Exercícios sobre Probabilidade

1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE PROBABILIDADE
1)
Dê um espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios:
( a ) Uma moeda é lançada. Observamos e registramos o resultado obtido.
( b ) Artigos produzidos por certa máquina são classificados como defeituosos ou são
defeituosos. Um artigo é selecionado da linha de produção e classificado.
( c ) Cilindros de aço produzidos por certa fábrica podem ter até dois tipos de defeitos. Um
cilindro é escolhido ao acaso na produção. Registramos o número de defeitos.
( d ) Uma moeda comum é lançada até que a primeira cara seja obtida. Registramos o
número de lançamentos necessários para isso.
( e ) O tráfego de automóveis é observado, das 10 às 11 horas de uma quinta-feira, num
certo ponto da cidade. O número de automóveis que passa nesse horário e nesse ponto
é registrado.
( f ) Foguetes são lançados até que ocorra um lançamento bem sucedido. Se isso não
ocorrer até o 4o lançamento, o experimento é interrompido e o equipamento é
inspecionado.
( g ) Um posto de atendimento a saúde é observado durante o período da manhã. O tempo
decorrido até a chegada do primeiro cliente é registrado.
2)
Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso,
qual a probabilidade de que seu numero seja :
( a ) par
( b ) ímpar
( c ) par e maior que 10.
3)
Um lote contém 10 peças, sendo 4 defeituosas. Três peças são extraídas ao acaso,
simultaneamente (ou uma a uma sem reposição). Calcule a probabilidade de aceitação
do lote, se o lote só é aceito quando:
( a ) Nenhuma defeituosa é obtida
( b ) Exatamente uma defeituosa é obtida
( c ) No máximo uma defeituosa é obtida.
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4)
(a)
(b)
(c)
(d)
Na tabela a seguir, xi é o número de acidentes e fi é o número de dias nos quais
ocorrem xi acidentes. Estime a probabilidade de que, num dia qualquer, ocorra(m):
Exatamente dois acidentes
Um acidente, no máximo
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
Pelo menos um acidente
8 4
2 2 1
fi 52 21 10
Mais de nove acidentes.
5)
A e B são eventos com P(A) = 1/2, P(AUB) = 3/4, P(B) = 5/8. Calcular :
( a ) P(A ∩ B)
( b ) P(A’ ∩ B’)
( c ) P(A - B).
6)
Uma montagem eletrônica é constituída de 3 subsistemas , 1 , 2 e 3. A montagem falha
se pelo menos um dos subsistemas falhar. De ensaios anteriores sabe-se que a
probabilidade de que qualquer subsistema falhar é 0,1, a probabilidade de que dois
quaisquer subsistemas falhem simultaneamente é 0,01 e a probabilidade de que todos
falhem simultaneamente 0,002. Calcule a probabilidade de que a montagem venha a
falhar.
7)
Seja S = {s1,s2, ... , s6}, um espaço amostral equiprobabilístico e considere os eventos A
= {s1,s2,s3} , B = {s2,s3,s4} , C = {s4,s5} . Calcule :
( a ) P(A ∩ B’)
( b ) P(AUBUC).
8)
Sejam A e B eventos. Dados P(A’ U B’ ) = 3/4 , P(A’ ∩B’) = 3/8 , P(A ∩B’) = 1/4,
Calcule P(B) .
9)
A partir da expressão P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) , deduza a expressão para
P(A U B U C U D) .
10)
Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = 1/4 , P(A∩ B) =
P(C ∩ B) = 0 e P(A ∩ C) = 1/8 . Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos
eventos A, B ou C ocorram.
11)
Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações:
emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha
que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro
vezes mais provável do que o desgaste da escovas. Calcule a probabilidade de que a
falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias.
12)
A e B são eventos com P(A) = P(B) =1/2 , P(A ∩ B) = 1/3. Calcule a probabilidade de
A ocorrer se B não ocorre.
13)
Se A e B são eventos independentes com P(A) = P(B) = 1/10 , calcule a probabilidade
de que nenhum desses dois eventos ocorra .
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14)
No circuito a seguir, os relés j =1,2,3 , funcionam independentemente um do outro. A
probabilidade de que qualquer deles esteja aberto é p. Calcule a probabilidade de que
não haja corrente de L para R.
1
2
3
L
R
15)
No circuito do item anterior, se não há corrente de L para R, qual a probabilidade do
relé 2 estar aberto ?
16)
Um sistema eletrônico é composto de dois subsistemas , A e B , os quais funcionam
independentemente um do outro. tanto A como B falham com probabilidade 1/10. O
sistema falha se pelo menos um dos dois subsistemas falhar. Qual a probabilidade de
que B tenha falhado se constatamos que o sistema falhou.
17)
Uma das duas causas C1 e C2 podem explicar um acidente de trabalho. As causas
ocorrem com probabilidade 3/10 e 7/10, respectivamente, e as probabilidades de
acidentes devido a cada uma delas são 1/10 e 2/10, respectivamente. Se um acidente de
trabalho foi observado, qual a probabilidade de que tenha sido devido a C1 .
18)
No projeto de painel de automóveis, as luzes de advertência substituíram os medidores.
Estas luzes alertam o motorista quando há aproximação de problemas no motor. Assim,
deseja-se ter, com alta probabilidade, todas as luzes acesas quando o problema é
iminente e deseja-se tê-las apagadas quando não houver problemas. Seja T o evento “
problemas no motor ” e V o evento “ luzes acesas ”. São dados P( V / T ) = 5/6 , P(
V’ / T’ ) = 4/5 e P(T) =1/30. Calcule P( T ∩ V’ ).
19)
No circuito abaixo o fechamento de cada relé é aleatório e independente um do outro
com probabilidade p > 0.
( a ) Qual a probabilidade de passar corrente de L para R ?
( b ) Se há corrente de L para R, qual a probabilidade de que os relés 1 e 2 estejam fechados
?
2
L
1
20)
R
3
Repita o exercício 19 para o seguinte circuito:
2
L
R
3
5
1
4
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21)
(a)
(b)
(c)
(d)
22)
(a)
(b)
(c)
(d)
23)
De um baralho de 52 cartas, 5 cartas são extraídas ao acaso simultaneamente. Calcule a
probabilidade de que sejam obtidas :
Exatamente duas cartas pretas
Exatamente duas cartas de ouros
Exatamente duas de ouros e duas de copas
Uma de ouros e duas de paus.
Um lote de 20 peças contem 6 peças com defeito do tipo A , 5 peças com defeito do
tipo B e 3 peças com ambos os tipos de defeitos. Uma peça é extraída ao acaso desse
lote. Calcule a probabilidade de que:
Tenha exatamente um defeito
Tenha no máximo um defeito
Tenha pelo menos um defeito
Não tenha defeitos.
Dez fichas numeradas de 1 a 10 são misturadas em uma urna. Duas fichas numeradas
X , Y são extraídas da urna, sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de
que seja X + Y = 10 ?
24)
Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves.
Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que :
( a ) Não tenha defeitos
( b ) Não tenha defeitos graves
( c ) Seja perfeito ou tenha defeitos graves.
25)
(a)
(b)
(c)
(d)
Se o lote descrito no exercício 24, dois artigos forem selecionados, sem reposição, ache
a probabilidade de que :
Ambos sejam perfeitos
Ambos tenham defeitos graves
Ao menos um seja perfeito
No máximo um seja perfeito.
26)
Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas perfeitas. As válvulas são
ensaiadas, uma a uma, até que ambas as defeituosas sejam encontradas. Qual a
probabilidade de que a ultima válvula defeituosa seja encontrada no :
( a ) segundo ensaio
( b ) terceiro ensaio
( c ) quarto ensaio ?
27)
Em dado grupo racial a probabilidade de uma pessoa do sexo masculino ser daltônica é
p = 0,16. São escolhidas ao acaso duas pessoas x e y , pertencentes aos referido sexo
e grupo racial. Supõe-se a independência entre os eventos “x daltônico” e “y
daltônico”. Determinar a probabilidade de ambos serem daltônicos, sabendo-se que :
( a ) x é daltônico
( b ) pelo menos um deles é daltônico.
28) Lançamos um dado duas vezes sucessivas ; seja a1 o número de pontos obtidos no
primeiro lançamento e a2 os pontos obtidos no segundo lançamento. Consideremos a
equação a1x + a2 = 0 . Qual a probabilidade dessa equação ter raiz inteira ?
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29)
Três companhias A, B e C, disputam a obtenção do contrato de fabricação de um
foguete meteorológico. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua
companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por
sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Qual a
probabilidade de A ou C obter o contrato ?
30)
Um determinado programa de computador opera usando subrotinas A e B dependendo
do problema . A experiência mostrou que a subrotina A é usada 40 % das vezes e a B é
usada 60 % das vezes . Se A é usada existe 75 % de probabilidade de que o programa
seja rodado antes do seu limite de tempo e esta probabilidade para B é de 50 %.
( a ) Qual é a probabilidade de um programa qualquer rodar antes do seu limite de tempo
( b ) Se um programa rodou antes do limite, qual a probabilidade de que tenha sido usada a
subrotina B ?
31)
Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é
selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se
ocorre coroa, a mesma moeda é lançada. Encontre a probabilidade de ocorrer cara no
segundo lançamento .
32)
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos e tem probabilidade não nulas, eles
podem ser independentes ? Por quê ?
33)
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é 3 % e a de outra que será montada com
essa é de 2 % . Qual a probabilidade de que :
( a ) Ambas sejam defeituosas
( b ) Ambas sejam perfeitas .
34)
(a)
( b)
(c)
(d)
A e B jogam 12 partidas de xadrez, das quais A ganha 6 , B ganha 4 e 2 terminam
empatadas. Concordam então em jogar um conjunto de 3 partidas. Determine a
probabilidade :
De A ganhar todas as três partidas
De duas partidas terminarem empatadas
De A e B ganharem alternadamente
De B ganhar ao menos uma.
35)
Uma organização de teste deseja avaliar uma marca particular de rádios. Seleciona
aleatoriamente 5 rádios do seu estoque. A marca é julgada satisfatória, se nada houver
de errado em qualquer um dos rádios. Qual a probabilidade de que a marca venha a ser
considerada satisfatória, se 10 % dos rádios realmente são defeituosos.
36)
Uma urna contém 7 bolas gravadas com as letras A, A, A, C, C, R, R. Extraindo-se as
bolas uma a uma (sem reposição), calcular a probabilidade de se obter a palavra
CARCARA .
Um artilheiro naval dispara 5 torpedos para tentar acertar um navio. Sendo 1/3 a
probabilidade de cada torpedo acertar o alvo, qual a probabilidade de que o navio seja
atingido ? Se os dois primeiros torpedos forem perdidos, qual a probabilidade de que o
navio seja atingido ?
37)
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38)
A Swissair decide comprar todos os seus aviões de uma mesma companhia. A
companhia possui quatro fábricas, a primeira das quais produz 30 % dos aviões da
companhia, a segunda 20 %, a terceira 15 % e a quarta 35 %. Mais adiante foi
observado que as probabilidades destas fábricas produzirem um avião defeituoso são
1/10, 1/4, 1/5, e1/3 respectivamente. Qual a probabilidade de, se a Swissair receber um
avião defeituoso, este tenha sido fabricado pela segunda fábrica ?
39)
Nos parques industriais A1, A2 e A3 , dedicam-se a atividade têxtil, respectivamente, 10
% , 40 % e 25 % das empresas. Escolhido ao acaso um parque daqueles e nele também
ao acaso, uma empresa, qual a probabilidade de que esta seja têxtil ?
40)
Uma urna contém 10 bolas : 3 são brancas e 7 são pretas. Considere o seguinte jogo :
retiram-se bolas sucessivamente de tal forma que a cada bola retira, coloca-se 2 da
mesma cor. Qual a probabilidade que as 3 primeiras bolas retiradas sejam pretas ?
41)
Uma máquina consiste e 4 componentes ligados em paralelo, de tal sorte que a
máquina falha somente se todos os quatro componentes falham. Suponha que as falhas
dos componentes sã independentes umas das outras. Se os componentes tem
probabilidades 0,1 ; 0,2 ; 0,3 e 0,4 de falhar quando a máquina é acionada, qual a
probabilidade de que a máquina funcione quando acionada ?
42)
Para um determinado telefone, a probabilidade de se conseguir linha é 3/4 em dias
normais e 1/4 em dias de chuva. A probabilidade de chover em um dia é 1/10. Além
disso, tendo-se conseguido linha, a probabilidade de que o número desejado esteja
ocupado é 11/21.
( a ) Qual a probabilidade de que um telefonema tenha sua ligação completada ?
( b ) Dado que um telefonema foi completado, qual a probabilidade de estar chovendo ?
43)
Um certo componente de um motor de foguete falha 5 % das vezes quando o motor é
acionado. Para obter maior confiabilidade no funcionamento do motor, duplica-se este
componente n vezes. O motor então falha somente se todos os n componentes falham.
Suponha que as falhas dos componentes sejam independentes uma das outras. Qual é o
valor de n que pode ser usado para garantir que o motor funcione 99 % das vezes ?
44)
Os jogadores de dado chamam de jogo difícil um total de 8 com dois dados por meio
de dois “4” . Por que isso ? De que outros modos pode um total de 8 ser obtido e quais
as suas probabilidades ?
45)
Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de que a face “6” ocorra é 1/5,
sendo os demais resultados equiprováveis. Jogando-se este dado juntamente com um
dado normal, calcule a probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a 10.
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46)
Uma bolsa contém 2 bolas pretas e 2 bolas brancas. uma bola é retirada ao acaso e
reposta por uma bola de cor oposta. Então uma outra bola é retirada. Encontre a
probabilidade da primeira bola ser branca, dado que a segunda é branca.
47)
Se você compra 2 bilhetes de uma loteria para a qual n bilhetes foram vendidos e 5
prêmios serão dados, qual a probabilidade de que você ganhe pelo menos um prêmio?
48)
Se apostarmos na LOTO em 6 números, qual a probabilidade de acertarmos a QUINA ?
49)
A polícia planeja controlar o limite de velocidade numa cidade usando radares em 4
diferentes locais. Os radares em cada local L1 , L2 , L3 e L4 operam, respectivamente,
40 % , 30 % , 20 % e 30 % do tempo, e uma pessoa que ultrapassa os limites de
velocidade tem, no seu caminho para o trabalho, probabilidade de 0,2 , 0,1 , 0,5 e 0,2,
respectivamente, de passar em cada um destes locais.
( a ) Qual a probabilidade de uma pessoa que ultrapasse os limites de velocidade, receber
um multa ?
( b ) Se uma pessoa recebeu uma multa no seu caminho, qual a probabilidade de ter sido no
local L2.
50)
A caixa A contem nove cartas numeradas de 1 a 9 e a caixa B contém cinco carta
numeradas de 1 a 5 . Uma caixa é escolhida aleatoriamente e uma carta é retirada. Se a
carta indica um número par, outra carta é retirada da mesma caixa, sem que haja
reposição da primeira carta retirada.; se a carta indica um número ímpar, uma carta é
retirada de outra caixa.
( a ) Qual a probabilidade de ambas as cartas indicarem números pares ?
( b ) Se ambas as cartas indicarem números pares, qual a probabilidade de terem vindo da caixa A
?
51)
Lançamos dois dados “honestos”. Qual a probabilidade de se obter uma soma de
pontos não inferior a 10 ?
52)
De uma caixa contendo 5 bolas pretas e 3 bolas verdes, três bolas são retiradas
sucessivamente. Se as bolas são repostas na caixa antes da próxima ser retirada, qual a
probabilidade de que todas sejam da mesma cor ? Qual a probabilidade de que cada
uma das cores esteja representada ?
53)
Seja um dado viciado de modo que a probabilidade de aparecer um número seja
proporcional ao número dado (por exemplo, o 6 é duas vezes mais provável de aparecer
que o 3). Sejam A = {número par}, B = {número primo}, C = { número ímpar}.
(Considere o nímero 1 como sendo primo)
Encontre P(A), P(B) e P(C).
Encontre a probabilidade de que um número ímpar primo ocorra.
Encontre a probabilidade de que um número ímpar ocorra.
Encontre a probabilidade de que A ocorra, mas B não.
(a)
(b)
(c)
(d)
54 ) Dois nadadores brasileiros A e B participam de um campeonato internacional de
natação. A probabilidade deles ganharem uma medalha de ouro é igual a 0,9 e 0,8,
respectivamente para o nadador A e o nadador B. Pergunta-se:
( a ) Qual a probabilidade de que pelo menos um deles ganhe uma medalha de ouro?
( b ) Qual a probabilidade de que os dois ganhem medalha de ouro?
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55 ) Um operador numa linha de fabricação produz 10 itens para atender a uma encomenda
que será aceita se nada houver de errado em pelo menos 9 itens. Qual a probabilidade
de que a encomenda seja aceita se soubermos que, em geral nesta produção, ocorre
20% de defeito ?
56 ) Um winchester e uma placa controladora serão montados num computador. A
probabilidade de que o winchester funcione bem é 0,95 e esta probabilidade para a
placa controladora é 0,98. Supondo independência na fabricação das peças, pergunta-se
:
( a ) Qual a probabilidade de que um winchester e uma placa selecionados ao acaso
funcionem bem, sabendo-se que o winchester já foi testado e funciona bem ?
( b ) A montagem de um winchester com uma placa apresentou defeito. Qual a probalidade
de que ambas estejam com defeito ?
57 ) Numa imagem gráfica podemos perceber 3 regiões distintas de sinais : a região A,
região B e região C, compostas aleatoriamente. Estima-se que a região A preenche a
metade da imagem e que a outra metade é preenchida 2/3 pela região B e 1/3 pela
região C. Dentro de cada região podem ocorrer 2 tipos de sinais : claros e escuros. Na
região A não temos sinais escuros, na região B 1/3 é de sinais claros e na região C, ½ é
de sinais claros.
( a ) Faça um diagrama em árvore para esta situação.
( b ) Qual a proporção de sinais claros existente numa imagem deste tipo ?
( c ) Se um sinal claro é observado, aleatoriamente, qual a probalidade de que ele pertença à
região A ?
58 ) Uma caixa contém 2 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retiram-se lâmpadas desta caixa
para a iluminação de uma sala que precisa de 2 lâmpadas boas (as retiradas,
evidentemente, são feitas sem reposição). Qual a probabilidade de que seja necessário
retirar todas as lâmpadas da caixa ?
59 ) A probabilidade de que um carro que abastece com gasolina também precise troca de
óleo é 0,25, a probabilidade de que precise de um filtro novo é de 0,4 e a probabilidade
de que precise de ambos, troca de óleo e filtro novo, é 0,14.
( a ) Se o óleo teve que ser trocado, qual a probabilidade de que um novo filtro seja
necessário ?
( b ) Qual a probabilidade de que não precise troca de óleo e nem filtro novo ?
60 ) A probabilidade de que um estudante passe em um certo exame é 0,9 , se ele estudar. A
probalidade de que ele passe no exame sem estudar é de 0,2. Assuma que a
probabilidade de um estudante estudar para este exame seja de 0,75. Dado que um
estudante passou, qual a probabilidade dele ter estudado ?
61 ) Sabemos que P(A) + P(A’) = 1 . Podemos afirmar que P(A/B) + P(A’/B) = 1 ? O que
podemos dizer sobre P(A/B) + P(A/B’) ? Justifique suas respostas.
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CAPÍTULO 2 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
2.1 INTRODUÇÃO
Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, 2 peças são
extraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma , sem reposição). Estamos interessados no
número de defeitos X nessa amostra de tamanho 2.
Um espaço amostral para esse experimento aleatório é :
S = {(D , D) , (D , ND) , (ND, D) , (ND , ND) }
onde D = defeituosa e ND = não defeituosa .
Assim, se ocorrer o evento {(D , D)} , teremos observado 2 peças defeituosas
na amostra, e X = 2 .
Fica, desse modo, estabelecida uma correspondência entre os elementos de S e
os elementos de um conjunto numérico, como se vê no diagrama abaixo :
X
S
Rx
(D,D)
( D , ND )
0
( ND , D )
1
( ND , ND )
2
Note, então, que X é uma função real definida em S. Em símbolos :
X: S
s
R
X (s)
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2.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA
Uma variável aleatória (v.a) é uma função real definida sobre os elementos de
um espaço amostral S.
* A variável aleatória X é dita DISCRETA se assume valores num conjunto
finito ou infinito enumerável.
* A variável aleatória X é dita CONTÍNUA se assume valores num conjunto
infinito não enumerável (como um intervalo por exemplo).
EXEMPLOS
1)
A variável aleatória X, definida na introdução é discreta, pois pode assumir os
valores 0, 1, 2.
2)
Uma lâmpada é fabricada e, em seguida, ensaiada quanto a sua duração de
vida. Um espaço amostral para esse experimento é S = ( t ∈ R / t ≥ 0 ). Se T é
o tempo de vida da lâmpada, então T é a função (v.a.) Identidade, pois T(t) = t,
para todo t ∈ S. T é uma v.a. contínua, pois assume valores no conjunto
{ t ∈ R / t ≥ 0 }.
3)
Uma moeda é lançada até que a primeira cara ocorra. Um espaço amostral
para esse experimento é: S = { H, TH, TTH, TTTH, ... }. Se X é a v.a. igual ao
número de lançamentos necessários para obter a primeira cara, então X é
discreta e assume valores no conjunto {1, 2, 3, 4,...}.
4)
No exemplo 2 acima, se X é definida como sendo 0 se T < 100 e 1 se T ≥ 100,
então X é discreta pois assume valores no conjunto { 0 , 1 }.
2.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
A função p(x) é uma função de probabilidade da v.a. X discreta se, para cada
resultado possível x, temos:
( 1 ) p(x) ≥ 0
(2)
∑
p(x) =
1
x
(3)
p(x) = P(X=x)
OBSERVAÇÃO :
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Aos pares (x
PROBABILIDADE.
,
p(x))
chamaremos
de
DISTRIBUIÇÃO
DE
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EXEMPLO
Para o mesmo exemplo visto na introdução, seja a v.a. X = número de peças
defeituosas. Os valores possíveis para X são : 0, 1, 2. A função de probabilidade de
X será então :
p( 0 ) = P( X = 0 ) = P{(ND , ND)} = (7/10).(6/9) = 7/15.
p( 1 ) = P( X = 1 ) = P{(D,ND) ou (ND,D)} = (3/10).(7/9) + (7/10)(3/9) = 7/15
p( 2 ) = P( X = 2 ) = P{(D,D)} = (3/10).(2/9) = 1/15.
Em forma de tabela podemos escrever :
x
0
1
2
p(x)
7/15
7/15
1/15
Observe que esta função possui as propriedades (1), (2) e (3) vistas acima.
Podemos representar graficamente uma função de probabilidade simplesmente
por pontos no plano cartesiano ou através do que se chama HISTOGRAMA DE
PROBABILIDADE, que é um gráfico de barras. Cada barra tem o centro no ponto
x e altura igual a probabilidade de x, ou seja, p(x). Desta forma, cada retângulo tem
área igual a p(x) e a área total abaixo dos retângulos é igual a 1.
Por exemplo :
p(x)
p(x)
7/15
7/15
1/15
1/15
0
1
2
x
0
1
2
x
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2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para a v.a. X contínua,
definida sobre o conjunto dos números reais R, se:
( 1 ) f(x) ≥ 0
(2)
∫
+∞
-∞
f(x) dx = 1
( 3 ) P(a < X < b) =
∫ f(x) dx .
b
a
OBSERVAÇÕES :
1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R , significa que o gráfico da função f está todo acima
do eixo x.
2)
∫
3)
P(a < X < b) = ∫af(x) dx significa que probabilidades, agora, são iguais a áreas
abaixo da curva f(x).
4)
Note que P ( X = a ) = af(x) dx = 0 , ou seja, probabilidades pontuais são nulas.
5)
Segue da observação 4 que:
+∞
-∞
, significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1.
f(x ) dx = 1
b
∫
a
P(a < X < b) = P(a ≤ X< b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .
EXEMPLO
Seja a v.a. X contínua com função densidade de probabilidade dada por:
⎧ kx 2 , - 1 < x < 2
f(x) = ⎨
⎩ 0 , caso contrá rio
a) Calcule o valor da constante k , que faz com que f(x) seja uma função
densidade de probabilidade:
Observe, inicialmente, que k > 0 , pois f(x) deve ser 0 para todo x real. Além
disso, devemos ter que:
+∞
-1
2
+∞
2
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ kx
-∞
-∞
-1
2
2
2
dx = (1/ 3)kx 3 -1 = 3k = 1.
-1
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Daí, k = 1/3 e a função densidade de probabilidade poderá ser escrita como :
⎧ (1/ 3) x 2 , - 1< x < 2
f(x) = ⎨
⎩ 0 , caso contrá rio
Graficamente :
f(x)
4/3
1/3
-1
1
0
2
x
b) Calcule P( 0 < X < 1 ) :
1
P(0< X < 1) =
∫ (1 / 3) x
2
dx = 1 / 9
0
2. 5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
A função de distribuição acumulada de uma v.a. X contínua com função
densidade de probabilidade f(x) é dada por :
x
F( x) = P( X ≤ x) = ∫ f(s) ds
−∞
Segue imediatamente que :
a) P( a < X ≤ b ) = F( b ) - F( a )
b) P( X > a) = 1 - P(X ≤ a) = 1 - F( a )
c) f( x ) = F’( x ) , se a derivada existir.
d) F(“∞”) = 1 e F(“-∞”) = 0
e) F(x) é não decrescente.
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EXEMPLO
Para uma função densidade de probabilidade definida no exemplo anterior, a
função de distribuição acumulada F(x) é encontrada da seguinte forma:
1º ) Para valores de x ≤ -1:
x
F(x) = P(X ≤ x) = ∫ f(s) ds = 0
-∞
2º ) Para valores de -1 < x < 2:
x
F(x) = P(X ≤ x ) =
∫ f(s) ds
-1
=
-∞
x
x
∫ f(s) ds + ∫ f (s) ds = ∫ (1 / 3) s ds
2
-∞
-1
-1
-1
2
x
= (1 / 9) (x 3 + 1)
3º ) Para valores de x ≥ 2:
x
F(x) = P(X ≤ x ) =
∫ f(s) ds
-∞
=
2
∫ f(s) ds + ∫ f (s) ds + ∫ f (s) ds = ∫ (1 / 3) s ds
2
-∞
-1
2
= 1
-1
Assim, a função de distribuição acumulada da v.a. X é escrita como:
0 , para x ≤ -1
F(x) = P( X ≤ x) =
(1/9) (x3 + 1) , para -1 < x < 2
1 , para x ≥ 2
Neste exemplo, podemos ainda calcular probabilidades para X usando a F(x)
encontrada:
P(X ≤ 0,5) = F(0,5) = (1/9) (0,53 + 1) = 0.1250
P(0 < X ≤ 1) = F(1) - F(0) = (1/9) (13 + 1)- (1/9) (03 + 1) = 0.1111
P(X > 1,3) = 1 - P(X ≤ 1,3) = 1 - F(1,3) = 1 - (1/9) (1,33 + 1) = 0.6447
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2.6 EXPECTÂNCIA E VARIANCIA DE UMA V.A.
2.6.1 EXPECTÂNCIA (Esperança Matemática ou Média) DE UMA V.A.:
A expectância de uma v.a. X é uma medida que posiciona o centro de uma
distribuição de probabilidade e é definida por:
µ = E(X) = ∑ x p(x) se a v.a. X for discreta
x
∞
µ = E( X) =
∫ x f ( x) dx
se a v.a. X for contínua
−∞
Observações:
1) Note que no caso da v.a. discreta a expectância pode ser vista como uma média
“ponderada”, onde os “pesos” são as probabilidades de cada ponto.
2) No caso da v.a. contínua, a expectância coincide com o cálculo do valor da
abcissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(x). É um
ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de
probabilidade.
3) Podemos interpretar a expectância, também, como sendo uma média dos
valores que a v.a. assume se imaginarmos o experimento aleatório sendo
repetido indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A
função de probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de
probabilidade no caso contínuo refletem as freqüências relativas de ocorrência
dos valores de X.
2. 6.1.1 PROPRIEDADES DA EXPECTÂNCIA:
As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v.a.’s
discretas e v.a.’s contínuas.
1ª ) Se a é uma constante, então:
E(a) = a
2ª ) Se a e b são constantes, então:
E( aX + b) = a E(X) + b
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3ª ) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
4ª ) Se X e Y são duas v.a.’s independentes, então E(XY) = E(X). E(Y)
(Obs.: A definição de independência de duas v.a.’s não foi apresentada. Entretanto,
podemos pensar nesta independência de modo análogo à independência de dois
eventos A e B.)
EXEMPLO 1:
Se uma moeda honesta for lançada duas vezes, qual a expectância do número de
“caras” ? (ou, em média, quantas caras teremos?)
Seja X a v.a. igual ao número de vezes em que aparece “cara”.
X assume os valores 0, 1 e 2 e sua distribuição de probabilidade é dada por:
x
0
1
2
p(x)
¼
½
¼
µ = E(X) = ∑ x p(x) = (0) 1 / 4 + (1) 1 / 2 + (2) 1 / 4 = 1
x
Assim, podemos dizer que ao lançarmos uma moeda duas vezes, em média
obteremos 1 “cara”.
EXEMPLO 2 :
Seja X uma v.a. contínua como função densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
2x, se 0 < x < 1
0, para outros valores de x
µ = E ( X) =
∞
1
−∞
0
∫ x f ( x) dx = ∫ x . 2x dx = 2 / 3
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f(x)
2
µ=2/3
x
2.6.1.2 EXPECTÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE V.A.:
Seja X uma v.a. e g(X) uma função qualquer de X. Então a expectância de
g(X) é dada por:
∑ g( x) p( x) , se X for discreta
x
E [ g(X) ] =
∞
∫ g( x) f ( x) dx , se X for contínua
−∞
2.6.2 VARIANCIA DE UMA V.A.:
A variancia de uma v.a. é uma medida de sua dispersão ou variabilidade em
torno de sua média. O gráfico abaixo apresenta um exemplo das distribuições de
probabilidade de duas v.a.’s X1 e X2 que possuem a mesma forma da distribuição
e a mesma expectância. Observamos, então, que a diferença entre elas é a
variabilidade que elas apresentam em torno de sua média.
σ1
σ2 > σ1
σ2
µ 1= µ 2
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Note que a v.a. X2 se apresenta mais dispersa (mais “espalhada”) em torno da
média do que a v.a. X1.
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A variancia de uma v.a. é definida por:
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] =
∑ (x− µ)
2
p(x) se X for discreta
x
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] =
∞
∫ ( x −µ)
2
f ( x) dx , se X for contínua
−∞
Note que a variancia é a média dos desvios que a v.a. X apresenta em relação à
sua média µ, elevados ao quadrado. Sendo assim, a variancia será sempre positiva e
quanto maior a variabilidade da v.a., maior será a sua variancia.
A raiz quadrada positiva da variancia é uma medida de dispersão chamada de
DESVIO PADRÃO.
Uma alternativa para o cálculo da variancia é dada pelo seguinte resultado:
Teorema:
σ2 = V(X) = E (X2) - µ2
De fato:
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] = E ( X2 - 2µ X + µ2) =
= E (X2) - 2 µ E(X) + E(µ2) =
= E(X2) - µ2
2.6.2.1. PROPRIEDADES DA VARIANCIA:
1ª ) Se b é uma constante, então:
V(b) = 0
2ª ) Se X é uma v.a. e b é uma constante, então:
V(X + b) = V(X)
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3ª ) Se X é uma v.a. e a é uma constante, então:
V(aX) = a2 V(X)
4ª ) Se X e Y são v.a.’s independentes e a e b são constantes, então:
V(aX + bY) = a2 V(X) + b2 V(Y) e
V(aX - bY) = a2 V(X) + b2 V(Y)
EXEMPLO 1
Considere o exemplo 1 da definição de expectância ( o lançamento de 2 moedas).
Sabemos que:
σ2 = V(X) = E (X2) - µ2
Devemos calcular, inicialmente, E(X2):
E(X2) = (0)2 p(0) + (1)2 p(1) + (2)2 p(2) = 3/2
Daí, V(X) = 3/2 - 12 = 1/2
EXEMPLO 2
Considere o exemplo 2 da definição de expectância.
Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos calcular inicialmente E(X2):
∞
∞
−∞
−∞
E( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x) dx = ∫ x 2 2 x dx = 1 / 2
Daí σ2 = V(X) = E (X2) - µ2 = 1 /2 - (2/3)2 = 1/18
2.6.3 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV
O matemático russo Chebyshev observou que a probabilidade de que qualquer
v.a. X caia dentro de k desvios padrões em torno da média é pelo menos (1 - 1/k2).
Isto é:
P(µ - k σ < X < µ + k σ) ≥ 1 - 1/k2
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Note que para k = 2 a desigualdade afirma que a v.a. X tem uma probabilidade
de no mínimo 1 - (1/2)2 = ¾ de cair entre dois desvios padrões da média, ou seja,
¾ ou mais observações de qualquer distribuição caem no intervalo µ ± 2σ. Por ser
uma desigualdade que se aplica para qualquer distribuição, é um resultado fraco.
Sabemos, por exemplo, que temos pelo menos ¾ de probabilidade de uma
observação cair no intervalo µ ± 2σ , mas não sabemos exatamente quanto seria
esta probabilidade realmente. Isto só pode ser calculado se soubermos qual a
distribuição de probabilidade da v.a.
2.7 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS
Geralmente, em um experimento aleatório envolvendo uma v.a. continua, a
sua função densidade de probabilidade f(x) é desconhecida.
Para que a escolha de f(x) seja razoável, deve-se fazer um julgamento prévio
baseado em informações disponíveis. Dados estatísticos , gerados em grande escala,
podem ser muito úteis ao estudar o comportamento da distribuição, se apresentados
na forma de uma distribuição de freqüência relativa . Tal arranjo é obtido
agrupando-se os dados em classes e determinando a proporção das medidas em cada
uma das classes.
EXEMPLO
A vida de 40 baterias de carro foram medidas em anos e são dadas a seguir :
2,2
3,1
2,9
1,9
4,1
3,3
3,3
3,4
3,5
3,8
3,9
4,7
4,5
3,1
3,1
3,8
3,2
4,7
3,3
3,2
3,7
3,7
3,1
2,6
3,0
2,5
3,7
3,9
2,6
4,3
4,4
3,0
3,4
3,4
3,2
4,2
1,6
3,6
4,1
3,5
Devemos decidir, primeiro, sobre o número de classes nas quais os dados
serão agrupados. Isto é arbitrário e geralmente entre 5 e 20 classes, dependendo do
número de observações obtidas.
Vamos escolher 7 classes para o exemplo. O intervalo de classe deve ser tal
que 7 intervalos acomodem todos os dados. Assim, sendo 4,7 - 1,6 a amplitude
total, então, o tamanho de intervalo será : ( 4,7 - 1,6 ) / 7 = 0,443.
Vamos aproximar para 0,5 e fazer todos os 7 intervalos do mesmo tamanho.
Se começarmos com 1,5 para o limite inferior do primeiro intervalo, então a
distribuição de freqüência será dada por :
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Classes
Pto. Médio de
Classe
Freqüência
(f)
Freqüência
Relativa
1,5
1,9
1,7
2
0,050
2,0
2,4
2,2
1
0,025
2,5
2,9
2,7
4
0,100
3,0
3,4
3,2
15
0,375
3,4
3,9
3,7
10
0,250
4,0
4,4
4,2
5
0,125
4,4
4,9
4,7
3
0,075
40
1,000
TOTAL
Podemos, a partir daí, construir um histograma de freqüência relativa :
0,375
0,250
0,125
1,7
2,2
2,7
3,2
3,7
4,2
4,7
Embora tenhamos estimado uma curva para f(x) não conhecem os ainda a sua
equação. Entretanto é possível ajustar uma curva sobre estes dados e verificar se
este ajuste é razoável e determinar até que ponto é aceitável.
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2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1)
X:
Y:
M:
N:
O:
P:
Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas.
o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116.
o tempo que leva para jogar uma partida de xadrez.
o diâmetro de uma peça cilíndrica.
o número de apartamentos construídos por ano em uma cidade.
a altura de uma pessoa.
o número de falhas que um sistema apresenta em um determinado período de tempo.
2)
De uma caixa contendo 4 bolas pretas e 2 bolas verdes, 3 bolas são retiradas
sucessivamente sem reposição.
( a ) Encontre a distribuição de probabilidade do número de bolas verdes retiradas.
( b ) Calcule a expectância e a variancia da distribuição encontrada.
( c ) Considere um jogo no qual você ganha 10 u.m. cada vez que sair uma bola
preta e perde 5 cada vez que sair uma bola verde. Até quanto vale a pena pagar
para entrar neste jogo ?
3)
Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de
ocorrer que coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre a distribuição de
probabilidade do número de caras. Construa um histograma de probabilidade
para a distribuição.
4)
Uma v.a. discreta X tem função de probabilidade dada por:
p( x ) = P( X = x ) = k 2-x , x = 0, 1, 2, . . .
( a ) Encontre k
( b ) Encontre P( X ser maior ou igual a 3)
( c ) Encontre P( 3 < X < 7 )
5)
Dois dados são lançados. Determinar a função de probabilidade da v.a. igual à
soma dos pontos obtidos. Encontre a expectância e a variancia da distribuição
da soma. Faça um gráfico da função de probabilidade encontrada.
6)
Considere uma v.a. X com valores possíveis 0, 1, 2, . . . e suponha que :
p( x ) = P( X = x ) = ( 1-a ) ax , x = 0, 1, 2, . . .
( a ) Para que valores de a o modelo acima tem sentido?
( b ) Mostre que, para quaisquer dois inteiros positivos s e t :P(X > s + t/X >
s)=P(X ≥ t).
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7)
Uma v.a. contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:
3x2, para 0 <x < 1
f(x)
0 , para outros valores de x
(a)
(b)
(c)
(d)
Verifique as propriedades de f e esboce um gráfico.
Encontre a função de distribuição acumulada F(x).
Calcule a probabilidade dessa variável assumir um valor maior do que 1/3.
Se forem observados 2 valores independentes de X, digamos X1 e X2, qual a
probabilidade de que ambos sejam maiores que 1/3 se soubermos que pelo
menos um deles é maior do que 1/3.
( e ) Calcule a expectância e a variancia da v.a. X.
8)
É dado o gráfico abaixo da função densidade de probabilidade de uma v.a. X
contínua.
( a ) Equacione a função f (x).
( b ) Encontre F (x).
( c ) Use F( x ) para calcular P ( 1 < X < 4 ).
f (x)
1/3
0
9)
(a)
(b)
(c)
(d)
1
2
3
4
5
x
Uma v.a. T contínua tem função densidade de probabilidade dada por :
f (x) = a e-at , t ≥ 0 , onde a > 0 é o parâmetro.
Mostre que f(t) tem as propriedades de uma função densidade de
probabilidade.
Encontre a função de distribuição acumulada F (t).
Faça um gráfico para f (x) e outro para F (t).
Encontre um valor T = Me tal que P( T < Me) = 0,5. Me é uma medida de
posição chamada de mediana da distribuição.
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10) Uma v.a. X contínua tem a seguinte função de distribuição acumulada :
0, x < 0
F(x) =
kx4, 0 ≤ x ≤ 1
1, x > 1
( a ) Determine a constante k.
( b ) Qual a função densidade de probabilidade f (x) ?
11) Dada a função densidade de probabilidade
f(x) = 2(1 - x), para 0 < x < 1
0, para outros valores de x
Encontre:
( a ) E(X)
( b ) E(X2)
( c ) E[(X + 10)2]
( d ) V(X)
( e ) Desvio Padrão de X
12) Mostre que E(X - µ) = 0
13) Uma v.a. X assume valores 0, 1, ... , n com probabilidade constante P(x) =
1/(x+1), x=0,...,n. Calcular a expectância e a variancia de X.
14) Mostre as propriedades 1, 2 e 3 vistas para a variancia.
15) Se X é uma v.a. com µ = E(X) e σ2 = V(x), verifique que a v.a. Y= (X- µ)/σ
possui E(Y) = 0 e V(Y) = 1.
16) Seja X uma v.a. discreta assumindo valores no conjunto { -n, -n+1, ..., -2, -1,
0, 1, 2, ..., n-1, n }. Se considerarmos a v.a. Y = ⏐ X ⏐, determine:
( a ) O conjunto de valores de Y
( b ) Se X tem probabilidades iguais para todos os valores que assume, escreva a
função de probabilidade de X
( c ) Considerando a função de probabilidade de X, escreva a função de
probabilidade de Y.
( d ) Qual a expectância de X ? e de Y ?
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17) A temperatura de um congelador, em graus centígrados, é uma v.a. T com
função densidade de probabilidade dada por:
f(t) = -k (t + 10) (t + 20) , -20 < t < -10
0 , para outros valores de t
( a ) Determinar o valor da constante k
( b ) Calcule µ = E(X)
( c ) Qual a expectância de F = 32 + (9/5) T (temperatura em graus Fahrenheit) ?
18) Seja X uma v.a. que assume apenas os valores -1, 0 , 1, com p(0) = P(X=0) =
1/2. Mostrar que -1/2 < E(X) < 1/2.
19) Dada a função
0, se x < 0
F(x) =
(x + 1)/3 , se 0 ≤ x ≤ 1
1 , se x > 1
Verifique se F é uma função de distribuição acumulada para X.
20) Se uma pessoa recebe R$ 5,00 se aparecerem somente caras ou somente
coroas na jogada de três moedas, e paga R$ 2,00 em caso contrário, qual seu
ganho esperado ?
21) X é uma v.a. discreta com a seguinte distribuição de probabilidade:
x
0
1
2
3
4
p(x) 1 /4 1/8 1 /4 1/8 1/4
( a ) Determine E(X)
( b ) Determine E[(X + 1)/2]
22) Suponha que X seja uma v.a. com a seguintes distribuição de probabilidade:
x
-3
-1
0
1
2
3
5
8
p(x) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05
Determine as seguintes probabilidades:
( a ) X é negativo
( b ) X é par
( c ) X assume um valor entre 1 e 8 (inclusive)
( d ) P(X = -3 | X ≤ 0)
( e ) P(X ≥ 3 | X > 0)
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23) Suponha que uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Faz-se duas
repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma
bola da caixa (experimento com reposição). Seja X o maior entre os dois
números observados. Determine a função de probabilidade de X e a sua
expectância.
24) Seja X o tempo até a desintegração de alguma partícula radioativa e suponha
que a função de distribuição acumulada de X seja dada por:
0 , se x ≤ 0
1 - e-ax , x > 0
Suponha que a seja tal que P(X ≥ 0,01) = ½. Obtenha um número t tal que
P(X ≥ t) = 0,9.
F(x) =
25) Os seguintes dados representam a duração de vida em anos de um amostra
aleatória de 30 bombas de gasolina.
2,0
6,0
5,9
0,5
1,2
3,0
5,5
1,8
2,5
0,2
0,3
6,5
4,7
5,0
3,3
0,2
0,7
1,0
1,3
2,3
4,5
6,0
0,4
1,5
0,3
5,6
0,1
4,0
1,5
6,0
Usando 6 intervalos com o primeiro começando com 0,1 :
( a) Construa uma distribuição de freqüência relativa.
( b ) Construa um histograma.
( c ) Estime o valor abaixo do qual caem 2/3 dos valores.
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