7ª LISTA DE ESTATÍSTICA (apresentar os cálculos com 4 casas

7ª LISTA DE ESTATÍSTICA (apresentar os cálculos com 4 casas decimais)
1)Em uma fábrica de produtos de higiene foram medidos os pesos de sabonetes em 25 amostras de tamanho
cinco. Supõe-se que o peso dos sabonetes é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente
Normal. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo:
horário
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
150,4
150,4
150,6
150,4
150,3
150,2
150,1
150,4
150,4
150,4
150,3
150,2
150,5
150,2
150,4
150,4
150,5
150,7
150,3
150,2
150,8
150,4
150,4
150,3
150,3
peso do sabonete
150,1
150,6
150,2
150,3
150,3
150,4
150,2
150,4
150,2
150,4
150,7
150,3
150,0
150,5
150,3
150,4
150,2
150,5
150,4
150,4
150,7
150,7
150,4
150,1
150,5
150,4
150,4
150,4
150,4
150,4
150,5
150,4
150,4
150,5
150,5
150,3
150,2
150,5
150,2
150,5
150,4
150,5
150,3
150,6
150,2
150,4
150,8
150,0
150,5
150,2
150,4
150,3
150,5
150,4
150,4
150,5
150,7
150,5
150,3
150,5
150,6
150,4
150,4
150,1
150,5
150,5
150,4
150,2
150,4
150,3
150,3
150,4
150,3
150,3
150,6
150,3
150,4
150,7
150,5
150,2
150,4
150,4
150,4
150,4
150,4
150,5
150,5
150,4
150,2
150,3
150,3
150,2
150,4
150,2
150,3
150,3
150,5
150,7
150,5
150,6
total
Média
150,32
150,36
150,42
150,46
150,26
150,34
x
150,40
150,42
150,40
150,42
150,40
150,36
150,36
150,36
150,38
150,36
150,46
150,42
150,36
150,50
150,40
150,42
150,36
150,42
3759,760
R
0,50
0,10
0,50
0,40
0,50
0,30
0,60
0,60
0,10
0,00
0,20
y
0,30
0,30
0,40
0,80
0,30
0,40
0,50
0,30
0,50
0,40
0,50
0,20
0,30
9,300
a)Determine os valores de X e Y.
b)Usando todos os dados, encontre os limites de controle para os gráficos de X e R, construa o gráfico e
plote os dados.
c)Use os limites do item b) para identificar pontos fora de controle. Se necessário, reveja seus limites de
controle, considerando que qualquer amostra fora dos limites de controle poderá ser eliminada.
2)Para o exercício anterior e usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo,
determine se este está estável. Justifique.
3)Para o exercício anterior é conhecido que o peso do sabonete, por especificação, deve estar entre 150,77g
e LIE=149,83g. Usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo:
a)Estime CP eCPK. Interprete essas razões.
b)Qual o nível de fração defeituosa (fallout)?
4)Foram medidos em 30 ocasiões o pH de um efluente industrial remetido à SABESP.
horário
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
7,2
6,5
8,0
6,5
7,0
7,0
6,5
7,0
6,5
8,0
7,0
7,8
6,0
6,5
7,2
6,5
6,5
7,8
7,2
8,0
6,5
8,0
6,5
7,8
8,0
7,8
6,5
7,2
6,5
7,0
pH
6,0
6,5
7,8
7,0
7,8
6,5
7,2
7,0
7,8
7,8
7,0
7,8
7,2
7,0
7,8
7,0
6,0
7,2
6,0
8,0
7,0
7,0
7,2
6,5
6,0
7,0
6,0
7,8
7,2
7,0
7,0
7,8
6,5
7,2
6,5
7,8
7,0
8,0
7,2
6,0
7,0
7,2
6,0
7,8
7,2
6,0
6,5
6,5
7,8
7,0
6,5
7,8
7,0
8,0
7,2
7,8
6,5
7,0
7,0
7,0
7,0
6,5
7,8
6,5
7,2
6,5
7,2
7,0
7,0
7,2
7,0
8,0
7,8
8,0
7,2
7,0
7,8
7,0
8,0
7,2
7,8
6,5
7,2
6,0
8,0
7,2
6,5
7,8
7,0
7,0
Média
6,74
6,76
7,22
6,64
7,30
6,86
7,02
7,00
7,26
7,10
6,90
7,36
6,60
7,16
7,32
6,50
6,96
7,00
7,40
7,24
7,16
7,16
7,18
6,96
7,44
7,26
6,30
7,36
6,94
7,00
7,037
6,5
6,5
6,0
6,0
8,0
6,5
7,2
6,0
7,8
6,5
6,5
6,0
6,0
6,5
7,2
6,0
8,0
6,5
8,0
6,0
8,0
6,5
8,0
6,5
8,0
6,5
6,0
7,0
7,0
7,0
Média
R
1,20
1,30
2,00
1,20
1,50
1,30
0,70
2,00
1,30
2,00
0,50
2,00
1,80
1,50
0,60
1,00
2,00
1,30
2,00
2,00
1,50
1,50
1,50
2,00
2,00
1,30
0,50
0,80
0,70
0,00
1,367
Para atender ao artigo 19A do decreto estadual 8468 este pH deve estar entre 5 e 10. Foi realizada uma
análise dos dados coletados. Os resultados estão apresentados nos gráficos abaixo. Baseado nestes gráficos
você afirmaria que este processo é capaz? Justifique.
Carta X-barra R para o pH
99,9
Média
7, 037
Desvio Padrão 0,6356
N
150
KS
0, 085
Valor P
<0, 010
99
UCL=7,825
7,5
_
_
X=7,037
7,0
6,5
LCL=6,248
1
4
7
10
13
50
Amplitude amostral
Porcentagem
90
Média amostral
Gráfico de probabilidade Normal do pH
10
1
0,1
5
6
7
pH
8
9
Capacidade do processo
LSL
USL
Dados do processo
Capacidade
LI E
5
Cp
1,42
LSE
10
Cpk
1,16
Média amostral
7,03667
N
150
desvio Padrão ( dentro)
0,587561
Desvio padrão ( geral)
0,635569
4,9
5,6
6,3
7,0
7,7
8,4
9,1
9,8
16
Amostra
19
22
25
28
3,0
UCL=2,890
2
_
R=1,367
1,5
0,0
LCL=0
1
4
7
10
13
16
Amostra
19
22
25
28
5)Um gráfico X usa amostra de tamanho 4. A linha central está em 100 e os limites, 3 sigmas, superior e
inferior de controle estão em 106 e 94 respectivamente.
a)Qual é σ do processo?
b)Suponha que a média do processo se desloque para 105. Encontre a probabilidade dessa mudança se
detectada na próxima amostra.
6)Em 10 amostras da % AV-631/03 em uma unidade de produção de E.V.A. (Etileno Acetato de Vinila)
encontrou-se uma porcentagem média de 18,27 % e um desvio padrão de 0,283 %. Supondo que a
percentagem AV-631/03 tem distribuição aproximadamente normal, teste ao nível de significância de 5% se
a porcentagem média é superior a 18 %.
7)Testes exaustivos realizados pela indústria Cookbem indicam que seu forno de microondas tem
probabilidade 0,1 de apresentar a 1ª falha antes de 900 horas de uso. Um novo método de produção está
sendo implantado e os engenheiros garantem que a probabilidade acima indicada deve diminuir. Com vistas
a verificar essa afirmação, escolheu-se aleatoriamente 100 aparelhos para realizar testes acelerados e os
resultados indicaram que 8 deles tiveram sua 1ª falha antes de 900 horas.
a)Formule as hipóteses adequadas.
b)Determine o nível descritivo.
c)Verifique se os engenheiros têm razão, considerando um nível de significância α = 6 %.
8)Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível (em percentagem) de ácidos
graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 16,8 ; 17,2 ; 17,4 ; 16,9 ;
16,5 e 17,1.
Teste a hipótese de que o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a 17 %, usando α =
0,01. Quais são suas conclusões?
9)Um rebite deve ser inserido em um orifício. Se o desvio padrão do diâmetro do orifício exceder 0,01 mm
haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajuste. Uma amostra aleatória de n =
15 peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do
orifício é s = 0,012 mm. Existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício
exceda 0,01 mm? Use α = 0,01. Estabeleça qualquer suposição necessária a cerca da distribuição sob
consideração dos dados.
10)Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos
assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a 0,09 cm2. Para testar se a
máquina está bem regulada, 100 peças são observadas e sua média calculada em 2,1 cm.
a)Formule o problema como um teste de hipóteses.
b)Qual seria a região crítica e a decisão? Use α = 0,02.
c)Se a região de aceitação fosse {
= 1,9 cm?
X
∈ IR / 1,9 ≤
X
≤ 2,1 }, qual seria a probabilidade do erro tipo II se µ
11)Num estudo realizado pelo gerente de produção sobre jornais sem defeito, é selecionada uma amostra de
200 jornais a partir da população de 100.000 jornais impressos e são encontrados 35 jornais com problemas.
O gerente quer saber se a proporção de jornais com problemas é no máximo igual a 0,15. Qual deve ser sua
conclusão ao nível de significância de 10%?
12)De um lote contendo 50 sacos de açúcar, amostrou-se 8 sacos. O peso médio dos sacos na amostra foi de
990,7 gramas com um desvio padrão amostral de 8,0 gramas. Supondo que o peso dos sacos de açúcar tem
distribuição aproximadamente normal, Teste ao nível de significância de 5% se o peso médio dos sacos de
açúcar é inferior a 1000 g.
RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA:
1) (minha autoria) a)x = 150,4g y = 0,3g
LSCR = 0,7864
b) LIC X = 150,1758
LSC X =150,6050
LICR não existe
c)ponto fora de controle = 16 LIC X = 150,1864
LSC X =150,5952
LICR não existe
Xbar-R Chart of peso
Xbar-R Chart of peso
U C L=150,6050
Sample Mean
_
_
X=150,3904
150,4
150,3
150,2
LC L=150,1758
1
Sample Range
U C L=150,6050
150,6
150,5
3
5
7
9
11
13
Sample
15
17
19
21
23
150,2
_
R=0,372
0,2
LC L=0
0,0
5
7
9
11
13
Sample
15
17
19
21
23
LC L=150,1758
1
3
5
7
9
11
13
Sample
15
17
19
21
23
25
1
0,8
0,6
3
150,3
U C L=0,7866
0,4
_
_
X=150,3904
150,4
25
1
1
150,5
Sample Range
Sample M ean
150,6
0,8
LSCR = 0,7487
U C L=0,7866
0,6
_
R=0,372
0,4
0,2
LC L=0
0,0
25
1
3
5
7
9
11
13
Sample
15
17
19
21
23
25
2) (minha autoria) O processo está estável pois para os gráficos de X-barra e de R não há pontos fora dos
limites de controle, não há sete pontos consecutivos acima ou abaixo da média, não há sete pontos
consecutivos crescendo ou decrescendo.
3) (minha autoria) Cp = 1,03 Cpk = 0,83 Cp > 1 e Cpk < 1. O processo não é capaz. O processo não está
centralizado.
4) (minha autoria) Não. Embora Cp >1 e Cpk > 1 não há sentido nestes cálculos uma vez que os dados não
obedecem a uma distribuição Normal. O gráfico de probabilidade Normal não apresenta dados que podem
ser cobertos por uma “linha grossa” (P < 0,01). Mesmo se os dados obedecessem à distribuição Normal, o
processo não está estável pois há sete pontos seguidos acima da média na carta de R.
5) (bibliografia nº 1) a)4 b)0,3085
6) (minha autoria) R.C = {T | T ≥ 1,833} T = 3,017 ∈ R.C. , ao n.s. de 5% afirmo que a porcentagem
média é superior a 18%.
7) (bibliografia nº 1)a)H0: p ≥ 0,1 H1: p < 0,1 b)0,2514 c)Z = – 0,67 ∉ R.C. , ao n.s. de 6% afirmo que
os engenheiros não tem razão.
8) (bibliografia nº 2) R.C = {T | T ≤ – 4,032 ou T ≥ 4,032} T = – 0,1283 ∉ R.C. , ao n.s. de 1% afirmo que
o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a 17%.
χ obs = 20,16 ∉ R.C. , ao n.s. de 1% afirmo que não
9) (bibliografia nº 2) a) R.C. = {χ2 | χ2 ≥ 29,141}
existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício exceda 0,01 mm
10) (bibliografia nº 1) a)H0: µ = 2 H1: µ ≠ 2 b) R.C = {Z | Z ≤ –2,3263 ou Z ≥ 2,3263} Z = 3,3333 ∈
R.C. logo ao n.s. de 5% rejeito H0 e afirmo que a máquina não está bem regulada. ou R.C = { X | X ≤
2
1,93 ou X ≥ 2,07} X obs = 2,1∈ R.C. logo ao n.s. de 5% rejeito H0 e afirmo que a máquina não está bem
regulada. c)β = 0,5
11) (minha autoria) R.C = {Z | Z ≥ 1,2816} Z = 0,991∉ R.C. , ao n.s. de 10% afirmo que a proporção de
jornais com problemas é no máximo igual a 0,15.
12) (minha autoria) R.C = {T | T ≤ – 1,895} T = – 3,55∈ R.C., ao n.s. de 5% afirmo que o peso médio dos
sacos é inferior a 1000 g.
1.MAGALHÃES, Marcos N. e LIMA, Antonio Carlos P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6 ed. São
Paulo: Edusp, 2004.
2.MONTGOMERY, Douglas C. e RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para
Engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
3. MOORE, David S. e McCABE, George P. Introdução à prática da Estatística. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC,
2002.