5 - Ronaldo Alves Garcia

ÁLGEBRA LINEAR - ENG. CIVIL E OUTROS CURSOS, VERÃO DE 2015,
IME/UFG
R. GARCIA
1. Quinta Lista
1
(1) Determine os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:
: (i) T : R2 → R2 , tal que T (x, y) = (2y, x)
: (ii) T : R2 → R2 , tal que T (x, y) = (x + y, 2x + y)
: (iii) T : P2 (R) → P2 (R), tal que T (ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b.
(2) Encontre a transformação linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados
aos autovetores v1 = (3, 1) e v2 = (−2, 1) respectivamente.
(3) Se λ é autovalor da transformação linear T : V → V e v é um autovetor associado a ele,
mostre que
: (i) kv é outro autovetor associado a λ se k 6= 0.
: (ii) O conjunto formado pelos autovetores associados a λ e o vetor nulo é um subespaço
de V.
(4) Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero do operador T : R2 →
R2 . Mostre que
: (i) Os autovetores v1 e v2 correspondentes são LI.
: (ii) T (v1 ) e T (v2 ) são LI.
: (iii) Generalize os itens anteriores para os operadores lineares T : Rn → Rn .
(5) Dizemos que uma matriz A de ordem n × n é diagonalizável se seu operador associado
TA : Rn → Rn for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e somente se A admitir n
autovetores LI. Baseado nisto, verifique se a matriz abaixo é diagonalizável:


2 1 0 0
 0 2 0 0 

A=
 0 0 2 0 
0 0 0 3
(6) Seja A uma matriz 3 × 3 triangular superior, com todos os seus elementos acima da diagonal
distintos e não nulos.


a b c
A= 0 d e 
0 0 f
i) Quais são os autovalores e autovetores de A?
ii) Determine os planos bidimensionais invariantes por A.
1
Goiânia, 05 de fevereiro de 2015. Entregar a lista resolvida em 11/02/2015. Terceira avaliação agendada para
o dia 11/02 -com inı́cio as 14 h. Obs: Pelo menos 80 % da terceira avaliação será baseada nas listas 3, 4, 5 e em
exercı́cios resolvidos em sala de aula.
1
2
R. GARCIA
(7) Sejam T : R3 → R3 linear, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a base canônica de R3 , β =
{(0, 1, 1), (0, −1, 1), (1, 0, 1)} outra base de R3 e


2
0
1
1 
[T ]αα =  0 −3
0
0 −3
: (i) Encontre o polinômio caracterı́stico de T, os autovalores de T e os autovetores correspondentes.
: (ii) Determine [T ]ββ e o polinômio caracterı́stico. Que observação você faz a esse respeito?
: (iii) Encontre uma base γ de R3 , se for possı́vel, tal que [T ]γγ seja diagonal.
−3 4
(8) Considere A =
.
−1 2
: (i) Verifique que A é diagonalizável.
: (ii) Calcule A20 .


2 1 −1
(9) Considere A =  4 1 −3  .
0 1
1
: (i) Determine os autovalores de A.
: (ii) Determine os autoespaços de A.
: (iii) Determine os planos bidimensionais invariantes de A.
: (iv) A é diagonalizável?
(10) Sejam k um número real e T : R2 → R2 o operador linear tal que [T ]αα é a matriz
2 k
B=
,
1 1
onde α = {(1, 0), (0, 1)} é a base canônica do R2 .
: (i) Determine todos os valores de k para os quais o operador T não é diagonalizável.
: (ii) Escolha um valor de k tal que T seja diagonalizável e determine uma matriz diagonal
D e uma matriz P tais que D = P −1 BP.
(11) Seja T : R3 → R3 transformação linear descrita por
T (x, y, z) = (x + 2y + 2z, 2x + y + 2z, −z).
: (i) Determine os autovalores e autovetores de T.
: (ii) Determine todos os planos bidimensionais invariantes de T.
: (iii) A transformação T é diagonalizável? Em caso afirmativo, exiba uma base com
relação à qual a matriz de T é diagonal.
(12) Suponha que T : V → V é um operador linear.
: (i) Suponha que 0 seja um autovalor de T. Mostre que T não é injetiva.
: (ii) Suponha que dim(Ker(T )) ≥ 1. Mostre que 0V é um autovalor de T.
(13) Seja T : R3 → R3 uma transformação linear tal que λ1 e λ2 são autovalores de T com
autoespaços Vλ1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + z = 0} e Vλ2 = {(0, t, t) ∈ R3 ; t ∈ R}.
: (i) T é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre β base de R3 tal que [T ]ββ seja uma
matriz diagonal.
: (ii) Descreva T (x, y, z) em coordenadas.
ÁLGEBRA LINEAR
3
(14) Seja T : M2×2 (R) → M2×2 (R) um operador linear descrito por
x y
2x + t −y + z
T
=
z t
z + 2t
3t
: (i) Escreva [T ]CC , onde C é a base canônica de M2×2 (R).
: (ii) Determine os autovalores de T.
: (iii) Determine se T é diagonalizável, e em caso afirmativo determine a matriz diagonal
correspondente.
*************** ****************** ****************** ***********************
(1) Encontre uma transformação linear T : R3 → R2 tal que Ker(T ) = [(1, 1, 0)].
(2) Encontre uma transformação linear T : R3 → R4 cuja imagem é gerada por (1, 2, 3, −1) e
(1, 1, −1, 3).
(3) Considere a transformação linear T : R3 → R3 descrita por:
T (x, y, z) = (z, x − y, −z).
:
:
:
:
(i) Determine [T ]CC , onde C é a base canônica de R3 ;
(ii) Determine uma base do núcleo de T ;
(iii) Determine a dimensão da imagem de T ;
(iv) T é sobrejetiva?
(4) Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
: (i) Se v ∈ V é tal que T (v) = 0W , então v = 0V ;
: (ii) Se T (w) = T (u) + T (v), então w = u + v;
: (iii) Se v é combinação linear de v1 , v2 , ..., vn , então T (v) é combinação linear de T (v1 ), T (v2 ), ..., T (vn ).
(5) Dados os vetores u1 = (2, −1), u2 = (1, 1), u3 = (−1, −4), v1 = (1, 3), v2 = (2, 3), v3 =
(−5, −6). Determine se existe uma transformação linear A : R2 → R2 tal que A(ui ) =
vi , i = 1, 2, 3.
(6) Considere T : R2 → R3 tal que T (−1, 1) = (1, 2, 3) e T (2, 3) = (1, 1, 1). Determine a
matriz da transformação associada às bases canônicas de R2 e R3 .
(7) Sejam R, S e T transformações lineares de R3 em R3 . Considere a base canônica do R3 , C =
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Se




1
0 1
−2
1 −1
1 1  e [S]CC =  3
1
2 ,
[R]CC =  2
0 −1 1
1 −2
0
determine T tal que R = S ◦ T.
(8) Se R(x, y) = (2x, x − y, y) e S(x, y, z) = (y − z, z − x). Considere C2 e C3 são as bases
canônicas de R2 e R3 respectivamente, determine:
: (i) a representação matricial [R ◦ S]CC33 ;
: (ii) a representação matricial [S ◦ R]CC22 ;
: (iii) R ◦ S e S ◦ R explicitamente.
(9) Seja V = M2×2 (R) e considere a base canônica deste espaço descrita por
1 0
0 1
0 0
0 0
C=
,
,
,
.
0 0
0 0
1 0
0 1
4
R. GARCIA
Seja S : V → R2 é descrita por
a b
T
= (a + d, b + c).
c d
: (i) Encontre a representação matricial [T ]CC2 , onde C2 é a base canônica do espaço R2 .


2
1
 1 −1 
 , determine S explicitamente e, se
: (ii) Se S : R2 → V é tal que [S]CC2 = 
 −1
0 
0
1
1 0
possı́vel, (a, b) tal que S(a, b) =
.
0 1
(10) Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 =
(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
: (i) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ [v1 , v2 , v3 , v4 ] ?
: (ii) Exiba uma base para [v1 , v2 , v3 , v4 ] e determine sua dimensão.
: (iii) [v1 , v2 , v3 , v4 ] = R4 ?
(11) Considere o sistema linear

 2x1 + 4x2 − 6x3 = a
x1 − x2 + 4x3 = b
(?) =

6x2 − 14x3 = c
Seja W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 tal que (x1 , x2 , x3 ) é solução de (?)}
: (i) Que condições devemos impor a a, b e c de forma que W seja subespaço vetorial de
R3 ?
: (ii) Nas condições impostas acima encontre uma base para W.
(12) Os vetores u1 = (1, 1, 2, 4), u2 = (2, −1, −5, 2), u3 = (1, −1, −4, 0) e u4 = (2, 1, 1, 6) são L.I.?
Se não, ache uma base do subespaço de R4 gerado por estes quatro vetores. Justifique sua
escolha.
(13) Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais. Sejam
x −x
W1 =
: x, y, z ∈ R
y z
e
x y
W2 =
: x, y, z ∈ R
−x z
(a) Prove que W1 e W2 são subespaços de V .
(b) Determine a dimensão de W1 , W2 , W1 + W2 e W1 ∩ W2 .