V.A. e Distribuições de Probabilidade

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
2.1 INTRODUÇÃO
Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, 2 peças são
extraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma , sem reposição). Estamos interessados no
número de defeitos X nessa amostra de tamanho 2.
Um espaço amostral para esse experimento aleatório é :
S = {(D , D) , (D , ND) , (ND, D) , (ND , ND) }
onde D = defeituosa e ND = não defeituosa .
Assim, se ocorrer o evento {(D , D)} , teremos observado 2 peças defeituosas
na amostra, e X = 2 .
Fica, desse modo, estabelecida uma correspondência entre os elementos de S e
os elementos de um conjunto numérico, como se vê no diagrama abaixo :
X
S
Rx
(D,D)
0
1
( D , ND )
( ND , D )
( ND , ND )
2
Note, então, que X é uma função real definida em S. Em símbolos :
X: S
s
2.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA
R
X (s)
2
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Notas de Aula
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Uma variável aleatória (v.a) é uma função real definida sobre os elementos de
um espaço amostral S.
* A variável aleatória X é dita DISCRETA se assume valores num conjunto
finito ou infinito enumerável.
* A variável aleatória X é dita CONTÍNUA se assume valores num conjunto
infinito não enumerável (como um intervalo por exemplo).
EXEMPLOS
1)
A variável aleatória X, definida na introdução é discreta, pois pode assumir os
valores 0, 1, 2.
2)
Uma lâmpada é fabricada e, em seguida, ensaiada quanto a sua duração de
vida. Um espaço amostral para esse experimento é S = ( t ∈ R / t ≥ 0 ). Se T é
o tempo de vida da lâmpada, então T é a função (v.a.) Identidade, pois T(t) = t,
para todo t ∈ S. T é uma v.a. contínua, pois assume valores no conjunto
{ t ∈ R / t ≥ 0 }.
3)
Uma moeda é lançada até que a primeira cara ocorra. Um espaço amostral
para esse experimento é: S = { H, TH, TTH, TTTH, ... }. Se X é a v.a. igual ao
número de lançamentos necessários para obter a primeira cara, então X é
discreta e assume valores no conjunto {1, 2, 3, 4,...}.
4)
No exemplo 2 acima, se X é definida como sendo 0 se T < 100 e 1 se T ≥ 100,
então X é discreta pois assume valores no conjunto { 0 , 1 }.
2.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
A função p(x) é uma função de probabilidade da v.a. X discreta se, para cada
resultado possível x, temos:
( 1 ) p(x) ≥ 0
(2)
∑
p(x) =
1
x
(3)
p(x) = P(X=x)
OBSERVAÇÃO :
Aos pares (x
PROBABILIDADE.
,
p(x))
chamaremos
de
DISTRIBUIÇÃO
DE
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EXEMPLO
Para o mesmo exemplo visto na introdução, seja a v.a. X = número de peças
defeituosas. Os valores possíveis para X são : 0, 1, 2. A função de probabilidade de
X será então :
p( 0 ) = P( X = 0 ) = P{(ND , ND)} = (7/10).(6/9) = 7/15.
p( 1 ) = P( X = 1 ) = P{(D,ND) ou (ND,D)} = (3/10).(7/9) + (7/10)(3/9) = 7/15
p( 2 ) = P( X = 2 ) = P{(D,D)} = (3/10).(2/9) = 1/15.
Em forma de tabela podemos escrever :
x
0
1
2
p(x)
7/15
7/15
1/15
Observe que esta função possui as propriedades (1), (2) e (3) vistas acima.
Podemos representar graficamente uma função de probabilidade simplesmente
por pontos no plano cartesiano ou através do que se chama HISTOGRAMA DE
PROBABILIDADE, que é um gráfico de barras. Cada barra tem o centro no ponto
x e altura igual a probabilidade de x, ou seja, p(x). Desta forma, cada retângulo tem
área igual a p(x) e a área total abaixo dos retângulos é igual a 1.
Por exemplo :
p(x)
p(x)
7/15
7/15
1/15
1/15
0
1
2
x
0
1
2
x
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2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE
A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para a v.a. X contínua,
definida sobre o conjunto dos números reais R, se:
( 1 ) f(x) ≥ 0
(2)
∫
+∞
-∞
f(x) dx = 1
( 3 ) P(a < X < b) =
∫ f(x) dx .
b
a
OBSERVAÇÕES :
1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R , significa que o gráfico da função f está todo acima
do eixo x.
2)
∫
3)
P(a < X < b) = ∫af(x) dx significa que probabilidades, agora, são iguais a áreas
abaixo da curva f(x).
4)
Note que P ( X = a ) = af(x) dx = 0 , ou seja, probabilidades pontuais são nulas.
5)
Segue da observação 4 que:
+∞
-∞
, significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1.
f(x) dx = 1
b
∫
a
P(a < X < b) = P(a ≤ X< b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .
EXEMPLO
Seja a v.a. X contínua com função densidade de probabilidade dada por:
⎧ kx 2 , - 1 < x < 2
f(x) = ⎨
⎩ 0 , caso contrá rio
a) Calcule o valor da constante k , que faz com que f(x) seja uma função
densidade de probabilidade:
Observe, inicialmente, que k > 0 , pois f(x) deve ser 0 para todo x real. Além
disso, devemos ter que:
+∞
-1
2
+∞
2
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ kx
-∞
-∞
-1
2
2
2
dx = (1/ 3)kx 3 -1 = 3k = 1.
-1
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Daí, k = 1/3 e a função densidade de probabilidade poderá ser escrita como :
⎧ (1/ 3) x 2 , - 1 < x < 2
f(x) = ⎨
⎩ 0 , caso contrá rio
Graficamente :
f(x)
4/3
1/3
-1
1
0
2
x
b) Calcule P( 0 < X < 1 ) :
1
P(0< X < 1) =
∫ (1 / 3) x
2
dx = 1 / 9
0
2. 5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
A função de distribuição acumulada de uma v.a. X contínua com função
densidade de probabilidade f(x) é dada por :
x
F( x) = P( X ≤ x) = ∫ f(s) ds
−∞
Segue imediatamente que :
a) P( a < X ≤ b ) = F( b ) - F( a )
b) P( X > a) = 1 - P(X ≤ a) = 1 - F( a )
c) f( x ) = F’( x ) , se a derivada existir.
d) F(“∞”) = 1 e F(“-∞”) = 0
e) F(x) é não decrescente.
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EXEMPLO
Para uma função densidade de probabilidade definida no exemplo anterior, a
função de distribuição acumulada F(x) é encontrada da seguinte forma:
1º ) Para valores de x ≤ -1:
x
F(x) = P(X ≤ x) = ∫ f(s) ds = 0
-∞
2º ) Para valores de -1 < x < 2:
x
F(x) = P(X ≤ x ) =
∫ f(s) ds
-1
=
-∞
x
x
∫ f(s) ds + ∫ f (s) ds = ∫ (1 / 3) s ds
2
-∞
-1
-1
-1
2
x
= (1 / 9) (x 3 + 1)
3º ) Para valores de x ≥ 2:
x
F(x) = P(X ≤ x ) =
∫ f(s) ds
-∞
=
2
∫ f(s) ds + ∫ f (s) ds + ∫ f (s) ds = ∫ (1 / 3) s ds
2
-∞
-1
2
= 1
-1
Assim, a função de distribuição acumulada da v.a. X é escrita como:
0 , para x ≤ -1
F(x) = P( X ≤ x) =
(1/9) (x3 + 1) , para -1 < x < 2
1 , para x ≥ 2
Neste exemplo, podemos ainda calcular probabilidades para X usando a F(x)
encontrada:
P(X ≤ 0,5) = F(0,5) = (1/9) (0,53 + 1) = 0.1250
P(0 < X ≤ 1) = F(1) - F(0) = (1/9) (13 + 1)- (1/9) (03 + 1) = 0.1111
P(X > 1,3) = 1 - P(X ≤ 1,3) = 1 - F(1,3) = 1 - (1/9) (1,33 + 1) = 0.6447
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2.6 EXPECTÂNCIA E VARIANCIA DE UMA V.A.
2.6.1 EXPECTÂNCIA (Esperança Matemática ou Média) DE UMA V.A.:
A expectância de uma v.a. X é uma medida que posiciona o centro de uma
distribuição de probabilidade e é definida por:
µ = E(X) = ∑ x p(x) se a v.a. X for discreta
x
∞
µ = E( X) =
∫ x f ( x) dx
se a v.a. X for contínua
−∞
Observações:
1) Note que no caso da v.a. discreta a expectância pode ser vista como uma média
“ponderada”, onde os “pesos” são as probabilidades de cada ponto.
2) No caso da v.a. contínua, a expectância coincide com o cálculo do valor da
abcissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(x). É um
ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de
probabilidade.
3) Podemos interpretar a expectância, também, como sendo uma média dos
valores que a v.a. assume se imaginarmos o experimento aleatório sendo
repetido indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A
função de probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de
probabilidade no caso contínuo refletem as freqüências relativas de ocorrência
dos valores de X.
2. 6.1.1 PROPRIEDADES DA EXPECTÂNCIA:
As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v.a.’s
discretas e v.a.’s contínuas.
1ª ) Se a é uma constante, então:
E(a) = a
2ª ) Se a e b são constantes, então:
E( aX + b) = a E(X) + b
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3ª ) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
4ª ) Se X e Y são duas v.a.’s independentes, então E(XY) = E(X). E(Y)
(Obs.: A definição de independência de duas v.a.’s não foi apresentada. Entretanto,
podemos pensar nesta independência de modo análogo à independência de dois
eventos A e B.)
EXEMPLO 1:
Se uma moeda honesta for lançada duas vezes, qual a expectância do número de
“caras” ? (ou, em média, quantas caras teremos?)
Seja X a v.a. igual ao número de vezes em que aparece “cara”.
X assume os valores 0, 1 e 2 e sua distribuição de probabilidade é dada por:
x
0
1
2
p(x)
¼
½
¼
µ = E(X) = ∑ x p(x) = (0) 1 / 4 + (1) 1 / 2 + (2) 1 / 4 = 1
x
Assim, podemos dizer que ao lançarmos uma moeda duas vezes, em média
obteremos 1 “cara”.
EXEMPLO 2 :
Seja X uma v.a. contínua como função densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
2x, se 0 < x < 1
0, para outros valores de x
µ = E ( X) =
∞
1
−∞
0
∫ x f ( x) dx = ∫ x . 2x dx = 2 / 3
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f(x)
2
µ=2/3
x
2.6.1.2 EXPECTÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE V.A.:
Seja X uma v.a. e g(X) uma função qualquer de X. Então a expectância de
g(X) é dada por:
∑ g( x) p( x) , se X for discreta
x
E [ g(X) ] =
∞
∫ g( x) f ( x) dx , se X for contínua
−∞
2.6.2 VARIANCIA DE UMA V.A.:
A variancia de uma v.a. é uma medida de sua dispersão ou variabilidade em
torno de sua média. O gráfico abaixo apresenta um exemplo das distribuições de
probabilidade de duas v.a.’s X1 e X2 que possuem a mesma forma da distribuição
e a mesma expectância. Observamos, então, que a diferença entre elas é a
variabilidade que elas apresentam em torno de sua média.
σ1
σ2 > σ1
σ2
µ 1= µ 2
Note que a v.a. X2 se apresenta mais dispersa (mais “espalhada”) em torno da
média do que a v.a. X1.
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A variancia de uma v.a. é definida por:
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] =
∑ (x− µ)
2
p(x) se X for discreta
x
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] =
∞
∫ ( x −µ)
2
f ( x) dx , se X for contínua
−∞
Note que a variancia é a média dos desvios que a v.a. X apresenta em relação à
sua média µ, elevados ao quadrado. Sendo assim, a variancia será sempre positiva e
quanto maior a variabilidade da v.a., maior será a sua variancia.
A raiz quadrada positiva da variancia é uma medida de dispersão chamada de
DESVIO PADRÃO.
Uma alternativa para o cálculo da variancia é dada pelo seguinte resultado:
Teorema:
σ2 = V(X) = E (X2) - µ2
De fato:
σ2 = V(X) = E [(X - µ)2] = E ( X2 - 2µ X + µ2) =
= E (X2) - 2 µ E(X) + E(µ2) =
= E(X2) - µ2
2.6.2.1. PROPRIEDADES DA VARIANCIA:
1ª ) Se b é uma constante, então:
V(b) = 0
2ª ) Se X é uma v.a. e b é uma constante, então:
V(X + b) = V(X)
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3ª ) Se X é uma v.a. e a é uma constante, então:
V(aX) = a2 V(X)
4ª ) Se X e Y são v.a.’s independentes e a e b são constantes, então:
V(aX + bY) = a2 V(X) + b2 V(Y) e
V(aX - bY) = a2 V(X) + b2 V(Y)
EXEMPLO 1
Considere o exemplo 1 da definição de expectância ( o lançamento de 2 moedas).
Sabemos que:
σ2 = V(X) = E (X2) - µ2
Devemos calcular, inicialmente, E(X2):
E(X2) = (0)2 p(0) + (1)2 p(1) + (2)2 p(2) = 3/2
Daí, V(X) = 3/2 - 12 = 1/2
EXEMPLO 2
Considere o exemplo 2 da definição de expectância.
Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos calcular inicialmente E(X2):
∞
∞
−∞
−∞
E( X 2 ) = ∫ x 2 f ( x) dx = ∫ x 2 2 x dx = 1 / 2
Daí σ2 = V(X) = E (X2) - µ2 = 1 /2 - (2/3)2 = 1/18
2.6.3 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV
O matemático russo Chebyshev observou que a probabilidade de que qualquer
v.a. X caia dentro de k desvios padrões em torno da média é pelo menos (1 - 1/k2).
Isto é:
P(µ - k σ < X < µ + k σ) ≥ 1 - 1/k2
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Note que para k = 2 a desigualdade afirma que a v.a. X tem uma probabilidade
de no mínimo 1 - (1/2)2 = ¾ de cair entre dois desvios padrões da média, ou seja,
¾ ou mais observações de qualquer distribuição caem no intervalo µ ± 2σ. Por ser
uma desigualdade que se aplica para qualquer distribuição, é um resultado fraco.
Sabemos, por exemplo, que temos pelo menos ¾ de probabilidade de uma
observação cair no intervalo µ ± 2σ , mas não sabemos exatamente quanto seria
esta probabilidade realmente. Isto só pode ser calculado se soubermos qual a
distribuição de probabilidade da v.a.
2.7 DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS
Geralmente, em um experimento aleatório envolvendo uma v.a. continua, a
sua função densidade de probabilidade f(x) é desconhecida.
Para que a escolha de f(x) seja razoável, deve-se fazer um julgamento prévio
baseado em informações disponíveis. Dados estatísticos , gerados em grande escala,
podem ser muito úteis ao estudar o comportamento da distribuição, se apresentados
na forma de uma distribuição de freqüência relativa . Tal arranjo é obtido
agrupando-se os dados em classes e determinando a proporção das medidas em cada
uma das classes.
EXEMPLO
A vida de 40 baterias de carro foram medidas em anos e são dadas a seguir :
2,2
3,1
2,9
1,9
4,1
3,3
3,3
3,4
3,5
3,8
3,9
4,7
4,5
3,1
3,1
3,8
3,2
4,7
3,3
3,2
3,7
3,7
3,1
2,6
3,0
2,5
3,7
3,9
2,6
4,3
4,4
3,0
3,4
3,4
3,2
4,2
1,6
3,6
4,1
3,5
Devemos decidir, primeiro, sobre o número de classes nas quais os dados
serão agrupados. Isto é arbitrário e geralmente entre 5 e 20 classes, dependendo do
número de observações obtidas.
Vamos escolher 7 classes para o exemplo. O intervalo de classe deve ser tal
que 7 intervalos acomodem todos os dados. Assim, sendo 4,7 - 1,6 a amplitude
total, então, o tamanho de intervalo será : ( 4,7 - 1,6 ) / 7 = 0,443.
Vamos aproximar para 0,5 e fazer todos os 7 intervalos do mesmo tamanho.
Se começarmos com 1,5 para o limite inferior do primeiro intervalo, então a
distribuição de freqüência será dada por :
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Classes
Pto. Médio de
Classe
Freqüência
(f)
Freqüência
Relativa
1,5
1,9
1,7
2
0,050
2,0
2,4
2,2
1
0,025
2,5
2,9
2,7
4
0,100
3,0
3,4
3,2
15
0,375
3,4
3,9
3,7
10
0,250
4,0
4,4
4,2
5
0,125
4,4
4,9
4,7
3
0,075
40
1,000
TOTAL
Podemos, a partir daí, construir um histograma de freqüência relativa :
0,375
0,250
0,125
1,7
2,2
2,7
3,2
3,7
4,2
4,7
Embora tenhamos estimado uma curva para f(x) não conhecem os ainda a sua
equação. Entretanto é possível ajustar uma curva sobre estes dados e verificar se
este ajuste é razoável e determinar até que ponto é aceitável.
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