Viajando com a divisão!
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Viajando com a divisão!
Você já pensou que dividir é muito mais que fazer uma conta? Que há muitas situações do dia a
dia que você pode usar a divisão entre dois números como estratégia para resolver problemas?
A proposta é apresentar um resumo teórico sobre múltiplos e divisores e, ao final, mostrar uma
série de atividades que abordam situações curiosas do conteúdo por meio de problemas
desafiadores! Mãos à obra!
Conteúdo: Múltiplos e divisores
Resumindo tudo o que você já estudou sobre os números naturais!
1. Números naturais
Os números naturais surgiram da necessidade de contar. Seu símbolo é lN. Os números naturais
são
lN = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Além de contar, temos necessidade também de agrupar, retirar, repartir e distribuir. Para lidarmos
com essas necessidades, foram criadas as operações:
a) Adição: é associativa, comutativa e possui elemento neutro (o zero).
b) Subtração: é a operação inversa da adição.
c) Multiplicação: é associativa, comutativa, possui elemento neutro (1) e se distribui na
adição.
d) Divisão: é a operação inversa da multiplicação.
1.1. A divisão em lN
Dividir o número a pelo número b significa encontrar outros dois números naturais q e r tais que:
a = bq + r
0r<b
Denotamos assim:
O número a é chamado de dividendo, b de divisor, q de quociente e r de resto. Caso tenhamos r
= 0, dizemos que a divisão é exata, caso contrário, dizemos que temos uma divisão com resto.
Obs.:
na divisão de a por b, o maior resto possível é (b – 1) .
1.2 Múltiplos e divisores
Se a divisão de a por b é exata, temos as seguintes situações:
- podemos dizer que a é divisível por b;
- ou que b é divisor de a;
- ou que a é múltiplo de b;
- ou que b divide a.
É possível definir o conjunto dos múltiplos ou dos divisores de um número natural a como, por
exemplo:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, ...}
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, ...}
Observe que:
O conjunto dos divisores de um número não nulo é finito.
Todo número é divisor de si mesmo.
O número 1 é divisor de qualquer número.
O conjunto dos múltiplos de um número não nulo é infinito.
Todo número é múltiplo de si mesmo.
Zero é múltiplo de qualquer número.
Se na divisão de a por b temos quociente q e resto r, então os números (a – r) e (a + (b –
r)) são ambos divisíveis por b.
1.3 Números primos e compostos
Se um número natural possui exatamente dois divisores (a saber, 1 e ele mesmo), então dizemos
que esse número é primo. Todo número maior que 1 que não é primo é chamado de número
composto. O número 0 e o número 1 não são nem primos nem compostos.
Todo número composto se escreve como produto de números primos, por exemplo:
12 = 2 . 2 . 3 = 22 . 3
30 = 2 . 3 . 5
40 = 2 . 2 . 2 . 5 = 23 . 5
Fatorar um número natural significa escrevê-lo como produto de primos. Podemos utilizar a
fatoração de um número natural para saber quantos e quais são seus divisores.
Se o número natural n se fatora como p1a.p2b ... pkm, então ele possui (a+1)(b+1)...(m+1) divisores.
Por exemplo:
40 = 23.5 possui (3+1)(1+1) = 4 . 2 = 8 divisores
144 = 24 . 32 possui (4+1)(2+1) = 5 . 3 = 15 divisores
Para determinar quais são os divisores de um número, utilizamos o seguinte dispositivo prático:
Inicialmente, fatoramos o número. Por exemplo, vamos determinar os divisores de 40.
A seguir, colocamos um novo traço e o número 1, que é divisor de qualquer número.
Agora multiplicamos o fator 2 pelo 1, e o outro 2 pela resposta e assim até terminar o fator 2.
Agora que há troca do fator 2 para o fator 5, multiplicamos esse novo fator por todos os números
que estão à direita.
Pronto! Os divisores de 40 são {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}.
1.4 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC)
É sempre possível comparar os múltiplos e divisores de dois ou mais números naturais. Como o
conjunto dos múltiplos é infinito, sempre existe um menor natural não nulo que é múltiplo comum
deles. Esse natural é chamado de Mínimo Múltiplo Comum (ou MMC) dos números.
Analogamente, como o conjunto dos divisores de dois ou mais naturais é sempre finito, existe um
natural que é o Maior Divisor Comum (ou MDC) entre eles.
Uma propriedade importante que relaciona o MDC e o MMC de dois números é:
MDC(a.b) . MMC(a,b) = a . b
Obs.: Se MDC(a,b) = 1, dizemos, então, que a e b são dois números primos entre si. Não
confunda números primos com primos entre si.
1.4.1 Cálculo do MDC de dois números
a) Por fatoração em separado
Fatore os dois números em separado. O MDC será composto pelos fatores comuns com menor
expoente. Caso os dois números não possuam fatores comum, eles são primos entre si, ou seja,
seu MDC vale 1.
Ex: MDC(40 , 30)
40 = 23 . 5
30 = 2 . 3 . 5
MDC(40, 30) = 2 . 5 = 10
b) Por fatoração simultânea
Fatore os dois números utilizando apenas os fatores primos que os dividam simultaneamente
Ex: MDC(40 , 30)
MDC(40, 30) = 2 . 5 = 10
c) Algoritmo ou grade de Euclides
Divida os dois números, obtendo quociente e resto. A seguir, divida o segundo número pelo resto.
Prossiga até obter uma divisão exata. Quando isso ocorrer, o último divisor é o MDC desejado.
Ex: MDC(40 , 30)
MDC(40, 30) = 2 . 5 = 10
Uma maneira de escrever essas divisões em forma mais compacta é:
Observe que simplesmente escrevemos os quocientes acima (e não abaixo) dos divisores.
1.4.2 Cálculo do MMC de dois números
a) Por fatoração em separado
Fatore os dois números em separado. O MMC será composto pelos fatores comuns com maior
expoente e pelos fatores não comuns.
Ex: MMC(40, 30)
40 = 23 . 5
30 = 2 . 3 . 5
MMC(40, 30) = 23 . 5 . 3 = 120
b) Por fatoração simultânea
Fatore os dois números utilizando apenas os fatores primos que dividam quaisquer dos dois
números.
Ex: MMC(40 , 30)
MMC(40, 30) = 23 . 3 . 5 = 120
d) Pela propriedade
Nunca se esqueça que MDC(a.b) . MMC(a, b) = a . b.
Ex:
MDC(40, 30) . MMC(40, 30) = 40 . 30
10 . MMC(40, 30) = 1200
MMC(40, 30) = 120
Desafios
1) A parede da cozinha mede 5,80 m de comprimento por 2,20 m de altura. Deseja-se
recobri-la com azulejos retangulares em que a base seja o dobro da altura, colocando o
maior lado do azulejo na horizontal. Determine a menor quantidade possível de azulejos
que deve ser utilizada para essa tarefa se pretendemos utilizar apenas azulejos inteiros
(sem quebrá-los).
2) Denotemos por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais
que:
n(A) = total de divisores inteiros de 1440
n(B) = total de divisores inteiros de 1620
n(A B) = 20
Qual é o número de elementos que estão em B mas não estão em A ?
3) O número de três algarismos 2m3 é somado ao número 326, resultando o número de três
algarismos 5n9. Sabendo-se que 5n9 é divisível por 9, qual é o valor de m + n ?
4) Um número de três algarismos é multiplicado por 3 obtendo um outro número que termina
em 785. Determine a soma dos três algarismos do primeiro número.
5) Colocando-se 20 selos em cada folha de um álbum, sobram duas folhas; colocando-se 15
selos em cada folha, todas as folhas são ocupadas e ficam sobrando ainda 60 selos. Qual
é o número total de selos e o número de folhas do álbum?
6) (UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo
ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo, em 36 s e o
terceiro, em 30 s.Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas
se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá
dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?
7)
(PUC/MG) “A Dengue é uma doença causada por um vírus, transmitida de uma pessoa
doente para uma pessoa sadia por meio de um mosquito: o Aedes aegypti. Ela se
manifesta de maneira súbita – com febre alta, dor atrás dos olhos e dores nas costas – e,
como não existem vacinas específicas para o seu tratamento, a forma de prevenção é a
única arma para combater a doença.”
Fonte: prdu.unicamp.br/dengue/dengue.html (adaptado).
Assim sendo, suponha que 450 mulheres e 575 homens inscreveram-se como voluntários
para percorrer alguns bairros do ABC paulista, a fim de orientar a população sobre os
procedimentos a serem usados no combate à Dengue. Para tal, todas as 1.025 pessoas
inscritas serão divididas em grupos, segundo o seguinte critério: todos os grupos deverão
ter a mesma quantidade de pessoas e em cada grupo só haverá pessoas de um mesmo
sexo. Nessas condições, se grupos distintos deverão visitar bairros distintos, determine o
menor número de bairros a serem visitados.
Que tal ler um pouco?
A sugestão é “O mágico da Matemática”
Autor: Oscar Guelli
Editora: Ática.
Você conhece a Olimpíada Brasileira de Matemática?
A Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM) é uma competição aberta a todos os estudantes dos
Ensinos Fundamental (a partir do 6o ano), Médio e Universitário das escolas públicas e privadas
de todo o Brasil.
Em geral, o aluno participa da Olimpíada Brasileira de Matemática através de sua escola (Níveis
1, 2 e 3) ou Universidade (Nível Universitário). Esta, por sua vez, assegura sua participação
nomeando um professor para ser o representante da Olimpíada na escola ou universidade e
cadastrando a escola ou universidade na OBM no prazo estabelecido pela coordenação nacional.
O cadastro das escolas na OBM é feito pela Internet, normalmente entre os meses de março e
abril de cada ano.
Abaixo estão alguns problemas e probleminhas da OBM. Que tal pensar neles?
1) Quantos números inteiros positivos têm o número 9 como seu maior divisor, diferente do
próprio número?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 9
E) Infinitos
2) Em 2012, foi realizada a edição 34 da OBM, e MDC (2012, 34) = 2. Supondo que a OBM é
sempre realizada todo ano, qual é o maior valor possível para o MDC do ano e da edição da OBM
realizada no ano?
A) 12
B) 28
C) 38
D) 1978
E) 2012
3) O Aluno D não prestou atenção na aula e não aprendeu como verificar, sem realizar a divisão,
se um número é múltiplo de 7 ou não. Por isso, D decidiu usar a regra do 3, ou seja, ele vai somar
os dígitos e verificar se o resultado é um múltiplo de 7. Para quantos números inteiros positivos
menores que 100 esse método incorreto indicará que um número é múltiplo de 7, sendo o número
realmente múltiplo de 7?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
4) O aluno D procurou um amigo para aprender qual era o jeito ensinado pelo professor para
verificar se um número é múltiplo de 7 sem realizar a divisão. O método ensinado é tomar o dígito
das unidades, apagá-lo e subtrair o seu dobro no número que sobrou. Por exemplo: para 1001,
teremos: 100 2 1 98 e, repetindo, teremos 9 2 8 7 , que é um múltiplo de 7. Então, 98 e
1001 são múltiplos de 7.
Sabendo disso, qual dos números a seguir é um múltiplo de 7?
A) 102112
B) 270280
C) 831821
D) 925925
E) 923823
5) Entre os números naturais de 1 até n, pelo menos 11 são divisíveis por 5 e no máximo 9 são
divisíveis por 6. No máximo, quantos desses números são divisíveis por 7?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
6) Um país possui 11 cidades e estradas de mão única que ligam essas cidades. Onze amigos
decidiram viajar, cada um saindo de uma cidade diferente. Cada um deles percorre exatamente
uma estrada por dia. A tabela abaixo mostra as estradas que os amigos usam para viajar.
Saindo de
Chegando
em
1
6
2
9
3
10
4
7
5
2
6
8
7
11
8
1
9
4
10
3
11
5
Os amigos viajam todos os dias e param de viajar apenas quando todos eles estiverem no
mesmo dia na cidade onde começaram. Por exemplo, o amigo que começar na cidade 1, após
um dia, estará na cidade 6 e, após dois dias, estará na cidade 8. Após quantos dias eles vão
parar de viajar?
A) 2
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
7) Determine o maior divisor comum de todos os números de 9 algarismos distintos formados
pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A) 3
B) 9
C) 18
D) 27
E) 123456789
