Distribuições de V.A. Contínuas

ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
4. 1 INTRODUÇÃO
Serão apresentadas aqui algumas distribuições de probabilidade associadas a
v.a.’s contínuas. A mais importante delas é a distribuição Normal (ou de Gauss)
pois, além de ser aplicada a muitos experimentos aleatórios, é a base de boa parte da
teoria de Inferência Estatística. Outras distribuições como a “t de Student”, a F e a
de Qui-quadrado são fundamentais no desenvolvimento da teoria de distribuições
amostrais. Em aplicações da Estatística a diversos problemas de engenharia vistos
na Teoria de Filas, em Confiabilidade e em Análise de Sobrevivência, encontramos
outras densidades de probabilidade. Entre elas, podemos citar a Log-normal, a
Gama, a Beta, a Exponencial, a Weibull, etc.
4. 2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Uma v.a. X contínua tem distribuição uniforme sobre o intervalo [a, b], se sua
função densidade de probabilidade for dada por:
⎧ 1
⎪ b − a , para a ≤ x ≤ b
⎪
f(x) = ⎨
⎪ 0 , para outros valores de x
⎪
⎩
Graficamente,
f(x)
1/(b-a)
x
Note que todos os valores de x no intervalo de a até b são “igualmente
prováveis” no sentido de que a probabilidade de x cair num subintervalo de
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comprimento ∆x é a mesma que para qualquer outro subintervalo de mesmo
comprimento dentro do intervalo [a, b].
A MÉDIA E A VARIANCIA SÃO:
µ=
a+b
2
σ2 = 121 ( b − a ) 2
EXEMPLO:
Suponha que a roda de uma locomotiva tenha raio r e que x seja um ponto na
sua circunferência medido a partir de um ponto 0. Quando os freios são aplicados,
em algum ponto há o atrito e um desgaste. Para aplicações repetidas dos freios, é
razoável assumir que x é uma v.a. que tem distribuição uniforme com a = 0 e b =
2πr. Ou seja, estamos assumindo que a incidência de atrito e desgaste da roda seja
uniforme ao longo dela. Se isto estiver incorreto, ou ainda, se algum conjunto de
pontos da roda fazem contato mais freqüentemente que outros, a roda
eventualmente exibiria marcas de achatamento ou ficaria fora de centro.
4. 3 DISTRIBUIÇÃO GAMA
A distribuição Gama tem na sua função densidade de probabilidade a Função
Gama, estudada em muitas aplicações da Matemática. Esta função é definida por:
∞
Γ(α) = ∫ x α−1 e − x dx , para α > 0
0
Integrando por partes, tem-se que:
Γ(α) = (α- 1) Γ(α- 1)
Se α = n onde n é um inteiro, Γ(n) = (n - 1)!
Em particular, Γ( 21 ) = π
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A v.a. X contínua tem distribuição Gama, com parâmetros α e β, se sua
função densidade de probabilidade é dada por:
⎧0
,
x≤ 0
⎪
1
f (x) = ⎨
α −1
e− x / β
α
⎪⎩ β Γ (α ) x
, x>0
Gráficos de algumas distribuições gama para valores especificados dos parâmetros
α e β são apresentados a seguir:
f (x)
1,0
α=1 , β=1
α=2 , β=1
0,5
0
1
2
3
α=4 , β=1
4
5
6
7
x
4. 4 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL
Dado um processo de Poisson com parâmetro λ, seja o tempo zero o tempo no
qual começamos a observar o processo (ou o tempo em que se observou um
sucesso). Seja T o tempo decorrido até que o próximo sucesso ocorra. T tem
distribuição exponencial com parâmetro λ > 0 e sua função densidade de
probabilidade é dada por:
λ e-λt , para t > 0
f(t) =
0 , para t ≤ 0
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Graficamente,
f (t)
λ
0
µ=1/λ
t
Note que a distribuição exponencial é um caso particular da distribuição gama
quando α = 1.
A média e a variancia da distribuição exponencial são iguais a:
µ = 1/λ
σ 2 = 1 / λ2
A função de distribuição acumulada de T é dada por:
1 - e-λt , para t > 0
F(t) = P( T ≤ t) =
0 , para t ≤ 0
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EXEMPLO
Suponha que um sistema contem um certo tipo de componente cujo tempo em
anos para falhar (duração de vida) é dado por uma v.a. T, distribuída
exponencialmente com média de 5 anos. Se 5 destes componentes são instalados
em sistemas diferentes, qual é a probabilidade de que pelo menos dois deles ainda
estejam funcionando ao final de 8 anos?
A função densidade de probabilidade da v.a. tem parâmetro λ = 1/5 e é dada por:
1/5 e-1/5t , para t ≥ 0
f(t) =
0 , para t < 0
Para o cálculo da probabilidade podemos usar a função de distribuição
acumulada que, neste caso, é dada por:
1 - e-1/5 t , para t ≥ 0
F(t) = P( T ≤ t) =
0 , para t < 0
A probabilidade de que um componente qualquer ainda esteja funcionando
após 8 anos é dada por:
P ( T > 8) = 1 - P(T ≤ 8) = 1 - F(8) = 1 - [1 - e-(1/5)(8) ] = e-8/5 = 0,2
Seja X a v.a. igual ao número de componentes que funcionam após 8 anos. X
tem distribuição binomial com parâmetros n = 5 (cinco componentes instalados) e
p=0,2 (a probabilidade de um componente estar funcionando após 8 anos) e sua
função de probabilidade é dada por:
⎛5 ⎞
p( x) = P( X = x) = ⎜ ⎟ 0,2 x 0,85− x , x = 0,1,...,5
⎝ x⎠
Assim, P(X ≥ 2) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 0,2627.
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4.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal (ou de Gauss) com
parâmetros µ e σ² se a sua função densidade de probabilidade é dada por:
1
f(x) =
2π σ
−
.e
1 ⎛ x - µ ⎞2
⎜
⎟
2 ⎝ σ ⎠
, -∞ < x < ∞
OBSERVAÇÕES :
( a ) µ = E(x) e σ² = V(x) .
( b ) f(x) tende a zero quando x → -∞ ou x → ∞.
( c ) f(x) tem dois pontos de inflexão : µ - σ e µ + σ .σ
( d ) f(x) tem um ponto de máximo para x = µ e seu valor máximo é:
1
2πσ
( e ) f(x) é simétrica em relação a x = µ .
( f ) A área total abaixo da curva f(x) é igual a 1.
Graficamente:
f(x)
µ−σ
µ−σ µµ
x
µ+σ
µ−σ
µ−σ
µ−σ
f(x)
1
f(x)
2π σ
1
2π σ
µ
x
µ
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Podemos mostrar que se X é uma v.a. com distribuição normal então:
* entre µ - σ e µ + σ existe aproximadamente 68% da área total;
* entre µ - 2σ e µ + 2σ existe aproximadamente 95% da área total;
* entre µ - 3σ e µ + 3σ existe aproximadamente 99% da área total.
µ−3σ
µ−2σ µ−σ
µ
68%
µ+σ
µ+2σ
µ+3σ
95%
99%
NOTAÇÃO:
Se X é uma v.a. que tem distribuição normal com parâmetros µ e σ² escrevemos :
X : N( µ, σ² )
onde µ é a média e σ² a variancia .
4.5.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA REDUZIDA OU PADRONIZADA Z
Se X : N ( µ,σσ² ), então a v.a. Z definida por:
Z =
X-µ
σ
terá uma distribuição normal com média µ µ= 0 e variancia σσ² = 1.
f(z)
-3 -2
-1
0
1
2
3
z
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Observe que Z calcula, para cada valor de X, a quantos desvios padrões cada
ponto está afastado da média µµ. Se Z é negativo então é um ponto à esquerda da
média e se é positivo então é um ponto à direita da média.
4.5.2 CÁLCULO DE PROBABILIDADES (USO DA TABELA)
A tabela apresentada na página 91 fornece os valores da função de distribuição
acumulada de Z para diversos pontos desde -3,49 até 3,49 com acréscimos de 0,01.
Assim:
tab (z 0 ) = F(z 0 ) =
∫
z0
1
-∞
2π
.e
-
1 2
z
2
dz
z
zo 0
Suponha que X: N( µµ, σσ² ) e que se queira calcular P(a < X ≤ b). Esta
a − µ
b− µ
probabilidade é igual a P ( σ < X ≤ σ ) .
Para x = a:
z =
Para x = b:
z =
a - µ
σ
a
b µ
x
b - µ
σ
0
z
OBSERVAÇÕES:
1)
Um cuidado especial deve ser tomado ao utilizar outras tabelas (geralmente
apresentadas em apêndices dos livros de Estatística), pois existem formas
diferenciadas de apresentar estas probabilidades.
2)
Um programa que gere estas probabilidades pode ser elaborado para
calculadoras programáveis. Basta tomar o cálculo de áreas abaixo da curva da
v.a. padronizada z e inserir num programa que resolva integrais. O limite
inferior pode ser -4 (4 desvios padrões abaixo da média 0) pois sabemos que
antes deste valor não existe praticamente qualquer área significativa.
P ( Z ≤ z 0 ) = F( z 0 ) =
z0
∫
−4
1
2π
− 2 z2
1
e
dz
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EXEMPLO 1
Seja X : N ( 20,9 )
µµ = 20
σσ² = 9 (σ = 3 )
11
14
17
20
23
26
29
x
( a ) P( X ≤≤ 18 ) = P( Z ≤≤ -0,67 ) = tab (-0,67) = 0,25142
Para x = 18 :
x
18 20
z=
-0,67
x - µ 18 - 20
= -0,67
=
3
σ
z
( b ) P(X >21) = P(Z >0,33) = 1- P(Z ≤ 0,33) = 1- tab(0,33) = 1- 0,62930 = 0,37070
Para x = 21:
20 23
x
z=
0 0,33
x - µ 21- 20
= 0,33
=
3
σ
z
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( c ) P( 16 < X ≤ 24 ) = P( -1,33 < Z < 1,33 ) = tab(1,33) - tab(-1,33) =
0,90824 - 0,09175 = 0,81649.
Para x = 16 :
z=
x
16 20 24
x - µ 16 - 20
= -1,33
=
3
σ
Para x = 24 :
z=
z
0
x - µ 24 - 20
= 1,33
=
3
σ
EXEMPLO 2
O diâmetro de certo tipo de anel industrial é uma v.a. com distribuição normal
de média 0,10 cm e desvio padrão 0,02 cm. Se o diâmetro de um anel diferir da
média por mais de 0,03 cm, ele é vendido por 5 u.m.; caso contrário é vendido por
10 u.m.. Qual o preço médio de venda de cada anel?
Seja a v.a. X = diâmetro do anel
X : N( 0,10 ; 0,02²) ∴ µ = 0,10 e σ = 0,02
0,04
0,06 0,08 0.10 0,12 0,14 0,16
x
P(X ≤ 0,07) = P(Z≤ -1,50) = tab(-1,50) = 0,06680
Para x = 0,07 :
z=
x-µ
σ
=
0,07 - 0,10
= -1,50
0,02
P(X > 0,13) = 1- P(X ≤ 0,13) = 1- P(Z<1,5) = 1- tab(1,5) = 0,06680
Para x = 0,13 :
z=
x - µ 0,13- 0,10
=
= 1,50
σ
0,02
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P(diâmetro diferir da média por mais de 0,03) = P(X ≤ 0,07 ou X >0,13) =
= 0,06680 + 0,06680 = 0,13360.
P(não diferir da média por mais de 0,03) = 1- 0,13360 = 0,86640 .
Seja a v.a V = preço de venda. V tem a seguinte distribuição de probabilidade
:
v
5
10
p(v)
0,13360
0,86640
Preço médio de venda :
E(V) =
∑ v.p(v) =
5.0,13360 +10.0.86640 = 9,332 u.m.
v
EXEMPLO 3
Uma máquina de empacotar determinado produto apresenta variações de peso
com desvio padrão de 20g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote
para que apenas 10% tenham menos de 400g ? Supor distribuição normal dos pesos
dos pacotes.
X: peso dos pacotes
σ=20
0,10
X : N (µ,20²)
x
µ
400
P(X ≤ 400) = 0,10
P (Z < -2,33) = 0,10
0,10
z=
−2,33
0
z
x-µ
σ
⇒ - 2,33 =
400 - µ
20
µ = 446,6 g .
na tabela
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4.5.3 APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Se uma v.a. X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, a sua média é
µ = n.p e sua variancia é σ² = n.p(1-p).
Quando n→ ∞, a distribuição da v.a definida por :
Z=
X - np
np(1- p)
tem como distribuição limite a N ( 0,1 ).
Note que isto é o mesmo que dizer que, para n grande a v.a. X tem distribuição
N(µ,σ²) onde µ = np e σ² = np(1-p). A aproximação melhora à medida que n cresce
e é muito boa para valores de p não muito próximos de 0 ou 1.
EXEMPLO 1
Seja X uma v.a binomial com n = 16 e p = 0,5
⎛16⎞
p(x) = ⎜ ⎟ 0,5x 0,516-x , x = 0,1,... ,16
⎝x ⎠
µ = np = 8 , σ 2 = np(1- p) = 4
x
0;16
1;15
2;14
3;13
4;12
5;11
6;10
7;9
8
p(x)
0,00002
0,00024
0,00183
0,00854
0,02777
0,06665
0,12219
0,17456
0,19638
9
11
13
15
p(x)
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
1
2
3
4
5
6
5,5
7
8
µ
10
12
14
16
10,5
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⎛16⎞
x=6 ⎝ x ⎠
10
( a ) P (6 ≤ X ≤ 10) = ∑⎜ ⎟ 0,5 x .0,516− x = 0,78988
Usando a aproximação normal, temos:
PB = (6 ≤ X ≤ 10) ≅ PN (5,5 ≤ X < 10,5) = PN (-1,25 ≤ Z < 1,25) = 0,89435 - 0,10565 = 0,78870
( b ) P(X = 8) ≅ PN (7,5 ≤ X ≤ 8,5) = PN (-0,25 ≤ Z ≤ 0,25) = 0,5987 - 0,4013 = 0,1974
( c ) P(X < 6) ≅ PN ( X ≤ 5) = PN (Z < -1,25) = 0,10565
EXEMPLO 2
Uma máquina produz itens num certo processo de fabricação tal que 5% dos
itens são defeituosos. Se uma amostra de 1000 itens é escolhida ao acaso, qual a
probabilidade de que não mais do que 40 defeituosos ocorram na amostra ?
X = n° de itens defeituosos na amostra
n = 1000
p = 0,05
µ = np = 1000.0,05 = 50
σ² = np(1-p) = 1000.0,05.0,95 = 47,5
PB (X ≤ 40) ≅ PN (X ≤ 40,5) = PN (Z ≤ -1,38) = 0,084 .
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