução:
log2 x = 3
23 = x
Logo, x = 8
4) Calcular o valor de x para que a expressão log2 (2 x − 3) exista.
Solução: Só ∃ log2 (2 x − 3) para N > 0, ou seja, (2 x − 3) > 0.
Assim, 2x - 3 > 0
2x > 3
x > 3/2
Resposta:
5) Calcular o valor de x para que log2x – 5 5 exista.
Solução: Só ∃ log2x – 5 5 para base 0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1.
Logo,

e

e
e
e
Resposta:
6) Calcular
.
Solução:
Resumindo:
O logaritmo nos permite responder à pergunta:
A que expoente x se deve elevar um número b para
se obter outro N.
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Propriedades dos logaritmos
7.1 – Logaritmo do Produto
7.
logb(MxN) = logbM + logbN,
onde:


M > 0 e N > 0, para que haja solução!
0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1, para que haja solução!
Exemplo: log2 32 = log2 (8 x 4) = log2 8 + log2 4 = log2 23 + log2 22
= 3 x log2 2 + 2 x log2 2 = 3 x 1 + 2 x 1 = 3 + 2 = 5
7.2 – Logaritmo do Quociente
logb(M/N) = logbM - logbN,
onde:


M > 0 e N > 0, para que haja solução!
0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1, para que haja solução!
Exemplo: log2 (32/4) = log2 (32) - log2 (4) = 5 – 2 = 3
5-2=3
7.3 – Logaritmo da Potência
logb(Np) = p x logbN
onde:


N > 0, para que haja solução!
0 < b ≠ 1 ou b > 0 e b ≠ 1, para que haja solução!
Exemplo: log2 32 = log2 25 = 5 x log2 2 = 5 x 1 = 5
EXERCÍCIOS
1)
Solução:
2)
a) log 24
Solução:
3
log 24 = log (3 X 8) = log 3 + log 8 = log 3 + log 2 = log 3 + 3 log 2 = y + 3x
b)
Solução:
3)
Solução:
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4)
Solução:
7.4 – Logaritmos Iguais
Se log A = log B então A = B. No entanto, há que se verificar as condições de existência.
Exemplo:
8.
Mudança de Base

Sejam a, b e c números reais positivos, com a e b diferentes de 1. Tem-se:
Exercício:
Calcule o valor de log100 72, sabendo que log 2 = a e log 3 = b
Solução:
 APLICAÇÃO IMPORTANTE!
Seja a, b e c números reais positivos, com a e b diferentes de 1. Tem-se:
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